新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-4-1平面同步課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.平面(1)定義:幾何里所說(shuō)的“平面”,是從生活中的課桌面、黑板面、平靜的水面等抽象出來(lái)的.(2)本質(zhì):由點(diǎn)構(gòu)成,平的,向四周_________.無(wú)限延展2.平面的畫(huà)法(1)水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,它的銳角通常畫(huà)成45°,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖①.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用_____畫(huà)出來(lái).如圖②.虛線3.平面的表示法如圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.4.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念:如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi),就說(shuō)直線l在平面α內(nèi),或者說(shuō)平面α經(jīng)過(guò)直線l.(2)符號(hào)表示:點(diǎn)P在直線l上_____點(diǎn)P在平面α外P?α點(diǎn)P在直線l外P?l直線l在平面α內(nèi)l?α點(diǎn)P在平面α內(nèi)______直線l在平面α外l?αP∈lP∈α(3)本質(zhì):點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面是元素與集合的關(guān)系;直線與平面是集合與集合的關(guān)系.5.平面的基本事實(shí)及推論(1)基本事實(shí):基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的_______,有且只有一個(gè)平面

A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A,B,C∈α三個(gè)點(diǎn)5.平面的基本事實(shí)及推論(1)基本事實(shí):基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的_______,有且只有一個(gè)平面

A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A,B,C∈α三個(gè)點(diǎn)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)2如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)_______,那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l公共點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)(2)基本事實(shí)1的推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外_____,有且只有一個(gè)平面(圖①).推論2經(jīng)過(guò)兩條_________,有且只有一個(gè)平面(圖②).推論3經(jīng)過(guò)兩條_________,有且只有一個(gè)平面(圖③).一點(diǎn)相交直線平行直線(3)本質(zhì):基本事實(shí)是人們通過(guò)長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的,是幾何推理的基本依據(jù),進(jìn)一步研究立體幾何的基礎(chǔ).(4)應(yīng)用:基本事實(shí)1:確定平面;基本事實(shí)2:確定直線在平面內(nèi);基本事實(shí)3:確定點(diǎn)共線.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)平行四邊形就是平面. (

)(2)三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面. (

)(3)兩個(gè)平面的交線是一條線段. (

)提示:(1)×.平行四邊形表示平面,但不是平面.(2)×.不共線的三個(gè)點(diǎn)才能確定平面.(3)×.兩個(gè)平面的交線是一條直線.2.經(jīng)過(guò)圓上任意三個(gè)不同的點(diǎn)可以作出

個(gè)平面. (

)

A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)【解析】選B.當(dāng)空間中三個(gè)不同的點(diǎn)不共線時(shí),過(guò)這三個(gè)點(diǎn)能確定1個(gè)平面.所以經(jīng)過(guò)圓上任意三個(gè)不同的點(diǎn)可以作出1個(gè)平面.2.經(jīng)過(guò)圓上任意三個(gè)不同的點(diǎn)可以作出

個(gè)平面. (

)

A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)【解析】選B.當(dāng)空間中三個(gè)不同的點(diǎn)不共線時(shí),過(guò)這三個(gè)點(diǎn)能確定1個(gè)平面.所以經(jīng)過(guò)圓上任意三個(gè)不同的點(diǎn)可以作出1個(gè)平面.3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)三條直線兩兩平行,則過(guò)其中任意兩條直線最多可確定

個(gè)平面.

【解析】因?yàn)槿龡l直線兩兩平行,所以分兩種情況.①三條直線在同一平面α內(nèi),此時(shí)經(jīng)過(guò)任意兩條直線確定一個(gè)平面;②三條直線不在同一個(gè)平面內(nèi),如三棱柱三條側(cè)棱所在的直線,此時(shí)經(jīng)過(guò)任意兩條直線確定三個(gè)平面.綜上所述,可得過(guò)其中任意兩條直線最多可確定3個(gè)平面.答案:3關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一三種語(yǔ)言的簡(jiǎn)單應(yīng)用(直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.(2020·桐城高一檢測(cè))若A,B表示點(diǎn),a表示直線,α表示平面,則下列敘述中正確的是 (

)A.若A?α,B?α,則AB?αB.若A∈α,B∈α,則AB∈αC.若A?a,a?α,則AB?αD.若A∈a,a?α,則A∈α2.已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直線,P為空間中一點(diǎn).若α∩β=l,m?α,n?β,m∩n=P,則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號(hào)表示為

.

3.根據(jù)下列條件畫(huà)出圖形:平面α∩平面β=直線AB,直線a?α,直線b?β,a∥AB,b∥AB.【解析】1.選D.點(diǎn)與面的關(guān)系用符號(hào)∈,而不是?,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;直線與平面的關(guān)系用?表示,則AB∈α表示錯(cuò)誤;點(diǎn)A不在直線a上,但只要A,B都在平面α內(nèi),也存在AB?α,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;A∈a,a?α,則A∈α,所以選項(xiàng)D正確.2.因?yàn)閙?α,n?β,m∩n=P,所以P∈α,且P∈β.又α∩β=l,所以點(diǎn)P在直線l上,所以P∈l.答案:P∈l3.圖形如圖所示.【解題策略】三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.【補(bǔ)償訓(xùn)練】說(shuō)明語(yǔ)句“l(fā)?α,m∩α=A,A?l”表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,并畫(huà)出圖形.【解析】直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,圖形如圖所示.類型二點(diǎn)、線共面問(wèn)題(邏輯推理)【典例】已知直線a∥直線b,直線c與a,b分別相交于點(diǎn)A,B,求證:a,b,c三條直線共面.步驟內(nèi)容理解題意條件:a∥b,c∩a=A,c∩b=B;結(jié)論:a,b,c三線共面.思路探求先利用推理確定一個(gè)平面,再證明第三條直線也在這個(gè)平面內(nèi).書(shū)寫(xiě)表達(dá)證明:因?yàn)閍∥b,所以a,b確定一個(gè)平面α,①因?yàn)閍∩c=A,b∩c=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α,所以AB?α,即c?α,②所以a,b,c?α,所以a,b,c三條直線共面.①先確定一個(gè)平面,是證明共面問(wèn)題的常用方法;②利用基本事實(shí)證明線在平面內(nèi).題后反思利用符號(hào)語(yǔ)言證明一是符號(hào)應(yīng)用要規(guī)范;二是基本事實(shí)、推理的應(yīng)用要充分.【變式探究】本例中,將條件變?yōu)?如圖:直線AB、CD、EF兩兩平行,且分別與直線l相交于A,C,E,求證:AB,CD,EF三條直線在同一平面內(nèi).【證明】因?yàn)锳B∥CD,所以直線AB與CD確定一個(gè)平面α,因?yàn)锳∈α,C∈α,A∈l,C∈l,所以l?α.因?yàn)镋F∥CD,所以直線EF與CD確定一個(gè)平面β,因?yàn)镋∈β,C∈β,E∈l,C∈l,所以l?β.所以CD與l既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).又因?yàn)镃D∩l=C,則CD與l確定一個(gè)平面,因此α與β重合.故AB,CD,EF三條直線在同一平面內(nèi).【解題策略】證明直線共面常用的方法(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法:先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi),另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi),再證明兩個(gè)平面重合.【跟蹤訓(xùn)練】證明:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).【證明】方法一(納入法):因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α,所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二(重合法):因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1,l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以l2,l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2,l2?α,所以A∈α.因?yàn)锳∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題(邏輯推理)角度1點(diǎn)共線

【典例】如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面α相交于點(diǎn)E,G,H,F.求證:E,F,G,H四點(diǎn)必定共線.【思路導(dǎo)引】證明E,F,G,H四點(diǎn)是兩個(gè)面的公共點(diǎn).【證明】因?yàn)锳B∥CD,所以AB,CD確定一個(gè)平面β.又因?yàn)锳B∩α=E,AB?β,所以E∈α,E∈β,即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn).同理可證F,G,H均為平面α與β的公共點(diǎn).因?yàn)閮蓚€(gè)平面有公共點(diǎn),它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線,所以E,F,G,H四點(diǎn)必定共線.角度2線共點(diǎn)

【典例】求證:三棱臺(tái)A1B1C1-ABC三條側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn).【思路導(dǎo)引】先說(shuō)明兩條直線交于一點(diǎn),再證明該點(diǎn)在第三條直線上.【證明】延長(zhǎng)AA1,BB1,設(shè)AA1∩BB1=P,又BB1?平面BC1,所以P∈平面BC1,AA1?平面AC1,所以P∈平面AC1,所以P為平面BC1和平面AC1的公共點(diǎn),又因?yàn)槠矫鍮C1∩平面AC1=CC1,所以P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P.【解題策略】證明三線共點(diǎn)常用的方法(1)先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn),然后說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi).于是該點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上,從而得到三線共點(diǎn).(2)說(shuō)明a,b相交于一點(diǎn)A,b與c相交于一點(diǎn)B,再說(shuō)明A,B是同一點(diǎn),從而得到a,b,c三線共點(diǎn).【題組訓(xùn)練】1.已知α,β,γ是三個(gè)平面,且α∩β=c,β∩γ=a,α∩γ=b,且a∩b=O.求證:a,b,c三線共點(diǎn).【證明】因?yàn)閍∩b=O,所以O(shè)∈a,O∈b,又因?yàn)棣隆搔?a,α∩γ=b,所以O(shè)∈β,O∈α,因?yàn)棣痢搔?c,所以O(shè)∈c,所以a,b,c三線共點(diǎn).2.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.【證明】因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈α,P∈AB,而AB?平面ABC,則P∈平面ABC;同理可得R∈α,R∈平面ABC;Q∈α,Q∈平面ABC,所以P,Q,R在平面α與平面ABC的交線上.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.平面數(shù)學(xué)抽象：用符號(hào)語(yǔ)言描述點(diǎn)、線、面位置關(guān)系邏輯推理：用平面的基本事實(shí)及推論解決有關(guān)問(wèn)題方法總結(jié)核心知識(shí)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系符號(hào)概念基本事實(shí)1.確定平面的依據(jù)3.兩平面相交的依據(jù)2.直線在平面內(nèi)的依據(jù)相交直線平行直線直線與直線外一點(diǎn)1.三點(diǎn)都在兩平面的交線上點(diǎn)共線共面線共點(diǎn)（歸一法）:先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明其余直線都過(guò)這點(diǎn)2.一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)確定的直線上注意用符號(hào)正確表示點(diǎn)、線、面位置關(guān)系1.先證點(diǎn)或線確定平面，再證其他點(diǎn)線也在這個(gè)平面上2.先說(shuō)明點(diǎn)線確定平面，再說(shuō)明其他點(diǎn)線確定平面，證明兩平面重合推論課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.(2020·寧德高一檢測(cè))當(dāng)我們停放自行車時(shí),只要將自行車旁的撐腳放下,自行車就穩(wěn)了,這用到了 (

)A.三點(diǎn)確定一平面B.不共線三點(diǎn)確定一平面C.兩條相交直線確定一平面D.兩條平行直線確定一平面【解析】選B.自行車前后輪與撐腳分別接觸地面,此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上,所以可以確定一個(gè)平面,即地面,從而使得自行車穩(wěn)定.2.下列圖形中,滿足α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB的圖形是 (

)【解析】選C.可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)及直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.3.若直線l上有兩個(gè)點(diǎn)在平面α外,則 (

)A.直線l上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)B.直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)C.直線l上所有點(diǎn)都在平面α外D.直線l上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)【解析】選D.由已知得直線l?α,故直線l上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi).4.下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面,其中畫(huà)法正確的是 (

)【解析】選D.畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí),被遮住的部分用虛線表示.5.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖,已知直線PM∥QN,PM,QN分別與平面α交于M,N,直線PQ交平面α于A點(diǎn).求證:M,N,A三點(diǎn)在同一條直線上.【證明】因?yàn)镻M∥QN,所以點(diǎn)P,M,N,Q共面,因?yàn)镻M,QN分別與平面α交于M,N,所以平面PMNQ∩平面α=MN,因?yàn)橹本€PQ交平面α于A點(diǎn),所以A∈PQ,且A∈平面α,所以A∈MN,所以M,N,A三點(diǎn)在同一條直線上.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞5.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖,已知直線PM∥QN,PM,QN分別與平面α交于M,N,直線PQ交平面α于A點(diǎn).求證:M,N,A三點(diǎn)在同一條直線上.3.若直線l上有兩個(gè)點(diǎn)在平面α外