湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

張家界市2023年普通高中二年級第一學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.35是等差數(shù)列3，5，7，9，的（）A.第16項 B.第17項 C.第18項 D.第19項【答案】B【解析】【分析】首先求數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】等差數(shù)列3，5，7，9，的首項為3，公差為2，所以等差數(shù)列的通項公式為，令，得.所以35是等差數(shù)列3，5，7，9，的第17項.故選：B2.若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】由直線經(jīng)過兩點(diǎn)，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，有，又，所以.故選：C.3.拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離等于（）A.1 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先求焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到直線的距離為.故選：B4.已知向量若與、共面，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量共面定理構(gòu)造方程組即可求得結(jié)果.【詳解】由共面定理可得存在非零實(shí)數(shù)滿足，可得，解得，故選：C5.若直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B.4 C.－2 D.0或4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長求出圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，解得，所以，解得或.故選：D.6.音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：若以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“徵”；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”；．．．．．依次損益交替變化，獲得了“宮?徵?商?羽?角”五個音階．據(jù)此可推得（）A.“徵?商?羽”的頻率成等比數(shù)列B.“宮?徵?商”的頻率成等比數(shù)列C.“商?羽?角”的頻率成等比數(shù)列D.“宮?商?角”的頻率成等比數(shù)列【答案】D【解析】【分析】依題意求出“宮?徵?商?羽?角”這5個音階的頻率，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得答案.【詳解】設(shè)“宮”的頻率為，則“徵”的頻率為，“商”的頻率為，“羽”的頻率為，“角”的頻率為，所以“宮?商?角”的頻率成等比數(shù)列,公比為.故選：D7.設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，.進(jìn)而在中，由余弦定理變形可得，.根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合已知，求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，兩邊同時除以可得，.又，，所以有，所以，.因?yàn)?，所以，所以，所以，，，所以?則，故.故選：C.8.設(shè)，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】易得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較的大小關(guān)系，即可得解.【詳解】，令，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.綜上，.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l：，則（）A.直線l過點(diǎn) B.直線l的斜率為C.直線l的傾斜角為 D.直線l在軸上的截距為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線方程逐項分析判斷即可.【詳解】直線l：，即直線l：，令，可得，即直線l過點(diǎn)，故A正確；可知直線l的斜率為，故B錯誤；設(shè)直線l的傾斜角為，可知，所以，即直線l的傾斜角為，故C正確；直線l在軸上的截距為1，故D正確；故選：ACD.10.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C.當(dāng)時， D.當(dāng)或4時，取得最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用的關(guān)系式可求得，即可判斷AB正確，由數(shù)列單調(diào)性即可判斷C錯誤，再由前項和的函數(shù)性質(zhì)可判斷D正確.【詳解】由可得，當(dāng)時，，兩式相減即，即時，又當(dāng)時，符合，所以可得，即可得AB正確；易知數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，，所以C錯誤；由利用二次函數(shù)性質(zhì)以及可得，當(dāng)或4時，取得最大值.故選：ABD11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.B.⊥平面C.異面直線與所成角的大小為D.平面到平面的距離等于【答案】AB【解析】【分析】利用三角形中位線性質(zhì)可得A正確；再由線面垂直的判定定理及其性質(zhì)可求得B正確；由異面直線定義可求得異面直線與所成角的大小為，即C錯誤；利用等體積法和正方體對稱性，即可得平面到平面的距離等于，即D錯誤.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，由正方體性質(zhì)可知是與的交點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以是的中位線，即，可知A正確；連接，四邊形是正方形，所以，又由正方體性質(zhì)可知，，平面，所以平面；又，所以平面，即B正確；由可得異面直線與所成的角即為直線與所成的角，也即是異面直線與所成的角，連接，易得是正三角形，所以，即異面直線與所成的角為，故C錯誤；易知，由正方體性質(zhì)可知，又，平面，所以平面；又平面，所以，同理可證，，平面，所以平面；同理可證平面；因?yàn)檎襟w棱長為2，所以正三角形和正三角形的邊長為，可得其面積為，設(shè)到平面的距離為，則由等體積法可得，解得；同理有到平面的距離也為，又易知，所以平面到平面的距離等于，即D錯誤；故選：AB12.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，左右焦點(diǎn)為，，直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則（）A.若，則的面積為B.直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，則C.若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為D.存在直線的方程為，使得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】ABC【解析】【分析】對于A：利用余弦定理及雙曲線的定義求出，進(jìn)而可得三角形的面積；對于B：設(shè)，與直線聯(lián)立，發(fā)現(xiàn)均與無關(guān)，進(jìn)一步分析可得；對于C：求出為定值，進(jìn)而可得的斜率的范圍；對于D：將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，通過判別式可得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，對于A：在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，，可得所以，故A正確；對于B，不妨設(shè)，當(dāng)時表示雙曲線，當(dāng)時表示該雙曲線的兩條漸近線.設(shè)直線，其與的交點(diǎn)為聯(lián)立，可得，應(yīng)滿足且.由韋達(dá)定理可知，都與無關(guān).所以線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，不妨設(shè)為.由可知，故B正確；對于C，設(shè)，且，，所以若的斜率范圍為，則的斜率的范圍為，C正確；對于D，聯(lián)立，消去可得，，故直線與雙曲線無交點(diǎn)，所以不存在中點(diǎn)，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，且，則_______.【答案】2【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列出式子直接得出答案.【詳解】，，且，，解得：，故答案為：2.14.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程與準(zhǔn)線的關(guān)系，列式求解.【詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可知，，得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，得到在恒成立，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在恒成立，因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16.記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)已知，，則____________，數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，則的最大值為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，再由求出，即可求出，從而求出，又，則，即可求出的通項公式與，參變分離可得對任意的恒成立，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，則，由，，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪ⅲ智覇握{(diào)遞增，所以對任意的恒成立，令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，，所以，所以的最大值為.

故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到，從而得到，求出數(shù)列的通項公式，最后參變分離轉(zhuǎn)化為求.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，且.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）極小值為，極大值為【解析】【分析】（1）首先根據(jù)求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值.【小問1詳解】由題設(shè)，則；，則，所以點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】由（1），由，有或，由，有，故區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，極大值為.18已知直線：和圓：.（1）求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）求經(jīng)過圓的圓心且與直線垂直的直線方程.【答案】（1）半徑為2，圓心坐標(biāo)為（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；（2）首先利用垂直關(guān)系設(shè)所求直線方程為，再代入圓心坐標(biāo)，即可求解.【小問1詳解】圓可化為，則圓心為，半徑為2；【小問2詳解】設(shè)與直線垂直直線的方程為已求出圓的圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本€經(jīng)過圓心，所以，即，故所求直線方程為19.已知等比數(shù)列的前項和為，，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求首項和公比，即可求通項公式；（2）由（1）可知，，再利用錯位相減法求和.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，且成等差數(shù)列，所以，解得，所以；【小問2詳解】把代入，化簡得，則①由①得②由①②得；化簡得，解得.20.如圖，平面，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為，，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明四邊形是平行四邊形，通過線線平行證明線面平行；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，根據(jù)法向量求平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：連接，因?yàn)?，所以，又，所以為平行四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，所以四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)槊?，面，所以平?【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則令，則，即，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以平面與平面所成夾角為21.在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個端點(diǎn)，的面積是.（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個以原點(diǎn)為圓心的定圓，使得動直線始終與定圓相切？若存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率與三角形的面積公式得的值，進(jìn)而得橢圓的方程.（2）討論直線的斜率不存在，設(shè)其方程為，根據(jù)得，代入方程解得，進(jìn)而求得；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，求得，再聯(lián)立方程，運(yùn)用判別式大于和韋達(dá)定理，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合恒成立思想，求得，即可判斷存在定圓滿足題意.【小問1詳解】依題意可得，，又，解得，所以橢圓方程為【小問2詳解】存在，其定圓的方程是.設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，由，可知為等腰直角三角形，則可設(shè)，∴，即，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，∴，整理得，聯(lián)立方程，可得，此時，，∴即恒成立，即恒成立，所以，即，所以定圓的方程是；綜上，當(dāng)時，存在定圓始終與直線相切，其方程是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助，代入，并分解為.22.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)并對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性并利用函數(shù)與方程的思想畫出圖象即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由.求導(dǎo)可得，