高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過（7）：不等式

高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過（七）：不等式第一節(jié)不等關(guān)系與不等式一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?①________.(2)a＝b?a－b＝0.(3)a<b?②________.2．不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a>b?③________.(雙向性)(2)傳遞性：a>b，b>c?④________.(單向性)(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.(雙向性)(4)同向可加性：a>b，c>d?⑤________.(單向性)(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc.(6)a>b>0，c>d>0?⑥________.(單向性)(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)．(單向性)(8)開方法則：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．(單向性)3．倒數(shù)性質(zhì)(1)ab>0，則a<b?eq\f(1,a)>eq\f(1,b).(雙向性)(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4．有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．在應(yīng)用傳遞性時(shí)，注意等號是否傳遞下去，如a≤b，b<c?a<c.2．在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，例如當(dāng)c≠0時(shí)，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個(gè)條件，a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時(shí)，取“＝”)．三、技法1.用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲2.不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的3大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大?。煊洸坏仁叫再|(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．(2)與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用．(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.3.利用不等式性質(zhì)求范圍(1)此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍．(2)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍.參考答案①a－b>0②a－b<0③b<a④a>c⑤a＋c>b＋d⑥ac>bd第二節(jié)一元二次不等式及其解法一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次項(xiàng)(最高次項(xiàng))系數(shù)不等于0.2．一元二次不等式的解法判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩不等實(shí)根x1，x2，(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①____________②____________③____________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集④____________⑤____________⑥____________二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式．2．當(dāng)Δ<0時(shí)，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R還是?.三、技法1.解一元二次不等式的4個(gè)步驟2.含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向．(2)討論判別式的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大?。?4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤04.形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立問題的求解思路(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，讓最值大于等于或小于等于0，從而求出參數(shù)的范圍；(2)數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)在端點(diǎn)a，b處的取值特點(diǎn)確定不等式求參數(shù)的取值范圍.5.已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法．把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量，得到一個(gè)新的函數(shù)，然后利用新函數(shù)求解.參考答案①{x|x＜x1或x＞x2}②{x|x≠x1}③R④{x|x1＜x＜x2}⑤?⑥?第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題一、必記6個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．二元一次不等式表示平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線Ax＋By＋C＝0分成三類：(1)滿足Ax＋By＋C＝0的點(diǎn)．(2)滿足Ax＋By＋C>0的點(diǎn)．(3)滿足Ax＋By＋C<0的點(diǎn)．2．二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法直線l：Ax＋By＋C＝0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分為兩部分，當(dāng)點(diǎn)在直線l的同一側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符號，當(dāng)點(diǎn)在直線l的兩側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)使Ax＋By＋C的值具有相反的符號．3．線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝x＋2y線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題4.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域(1)直線定界：不等式中無等號時(shí)直線畫成虛線，有等號時(shí)直線畫成實(shí)線．(2)特殊點(diǎn)定域：若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗(yàn)證．5．利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)τ贏x＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有(1)當(dāng)B(Ax＋By＋C)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的上方．(2)當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的下方．6．最優(yōu)解和可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè)．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)．2．線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè)，也可能有無數(shù)多個(gè)，也可能沒有．三、技法1.平面區(qū)域面積問題的解題思路(1)求平面區(qū)域的面積：①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；②對平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解．若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可．(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.2.求目標(biāo)函數(shù)的最值3步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線；(2)平移——將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)的位置；(3)求值——解方程組求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值．3．常見的3類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如z＝ax＋by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通過求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).[提醒]注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義.4.解線性規(guī)劃應(yīng)用題3步驟(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．(2)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題．(3)作答——將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實(shí)際問題的答案．5．求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號．(2)注意結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負(fù)數(shù)等．(3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式.第四節(jié)基本不等式一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：①________.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)②________時(shí)取等號．(3)兩個(gè)平均數(shù)：eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的③________，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的④________.2．幾個(gè)重要不等式(1)a2＋b2≥⑤________(a，b∈R)．(2)ab≤⑥________(a，b∈R)．(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤⑦_(dá)_______(a，b∈R)．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥⑧________(a·b＞0)．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．3．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)⑨________時(shí)，x＋y有最小值是⑩________(簡記：“積定和最小”)．(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)?________時(shí)，xy有最大值是?________(簡記：“和定積最大”)．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件．2．多次使用基本不等式時(shí)，易忽視取等號的條件的一致性．三、技法1.配湊法的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；變形的目的是配湊出和或積為定值．2.常值代換法：根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))，再把其變形為1，再把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式．3.消元法：根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.4.利用基本不等式證明不等式時(shí)，要先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之轉(zhuǎn)化為能使用基本不等式的形式；若題目中還有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換，另外，解題時(shí)要時(shí)刻注意等號能否取到.5.利用基本不等式求解含參數(shù)的不等式的策略(1)觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．(2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時(shí)，往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化.參考答案①a＞0，b＞0②a＝b③算術(shù)平均數(shù)④幾何平均數(shù)⑤2ab⑥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2⑦eq\f(a2＋b2,2)⑧2⑨x＝y(tǒng)⑩2eq\r(p)?x＝y(tǒng)?eq\f(s2,4)第五節(jié)合情推理與演繹推理必記知識(shí)點(diǎn)二、必明1個(gè)易誤點(diǎn)演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．技法在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：①找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；②找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等.歸納推理問題的常見類型及解題策略常見類型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解與式子有關(guān)的推理觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，找到規(guī)律后可解與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡赃\(yùn)用三段論時(shí)的注意事項(xiàng)用三段論寫演繹推理的過程，關(guān)鍵是明確大前提、小前提，大前提提供了一個(gè)一般性的原理，在演繹推理的過程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一個(gè)特殊情況，只有將二者結(jié)合起來才能得到完整的三段論．一般地，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.參考答案=1\*GB3①歸納推理②全部對象③部分④個(gè)別⑤類比推理⑥這些特征⑦由特殊到特殊⑧一般原理⑨對象⑩特殊問題?一般?特殊第六節(jié)直接證明與間接證明一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．綜合法一般地，利用①______________________，經(jīng)過一系列的②________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)2．分析法一般地，從要③________出發(fā)，逐步尋求使它成立的④________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明的方法叫做分析法．用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個(gè)明顯成立的條件)3．反證法一般地，假設(shè)⑤____________，經(jīng)過正確的推理，最后得出⑥________，因此說明⑦_(dá)_______，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立．2．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的．三、技法1.利用分析法證明問題的思路分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．2．分析法證明問題的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，常考慮用分析法.4.反證法證明問題的一般步驟(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立．(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾．(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)參考答案=1\*GB3①已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等②推理論證③證明的結(jié)論④充分條件⑤原命題不成立⑥矛盾⑦假設(shè)錯(cuò)誤第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．歸納法由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為②________歸納法和③________歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法：一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命