高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過（4）：三角函數(shù)

高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過（四）第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．角的分類(1)任意角可按旋轉(zhuǎn)方向分為①________、②________、③________.(2)按終邊位置可分為④________和終邊在坐標(biāo)軸上的角．(3)與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)可以用一個(gè)式子來表示，即β＝⑤________________.2．象限角第一象限角的集合⑥________________________第二象限角的集合⑦_(dá)_______________________第三象限角的集合⑧________________________第四象限角的集合⑨________________________3.角的度量(1)弧度制：把等于⑩________長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．(2)角的度量制有：?________制，?________制．(3)換算關(guān)系：1°＝?________rad,1rad＝?________.(4)弧長(zhǎng)及扇形面積公式：弧長(zhǎng)公式為?________，扇形面積公式為?________________________.4．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么?________叫做α的正弦，記作sinα?________叫做α的余弦，記作cosα?________叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ?________eq\o(○,\s\up1(21))________eq\o(○,\s\up1(22))________Ⅱeq\o(○,\s\up1(23))________eq\o(○,\s\up1(24))________eq\o(○,\s\up1(25))________Ⅲeq\o(○,\s\up1(26))________eq\o(○,\s\up1(27))________eq\o(○,\s\up1(28))________Ⅳeq\o(○,\s\up1(29))________eq\o(○,\s\up1(30))________eq\o(○,\s\up1(31))________口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數(shù)線有向線段eq\o(○,\s\up1(32))________為正弦線有向線段eq\o(○,\s\up1(33))________為余弦線有向線段eq\o(○,\s\up1(34))________為正切線二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．易混概念：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．利用180°＝πrad進(jìn)行互化時(shí)，易出現(xiàn)度量單位的混用．3．三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).三、技法1.終邊在某直線上角的求法4步驟(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線；(2)按逆時(shí)針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角；(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；(4)求并集化簡(jiǎn)集合．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置3步驟(1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；(2)再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍；(3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置.3.應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.4.三角函數(shù)定義應(yīng)用策略(1)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，可直接根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．(3)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義的推廣形式求解．(4)已知角α的某三角函數(shù)值(含參數(shù))或角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)(含參數(shù))，可根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程求參數(shù)值．(5)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．5．三角函數(shù)值符號(hào)的記憶口訣一全正、二正弦、三正切、四余弦．6．三角函數(shù)線的兩個(gè)主要應(yīng)用(1)三角式比較大小．(2)解三角不等式(方程).參考答案①正角②負(fù)角③零角④象限角⑤k·360°＋α(k∈Z)⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}⑦{α|2kπ＋eq\f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z}⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}⑨{α|2kπ＋eq\f(3π,2)＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}⑩半徑?角度?弧度?eq\f(π,180)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°?l＝|α|r?S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2?y?x?eq\f(y,x)?正eq\o(○,\s\up1(21))正eq\o(○,\s\up1(22))正eq\o(○,\s\up1(23))正eq\o(○,\s\up1(24))負(fù)eq\o(○,\s\up1(25))負(fù)eq\o(○,\s\up1(26))負(fù)eq\o(○,\s\up1(27))負(fù)eq\o(○,\s\up1(28))正eq\o(○,\s\up1(29))負(fù)eq\o(○,\s\up1(30))正eq\o(○,\s\up1(31))負(fù)eq\o(○,\s\up1(32))MPeq\o(○,\s\up1(33))OMeq\o(○,\s\up1(34))AT第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：①________________.(2)商數(shù)關(guān)系：②________________.2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα③______④______⑤______⑥______⑦_(dá)_____余弦cosα⑧______⑨______⑩______?______?______正切tanα?______?______?______3.特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度數(shù)0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinα?___?____eq\f(\r(2),2)?____1?____?____0cosαeq\o(○,\s\up1(21))___eq\o(○,\s\up1(22))____eq\f(\r(2),2)eq\o(○,\s\up1(23))____0eq\o(○,\s\up1(24))____eq\o(○,\s\up1(25))____－1tanαeq\o(○,\s\up1(26))___eq\o(○,\s\up1(27))____1eq\o(○,\s\up1(28))____eq\o(○,\s\up1(29))____eq\o(○,\s\up1(30))____0二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)．2．注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．三、技法1.利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟2．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的要求(1)化簡(jiǎn)過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的求出值.3.同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．(2)由一個(gè)角的任意一個(gè)三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號(hào)，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論.4.已知角α的正切值，求由sinα和cosα構(gòu)成的代數(shù)式的值，構(gòu)成的代數(shù)式通常是分式齊次式或整式齊次式．(1)形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)的分式，可將分子、分母同時(shí)除以cosα；形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，可將分子、分母同時(shí)除以cos2α，將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值．(2)形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可將其看成分母為1的分式，再將1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的分式求解.5.在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中，sin2α＋cos2α＝1可變換成(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1，其中sinα＋cosα與sinα·cosα很容易與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系產(chǎn)生聯(lián)系．若以sinα，cosα為兩根構(gòu)造一元二次方程，則可利用上述關(guān)系解決相關(guān)問題．如本題中，易知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－eq\f(1,5)x－eq\f(12,25)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解方程可求出sinθ和cosθ.6.同角三角函數(shù)式化簡(jiǎn)過程中常用的方法：(1)對(duì)于含有根號(hào)的，常把被開方數(shù)(式)去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(3)對(duì)于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.參考答案①sin2α＋cos2α＝1②tanα＝eq\f(sinα,cosα)③－sinα④－sinα⑤sinα⑥cosα⑦cosα⑧－cosα⑨cosα⑩－cosα?sinα?－sinα?tanα?－tanα?－tanα?0?eq\f(1,2)?eq\f(\r(3),2)?eq\f(\r(3),2)?eq\f(1,2)eq\o(○,\s\up1(21))1eq\o(○,\s\up1(22))eq\f(\r(3),2)eq\o(○,\s\up1(23))eq\f(1,2)eq\o(○,\s\up1(24))－eq\f(1,2)eq\o(○,\s\up1(25))－eq\f(\r(3),2)eq\o(○,\s\up1(26))0eq\o(○,\s\up1(27))eq\f(\r(3),3)eq\o(○,\s\up1(28))eq\r(3)eq\o(○,\s\up1(29))－eq\r(3)eq\o(○,\s\up1(30))－eq\f(\r(3),3)第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．周期函數(shù)(1)周期函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有①________________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．②________________叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期，如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)③________________，那么這個(gè)④________________就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域⑤____________⑥____________⑦_(dá)_________單調(diào)性⑧______________上遞增，k∈Z；⑨______________上遞減，k∈Z⑩______________上遞增，k∈Z；?______________上遞減，k∈Z?____________上遞增，k∈Z最值x＝?__________時(shí)，ymax＝1(k∈Z)；x＝?__________時(shí)，ymin＝－1(k∈Z)x＝?________時(shí)，ymax＝1(k∈Z)；x＝?________時(shí)，ymin＝－1(k∈Z)無最值奇偶性?________?________?________對(duì)稱性對(duì)稱中心：?______________對(duì)稱中心：eq\o(○,\s\up1(21))____________對(duì)稱中心：eq\o(○,\s\up1(22))__________對(duì)稱軸l：eq\o(○,\s\up1(23))______________對(duì)稱軸l：eq\o(○,\s\up1(24))____________無周期性eq\o(○,\s\up1(25))____________eq\o(○,\s\up1(26))____________eq\o(○,\s\up1(27))____________二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“∪”聯(lián)結(jié)．2．研究三角函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱中心、奇偶性及對(duì)稱軸時(shí)易受基本函數(shù)影響，遺漏問題的多解，同時(shí)也可能忽視“k∈Z”這一條件．三、技法1.求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域的基本方法是“數(shù)形結(jié)合”，也就是在求這類函數(shù)定義域時(shí)，往往需要解有關(guān)的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲線，正切曲線，要么利用單位圓等圖形的直觀形象來解決問題.2.三角函數(shù)最值或值域的三種求法(1)直接法：利用sinx，cosx的值域．(2)化一法：化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域．(3)換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求給定區(qū)間上的值域(最值)問題.3.奇偶性與周期性的判斷方法(1)奇偶性：由正、余弦函數(shù)的奇偶性可判斷y＝Asinωx和y＝Acosωx分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)．(2)周期性：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為eq\f(2π,ω)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為eq\f(π,ω)求解．4．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.參考答案①f(x＋T)＝f(x)②T③最小正數(shù)④最小正數(shù)⑤{y|－1≤y≤1}⑥{y|－1≤y≤1}⑦R⑧eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))⑨eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))⑩[(2k－1)π，2kπ]?[2kπ，(2k＋1)π]?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))?eq\f(π,2)＋2kπ?－eq\f(π,2)＋2kπ?2kπ?π＋2kπ?奇函數(shù)?偶函數(shù)?奇函數(shù)?(kπ，0)，k∈Zeq\o(○,\s\up1(21))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\o(○,\s\up1(22))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Zeq\o(○,\s\up1(23))x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zeq\o(○,\s\up1(24))x＝kπ，k∈Zeq\o(○,\s\up1(25))2πeq\o(○,\s\up1(26))2πeq\o(○,\s\up1(27))π第四節(jié)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及簡(jiǎn)單三角函數(shù)模型的應(yīng)用一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的步驟2．用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)．如下表所示．x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ⑦_(dá)___⑧____⑨____eq\o(○,\s\up1(10))____?____y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.簡(jiǎn)諧振動(dòng)y＝Asin(ωx＋φ)中的有關(guān)物理量y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相AT＝?____f＝?______＝?______ωx＋φφ二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．函數(shù)圖象變換要明確，要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象．2．要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)．3．由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，而不是|φ|.三、技法1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種作法五點(diǎn)法設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象圖象變換法由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”[提醒]平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值.2.確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步驟(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法有①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口.3.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)具有周期性，其最小正周期為T＝eq\f(2π,ω).(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ(ω＞0)的單調(diào)性來研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)增區(qū)間；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)減區(qū)間．(4)對(duì)稱性：利用y＝sinx的對(duì)稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得對(duì)稱中心坐標(biāo)．利用y＝sinx的對(duì)稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其對(duì)稱軸方程.參考答案①|(zhì)φ|②eq\f(1,ω)③eq\f(1,ω)④eq\f(|φ|,ω)⑤A⑥A⑦0⑧eq\f(π,2)⑨π⑩eq\f(3π,2)?2π?eq\f(2π,ω)?eq\f(1,T)?eq\f(ω,2π)第五節(jié)三角恒等變換一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式名稱公式簡(jiǎn)記符號(hào)使用條件兩角和的余弦cos(α＋β)＝①________________C(α＋β)α，β∈R兩角差的余弦cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α－β)兩角和的正弦sin(α＋β)＝②____________S(α＋β)α，β∈R兩角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α－β)兩角和的正切tan(α＋β)＝③______________T(α＋β)α，β，α＋β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝④______________T(α－β)α，β，α－β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2αsin2α＝⑤____________C2αcos2α＝⑥____________T2αtan2α＝⑦_(dá)___________3.與二倍角有關(guān)的公式變形(1)2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α.(2)1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.(3)降冪公式：cos2α＝⑧________________.sin2α＝⑨________________.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．實(shí)施簡(jiǎn)單的三角恒等變換首先要準(zhǔn)確記憶相關(guān)的三角公式．由于本章三角公式多，記錯(cuò)、記混三角公式是屢見不鮮的．2．凡是涉及“開平方”的問題，必須注意符號(hào)的選取，而符號(hào)的選取最終取決于角的范圍．如果不能確定，則要進(jìn)行分類討論，防止丟解．三、技法1.三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”．(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.2.三角函數(shù)公式活用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用3.利用角的變換求三角函數(shù)值的策略(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，一般把“所求角”表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(3)常見的角變換技巧：α＝2·eq\f(α,2)；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；β＝eq\f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).(4)特殊角的拆分：eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)＋eq\f(π,4)，eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,6)，eq\f(π,12)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,4).4.(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則(2)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．如“考點(diǎn)一”第2題.5.三角函數(shù)求值的3類求法(1)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(2)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.6.求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式．(2)利用公式T＝eq\f(2π,ω)(ω＞0)求周期．(3)根據(jù)自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值．(4)根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調(diào)區(qū)間.特別注意：常見方法與技巧：1．巧用公式變形：和差角公式變形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1?tanx·tany)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方變形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).2．重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危д`與防范：1．運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通．2．在三角函數(shù)求值時(shí)，一定不要忽視題中給出的或隱含的角的范圍．參考答案①cosαcosβ－sinαsinβ②sinαcosβ＋cosαsinβ③eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)④eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)⑤2sinαcosα⑥cos2α－sin2α⑦eq\f(2tanα,1－tan2α)⑧eq\f(1＋cos2α,2)⑨eq\f(1－cos2α,2)第六節(jié)正弦定理和余弦定理一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．正弦定理①____________________，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：(1)abc＝②______________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，③________；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝④________等形式，以解決不同的三角形問題．2．余弦定理a2＝⑤________________，b2＝⑥____________________，c2＝⑦_(dá)_______________________.余弦定理可以變形為：cosA＝⑧________________，cosB＝⑨____________________，cosC＝⑩________________.3．三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽視解的判斷．2．在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．三、技法1.解三角形(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.2.應(yīng)用正、余弦定理轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系的技巧技巧解讀邊化角將表達(dá)式中的邊利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化為角的關(guān)系．角化邊將表達(dá)式中的角利用公式轉(zhuǎn)化為邊，出現(xiàn)角的正弦值用正弦定理轉(zhuǎn)化．和積互化a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可聯(lián)系已知條件，利用方程思想進(jìn)行求解三角形的邊3.利用正、余弦定理判斷三角形形狀的基本方法(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的