新教材高中數(shù)學11-3-3平面與平面平行課件新人教B版必修第四冊

11.3.3平面與平面平行基礎(chǔ)預習初探1.觀察長方體ABCD-A′B′C′D′知,平面ABCD與平面A′B′C′D′互相平行,那么在平面ABCD內(nèi)直線m與在平面A′B′C′D′內(nèi)的直線l有怎樣的位置關(guān)系呢?2.如果一條直線與兩個平行平面中的一個相交,那么它與另一個平面也相交.那么如何將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言?繼續(xù)探究:

(1)三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個三角板所在平面與平面α平行嗎?提示:平行.(2)觀察長方體ABCD-A1B1C1D1的兩個面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎?提示:是的.思考2過BC的平面BCC1B1交平面A1B1C1D1于B1C1,B1C1與BC是什么關(guān)系?提示:平行.【概念生成】1.兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行

___________兩平面相交

________________________α∥β0個α∩β=l無數(shù)個點(共線)2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)平面與平面平行的判定①文字語言:如果一個平面內(nèi)有兩條_____直線分別平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.②符號語言:a?β,b?β,_______,a∥α,b∥α?β∥α.③圖形語言:如圖所示.相交a∩b=P(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理①文字語言:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線_____.②符號語言:α∥β,α∩γ=a,_________?a∥b.③圖形語言:如圖所示.④作用:證明兩直線_____.平行β∩γ=b平行(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理①文字語言:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線_____.②符號語言:α∥β,α∩γ=a,_________?a∥b.③圖形語言:如圖所示.④作用:證明兩直線_____.平行β∩γ=b平行核心互動探究探究點一平面與平面平行的判定【典例1】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是棱C1C,B1C1,C1D1的中點,求證:平面MNP∥平面A1BD.【思維導引】利用三角形中位線原理合理作出輔助線構(gòu)造三角形,證明MN∥A1D.PN∥BD.【證明】如圖,連接B1C.由已知得A1D∥B1C,且MN∥B1C,所以MN∥A1D.又因為MN?平面A1BD,A1D?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.連接B1D1,同理可證PN∥平面A1BD.又因為MN?平面MNP,PN?平面MNP,且MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面A1BD.【延伸探究】若本例條件不變,求證:平面CB1D1∥平面A1BD.【證明】因為ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以DD1

BB1,所以BDD1B1為平行四邊形,所以BD∥B1D1,又BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1.又因為BD?平面A1DB,A1D?平面A1DB,且BD∩A1D=D,所以平面CB1D1∥平面A1BD.

【類題通法】判定平面與平面平行的四種常用方法(1)定義法:證明兩個平面沒有公共點,通常采用反證法.(2)利用判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.證明時應(yīng)遵循先找后作的原則,即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條直線分別平行,則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.

【類題通法】判定平面與平面平行的四種常用方法(1)定義法:證明兩個平面沒有公共點,通常采用反證法.(2)利用判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.證明時應(yīng)遵循先找后作的原則,即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條直線分別平行,則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.【定向訓練】如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)因為G,H分別是A1B1,A1C1的中點,所以GH是△A1B1C1的中位線,所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四點共面.(2)因為E,F分別是AB,AC的中點,所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因為A1G∥EB,A1G=EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因為A1E?平面A1EF,EF?平面A1EF且A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.【補償訓練】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.點M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.【證明】因為PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.又因為BP?平面PBC,NQ?平面PBC,所以NQ∥平面PBC.因為四邊形ABCD為平行四邊形.所以BC∥AD,所以MQ∥BC.又因為BC?平面PBC,MQ?平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因為MQ?平面MQN,NQ?平面MQN,且MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PBC.探究點二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例2】如圖所示,平面四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D均在平行四邊形A′B′C′D′外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

【思維導引】充分利用?A′B′C′D′的平行關(guān)系及AA′,BB′,CC′,DD′間的平行關(guān)系,先得出線面平行,再得面面平行,最后由平面平行的性質(zhì)定理得線線平行.【證明】因為四邊形A′B′C′D′是平行四邊形,所以A′D′∥B′C′.因為A′D′?平面BB′C′C,B′C′?平面BB′C′C,所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.因為A′D′?平面AA′D′D,AA′?平面AA′D′D,且A′D′∩AA′=A′,所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因為AD,BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D,平面BB′C′C的交線,所以AD∥BC.同理可證AB∥CD.所以四邊形ABCD是平行四邊形.

【類題通法】應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟【定向訓練】如圖,α∥β∥γ,直線a與b分別交α,β,γ于點A,B,C和點D,E,F.(1)求證:

;(2)若AB=BC,AD=2,BE=

,CF=4,求直線AD與CF所成的角.【解析】(1)連接AF交平面β于點G,連接AD,BE,CF,BG,EG.由β∥γ,平面ACF∩β=BG,平面ACF∩γ=CF,得BG∥CF,則同理,由α∥β,可得GE∥AD,則所以(2)因為BG∥CF,GE∥AD,所以∠BGE(或其補角)就是直線AD與CF所成的角.因為所以BG=2,GE=1,又BE=,CF=4,所以由余弦定理可得cos∠BGE=,得∠BGE=120°.故直線AD與CF所成的角為60°.探究點三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】設(shè)AB,CD為夾在兩個平行平面α,β之間的線段,且直線AB,CD為異面直線,M,P分別為AB,CD的中點.求證:MP∥平面β.【思維導引】經(jīng)過直線MP作輔助平面,通過面面平行證明線面平行.【證明】如圖,過點A作AE∥CD交平面β于點E,連接DE,BE.因為AE∥CD,所以AE,CD確定一個平面,設(shè)為γ,則α∩γ=AC,β∩γ=DE.又α∥β,所以AC∥DE(平面平行的性質(zhì)定理),取AE的中點N,連接NP,MN,因為M,P分別為AB,CD的中點,所以NP∥DE,MN∥BE.又NP?β,DE?β,MN?β,BE?β,所以NP∥β,MN∥β,又因為NP?平面MNP,MN?平面MNP,且NP∩MN=N,所以平面MNP∥β.因為MP?平面MNP,MP?β,所以MP∥β.

【類題通法】解決平行關(guān)系的綜合問題的方法(1)在遇到線面平行時,常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運用線面平行的性質(zhì).(2)要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何中的平行問題時,一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法.【定向訓練】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,使得平面D1BQ∥平面PAO?【解析】當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.因為Q為CC1的中點,P為DD1的中點,連接PQ,如圖,易證四邊形PQBA是平行四邊形,所以QB∥PA.又因為AP?平面APO,QB?平面APO,所以QB∥平面APO.因為P,O分別為DD1,DB的中點,所以D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO,又因為D1B?平面D1BQ,QB?平面D1BQ且D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.【補償訓練】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,如圖.(1)求證:平面AB1D1∥平面C1BD.(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E,F,并證明:A1E=EF=FC.【解析】(1)因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD

B1C1,所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1∥C1D.又因為C1D?平面C1BD,AB1?平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因為AB1∩B1D1=B1,AB1?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如圖,連接A1C1交B1D1于點O1,連接A1C,連接AO1與A1C交于點E.又因為AO1?平面AB1D1,所以點E也在平面AB1D1內(nèi),所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點;連接AC交BD于O,連接C1O與A1C交于點F,則點F就是A1C與平面C1BD的交點.證明A1E=EF=FC的過程如下:因為平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中點,所以E是A1F的中點,即A1E=EF;同理可證OF∥AE,所以F是CE的中點,即CF=FE,所以A1E=EF=FC.【課堂小結(jié)】三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化三種平行關(guān)系是緊密相連的,可以任意轉(zhuǎn)化,其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示:課堂素養(yǎng)達標1.如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關(guān)系一定是 (

)A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能確定【解析】選C.如圖所示,由圖可知C正確.2.已知a,b表示直線,α,β,γ表示平面,下列推理正確的是 (

)A.若α與β相交,a?α,b?β,則a與b一定相交B.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βC.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b【解析】選D.A錯誤,a與b,可能平行也可能是異面直線;由平面與平面平行的判定定理知B,C錯誤;由平面與平面平行的性質(zhì)定理知,D正確.3.已知a,b,c為三條不同的直線,α,β,γ為三個不同的平面,則下列說法正確的是 (

)A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βC.若α∥β,a∥α,則a∥βD.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,則b∥c【解析】選D.若a∥b,b?α,則a∥α或a?α,故A不正確.若a?α,b?β,a∥b,則α∥β或α與β相交,故B不正確.若α∥β,a∥α,則a∥β或a?β,故C不正確.如圖,由a∥b可得b∥α,易證b∥c,故D正確.4.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A1,C1,B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l,則l與A1C1的位置關(guān)系是______.

【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以l∥A1C1.答案:平行Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞【解析】選D.若a∥b,b?α,則a∥α或a?α,故A不正確.若a?α,b?β,a∥b,則α∥β或α與β相交,故B不正確.若α∥β,a∥α,則a∥β或a?β,故C不正確.如圖,由a∥b可得b∥α,易證b∥c,故D正確.2.已知a,b表示直線,α,β,γ表示