第二章-測量誤差和測量結(jié)果處理(完整版)(傳感器)

第二章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1誤差2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成2.7測量數(shù)據(jù)的處理

2.1誤差測量：是以確定被測對象的量值為目標(biāo)而進行的一組操作。是把未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)量進行比對的過程。

只要有測量就必然存在誤差。

誤差存在原因：（1）檢測系統(tǒng)(儀表)不可能絕對精確；（2）測量原理的局限；（3）測量方法的不盡完善；（4）環(huán)境因素和外界干擾的存在；（5）測量過程可能會影響被測對象的原有狀態(tài)等使得測量結(jié)果不能準(zhǔn)確地反映被測量的真值而存在一定的偏差，這個偏差就是測量誤差。一、誤差1．真值A(chǔ)0

一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。電流單位安培，簡稱安，符號是:A.它的定義是：1安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距1米的兩無限長，而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力在每米長度上等于2×10-7牛頓。

真值A(chǔ)0純理論的物理量的真值實際上是無法測得的。

2．指定值A(chǔ)s

（約定真值）

由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值。指定值也叫約定真值，一般就用來代替真值，其值被公認(rèn)為國際或國家基準(zhǔn)。國際單位制的長度單位“米”(meter,metre)起源于法國。1790年5月由法國科學(xué)家組成的特別委員會，建議以通過巴黎的地球子午線全長的四千萬分之一作為長度單位──米，1791年獲法國國會批準(zhǔn)。為了制造出表征米的量值的基準(zhǔn)器，在法國天文學(xué)家捷梁布爾和密伸的領(lǐng)導(dǎo)下，于1792～1799年，對法國敦克爾克至西班牙的巴塞羅那進行了測量。1799年根據(jù)測量結(jié)果制成一根3．5毫米×25毫米短形截面的鉑桿(platinummetrebar)，以此桿兩端之間的距離定為1米，并交法國檔案局保管，所以也稱為“檔案米”。這就是最早的米定義。

3．實際值A(chǔ)（相對真值）

由于無法直接和國家標(biāo)準(zhǔn)比對，在量值傳遞中，高一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，即實際值，亦稱相對真值。在實際測量中代替真值。如果更高一級測量儀器的誤差為本級測量儀器誤差1/3-1/10，就可以認(rèn)為前者是后者的相對真值。

4．標(biāo)稱值計量或測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值（測量工具定度的精度）。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。(如游標(biāo)卡尺、螺旋測微器)5．示值（測量值或讀數(shù)）由測量器具或檢測儀器（或系統(tǒng)）指示或顯示的被測參量的數(shù)值叫示值，也叫測量值或讀數(shù)，它包括數(shù)值和單位。一般地說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。對于數(shù)字顯示儀表，通常示值與讀數(shù)是統(tǒng)一的。6．測量誤差測得值與被測量真值之間的差值。在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確、測量手段不完善、環(huán)境影響、各種人為因素等，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。所以，人們只能根據(jù)需要和可能，將誤差限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。

沃納·卡爾·海森堡：德國物理學(xué)家（1901—1976）。海森堡于1927年提出“不確定性”，闡明了我們科學(xué)度量的能力在理論上存在的某些局限性，如果一個科學(xué)家用物理學(xué)基本定律甚至在最理想的情況下也不能獲得有關(guān)他正在研究的體系的準(zhǔn)確知識，那么就顯然表明該體系的將來行為是不能完全預(yù)測出來的。根據(jù)測不準(zhǔn)原理，不管對測量儀器做出何種改進都不可能會使我們克服這個困難！對某些成對的物理變量，例如位置和動量，永遠是互相影響的。雖然都可以測量，但不可能同時得出精確值。

“不確定性”適用于一切宏觀和微觀現(xiàn)象，但它的有效性通常只限于微觀物理學(xué)。由于在取得整個科學(xué)史上的最重要的成就之──量子力學(xué)的創(chuàng)立中所起的作用1932年獲諾貝爾物理學(xué)獎。著有《量子論的物理原理》、《原子核物理學(xué)》等。

測不準(zhǔn)原理（Uncertaintyprinciple），又稱“不確定性原理”、“不確定關(guān)系”，是量子力學(xué)的一個基本原，本身為傅立葉變換導(dǎo)出的基本關(guān)系。該原理表明：一個微觀粒子的某些物理量（如位置和動量，或方位角與動量矩，還有時間和能量等），不可能同時具有確定的數(shù)值，其中一個量越確定，另一個量的不確定程度就越大。測量一對共軛量的誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的乘積必然大于常數(shù)h/2π（h是普朗克常數(shù)）,是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微觀粒子運動的基本規(guī)律——以共軛量為自變量的概率幅函數(shù)（波函數(shù)）構(gòu)成傅立葉變換對；以及量子力學(xué)的基本關(guān)系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理學(xué)中又一條重要原理。研究誤差的目的在于：1、正確認(rèn)識誤差產(chǎn)生的原因和性質(zhì)，以減小測量誤差。2、正確處理測量數(shù)據(jù)，得到接近真值的結(jié)果。3、合理地制定測量方案，組織科學(xué)實驗，正確地選擇測量方法和測量儀器，在條件允許的情況下得到理想的測量結(jié)果。4、在設(shè)計儀器時，由于理論不完善，如采用近似公式、忽略微小因素的作用等，從而導(dǎo)致儀器原理設(shè)計誤差，它必然影響測量的準(zhǔn)確性。因此在設(shè)計時，必須要用誤差理論進行分析并適當(dāng)控制這些誤差因素，使儀器的測量準(zhǔn)確度達到設(shè)計要求。7．單次測量和多次測量單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。在測量精度要求不高的場合，可以進行單次測量。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。多次測量是用測量儀器對同一被測量進行多次重復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進行多次測量，如儀表的比對、校準(zhǔn)等。8.精度測量儀器的讀數(shù)或測量結(jié)果與被測量真值相一致的程度。

精度高，表明誤差??；精度低，表明誤差大。因此，精度不僅用來評價測量儀器的性能，也是評定測量結(jié)果最主要最基本的指標(biāo)。

精度又可用精密度、正確度和準(zhǔn)確度三個指標(biāo)加以表征。

(1)精密度精密度說明儀表指示值的分散性，表示在同一測量條件下對同一被測量進行多次測量時，得到的測量結(jié)果的分散程度。

它反映了隨機誤差的影響。精密度高意味著隨機誤差小，測量結(jié)果的重復(fù)性好。比如某電壓表的精密度為0.1V，即表示用它對同一電壓進行測量時，得到的各次測量值的分散程度在-0.1V~0.1V之間。

(2)正確度

正確度說明儀表指示值與真值的接近程度。所謂真值是指待測量在特定狀態(tài)下所具有的真實值的大小。正確度反映了系統(tǒng)誤差的影響。正確度高則說明系統(tǒng)誤差小，比如某電壓表的正確度是0.1V，則表明用該電壓表測量電壓時的指示值與真值之差不大于0.1V。

(3)準(zhǔn)確度()

準(zhǔn)確度是精密度和正確度的綜合反映。準(zhǔn)確度高，說明精密度和正確度都高，也就意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，因而最終測量結(jié)果的可信賴度也高。

在具體的測量實踐中，可能會有這樣的情況：正確度較高而精密度較低，或者情況相反，相當(dāng)精密但欠正確。當(dāng)然理想的情況是既正確，又精密，即測量結(jié)果準(zhǔn)確度高。要獲得理想的結(jié)果，應(yīng)滿足三個方面的條件：即性能優(yōu)良的測量儀器、正確的測量方法和正確細(xì)心的測量操作。為了加深對精密度、正確度和準(zhǔn)確度三個概念的理解，可以以射擊打靶為例加以比喻。

用射擊比喻測量以靶心比作被測量真值，以靶上的彈著點表示測量結(jié)果。其中圖(a)彈著點分散而偏斜，對應(yīng)測量中既不精密，也不正確，即準(zhǔn)確度很低。圖(b)彈著點仍較分散，但總體而言大致都圍繞靶心，屬于正確而欠精密。圖(c)彈著點密集但明顯偏向一方，屬于精密度高而正確度差。圖(d)彈著點相互很接近且都圍繞靶心，屬于既精密又正確因而準(zhǔn)確度很高的情況。

二、誤差的表示方法

1．絕對誤差絕對誤差定義為

式中△x為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用指定值（約定真值）代替A0

，

也可用由高精度標(biāo)準(zhǔn)器所測得的實際值（相對真值）代替。因而絕對誤差更有實際意義的定義是

對于絕對誤差，應(yīng)注意下面幾個特點：

①絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值量綱相同。②絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值。 ③絕對誤差體現(xiàn)了測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向。

④對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為

式中A為實際值，x為供給量的指示值(標(biāo)稱值)。與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示

測量儀器的修正值，可通過檢定，由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測量的實際值注：

1、前提條件：隨機誤差已被低償或忽略隨機誤差對測量結(jié)果產(chǎn)生影響。

2、上式表明：可以修正系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果產(chǎn)生的影響。

例如由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值為－0.02mA，那么被測電流的實際值為在自動測量儀器中，修正值還可以先編成程序儲存在儀器中，測量時儀器可以對測量結(jié)果自動進行修正。

絕對誤差與被測量的真值之比，稱為相對誤差(或稱為相對真誤差)，用γ表示為

γ=

×100％

相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。一般來說相對誤差值越小，其測量精度就越高。

（1）相對真誤差2、相對誤差

(2)實際相對誤差實際相對誤差定義為

(3)示值相對誤差示值相對誤差也叫標(biāo)稱相對誤差，定義為

如果測量誤差不大，可用示值相對誤差代替實際相對誤差，但若相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。

(4)滿度相對誤差

在連續(xù)刻度的儀表中，用相對誤差來表示整個量程內(nèi)儀表的準(zhǔn)確程度就有些不便。因為使用這種儀表時，在某一測量量程內(nèi)，隨著被測量的不同，求得的相對誤差也將隨著改變。滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差

與測量儀器滿度值(量程上限值)的百分比值

滿度相對誤差也叫作滿度誤差和引用誤差。通過滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值

我國常用電工儀表的準(zhǔn)確度等級（精度等級

）S就是按滿度誤差分級的，分為：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0七級。若某儀表的準(zhǔn)確度等級為S，它的滿度相對誤差不會超過S%，即

儀表精度等級的數(shù)字愈小，儀表的精度愈高。如0.5級的儀表精度優(yōu)于1.0級儀表，而劣于0.2級儀表。

值得注意的是：精度等級高低僅說明該檢測儀表的滿度誤差最大值的大小，它決不意味著該儀表某次實際測量中出現(xiàn)的具體誤差值是多少。檢測儀器（系統(tǒng)）精度等級的確定按選大不選小的原則套用標(biāo)準(zhǔn)化精度等級值。[例1]量程為0～1000V的數(shù)字電壓表，如果其整個量程中最大絕對誤差為1.05V，則有

由于0.105不是標(biāo)準(zhǔn)化精度等級值，因此該儀器需要就近套用標(biāo)準(zhǔn)化精度等級值。0.105位于0.1級和0.2級之間，盡管該值與0.1更為接近，但按選大不選小的原則該數(shù)字電壓表的精度等級G應(yīng)為0.2級。

[例2]某儀表的精度等級是S，它的滿度值為Xm,被測量的實際值為A,求（1）測量的絕對誤差（2）測量的實際相對誤差[例3]某電壓表s＝1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對誤差。解：在0V～l00V量程內(nèi)上限值xm＝100V，得到

一般講，測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等，但對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于△xm，這種處理叫作誤差的整量化。給出了儀表的等級精度和滿度值，實質(zhì)上給出了絕對誤差測量中所用儀表的準(zhǔn)確度不等于測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值等于滿度值時才相等，否則測量值的準(zhǔn)確度數(shù)值低于儀表準(zhǔn)確度等級的一般情況下，對于線性刻度類儀器，選擇量程時應(yīng)使指針盡可能接近滿度值，可以減小測量中的實際相對誤差，最好能工作在（2／3——1）的滿度值范圍內(nèi)。1.結(jié)構(gòu)螺旋彈簧IINS指針永久磁鐵圓柱形鐵心O'O線圈(1)固定部分馬蹄形永久磁鐵、極掌N、S極、圓柱形鐵心、表盤等。(2)可動部分鋁框及線圈，兩根半軸O和O

，螺旋彈簧及指針。

極掌與鐵心之間的空氣隙的長度是均勻的，其中產(chǎn)生均勻的輻射方向的磁場。磁電式儀表結(jié)構(gòu)2.工作原理(1)轉(zhuǎn)動力矩T的產(chǎn)生(2)反作用力矩TC的產(chǎn)生

在線圈和指針轉(zhuǎn)動時，螺旋彈簧被扭緊而產(chǎn)生反作用力矩TC。

線圈受到的轉(zhuǎn)矩T=k1IFSNF

線圈通入電流

電磁力

F

線圈受到轉(zhuǎn)矩T

線圈和指針轉(zhuǎn)動，

彈簧的TC與指針的偏轉(zhuǎn)角

成正比，即

TC=k2

當(dāng)線圈受到的轉(zhuǎn)矩T與彈簧的反作用力矩TC達到平衡時，可動部分停止轉(zhuǎn)動，此時有T=TC

儀表的標(biāo)度尺上作均勻刻度。

即指針的偏轉(zhuǎn)角

結(jié)論:

指針偏轉(zhuǎn)的角度與流經(jīng)線圈的電流成正比。

3.阻尼力矩的產(chǎn)生當(dāng)線圈通入電流而發(fā)生偏轉(zhuǎn)時，鋁框切割磁通，在框內(nèi)感應(yīng)出電流，其電流再與磁場作用，產(chǎn)生與轉(zhuǎn)動方向相反的制動力，于是可轉(zhuǎn)動部分受到阻尼作用，快速停止在平衡位置。由轉(zhuǎn)動的鋁框受磁場力的作用而產(chǎn)生的。因為線圈轉(zhuǎn)動而帶動鋁框一起轉(zhuǎn)動，使得穿過鋁框的磁通發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流。這個感應(yīng)電流方向始終與線圈中流過的電流的方向相反，因而感應(yīng)電流在磁場中產(chǎn)生的力矩也始終與轉(zhuǎn)動力矩方向相反，稱為阻尼力矩。阻尼力矩減小了指針因為慣性作用而來回擺動的幅度，使指針很快停止在平衡位置上。因此阻尼力矩不影響指針的偏轉(zhuǎn)角，只起到縮短指針擺動時間的作用。1、用滿度相對誤差來標(biāo)定儀表的準(zhǔn)確度等級[例]某電流表的量程為100mA，在量程內(nèi)用待定表和標(biāo)準(zhǔn)表測量幾個電流的讀數(shù)如表所示。試根據(jù)表中測量數(shù)據(jù)大致標(biāo)定該儀表的準(zhǔn)確度等級。

解：由Δx=x-A計算出各點Δxi如表所示。

因為Δxm=80-78=2mA且xm=100mA，求得該表的最大滿度相對誤差為

γm=

×100%=

×100%=2%所以該表大致為2.5級表。當(dāng)然，在實際中，標(biāo)定一個儀表的準(zhǔn)確度等級是要通過大量的測量數(shù)據(jù)并經(jīng)過一定的計算和分析后才能完成的?！纠坷梦⒉罘y量一個10V電源，使用9V標(biāo)稱相對誤差±0.1%的穩(wěn)壓源和一只準(zhǔn)確度為S的電壓表，如圖所示。要求測量誤差±0.5%,問：S=？[例]檢定一個1.5級100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大,為1.4mA，其它刻度處的誤差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？解：求得該表的最大滿度相對誤差為γm=

×100%=

×100%=1.4%＜1.5%所以這塊表是合格的。實際中，要判斷該電流表是否合格，應(yīng)在整個量程內(nèi)取足夠多的點進行檢定。2、用滿度相對誤差來檢定儀表是否合格3、指導(dǎo)我們在使用多量程儀表時，合理選擇儀表量程

[例]某1．0級電流表，滿度值xm＝l00uA，求測量值分別為x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA時的絕對誤差和示值相對誤差。解：得絕對誤差

前已敘述，絕對誤差是不隨測量值改變的。而測得值分別為100A、80A、20A時的示值相對誤差各不相同，分別為

可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差)。通常測得值的準(zhǔn)確度數(shù)值低于儀表的準(zhǔn)確度等級。為減小示值誤差而使示值盡可能接近滿度值的結(jié)論，只適用正向刻度的電壓表、電流表等類型的儀表，對普通歐姆表，上述結(jié)論不成立。因為歐姆表是反向刻度且是非線性的。

[例]要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0～300℃和l.0級、測量范圍為0～l00℃的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。解：對0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差

按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差，因此示值相對誤差

同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差

可見用1.0級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選l.0級溫度計較為合適。

由上例不難看出，檢測儀表產(chǎn)生的測量誤差不僅與所選儀表精度等級s有關(guān)，而且與所選儀表的量程有關(guān)。

通常量程m和測量值X相差愈小，測量準(zhǔn)確度較高。所以，在選擇儀表時，應(yīng)選擇測量值盡可能接近的儀表量程。

在實際測量操作時，一般應(yīng)先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。4、在一定量的測量中，滿度相對誤差可指導(dǎo)我們合理選擇儀表的準(zhǔn)確度等級。

[例]欲測量一個10V左右的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表，其中一塊量稱為100V，1.5級；另一塊量程為15V，2.5級，問選用哪一塊表好？解：用1.5級量程為100V的電壓表測量10V電壓時，最大相對誤差為

γ1=

s1%=

×1.5%=15%

用2.5級量程為15V的電壓表測量10V電壓時，最大相對誤差為

γ2=

s2%=

×2.5％=3.75％

測量10V電壓時，采用2.5級量程為15V電壓表測量的準(zhǔn)確度高于用1.5級量程為100V電壓表測量的準(zhǔn)確度，且2.5級量程為15V電壓表經(jīng)濟實用，所以應(yīng)選擇2.5級量程為15V的電壓表。

如果選擇合適的量程，即使使用較低等級的儀表進行測量，也可以取得比高等級儀表還高的準(zhǔn)確度。因此，在選用儀表時，不要單純追求儀表的級別，而應(yīng)根據(jù)被測量的大小，兼顧儀表的級別和測量上限，合理地選擇儀表。

1、儀表的準(zhǔn)確度不等于測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，一般而言測量值的準(zhǔn)確度數(shù)值低于儀表準(zhǔn)確度等級，只有在示值X等于滿度值M時才相等。2、為了減小示值誤差，在測量時量程選擇應(yīng)盡可能接近滿度值，一般示值以不小于滿度值的2／3為宜。此規(guī)律適用于正向刻度的電壓、電流類儀表。3、對于反向刻度的儀表，結(jié)論（2）不適用例歐姆表（反向非線性刻度）：當(dāng)示值與歐姆表中值接近時，測量準(zhǔn)確度最高。4、并不是選擇的儀表精度越高，測量結(jié)果就越準(zhǔn)確，還要考慮選用合適的量程。在實際測量中，一般先在大量程下測得被測量的大致數(shù)值，再選合適量程再行測量，以減小相對誤差。(5)分貝誤差在電子學(xué)及聲學(xué)測量中，特別是通信系統(tǒng)測試中，通常并不直接測量或計算電路某測試點的電壓或負(fù)載吸取的功率，而是計算它們與某一電壓或功率基準(zhǔn)量之比的對數(shù)。常用分貝來表示相對誤差，稱為分貝誤差。A、電壓、電流測量：

γ[db]=20lg(1+γx)[db]

注：γx=B、功率測量：

γ[db]=10lg(1+γx)[db]

解：測量的絕對誤差為

Δx=96-100=-4μA

測量的實際相對誤差為

γA=

=

×100%=-4%

分貝誤差為

γdB=20lg［1+(-0.04)］=-0.355dB[例]某電流表測出的電流值為96μA，標(biāo)準(zhǔn)表測出的電流值為100μA，求測量的相對誤差和分貝誤差。

[例]

某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui＝1.2mV時，測得輸出電壓Uo＝6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差、相對誤差及分貝誤差。解：電壓放大倍數(shù)電壓分貝增益輸出電壓絕對誤差因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差電壓增益相對誤差電壓增益分貝誤差實際電壓分貝增益如果在測量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按來計算。三、容許誤差 容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時就稱作儀器誤差，它是衡量電子測量儀器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性等，都可用儀器的容許誤差來表征。 我國部頒標(biāo)準(zhǔn)SJ943—82《電子測量儀器誤差的一般規(guī)定》中規(guī)定：用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項指標(biāo)來描述電子測量儀器的容許誤差。

為了保證測量儀器示值的準(zhǔn)確，儀器出廠前必須由檢驗部門對其誤差指標(biāo)進行檢驗，在使用期間，必須定期進行校準(zhǔn)檢定，凡各項誤差指標(biāo)在容許誤差范圍之內(nèi)的，視為合格，否則就不能算做合格的儀器，其測量結(jié)果失去可靠性而只能供作參考。儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對誤差，也可用相對誤差。

l．工作誤差

工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值。外部、內(nèi)部各種影響量最極端、最不利組合產(chǎn)生的誤差最大值特點：使用方便，利用工作誤差可直接估計測量結(jié)果誤差的最大范圍；實際使用中最不利組合的可能性很小。

結(jié)論：用工作誤差來估計測量結(jié)果的誤差相比實際值會偏大。2．固有誤差固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時儀器所具有的誤差。3．影響誤差影響誤差是當(dāng)一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)(或一個影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得的誤差。例如溫度誤差、頻率誤差等。 只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出，它是該影響量誤差的極限。4.穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。如：溫度

[例]

用4位半數(shù)字電壓表2V檔和200V檔測量1V電壓，該電壓表各檔容許誤差均為個字，試分析用上述兩檔分別測量時的相對誤差。

解：

①用2V檔測量，絕對誤差為

為了便于觀察，式中前一項是容許誤差的相對值部分，后一項是絕對值部分即土1個字誤差，此時后者影響較小，測量數(shù)值(顯示值)為0．9996到1．0004V間，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對誤差為

②用200V檔測量，絕對誤差為

可見此時土1個字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，按科學(xué)計數(shù)法規(guī)定寫成1.0×10-2，由于此時最末位士1個字誤差或最末位為l時代表的數(shù)值是10mV或0．01V，因此此時電壓表顯示為0.99～1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對誤差為可見，此時相對誤差很大，沒有充分發(fā)揮4位半數(shù)字電壓表的較高準(zhǔn)確度的優(yōu)勢。由上例不難看出，檢測儀表產(chǎn)生的測量誤差不僅與所選儀表精度等級S有關(guān)，而且與所選儀表的量程有關(guān)。在選用數(shù)字顯示式測量儀表時，應(yīng)盡可能使顯示的位數(shù)多一些，以減小測量誤差。通常量程L和測量值X相差愈小，測量準(zhǔn)確度較高。所以，在選擇儀表時，應(yīng)選擇測量值盡可能接近上限的儀表量程。

1.2測量誤差的來源

一、儀器誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。儀器誤差還可細(xì)分為：讀數(shù)誤差，包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(±l個字誤差)；儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差；儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差。

減小儀器誤差的主要途徑：根據(jù)具體測量任務(wù)，正確地選擇測量方法和使用測量儀器，包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證，在額定工作條件下按使用要求進行操作等。

量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，減小由它帶給測量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。

二、使用誤差使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的誤差。

減小使用誤差的最有效途徑是提高測量操作技能，嚴(yán)格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進行操作。如：（1）指針式萬用表測電阻時應(yīng)校零，變換量程擋后也要先校零再測量。

（2）老式電子管示波器在使用之前應(yīng)先預(yù)熱、然后再校準(zhǔn)，最后才能進行測量。

三、人身誤差人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。

減小人身誤差的主要途徑有：

a、提高測量者的操作技能和工作責(zé)任心；

b、采用更合適的測量方法；

c、采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)，以避免指針式儀表的讀數(shù)視差。（或針式儀表加裝鏡面）

四、影響誤差（環(huán)境誤差）影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。

主要影響因素：環(huán)境溫度、濕度、大氣壓、電源電壓、磁場變化和震動。 當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進一步的數(shù)據(jù)處理。

五、方法誤差方法誤差是指所使用的測量方法不當(dāng)，或測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)簡化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。 例如當(dāng)用于均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器輸出正比于被測正弦電壓的平均值U，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：

式中，稱為定度系數(shù)。由于和均為無理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時，只好取近似公式

顯然兩者相比，就產(chǎn)生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。

方法誤差通常以系統(tǒng)誤差(主要是恒值系統(tǒng)誤差)形式表現(xiàn)出來。產(chǎn)生的原因：方法、理論、公式不當(dāng)或過于簡化。解決方法：通過理論分析和計算或改變測量方法來加以消除或修正。

[例]

測量儀表的負(fù)載效應(yīng)，現(xiàn)重畫于圖中。圖中虛框代表一臺輸入電阻Rv＝10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005％讀數(shù)±2個字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)Uo＝l0.0025V。試分析儀器誤差和方法誤差。解；

即比值Rs/RV愈大，示值相對誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV＝10MΩ,Rs＝10kΩ代入得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差

測得值Uo與實際值Us間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道，那么這里的方法誤差可以得到修正。利用修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，得到1.3誤差的分類

一、系統(tǒng)誤差

1、定義：在相同條件下，多次重復(fù)測量同一被測參量時，測量誤差的大小和符號保持不變；或當(dāng)條件改變時，誤差按某種確定的規(guī)律變化，這種測量誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。恒定系差：系差的大小、符號不變而保持恒定。 變值系差：系差的大小、符號發(fā)生變化。 變值系差包括：累進性系差 周期性系差 按復(fù)雜規(guī)律變化的系差

圖中描述了幾種不同系差的變化規(guī)律： 直線（a）表示恒定系差 直線（b）屬變值系差中累進性系差（遞增）

曲線(c)表示周期性系差 曲線(d)屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差0

系統(tǒng)誤差的特征

2、主要特點：

①測量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除系差。

②條件改變，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性。

③只能用修正公式的辦法來減小系統(tǒng)誤差。

3、產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因：

（1）測量儀器方面的因素：儀器設(shè)計原理的缺陷；儀器零件制造偏差和安裝不當(dāng)；元器件性能不穩(wěn)定等。如：把運算放大器當(dāng)作理想運放，由被忽略的輸入阻抗、輸出阻抗引起的誤差；刻度偏差及使用過程中的零點漂移等引起的誤差。（2）測量方法的因素：采用近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。

(3)環(huán)境方面的因素：測量時的實際環(huán)境條件(溫度、濕度、大氣壓、電磁場等)相對于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境條件的偏差，測量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化引起的誤差。

(4)測量人員方面的因素：由于測量人員的個人特點，在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某一方向；動態(tài)測量時，記錄快速變化信號有滯后的傾向。系差表明一個測量結(jié)果偏離真值的程度，常稱系統(tǒng)偏差，在誤差理論中，常用正確度表征系差的大小。系統(tǒng)誤差越小，測量的正確度高。

二、隨機誤差

1、定義：隨機誤差又稱偶然誤差，在相同條件下多次重復(fù)測量同一被測參量時，測量誤差的大小與符號均無規(guī)律變化，這類誤差稱為隨機誤差。就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其總體服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。

2、隨機誤差的特點

a、有界性

b、對稱性

c、抵償性

d、單峰性

的正態(tài)分布曲線由于隨機誤差的上述特點，可以通過對多次測量取平均值的辦法，來減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計的辦法對隨機誤差加以處理。

表1．3—l是對某電阻進行15次等精度測量的結(jié)果。表中Ri為第i次測得值，R為測得值的算術(shù)平均值，定義為殘差，由于電阻的真值R無法測得，我們用R

代替R，用ui表示隨機誤差的性質(zhì)。為了更直觀地考察測量值的分布規(guī)律，用圖1．3—2表示測量結(jié)果的分布情況，圖中小黑點代表各次測量值。表1.3—l圖1.3—3電阻測量值的隨機誤差由表1．3—l和圖1.3—3可以看出以下幾點：①所有隨機誤差的絕對值都沒有超過某一界限，反映了隨機誤差的有界性。②正誤差出現(xiàn)了7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機誤差的對稱性。

③∑vi＝0，正負(fù)誤差之和為零，反映了隨機誤差的抵償性。④誤差的絕對值介于(0，0．1)、(0．1，0．2)、(0．2，0．3)、(0．3，0．4)、(0．4，0．5)區(qū)間，大于0.5的個數(shù)分別為6、3、2、1、2個和1個，反映了絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，反映了隨機誤差的單峰性。這雖然僅是一個例子，但也基本反映出隨機誤差的一般特性。3、產(chǎn)生隨機誤差的主要原因：

(1)測量裝置方面的因素：儀器元器件產(chǎn)生的噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。

(2)環(huán)境方面的因素：溫度的微小波動、濕度與氣壓的微量變化、光照強度變化、電源電壓的無規(guī)則波動、電磁干擾、振動等。

(3)測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。

隨機誤差表示測量結(jié)果的分散性，用精密度表示隨差的大小。精密度越高，隨機誤差越小。隨差不能用修正或采取某種技術(shù)措施的辦法來消除。

三、粗大誤差

1、定義：在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差也稱為疏失誤差，簡稱粗差。特點是誤差數(shù)值大，明顯歪曲了測量結(jié)果。

確認(rèn)含有粗差的測得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用。因為壞值不能反映被測量的真實數(shù)值，我們通常研究的測量結(jié)果誤差中僅包含系統(tǒng)和隨機兩類誤差。

2、產(chǎn)生粗差的主要原因：

①測量方法不合理②讀錯讀數(shù)③記錄錯誤

④計算錯誤⑤儀器故障⑥干擾等因素引起

除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的，需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：

①系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差的影響，此時可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機誤差。

②系差極小或已得到修正，此時基本上可按純粹隨機誤差處理。③系差和隨機誤差相差不遠，二者均不可忽略，此時應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計其最終的綜合影響。1.4隨機誤差分析

隨機誤差是在相同條件下對同一參量進行多次測量時，誤差的絕對值和符號均發(fā)生變化。隨機誤差是由沒有規(guī)律的大量微小因素共同作用所產(chǎn)生的結(jié)果，因而這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先預(yù)知，不易掌握，也難以消除。

隨機誤差使測量數(shù)據(jù)產(chǎn)生分散，即偏離它的數(shù)學(xué)期望。因此對單次測量而言，隨機誤差的大小和符號都是不確定的，沒有規(guī)律性的；但隨機誤差具有隨機變量的一切特點，它的概率分布通常服從一定的概率統(tǒng)計規(guī)律。因此，在進行多次測量后，可以用數(shù)理統(tǒng)計的方法，對其分布范圍做出估計，得到隨機影響的不確定度。

我們的任務(wù)就是要研究隨機誤差使測量數(shù)據(jù)按什么規(guī)律分布，多次測量的平均值有什么性質(zhì)，以及在實際測量中對于有限次的測量，如何根據(jù)測量數(shù)據(jù)的分布情況，估計出被測量的數(shù)學(xué)期望、方差和被測量的真值出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率等。總之，我們是用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法來研究隨機誤差對測量數(shù)據(jù)的影響，并用數(shù)理統(tǒng)計的方法對測量數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理，從而克服或減少隨機誤差的影響。

一、測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1．?dāng)?shù)學(xué)期望設(shè)對被測量x進行n次等精度測量，得到n個測得值，由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。定義n個測得值(隨機變量)的算術(shù)平均值為式中也稱作樣本平均值。

當(dāng)測量次數(shù)時，樣本平均值的極限定義為測得值的數(shù)學(xué)期望式中稱作總體平均值。

假設(shè)上面的測得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測得值xi與真值之間的絕對誤差就等于隨機誤差

對于有限次測量，隨機誤差的算術(shù)平均值：當(dāng)時，上式中第一項即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex，

當(dāng)時，上式中第一項即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以

由于隨機誤差的抵償性，當(dāng)測量次數(shù)n趨于無限大時，趨于零：

即隨機誤差的數(shù)學(xué)期望等于零，即即測得值的數(shù)學(xué)期望等于被測量真值A(chǔ)。

實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為

在實際測量中，采用某些技術(shù)措施基本消除系統(tǒng)誤差的影響并且剔除粗大誤差后，雖然有隨機誤差存在，但可以用多次測量值的算術(shù)平均值作為最后測量結(jié)果，并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。

2．剩余誤差

當(dāng)進行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：對上式兩邊分別求和，有

當(dāng)n足夠大時，殘差的代數(shù)和為零，這一性質(zhì)可用來檢驗計算的算術(shù)平均值是否正確。

3．方差與標(biāo)準(zhǔn)差

隨機誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進行描述。方差定義為時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即

因隨機誤差，故

δ取平方的目的是，不論δ是正是負(fù)，其平方總是正的，這樣取平方后再進行平均才不會使正負(fù)方向的誤差相互抵消，從而可以用來描述隨機誤差的分散程度。且求和取平均后，個別較大的誤差在式中所占的比例也較大，使得方差對較大的隨機誤差反映較靈敏所以它是表征精密度的參數(shù)。二、隨機誤差的正態(tài)分布1．正態(tài)分布

（1）在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。（2）隨機誤差等于零的出現(xiàn)概率最大，隨著隨機誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。

設(shè)測量值xi落在區(qū)間（x，x+dx）內(nèi)的概率為P（x<xi<x+dx)，當(dāng)△x→0，P與△x的比值的極限存在，即則P（x）為測量值在x點上的概率密度函數(shù)。對于正態(tài)分布的隨機誤差，有對于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線

由圖1．4-2可以看到如下特征：①

愈小，愈大，說明絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大，很快趨于零，即超過一定界限的隨機誤差實際上幾乎不出現(xiàn)(隨機誤差的有界性)。

②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機誤差的對稱性和抵償性)。

③

愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高；反之愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨立的因素的隨機微小變化所造成的隨機誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。小結(jié)：隨機誤差

①有界性：絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零，即隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。②對稱性：絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。③抵償性：當(dāng)測量次數(shù)n→∞時，全部誤差的代數(shù)和趨于零。

④單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。

2、非正態(tài)分布測量中的隨機誤差除了大量滿足正態(tài)分布外，還有一些不滿足正態(tài)分布，統(tǒng)稱為非正態(tài)分布。常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。其中均勻分布的應(yīng)用僅次于正態(tài)分布。表中列出了三種分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)差和適用條件?？梢钥闯?，這三種分布都服從對稱性、有界性和抵償性。

表2-2幾種常見的非正態(tài)分布

3．極限誤差對于正態(tài)分布的隨機誤差，隨機誤差落在區(qū)間的概率為同樣可以求得隨機誤差落在和范圍內(nèi)的概率為：

隨機誤差絕對值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3％，實際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義

如果在測量次數(shù)較多的等精度測量中，出現(xiàn)時，必須予以仔細(xì)考慮。通常將的測得值判為壞值，予以剔除。壞值判別準(zhǔn)則---------萊特準(zhǔn)則適用條件：（1）萊特準(zhǔn)則只適用于測量次數(shù)較多（n>25）、測量誤差分布接近正態(tài)分布的情況使用。（2）當(dāng)?shù)染葴y量次數(shù)較少（n≤20）時，采用基于正態(tài)分布的萊特準(zhǔn)則，其可靠性將變差，且容易造成鑒別值界限太寬而無法發(fā)現(xiàn)壞值。（3）當(dāng)測量次數(shù)n<10時，萊特準(zhǔn)則將徹底失效，不能判別任何粗大誤差。萊特準(zhǔn)則：n次等精度測量，X1、X2…….Xn，若此Xi值為壞值，予以剔除。1、有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值被測量x的數(shù)學(xué)期望就是當(dāng)測量次數(shù)n→∞時，各次測量值的算術(shù)平均值。在實際等精度測量中，當(dāng)測量次數(shù)n為有限次時，常用算術(shù)平均值作為被測量的數(shù)學(xué)期望或被測量的估計值，用

表示，即三.有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值

可以證明，算術(shù)平均值是被測量數(shù)學(xué)期望的無偏估計值和一致估計值。

用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果是否可以減小隨機誤差的影響呢？我們可以通過計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來回答這個問題。當(dāng)測量次數(shù)n有限時，統(tǒng)計特征本質(zhì)上是隨機的，所以，所有算術(shù)平均值本身也是一個隨機變量。根據(jù)正態(tài)分布隨機變量之和的分布仍然是正態(tài)分布的理論，也屬于正態(tài)分布。

2．算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

在相同條件下，對同一被測量分成m組，每組重復(fù)n次測量，則每組測得值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在,這些平均值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機誤差。

由概率論中方差運算法則，可求出算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)概率論中“幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個隨機變量方差之和”的定理可推導(dǎo)出的方差為

即

n次測量值的算術(shù)平均值的方差是總體或單次測量值的方差的1／n，或者說算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差的1/倍。這是由于隨機誤差的抵償性，在計算的求和過程中，正負(fù)誤差相互抵消；測量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據(jù)。所以，用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，減少了隨機誤差的影響。3.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計值（貝塞爾公式）隨機誤差，其中xi為第i次測得值，A為真值，為xi的數(shù)學(xué)期望，且

采用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差來表征測量值的分散程度

當(dāng)n為有限值時，用殘差來近似或代替真正的隨機誤差

對νi求和，則得到

貝塞爾公式適用于有限次等精度測量。在n為有限值時，用貝塞爾公式計算的結(jié)果仍然是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個估計值，用符號

表示有限次測量時標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值，即

或小結(jié)：

在有限次分組測量中，以表示各組算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值

因為實際測量中n只能是有限值，所以就將和叫作測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差?；驕y量平均值標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值:

(平均值離散程度表征)測量平均值標(biāo)準(zhǔn)差:（有限次測量）下面列出前面所定義的各種標(biāo)準(zhǔn)差的符號公式及所表示的不同意義，以便在使用時不致于混淆?？傮w測量值標(biāo)準(zhǔn)差:(測量值離散程度表征)

總體測量值標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值:（有限次測量）四、有限次測量下測量結(jié)果的表達

對于精密測量，常進行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進行：

1、列出測量數(shù)據(jù)表；

2、計算算術(shù)平均值，殘差及；

3、計算標(biāo)準(zhǔn)差估計值；

4、按萊特準(zhǔn)則判斷有無壞值。有壞值予以剔除，然后重復(fù)1-4步，直到無壞值為止（每次只能剔除一個壞值）

5、計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

6、最終測量結(jié)果表達式：

[例]

用電壓表對某一電壓測量10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計算值如表，試給出最終測量結(jié)果表達式。解：計算得到，表示的計算正確。進一步計算得到：因此該電壓的最終測量結(jié)果為1.5系統(tǒng)誤差分析

一、系統(tǒng)誤差的特性

排除粗差后，測量誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和

假設(shè)進行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即，則的算術(shù)平均值為

當(dāng)n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，的算術(shù)平均值趨于零，得到

若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值等于系差。這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。

系差最顯著的特點就是在一定的條件下，其數(shù)值服從某一確定的函數(shù)規(guī)律。這個規(guī)律原則上可以結(jié)合有關(guān)專業(yè)知識，通過理論分析和實驗的方法加以掌握，由于系差的特點，因此在處理方法上與隨差截然不同。雖然系差是一種按確切函數(shù)規(guī)律變化的誤差，但由于常常涉及到具體測量對象及原理的分析，因此在許多情況下處理起來往往比沒有確切的規(guī)律的隨差還要困難。由于系差伴隨著隨差同時出現(xiàn)，因此在不同程度上對隨差的分布產(chǎn)生影響，因此可以根據(jù)隨差被影響的程度來推測被測量中是否含有不可忽視的系差，這就是用統(tǒng)計學(xué)理論研究系差的方法。二、系統(tǒng)誤差的判斷1．理論分析法因測量方法或測量原理引入的系差，可理論計算及分析的方法加以修正。

2．校準(zhǔn)和比對法

常用校準(zhǔn)的方法來檢查恒定系統(tǒng)誤差是否存在，通常用標(biāo)準(zhǔn)儀器或標(biāo)準(zhǔn)裝置來發(fā)現(xiàn)并確定系統(tǒng)誤差的數(shù)值，或依據(jù)儀器說明書上的修正值，對測量結(jié)果進行修正。還可用實驗比對的方法來判斷是否存在不變的系統(tǒng)誤差，即改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行不同的測量。例如，用兩臺儀器對同一量分別進行多次測量，然后分別計算平均值，若兩個平均值相差較大，可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。

3、改變測量條件法有些恒值系差在一定條件下為確定不變的值，當(dāng)測量條件改變時為另一恒定的值，即屬于隨測量條件改變的恒值系差。利用這一特性，有意改變測量條件（更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等），分別測出兩組數(shù)據(jù)，然后比較二者差異，便可判斷是否有系差。

系統(tǒng)誤差的判斷4．殘差觀察法

將所測得的數(shù)據(jù)及其殘差按測得的先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化情況，從而判斷是否存在系統(tǒng)誤差及其規(guī)律。但此方法只適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況，當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機誤差小時，就不能通過殘差法來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

為了直觀，通常將剩余誤差制成曲線，如圖1．5—1所示： 圖(a)表示剩余誤差大體上正負(fù)相同，無明顯變 化規(guī)律，可以認(rèn)為不存在系差；

圖(b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律，可認(rèn)為存在累進性系差； 圖(c)中大小和符號大體呈現(xiàn)周期性，可認(rèn)為存 在周期性系差； 圖(d)變化規(guī)律復(fù)雜，大體上可認(rèn)為同時存在線性遞 增的累進性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

剩余誤差法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。5．公式判斷法通常有馬林科夫判據(jù)和阿卑—赫梅特判據(jù)，可分別用來判定有無累進性系差和周期性系差。（1）馬林科夫判據(jù)（累進性系差）對某物理量進行n次等精度測量，A、測量數(shù)據(jù)按先后順序排列：X1、X2、……..XnB、測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差按先后順序排列：V1、V2、….VnC、若n為偶數(shù)前后各半，若為奇數(shù)中間值可不要，求出差值：n為偶數(shù)：n為奇數(shù)：判斷：若則有累進性系統(tǒng)誤差。（2）阿卑—赫梅特判據(jù)（周期性系差）對某物理量進行n次等精度測量，A、測量數(shù)據(jù)按先后順序排列：X1、X2、……..XnB、測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差按先后順序排列：V1、V2、….Vn判斷：若則有周期性系統(tǒng)誤差。三、減小系統(tǒng)誤差的方法1、針對產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因采取對應(yīng)措施，消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源1）依據(jù)正確的原理，采用正確的測量方法2）選擇正確的和滿足測量準(zhǔn)確度要求的儀表3）采用數(shù)字顯示儀器，減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。

4）測量儀器定期檢定、校準(zhǔn)，測量前要正確調(diào)節(jié)零點，應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器。精密測量，測量環(huán)境的影響不能忽視，必要時應(yīng)采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。5）提高測量人員的素質(zhì)，消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。2、利用修正值或修正因數(shù)加以消除修正法是預(yù)先通過檢定、校準(zhǔn)或計算得出測量器具的系統(tǒng)誤差的估計值，作出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、方向相反的值作為修正值，將實際測量結(jié)果加上相應(yīng)的修正值，即可得到已修正的測量結(jié)果。實際測量中，可根據(jù)測量儀器檢定書中已經(jīng)給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對測得值進行修正，是常用的消除系統(tǒng)誤差的辦法。

如米尺的實際尺寸不等于標(biāo)稱尺寸，若按照標(biāo)稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此，應(yīng)按經(jīng)過檢定得到的尺寸校準(zhǔn)值(即將標(biāo)稱尺寸加上修正值)使用，即可減少系統(tǒng)誤差。值得注意的是，修正不可能達到理想，因此系統(tǒng)誤差不可能完全消除。

3、削弱恒值系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)

削弱和消除恒值系差的測量技術(shù)，比較典型的有：零示法、代替法、交換法（對照法）、微差法（1）零示法將被測量與已知量標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)兩者的效應(yīng)相互抵消時，指零儀器示值為0，到達平衡，這時已知量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值平衡狀態(tài)判斷準(zhǔn)確與否，取決于指示器的靈敏度。電位差計是采用零示法的典型例子，其中Es為標(biāo)準(zhǔn)電壓源，RS為標(biāo)準(zhǔn)電阻，Ux為待測電壓，p為零示器，一般用檢流計。調(diào)RS使ID＝0，則被測電壓Ux＝Us，即被測量Ux的數(shù)值僅與標(biāo)準(zhǔn)電壓源Es及標(biāo)準(zhǔn)電阻R2、Rl有關(guān)，只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高，被測量的測量準(zhǔn)確度也就很高。零示法廣泛用于阻抗測量(各類電橋)、電壓測量(電位差計及數(shù)字電壓表)、頻率測量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測量中。（2）替代法（置換法）在一定的測量條件下，選擇一個適當(dāng)大小的標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代測量電路中原來接入的被測物理量，并保證儀器的示值不變，則被測量的數(shù)值等于標(biāo)準(zhǔn)已知量。 由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器靈敏度。

替代法測量電阻替代法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實例。

首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡，此時有

由于都有誤差，若利用它們的標(biāo)稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即進一步計算，得到

為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻RS代替Rx，并在保持不變的情形下通過調(diào)節(jié)RS

，使電橋重新平衡，因而得到

可見測量誤差△RS

，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差△RS，而與的誤差無關(guān)。

（3）交換法（對照法）適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結(jié)果的處理中，消弱或消除系統(tǒng)誤差。以等臂電橋為例說明這種方法。

對照法測電阻

（a)電橋平衡時：當(dāng)R1，R2有誤差△R1，△R2時

(b)交換位置，調(diào)節(jié)Rs使電橋至平衡。設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs2

如果，則(等臂電橋)

x的示值相對誤差為由于

，所以

，又由于

，所以（4）微差法

微差法又叫虛零法或差值比較法，實質(zhì)上是一種不徹底的零示法。微差法是允許標(biāo)準(zhǔn)量s與被測量x的效應(yīng)不完全抵消，而是相差一微小量，來得到待測量【例】利用微差法測量一個10V電源，使用9V標(biāo)稱相對誤差±0.1%的穩(wěn)壓源和一只準(zhǔn)確度為S的電壓表，如圖所示。要求測量誤差±0.5%,問：S=？4、削弱和消除變值系統(tǒng)誤差的測量技術(shù)（1）采用交叉讀數(shù)法減小線性系統(tǒng)誤差（累進型系統(tǒng)誤差）

交叉讀數(shù)法（對稱測量法、對稱讀數(shù)法）：在時間上將測量順序等間隔對稱安排，取各對稱點兩次交叉讀入測量值，然后取其算術(shù)平均值作為測量值，即可有效地減小測量的線性系統(tǒng)誤差（累進型系統(tǒng)誤差）。

（2）采用半周期法減小周期性系統(tǒng)誤差

對周期性系統(tǒng)誤差，可以相隔半個周期進行一次測量，如圖2-2所示。

取兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值，即可有效地減小周期性系統(tǒng)誤差。因為相差半周期的兩次測量，其誤差在理論上具有大小相等、符號相反的特征，所以這種方法在理論上能很好地減小和消除周期性系統(tǒng)誤差。5、消除或削弱系統(tǒng)誤差的其他方法

（1）系統(tǒng)誤差的隨機化處理利用同一類型測量儀器的系統(tǒng)誤差具有隨機特性的特點，對同一被測量用多臺儀器進行測量，取各臺儀器測量值的平均值做為測量結(jié)果。此外，某些按復(fù)雜規(guī)律變化的系差也可按隨差的處理方法處理。（2）智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除在智能儀器中，可利用微處理器的計算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。直流零位校準(zhǔn)、自動校準(zhǔn)四、系統(tǒng)誤差的消除準(zhǔn)則

無論采用什么方法,都不能完全把系統(tǒng)誤差消除干凈,終會殘留一部分系差。設(shè)最后殘留的系差為,根據(jù)保留有效數(shù)字的四舍五入原則,只有當(dāng)︳︳不超過總誤差的有效數(shù)字最后一位所在單位的一半時,即可舍去不計,則推出消除系差的具體準(zhǔn)則為當(dāng)誤差用兩位有效數(shù)字表示時:

︳︳＜當(dāng)誤差用一位有效數(shù)字表示時:1.6系統(tǒng)誤差的合成

在測量中通?？梢杂孟到y(tǒng)誤差ε及隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ(x)來反映測量結(jié)果的正確度和精密度，在國際通用計量學(xué)術(shù)語中，用測量不確定度來表征被測量之值可能的分散程度，即測量結(jié)果的誤差大小。但是，在實際測量中，誤差常常來源于很多方面。例如用n個電阻串聯(lián)，則總電阻的誤差大小就與每個電阻的誤差大小有關(guān)。

又如，用間接法測電阻上的功率，通常只需測得這個電阻的阻值、電壓、電流這三項中的兩項，然后計算電阻消耗的功率。這時，功率的誤差就與各直接測量量的誤差有關(guān)。不管某項誤差是由若干因素產(chǎn)生的還是由于間接測量產(chǎn)生的，只要某項誤差與若干分項有關(guān)，這項誤差就叫總誤差，各分項的誤差叫分項誤差或部分誤差。

在測量工作中，常常需要從以下兩個方面考慮總誤差與分項誤差的關(guān)系：一方面是如何根據(jù)各分項誤差來確定總誤差，即誤差合成問題；另一方面，當(dāng)技術(shù)上對某量的總誤差限定一定范圍以后，如何確定各分項誤差的數(shù)值，即誤差的分配問題。正確地解決這兩個問題可以指導(dǎo)我們設(shè)計出最佳的測量方案。在注重測量經(jīng)濟、簡便的同時，提高測量的準(zhǔn)確度，使測量總誤差降低到最小。

一、

誤差傳遞公式

誤差的合成是研究如何根據(jù)分項誤差求總誤差的問題。由于分項與總項的函數(shù)關(guān)系是各種各樣的，例如可以是和差關(guān)系、積商關(guān)系、乘開方關(guān)系、指數(shù)對數(shù)關(guān)系等等，只給出一個普遍適用的公式——誤差傳遞公式。

設(shè)最終測量結(jié)果為y，各分項測量值為

它們滿足函數(shù)關(guān)系

設(shè)各xi間彼此獨立，xi絕對誤差為△xi

，y的絕對誤差為△y，則由泰勒級數(shù)展開略去上式右邊高階項，得因此

已知各分項誤差，并有確定的函數(shù)時，可以分析和計算總的合成誤差。

在實際應(yīng)用中，各分項誤差的符號不定，通常采用保守的辦法估算誤差絕對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式類似，可以得到：

二、常用函數(shù)的合成誤差

1．和差函數(shù)的合成誤差設(shè)兩式相減得絕對誤差當(dāng)△x1、△x2符號不能確定時，有相對誤差

[例]

電阻R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，相對誤差均為±5％，求串聯(lián)后總的相對誤差。解：串聯(lián)后電阻串聯(lián)后電阻的相對誤差

[例]

用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm＝10MHz，準(zhǔn)確度±1％，測得高端截止頻率fh＝10MHz，低端截止頻率fl＝9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差?

解：儀器的最大絕對誤差即頻帶寬度的相對誤差

由此可見，所用儀器為1.0級，準(zhǔn)確度已很高，但最終測量結(jié)果的相對誤差卻很大。這是由于fk、fl比較接近的緣故，屬于測量方法不當(dāng)(差函數(shù)慎用)，應(yīng)利用掃頻儀等來測量。

2．積函數(shù)的合成誤差設(shè)，絕對誤差為相對誤差

[例]

已知電阻上電壓及電流的相對誤差分別為則功率的，計算功率，則P的相對誤差是多少?

解：由積函數(shù)誤差合成公式得

3．商函數(shù)的合成誤差設(shè)絕對誤差分別為若都帶有正負(fù)號，則相對誤差

[例]

用間接法測電阻上直流電流。已知電阻lkΩ

，標(biāo)稱值相對誤差，電壓表測得該電阻端電壓U＝2.0V，相對誤差。求流過該電流I及其相對誤差。解得相對誤差

4.冪函數(shù)的合成誤差設(shè)為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得當(dāng)帶有正負(fù)號時

[例]

電流流過電阻產(chǎn)生的熱量Q＝0.24I2Rt，若已知求。

解：直接引用式(2．6-14)、(2．6-19)結(jié)論，有

5．積商冪函數(shù)的合成誤差設(shè)，式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到當(dāng)都有正負(fù)號時，有

[例]

用電橋法測電阻，，已知