人教A版必修第二冊923總體集中趨勢的估計學案

9.2.3總體集中趨勢的估量

新課程標準新學法解讀

結(jié)合實例，能用樣本估量總體的集

閱讀教材并通過復習回憶學校學

中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾

習的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念，

數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含

明確它們的統(tǒng)計含義.

義.

課前篇?自主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學問點眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

在頻率分布

特征量含義

直方圖中的表達

取最高的小長方形底邊中點的

眾數(shù)消失次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

橫坐標

將數(shù)據(jù)按從大到小或從小

把頻率分布直方圖劃分為左右

到大的挨次依次排列，處在

中位數(shù)兩個面積相等的局部，分界線與

最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或

%軸交點的橫坐標

最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))

每個小長方形的面積乘以小長

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)

方形底邊中點的橫坐標之和

［重點理解］

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解

(1)一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)消失的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，遭

失次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

說明：假如有幾個數(shù)據(jù)消失的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)消失的

次數(shù)都多，那么這幾個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；假設一組數(shù)據(jù)中，

每個數(shù)據(jù)消失的次數(shù)一樣多，那么認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).

(2)假如二組數(shù)有奇數(shù)個數(shù),且依據(jù)從小到大排列后為修，處…，

%2/1，那么稱第+1為這組數(shù)的中位數(shù)；假如一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且依

據(jù)從小到大排列后為期，％2,…，％2〃，那么稱趙掾皂為這組數(shù)的史

（3）假如給定的一組數(shù)是修，％2,…，/，那么這組數(shù)的平均數(shù)為

X亍之01土松土?二土3疝.

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫“中心位置〃的量，它們從不同

角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比擬

名稱優(yōu)點缺點

①它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很

①表達了樣本數(shù)據(jù)的最大集

眾少的一局部信息；

中1八占、、，?

數(shù)②無法客觀地反映總體的特

②簡單計算

征

①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)

中（即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù)）

位的影響；對極端值不敏感

數(shù)②簡單計算，便于利用中間

數(shù)據(jù)的信息

代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集任何一個數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)變都會引

平

中趨勢的量.一般狀況下，起平均數(shù)的轉(zhuǎn)變.數(shù)據(jù)越

均

可以反映出更多的關于樣本“離群〃，對平均數(shù)的影響

數(shù)

數(shù)據(jù)全體的信息越大

［自我排查］

1.一組數(shù)據(jù)：85,88,73,88,79,85,其眾數(shù)是（）

A.88B.73C.88,85D.85

答案：C

解析：該組數(shù)據(jù)85,88,73,88,79,85有兩個眾數(shù)，它們是88,85.應

選C.

2.數(shù)據(jù)一3,-2,0,6,6,13,20,35,那么它的中位數(shù)和眾數(shù)各是

)

A.6和6B.3和6

答案：A

解析：?.?從小到大排列的這8個數(shù)，排在中間的兩個數(shù)都是6,

二.中位數(shù)是6:消失的次數(shù)最多，眾數(shù)是6,應選A.

3.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為一1Q4,X,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)是5,那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為()

A.5B.6C

答案：B

解析：由題意得;(4+%)=5,得％=6.

4.一組數(shù)據(jù)0,2,%,4,5的眾數(shù)是4,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

答案：3

解析：?.?數(shù)據(jù)0,2,X,4,5的眾數(shù)是4,，X=4,

二.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是gx(0+2+4+4+5)=3.

5.一組數(shù)據(jù)1,10,5,2,%,2,且2<%<5,假設該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位

2

數(shù)的1倍，那么該數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.

答案：4

2

解析：依據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2,那么中位數(shù)是2苜=3,

2+x

把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2,X,5,10,那么丁=3,解得x=4,

——1

所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為％(1+24-2+4+5+10)=4.

課堂篇?重點難點研習突破

研習1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算

［典例1］（鏈接教材第203頁例4）（多項選擇）某籃球隊甲、乙兩

名運發(fā)動練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個，命中個數(shù)如下

所示：

甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26

乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11

那么下面結(jié)論中正確的選項是（）

A.甲的極差是29B.乙的眾數(shù)是21

C.甲的平均數(shù)為21.4D.甲的中位數(shù)是24

［答案］ABC

［解析］把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列，得

甲:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37

乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23

故甲的最大值為37,最小值為8,那么極差為29,所以A正確;

——1

乙中消失最多的數(shù)據(jù)是21,所以B正確；甲的平均數(shù)為％甲=正（8+

12+13+20+22+24+25+26+27+37)=,所以C正確；甲的中位

數(shù)為京22+24)=23,故D不正確.

［巧歸納］平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法

平均數(shù)一般是依據(jù)公式來計算的；計算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將

這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的挨次排列，再依據(jù)各自的定義計

算.

［練習1］1.某學習小組在一次數(shù)學測驗中，得100分的有1人,

95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各

有1人，那么該小組成果的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

答案：C

解析：從小到大列出全部數(shù)學成果：

75,80,85,85,85,85,90,90,95,100,觀看知眾數(shù)和中位數(shù)均為85,計算得

平均數(shù)為87.

2.一組數(shù)據(jù)%1，%2,%3,%4,%5的平均數(shù)是2,那么另一組數(shù)據(jù)

2修一3,2%2—3,2即一3,2%4—3,2%5—3的平均數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案：A

解析：由于一組數(shù)據(jù)Xi,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)是2,所以另一

組數(shù)據(jù)2即一3,2%2—3,2%3—3,2%4—3,2%5—3的平均數(shù)為2X2—3=1.

應選A.

研習2平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應用

［典例2］（鏈接教材第205頁例5）據(jù)了解，某公司的33名職工

月工資（單位：元）如下:

職務董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員

人數(shù)11215320

工資110001000090008000650055004000

⑴求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）假設副董事長的工資從10000元提升到20000元，董事長的

工資從11000元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

又是多少（精確到元）？

（3）你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合

此問題談一談你的看法.

［解］（1）平均數(shù)是：7=4000+

7000+6000+5000X2+4000+2500X5+1500X3+0X20

33

=4000+1333=5333（元）.

中位數(shù)是4000元，眾數(shù)是4000元.

（2）平均數(shù)是=4000+

26000+16000+5000X2+4000+2500X5+1500X3+0X20

33

=4000+2212=6212(元).

中位數(shù)是4000元，眾數(shù)是4000元.

(3)在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水

平，由于公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差異較大，這樣

導致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的

工資水平.

［巧歸納］眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義

(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心

值〃，其中眾數(shù)和中位數(shù)簡單計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但

只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但

受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大；

(2)當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復消失時，其眾數(shù)往往更能反映

問題，當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.

［練習2］如表是五班級兩個班各11名同學1分鐘仰臥起坐的成

果(單位：次)：

一班1933262928333435333320

二班2527292829302935293029

(1)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？

(2)你認為哪個數(shù)表示兩個班的成果更適宜？

解：(1)一班平均數(shù)：

(19+33+26+29+28+33+34+35+33+33+30)X1=

333口1=30.27(次)，

一班數(shù)據(jù)從小到大排列為：

19,26,28,29,30,33,33,33,33,34,35,

所以一班中位數(shù)為33次，

33消失的次數(shù)最多，眾數(shù)是33次；

二班平均數(shù)：

(25+27+29+28+29+30+29+35+29+30+29)X1=

320X1=29.09(次)，

二班數(shù)據(jù)從小到大排列為：

25,27,28,29,29,29,29,29,30,30,35,

所以二班的中位數(shù)是29次，

29消失的次數(shù)最多，所以二班的眾數(shù)是29次.

(2)運用平均數(shù)表示兩個班的成果更適宜.

研習3利用頻率分布直方圖估量總體的集中趨勢

［典例3］某校從參與高二班級學業(yè)水平測試的同學中抽出80名

同學，其數(shù)學成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如下圖.

⑴求這次測試數(shù)學成果的眾數(shù)；

(2)求這次測試數(shù)學成果的中位數(shù).

7Q_|_QQ

［解］(1)由題干圖知眾數(shù)為一丁=75,那么這80名同學的數(shù)

學成果的眾數(shù)為75分.

(2)由題干圖知，設中位數(shù)為％X(%—70),所以％七73.3,即這80

名同學的數(shù)學成果的中位數(shù)為73.3分.

［母題探究］1.［變設問］假設本例的條件不變,求數(shù)學成果的平均

數(shù).

解：由題干圖知這次數(shù)學成果的平均數(shù)為：處詈XX10+

50+5060+7070+8080+90

-2~XX10+-2~XX10+-2~XX10+-2~XX10+

90+100八

一2一XX10=72(分).

2.［變設問］假設本例條件不變，求80分以下的同學人數(shù).

角星:分數(shù)在［40,80)內(nèi)的頻率為：(0.005+0.015+0.020+0.030)*10

=0.7,所以80分以下的同學人數(shù)為80X0.7=56.

［巧歸納］用頻率分布直方圖估量眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左

右兩個面積相等的局部的分界線與z軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心〃，等于頻率分

布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.

［練習3］某校為了解全校高中同學五一小長假參與實踐活動的

狀況，抽查了100名同學，統(tǒng)計他們假期參與實踐活動的時間(單位:

小時)，繪成的頻率分布直方圖如下圖.

頻率

0.15

a

0.12

1012實驗活動時間〃卜時

(1)求這100名同學中參與實踐活動時間在6?10小時內(nèi)的人數(shù);

(2)估量這100名同學參與實踐活動時間的眾數(shù)、中位數(shù)和平均

角翠：(l)100X［1-(0.04+0.12+0.05)X21=58(^),

即這100名同學中參與實踐活動時間在6?10小時內(nèi)的人數(shù)為

(2)由頻率分布直方圖可以看出最高矩形底邊中點的橫坐標為7,

故這100名同學參與實踐活動時間的眾數(shù)的估量值為7小時.

由(0.04+0.12)X2=0.32,(0.04+0.12+0.15)X2=

0.62,0.32<0.5<0.62,

得中位數(shù)才滿意6<K8.

由0.32+Q—6)X0.15=0.5,

得片7.2,

即這100名同學參與實踐活動時間的中位數(shù)的估量值為7.2小

由(0.04+0.12+0.15+Q+0.05)X2=1,

解得a=0.14,

X2XX2XX2XX2XX2X11=7.16（小時）.

課后篇?根底達標延長閱讀

1.數(shù)據(jù)一3,-2,0,6,6,13,20,35,那么它的中位數(shù)和眾數(shù)各是

()

A.6和6B.3和6C

答案：A

解析：?.?從小到大排列的這8個數(shù)，排在中間的兩個數(shù)都是6,

二.中位數(shù)是6:消失的次數(shù)最多，眾數(shù)是6,應選A.

2.在一次中同學田徑運動會上，參與男子跳高的17名運發(fā)動的

成果如表所不：

成果(單位：m)

人數(shù)23234111

分別求這些運發(fā)動成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).

解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75消失了4次，消失的次數(shù)最多，即這

組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.袁里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的挨次排

列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù)是1.70；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是X3+-Xl)=,17)^1.69(m).

故17名運發(fā)動成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m,1.70

m,1.69m.

課后自讀方案

［標準解答］用樣本平均數(shù)估量總體平均數(shù)

［例如］（2020福建莆田高一檢測）國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的?

環(huán)境空氣質(zhì)量標準?，其中規(guī)定，居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得

超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/

立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的

24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

組另IJPM2.5（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率

第一組(0,15]4

其次組(15,30]12y

第三組(30,45]8

第四組(45,60]8

第五組(60,75]