遼寧省朝陽市2020年中考數(shù)學(xué)試題

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遼寧省朝陽市2021年中考數(shù)學(xué)試題

試卷副標(biāo)題

考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號—>二三總分

得分

考前須知：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息$2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明

評卷人得分

1.-J7的絕對值是（）

A.-V7B.7C.SD.±7?

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值的定義求解即可.

【詳解】

-V7的絕對值是V7,

應(yīng)選：c.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查絕對值，掌握絕對值的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如下圖的主視圖對應(yīng)的幾何體是0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)主視圖是在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，逐一判斷即可.

【詳解】

A：的主視圖為故此選項(xiàng)錯誤;

B：的主視圖為m,故此選項(xiàng)正確;

C：的主視圖為□,故此選項(xiàng)錯誤;

D：的主視圖為11,故此選項(xiàng)錯誤；

答案應(yīng)選B

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了三視圖，理解主視圖的特點(diǎn)和熟記看的見局部的輪廓線畫成實(shí)線，因被

其他局部遮擋而看不見局部的輪廓線畫成虛線是解題的關(guān)鍵.

3.以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是()

A.a3-a2=a6B.(a3)-=a5

C.2a3-r-a2=2aD.2;r+3x=5%2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)同底數(shù)暴的乘法法那么、同底數(shù)塞的除法法那么、塞的乘方法那么、合并同類項(xiàng)逐

項(xiàng)計算即可.

【詳解】

A.a3-a2=ci，故不正確；

B.=°6,故不正確；

C.2a3-i-a2=2a>正確;

D.2x+3x=5x,故不正確；

應(yīng)選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法那么是解答此題的關(guān)鍵.同底數(shù)的幕相乘，底

數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)基相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相

乘；合并同類項(xiàng)時，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得和作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指

數(shù)不變.

4.計算疝-屈xg的結(jié)果是()

A.OB.V3C.373D.y

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡第一項(xiàng)，根據(jù)二次根式的乘法化簡第二項(xiàng)，然后合并即可.

【詳解】

解：原式=2g_J12x；

=2導(dǎo)6

=6

應(yīng)選B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法那么是解答此題的關(guān)鍵.

5.某品牌襯衫進(jìn)價為120元，標(biāo)價為240元，商家規(guī)定可以打折銷售，但其利潤率不

能低于20%,那么這種品牌襯衫最多可以打幾折？()

A.8B.6C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)售價-進(jìn)價=利潤，利潤=進(jìn)價x利潤率可得不等式，解之即可.

【詳解】

設(shè)可以打X折出售此商品，

X

由題意得：240x——120>120x20%,

10

解得x>6,

應(yīng)選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查了銷售問題，注意銷售問題中量之間的數(shù)量關(guān)系是列不等式的關(guān)鍵.

6.某書店與一山區(qū)小學(xué)建立幫扶關(guān)系，連續(xù)6個月向該小學(xué)贈送書籍的數(shù)量分別如下

（單位：本）：300,200,200,300,300,500這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別

是0

A.300,150,300B.300,200,200

C.600,300,200D.300,300,300

【答案】D

【解析】

【分析】

-1

分別根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的概念和平均數(shù)的求法x=—（改+/+…+斗）計算即可.

n

【詳解】

眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，這組數(shù)據(jù)中300出現(xiàn)了3次，

次數(shù)最多，所以眾數(shù)是300：

中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么

處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),那么中間兩個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),6個數(shù)據(jù)按順序排列之后，處于中間的數(shù)據(jù)是300,300,

所以中位數(shù)是+=3（X）；

2

平均數(shù)是1L(200+200+300+300+300+500)=300,

6

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，掌握眾數(shù)，中位數(shù)的概念和平均數(shù)的求法是解題

的關(guān)鍵.

7.如圖，四邊形A8CO是矩形，點(diǎn)。是邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)3、點(diǎn)C不重合）,

NBAD+NDOC

那么的值為0

ZADO

；C.2D.無法確定

A.1B.

【答案】A

【解析】

【分析】

過點(diǎn)D作DEHAB交AO于點(diǎn)E,由平行的性質(zhì)可知

/BAD=ZADE,ZDOC="DE,等量代換可得/胡“+的

ZADO

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)D作。E//AB交AO于點(diǎn)E,

???四邊形ABCO是矩形

應(yīng)選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

4

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=1X+4的圖象與x軸、y軸分別相交于

k

點(diǎn)B,點(diǎn)A,以線段48為邊作正方形ABCO,且點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-(x<0)的

x

圖象上，那么4的值為()

A.-12B.-42C.42D.-21

【答案】D

【解析】

【分析】

過點(diǎn)C作CE，x軸于E,證明△AOB^^BEC,可得點(diǎn)C坐標(biāo)，代入求解即可；

【詳解】

解：?.,當(dāng)x=0時，y=0+4=4,.-.A(0,4),，OA=4；

4

?.?當(dāng)y=0時，0=§x+4,；.x=-3,；.B(-3,0),...OB=3；

過點(diǎn)C作CELx軸于E,

；四邊形ABCD是正方形，

/.ZABC=90°,AB=BC,

VZCBE+ZABO=90°,ZBAO+ZABO=90°,

/.ZCBE=ZBAO.

在^AOB和^BEC中，

NCBE=NBAO

<NBEC=NAOB,

BC=AB

.?.△AOB絲△BEC,

；.BE=AO=4,CE=OB=3,

；.OE=3+4=7,

，C點(diǎn)坐標(biāo)為(-7,3),

k

??,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—(x<0)的圖象上，

x

k=-7X3=-21.

應(yīng)選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)，以及

全等三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

9.某體育用品商店出售鍵球，有批發(fā)和零售兩種售賣方式，小明打算為班級購置鍵球，

如果給每個人買一個穰球，就只能按零售價付款，共需80元；如果小明多購置5個鍵

球，就可以享受批發(fā)價，總價是72元.按零售價購置40個穰球與按批發(fā)價購置50個

穰球付款相同，那么小明班級共有多少名學(xué)生？設(shè)班級共有x名學(xué)生，依據(jù)題意列方程

得0

“8072“、“、8072.

A.50x—=------x40B.40x—=------x50

Xx+5xx+5

7280一、一、7280“、

C.40X-----=—x50D.50X------=—x40

x-5xx-5X

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)“按零售價購置40個誕球與按批發(fā)價購置50個連球付款相同"建立等量關(guān)系，分

別找到零售價與批發(fā)價即可列出方程.

【詳解】

設(shè)班級共有x名學(xué)生，依據(jù)題意列方程得，

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查列分式方程，讀懂題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在正方形A8CO中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在3c邊上，且

CE=2BE,連接AE交3。于點(diǎn)G,過點(diǎn)3作AE于點(diǎn)尸，連接OF并延長，

9

交5c于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作交0C于占N,S四邊形，現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①竺=2；②sinNBOF=2叵；③。尸=)叵；④OG=BG；其中正確的結(jié)論

AG3105

有0

A.①②③B.②③@C.(1X2)@D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】

①直接根據(jù)平行線分線段成比例即可判斷正誤；

②過點(diǎn)O作交AE于點(diǎn)H,過點(diǎn)O作OQ_LBC交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作

BK_L0M交OM的延長線于點(diǎn)K,首先根據(jù)四邊形MONC的面積求出正方形的邊長，

利用勾股定理求出AE,AF,EF的長度，再利用平行線分線段成比例分別求出OM,BK的

長度，然后利用sinNBOF=處即可判斷；

0B

OF

③利用平行線分線段成比例得出J=4,然后利用勾股定理求出0M的長度，進(jìn)而

FM

OF的長度可求；

④直接利用平行線的性質(zhì)證明AH0GQ4EBG，即可得出結(jié)論.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)。作交AE于點(diǎn)H,過點(diǎn)O作。。交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B

作BK上0M交0M的延長線于點(diǎn)K,

；四邊形ABCD是正方形，

：.OB=-BD,OC=-AC,AC=BD,ZOBM=Z.OCN=45。,08±OC,AD//BC,

22

OB=OC,NBOC=90°,

ZBOM+ZMOC=90°.

\OPLOF,

:.ZM0N=90°,

:,NCON+ZMOC=90°,

：.ZBOM=ZCON,

ABOM^^CON,

?

??q—_*qACON，

?_19

,*S四邊形MONC=S^BOC~~OB?OC--,

...OB=OC=逑，

2

BC=—x^=3.

2

?;CE=2BE,

BE=-BC=\,

3

AE=ylAB2+BE2=V10-

-.BF±AE>

：.-AEBF=-ABME,

22

:.BF=迎,

10

510

OFHFOH

4,

FMEFME

.ME=-OH=-xl=~,

444

33

.BM=-,BQ=-.

44

■AD!IBC,

GEBE1

-----=-----="，故①正確；

AGAD3

■OH!IBC,

咀=—=-,ZHOG=ZGBE,

ECACAE2

OH=ME,AH=HE=平

?;/HGO=/EGB,

AHOG/AEBG，

：.OG=BG,故④正確;

?/OQ2+MQ2=OM2,

OM=^OQ2+MQ2=孚

?,?。尸者*哈故③正確;

BK=^BMOQ,

即L迅即」33,

24242

?3#)

10

sinZBOF=——=-）故②錯誤；

OB10

，正確的有①③④，

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查四邊形綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線

段成比例和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

第II卷（非選擇題）

請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明

評卷人

二、填空題

11.在全國上下眾志成城抗疫情、保生產(chǎn)、促開展的關(guān)鍵時刻，三峽集團(tuán)2月24日宣

布：在廣東、江蘇等地投資580億元，開工建設(shè)25個新能源工程，預(yù)計提供17萬個就

業(yè)崗位將“580億元"用科學(xué)記數(shù)法表示為____________元.

【答案】5.8x10'°

【解析】

【分析】

用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為ax1。11,其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，據(jù)此判

斷即可.

【詳解】

580億=58000000000=5.8x1010.故答案為：5.8x10'0.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axl（r,其中］<|a|<10,確定

a與n的值是解題的關(guān)鍵.

12.臨近中考，報考體育專項(xiàng)的同學(xué)利用課余時間緊張地訓(xùn)練，甲、乙兩名同學(xué)最近

20次立定跳遠(yuǎn)成績的平均值都是2.58m,方差分別是：.需=0.075,5^=0.04,這兩

名同學(xué)成績比擬穩(wěn)定的是（填“甲"或"乙"）.

【答案】乙

【解析】

【分析】

根據(jù)方差表示數(shù)據(jù)波動的大小，比擬方差的大小即可求解.

【詳解】

?.?.扁=0.075,si=0.04

?.5用＞s乙

，乙的波動比擬小，乙比擬穩(wěn)定

故答案為：乙

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了方差，熟記方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大是解題的關(guān)鍵.

2x+y=2a+1

13.關(guān)于x、y的方程：「匚的解滿足x+y=—3,那么”的值為

x+2y=5-5a

【答案】5

【解析】

【分析】

①+②可得x+y=2-a,然后列出關(guān)于a的方程求解即可.

【詳解】

2x+y=2a+l①

解：:?

x+2y=5-5。②

①+②，得

3x+3y=6-3a,

.*.x+y=2-a,

?.?X+y=-3,

/.2-a=-3,

.**a=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二元一次方程組的特殊解法，在求二元一次方程組中兩個未知數(shù)的和或差的

時候，有時可以采用把兩個方程直接相加或相減的方法，而不必求出兩個未知數(shù)的具體

值.

14.拋物線丁=(%-1)/一x+1與x軸有交點(diǎn)，那么A的取值范圍是

【答案】噌且E

【解析】

【分析】

直接利用根的判別式進(jìn)行計算，再結(jié)合k-1H0,即可得到答案.

【詳解】

解：；拋物線)=(左—1)/一X+1與X軸有交點(diǎn)，

A=(-l)2-4x(Zr-l)xl>0,

：.k<~,

4

又???左一1。0,

二％W1,

...%的取值范圍是鼠2且上H1;

4

故答案為：鼠一且ZHI.

4

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)的問題，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式求參數(shù)的取

值范圍.

15.如圖，點(diǎn)是。。上的點(diǎn)，連接且乙4。？=15°，過點(diǎn)。作

OD//AB交。。于點(diǎn)。，連接AD,8。，半徑為2,那么圖中陰影面積為

【答案】飛

【解析】

【分析】

由圓周角定理可得乙408的度數(shù)，由。D//AB可得SA"D=SAA8。，進(jìn)而可得5陰影=5疑

AOB,然后根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【詳解】

解：???NAC5=15°,

ZAOB=30°,

'：0D//AB,

??SMBO,

.C_C_304X2?_71

??3陰影—J扇形AOB---------二——.

3603

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的三角形的面積相等等知識，屬于常

考題型，熟練掌握上述根本知識是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，動點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度按圖中箭頭所示

方向運(yùn)動，第1秒運(yùn)動到點(diǎn)(1,0),第2秒運(yùn)動到點(diǎn)(1,1),第3秒運(yùn)動到點(diǎn)(0,1),第4

秒運(yùn)動到點(diǎn)(0,2)…那么第2068秒點(diǎn)尸所在位置的坐標(biāo)是.

【答案】(45,43)

【解析】

【分析】

分析點(diǎn)P的運(yùn)動路線及所處位置的坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而求解.

【詳解】

解：由題意分析可得，

動點(diǎn)P第8=2x4秒運(yùn)動到(2,0)

動點(diǎn)P第24=4x6秒運(yùn)動到(4,0)

動點(diǎn)P第48=6x8秒運(yùn)動到(6,0)

以此類推，動點(diǎn)P第2n(2n+2)秒運(yùn)動到⑵,0)

，動點(diǎn)P第2024=44x46秒運(yùn)動到(44,0)

2068-2024=44

,按照運(yùn)動路線，點(diǎn)P到達(dá)(44,0)后，向右一個單位，然后向上43個單位

.?.第2068秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)是(45,43)

故答案為：(45,43)

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求

規(guī)律進(jìn)行解題是解答此題的關(guān)鍵.

評卷人得分

3

u.,,M；...（x—1八x—2x~+x,I—

17.先化簡，再求值：--+1N-----i—；—,其中x=G+l.

\x+l）x~

【答案】a竽

【解析】

【分

先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法那么把原式進(jìn)行化簡，再把X的值代入式子進(jìn)行計算即可.

【詳解】

x-l)x(-V-l)2

原式=——+14-

X+1)(x+lXx-1)

2_2X/5

當(dāng)X=6+1時,原式=

V3+1-1-3

【點(diǎn)睛】

此題主要考查的是分式的化簡求值，最簡二次根式，在解答此類型題目時，要注意因式

分解、通分和約分的靈活運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法那么是解題的關(guān)鍵.

18.如下圖的平面直角坐標(biāo)系中，AMC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(-3,2),8(-l,3),C(-1,1),請按如下要求畫圖:

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將AMC順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△A4G，請畫出

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出5c的位似圖形△A&G，使

它與△ABC的位似比為2:1.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)。對稱的點(diǎn)A］、BHCl的位置，然后順

次連接即可；

(2)利用位似的性質(zhì)，找出點(diǎn)A2、B2、C2的位置，然后畫出圖形即可.

【詳解】

解：(1)△44G位置正確；用直尺畫圖；

(2)ZX4B2G位置正確；用直尺畫圖.

【點(diǎn)睛】

此題考查了位似圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的性質(zhì)正確的做出圖

形.

19.由于疫情的影響，學(xué)生不能返校上課，某校在直播授課的同時還為學(xué)生提供了四種

輔助學(xué)習(xí)方式：A網(wǎng)上自測，B網(wǎng)上閱讀，C網(wǎng)上答疑，D網(wǎng)上討論.為了解學(xué)生對四

種學(xué)習(xí)方式的喜歡情況，該校隨機(jī)抽取局部學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，規(guī)定被調(diào)查學(xué)生從四種

方式中選擇自己最喜歡的一種，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答以下問題：

(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，"，的值是,D對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是

(3)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(4)假設(shè)該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請你估計該校最喜歡方式D

的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)50；(2)10,72°;(3)圖形見解析；(4)400人

【解析】

【分析】

(1)用A的人數(shù)除以A的百分比即可；

(2)用B的人數(shù)除以樣本容量即可；

(3)求出B的人數(shù)補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；

(4)用2000乘以D的百分比即可.

【詳解】

(1)20+40%=50人;

故答案為：50；

(2)(50-20-15-10)-i-50X100%=10%,即m=10；

—x360=72°;

50

故答案為：10,72°：

(3)50-20-15-10=5(人)；

(4)2000X—=400(人).

50

答：該校最喜歡方式。的學(xué)生約有400人.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用I.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得

到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.也考查了用樣本估計總體.

20.某校準(zhǔn)備組建“校園平安宣傳隊"，每班有兩個隊員名額，七年2班有甲、乙、丙、

丁四位同學(xué)報名，這四位同學(xué)綜合素質(zhì)都很好，王老師決定采取抽簽的方式確定人選具

體做法是：將甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別編號為1、2、3、4號，將號碼分別寫在4

個大小、質(zhì)地、形狀、顏色均無差異的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分

攪拌均勻后，王老師從袋中隨機(jī)摸出兩個小球，根據(jù)小球上的編號確定本班“校園平安

宣傳員〃人選.

(1)用畫樹狀圖或列表法，寫出“王老師從袋中隨機(jī)摸出兩個小球”可能出現(xiàn)的所有

結(jié)果.

(2)求甲同學(xué)被選中的概率.

【答案】(1)見解析；(2)二

【解析】

【分析】

(1)方法1：用列表法表示出所有可能的結(jié)果；方法2：用樹狀圖表示出所有可能的結(jié)

果；

(2)從表格中或樹狀圖中找到甲同學(xué)被選中的情況數(shù)，利用所求情況數(shù)與總數(shù)之比求

概率即可.

【詳解】

(1)方法1：列表法

1234

1(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.

方法2：樹狀圖法

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同

(2)甲被選中的結(jié)果共有6種,

所以，々甲被選中）=五=]?

【點(diǎn)睛】

此題主要考查用列表法和樹狀圖求隨機(jī)事件的概率，掌握列表法和樹狀圖是解題的關(guān)鍵.

21.為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到紅色文化基地A和人工智能

科技館C參觀學(xué)習(xí)如圖，學(xué)校在點(diǎn)5處，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校南偏東

30。方向，C在A的南偏西15。方向（3（）+3（）百）km處.學(xué)生分成兩組，第一組前往A

地，第二組前往C地，兩組同學(xué)同時從學(xué)校出發(fā)，第一組乘客車，速度是40km/h,第

二組乘公交車，速度是30km/h,兩組同學(xué)到達(dá)目的地分別用了多長時間？哪組同學(xué)

先到達(dá)目的地？請說明理由（結(jié)果保存根號）

【答案】第一組用時1.5小時，第二組用時0小時，第二組先到達(dá)目的地，理由見解

析

【解析】

【分析】

法1：過點(diǎn)B作BD1AC于D,在RrABCD中證得BD=CD,設(shè)8。=x,那么CD=x,

在RtAABD中，N84C=30°，利用三角函數(shù)定義或勾股定理表示出AD的長，在

中,利用三角函數(shù)表示出CD的長，由AD+CD=AC列出方程問題得解；法

2與法1輔助組相同，不同點(diǎn)是法2是在BCD中，利用三角定義tan30°=處列

AD

方程求解.

【詳解】

方法1：

解：作于D依題意得，

NBAE=45°，/ABC=105°，ZCAE=15°

ZBAC=30°,

.-.ZACB=45\

在中，NBDC=90°,NACB=45°,

.-.ZCBD=45\

：.ZCBD=ZDCB,

BD—CD,

設(shè)=那么CD=x,

在RtZkABO中，ABAC=30"?

BD

：.AB=2BD=2x，tan30°=——，

AD

_y/3_x

/.--=---，

3AD

：.AD=y/3x(或者由勾股定理得)

在中，ZBDC=90"，

NDCB=45°，

sinZDCB=—=

BC2

BC=yflx，

?.?C0+A0=30+30G，

/.x+6x=30+3073.

x=30,

A8=2x=60,

BC=Ox=3。丘，

第一組用時：60+40=1.5(h)；第二組用時：300-30=夜(h)

?.-5/2<1.5.

,第二組先到達(dá)目的地，

答：第一組用時.1.5小時，第二組用時及小時，第二組先到達(dá)目的地.

方法2：

解：BO_LAC于點(diǎn)。，

依題意得：NBAE=45°，ZABC=105°.ZCAE=15°.

:.ZBAC=3(f，

:.ZACB=45\

在Rt^BCD中,NBDC=90°,ZACB=45°,

??.NC3O=45°，

BD=CD，

設(shè)5￡>=x,那么CD=X,

由勾股定理得：BC3X，

AC=30+30百，

AZ)=3O+3O6-x，

在RtAABO中，ABAC=30°

。

tun3c0c=-B--D-,

AD

5/3_x

…3-30+30后-/

x=30,

/.AB=2x=60,

BC=岳=300，

第一組用時：60-40=1.5(h)；第二組用時：30&+30=a(h)

?.?亞<1.5，

第二組先到達(dá)目的地.

答：第一組用時1.5小時，第二組用時及小時，第二組先到達(dá)目的地.

【點(diǎn)睛】

此題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解

決問題.

22.如圖，以A8為直徑的。。經(jīng)過AAbC的頂點(diǎn)C,過點(diǎn)。作OD//BC交。。于

點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)尸，連接50交AC于點(diǎn)G,連接C。，在0。的延長線上取一點(diǎn)E,

連接CE,使ZDEC=ZBDC.

(1)求證：EC是。。的切線

(2)假設(shè)的半徑是3,DGDB=9,求CE的長.

【答案】(1)見解析；(2)3百

【解析】

【分析】

(1)連接。C,由A8是直徑及。0//BC可得NCEE=NAC3=90°,進(jìn)而得到

NDEC+NFCE=9d,再根據(jù)圓周角定理推導(dǎo)出/DEC=NA,進(jìn)而得到OCLCE,

再根據(jù)0C是半徑即可得證；

(2)由(1)得ZCFE=90°，進(jìn)而得到ZACD=ND3C,再通過證明^DCG^^DBC

得到DC2=DGDB=9,再由tan60°=—即可求出CE的值.

OC

【詳解】

(1)證明：如圖，連接OC,

；43是直徑，

；?ZAC5=90°，

■:OD//BC,

,NCFE=ZAC8=90°，

，NDEC+NFCE=9S，

ZBDC=ZDEC,ZBDC=ZA,

：.ZDEC=ZA,

?：OA^OC,

：.ZOCA=ZA,

：.ZOCA=ZDEC,

/DEC+NFCE=90°，

,ZOCA+NFCE=90°，即NOCE=90°.

：.OC±CE,

又是半徑，

...CE是。。切線.

(2)由(1)得NCFE=90°，

二OF±AC,

■：OA^OC,

：.NCOF=ZAOF,

?*-CD=AD>

ZACD=ZDBC,

又,:/BDC=/BDC,

：.&DCGs&DBC,

.DCDG

..-----=------,

DBDC

二DC2=DGDB=9,

:.DC=3,

'：OC=OD=3,

△08是等邊三角形，

ZDOC=60".

CE

在Rtz^OCE中tan60=,

oc

:.也旦,

3

CE=36

【點(diǎn)睛】

此題考查切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定等知識，熟知切線的判定方法以

及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.某公司銷售一種商品，本錢為每件30元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量

J（件）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價、日銷售量的三組對應(yīng)數(shù)值

如下表：

銷售單價X（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）直接寫出y與x的關(guān)系式；

（2）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤；

（3）銷售一段時間以后，由于某種原因，該商品每件本錢增加了10元，假設(shè)物價部門

規(guī)定該商品銷售單價不能超過a元，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）

中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值.

【答案】（1）y=-x+\20；（2）當(dāng)銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元；（3）

70

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題中所給的表格中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出其關(guān)系式;

(2)根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以件數(shù)，再利用配方法求得其最值;

(3)根據(jù)題意，列出關(guān)系式，再分類討論求最值，比擬得到結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)解析式為y=^+6,

40%+。=80k=-1

將(40,80)和(60,60)代入，可得《解得《

60女+匕=60。=120

所以y與x的關(guān)系式為y=-x+120,

所以答案為y=-x+i20；

(2)卬=(x-30)y

?.,<2=-1<0,

.?.拋物線開口向下，函數(shù)有最大值

.?.當(dāng)X=75時，W最大=2025

答：當(dāng)銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元.

(3)w=(x-30-10)(-x+120)

當(dāng)卬最大=150()時，—(x—80)2+1600=1500

解得％=70,%=90

?.?4噴*。，...有兩種情況

①。<80時，在對稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，

.,.當(dāng)x=a=70時，除大=1500

②a.80時，在40Bka范圍內(nèi)卬最大=1600/1500,

二這種情況不成立，，a=70.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)應(yīng)

用題，在解題的過程中，注意正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題目.

24.如圖，在ABC中，ZBAC=90\AB=AC,M是AC邊上的一點(diǎn)，連接8M,

作AP±BM于點(diǎn)P,過點(diǎn)C作AC的垂線交AP的延長線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AM=CE.

(2)如圖2,以AM,為鄰邊作口AMBG,連接GE交BC于氤N,連接AN,求——

AN

的值；

(3)如圖3,假設(shè)的是AC的中點(diǎn)，以45,為鄰邊作oAGMB,連接GE交8c

NC1GF

于點(diǎn)M,連接AM經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)三=”，請直接寫出七的值.

BC8AN

【答案】(1)見解析；(2)—=2；(3)逑

AN5

【解析】

【分析】

(1)通過證與ACAE全等可以證得AM=CE；

(2)過點(diǎn)E作EF1CE交BC于F,通過證明△A5G與AACE全等，證得AG=AE,

通過△G8N四△ERV證得GN=EN,最后由直角三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；

(3)延長GM交BC于點(diǎn)F,連接AF,在RfZ\AFC中，由勾股定理求出AN的長，

在R/AAEG中，求出EG的長即可得到答案.

【詳解】

(1)證明

(2)過點(diǎn)E作CE的垂線交3c于點(diǎn)尸

二四邊形AMBG是平行四邊形

由(1)得△ARVfgAGLE

ZGAE=ZBPE=90°,.-.AN=-GE.

2

.?.—2.

AN

(3)如圖，延長GM交BC于F,連接AF

在oABMG中，AB//GM,AABM^/\MGA,

:.ZAMG=ZBAC=9Q°,

:.ZGMC=ZACE=90°,

:.GFHCE,

：.BF=CF,

-.AB=AC,

AF±BC,AF=-BC,

2

,設(shè)CN=x,那么BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

BC8

.?.在R/4AFN中，AN=VAF2+FN2=5X，

在Rf/XABM中，AB=—BC=—x8x=4，AM=-AB=272%,

222

22

BM=yjAB+AM=+償力J=2y[\0x，

AG^BM=2V10X,

由(1)知△ABMgACAE，

AE=AG,

在Rt^AEG中，EG=，盤+松=叵AG=亞義2屈x=40，

.GE_475%_475

"AN~5x~5,

【點(diǎn)評】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，尋找全等三角形解決問題，屬于

壓軸題.

1,

25.如圖，拋物線？=一5》+法+C與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,拋物

線的對稱軸為直線x=-l,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4).

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使ZABP=ZBCO,如果存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；如果

不存在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，假設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)"是直線BP上方拋物線上的一個

動點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線3尸的最大距離；

(4)點(diǎn)G是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)〃是線段3c上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段43上的動點(diǎn)，

三個動點(diǎn)都不與點(diǎn)4民。重合，連接G”,GQ,"Q,得到AG”Q,直接寫出AG〃Q

周長的最小值.

157

【答案】⑴y=-^x2-x+4；⑵存在，P(—3Q)或尸(―5,-]),理由見解析；⑶

矩.⑷吆叵

45

【解析】

【分析】

(1)利用拋物線的對稱軸為X=-l,求出匕的值，再把匕的值和c的坐標(biāo)代入

y=—；尤2+力尤+<?計算即可；

(2)作PEJ_x軸于點(diǎn)E,利用相似三角形的判定方法可證得△PEBs/xBOC,設(shè)

-m+4^,那么PE=-gm？一根+4,BE=2-m,再分別討論。的位

置列式求解即可；

(3)作Mx軸于點(diǎn)F,交B