高中數(shù)學(xué)必2-第1課時 余弦定理、正弦定理 (二)

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1課時余弦定理、正弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一余弦定理

1.AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=l,c=2,cosB=|,

則b=（）

A.V2B.V3C.2D.3

2.在4ABC中，：前|=3,|g?|=5,|荏|=7,則而?乙?的值為（）

A.--B.-C.--D.-

2222

3.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.150°B.90°

C.135°D.120°

4.在4ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若（a-b-c）（a-b+c）+ab=0

且sinA=2,則B=（）

A.-B.-

23

C.-D.-

46

5.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,

則此三角形（）

A.無解B.有一個解

C.有兩個解D.解的個數(shù)不確定

6.（2020福建廈門雙十中學(xué)高三上期中）4ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊

分別為a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么AABC的周長等于（）

A.12B.20C.26D.10^3

7.（2020山東濟寧高一上期末）在4ABC中,B。BC邊上的高等于《BC,

43

則cosNBAC=（）

A3V10DA/10

A?----D.----

1010

C.-也

1010

8.（2019山東荷澤一模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

若a=2,c=V2,cosA=--,則b的值為

4

9.在4ABC中,肅不（管+等+等..

10.在4ABC中，已知BC=7,AC=8,AB=9,則AC邊上的中線長

為.

11.如圖,在4ABC中，已知點D在邊BC上,且

ZDAC=90°,sinNBAC弩,AB=3V2,AD=3.求BD的長.

8D

12.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

a=3,b=2,2cos-^-cos2C=l.

⑴求C的大??；

（2）求：的值.

b

題組二正弦定理

13.在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列關(guān)系式中一定

成立的是（）

A.a>bsinAB.a=bsinA

C.a<bsinAD.a^bsinA

14.（2020安徽淮北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)高二上期末）在AABC

中，AC=2近，ZABC=135°,則4ABC的外接圓的面積為（）

A.12JIB.8冗C.16JiD.4n

15.在4ABC中，a=2V3,b=2/，NB=45°,則NA=（）

A.30°或150°B.60°或120°

C.60°D.30°

16.（2020北京西城高三上期末）在4ABC中，若a=6,A=60°,B=75

則c=（）

A.4B.2V2C.2V3D.2V6

17.（多選）（2019山東濟南高一月考）在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊

分別為a,b,c.根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩解的是（）

A.b=10,A=45°,C=70°

B.b=45,c=48,B=60°

C.a=14,b=16,A=45°

D.a=7,b=5,A=80°

18.AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若

3b?cosC=c（l-3cosB）,則c:a=（）

A.1：3B.4：3

C.3：1D.3：2

19.（2020湖北名師聯(lián)盟高三上期末）在AABC中,a=3,b=2V6,B=2A,則

cosA=.

20.在AABC中，A=60°,C=45°,b=2,則此三角形的最小邊長

為.

21.（2020湖南邵陽武岡二中高二月考）在4ABC中,AC=6,cosB=->C=-.

54

⑴求AB的長；

⑵求cos的值.

22.在4ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的

邊，a=2V3,tan^^+tan-=4,sinBsinC=cos2^.求A,B及b,c.

題組三利用余弦定理、正弦定理判斷三角形的形狀

23.在4ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若a=2bcosC,則此三角

形一定是（）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

24.（2020湖南大學(xué)附屬中學(xué)高二上期末）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則4ABC的形狀為（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.不確定

25.在AABC中，cos?等（a,b,c分別為角A,B,C的對邊），則4ABC的

22c

形狀為（）

A.等邊三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

26.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度,則新三角形的形狀是

（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.由增加的長度確定

27.（多選）在4ABC中，若acosA=bcosB,則AABC的形狀為（易錯）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

能力提升練

題組一利用余弦定理、正弦定理解三角形

1.（2020河南洛陽高二上期末,*：）在4ABC中，已知

A=60°,a=2g,b=2,則B=（易錯）

A.30°B.45°

C.30°或150°D.45°或135°

2.?.)i￡AABC中，sinA:sinB：sinC=3:5：6,貝!|sinB等于()

A.2B.且C理D.四

9955

3.(2020河北石家莊高一期中,/)在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別

為a,b,c,--n->且sin(A-C)=sinB--,則sinB=.

bcosC4----------

4.(*)如圖所示,設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點,P到頂點A,B,C的

距離分別是1,2,3,求正方形的邊長.深度解析

題組二利用余弦定理'正弦定理求最值或取值范圍

5.(2020廣東深圳實驗學(xué)校高一上期末,*；)AABC的內(nèi)角A,C的對邊

分別為a,c,若NC=45°,c=V2,且滿足條件的三角形有兩個,則a的取

值范圍為()

A.(今1)B.(V2,2)C.(1,2)D.(1,V2)

6.(2020安徽阜陽高二上期末好)在銳角三角形ABC中，角A、B、C

的對邊分別為a、b、c,若a2+c2=V3ac+b\則cosA+sinC的取值范圍為

A

-（T4）B-俘，2）C.&|）D.（V3.2）

7.（2020湖北荊州中學(xué)、宜昌一中高二上月考,"）在4ABC中，角

A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且絲JcosB+cosC,-^=8,則4ABC的周

asin4

長的最小值為（）

A.3B.3+3V2C.4D.4+4近

8.（2020遼寧錦州高一期末,的銳角4ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的

邊分別為a,b,c,若a=2,C=2A,則',邊長c的取值范圍

是.

9.（2020山西大同第一中學(xué)高三線上考試,*）在銳角4ABC中，內(nèi)角

A,B,C所對的邊分別是a,b,c,c=2,Aq則asinC=,a+b的取

值范圍是.

題組三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用

10.（2020廣東深圳中學(xué)高一上期末,水；）秦九韶是我國南宋著名的數(shù)

學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方

法：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大

斜幕減上,余四約之,為實,一為從隅,開平方得積.”也把這種方法稱

為“三斜求積術(shù)”.設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則

S=ga2c2--若c2sinA=4sinC,B三,則用“三斜求積術(shù)”

求得的aABC的面積為（）

A.V3B.2C.2V3D.4

11.(2020遼寧沈陽一中高一下期末,*:)在AABC中，角A,B,C的對邊

分別為a,b,c,已矢口三個向量m=(a,cosg),n=(b,cosg),p=(c,cos|)共

線，則△人13(：為()

A.等邊三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

12.(*)在4ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,若

lga-lgc=lgsinB=-lgV2,且則4ABC的形狀是()

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

13.(#?)在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量

m=(V3,-1),n=(cosA,sinA),若m_Ln,且acosB+bcosA=csinC,貝!J

B=.

14.(2019天津,留)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已

知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(1)求cosB的值；

(2)求sin(2B+］的值.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B由余弦定理可得b2=a2+c-2accosB=l2+22-2X1X2xi=3,所以b=^（負值舍

去），故選B.

2c?函2呼白函2_52+32-72__1

,?2\CA\\BC\2x5x32'

：.CB-CA=\CB\\CA\COSC=3X5X（-0=-y.故選C.

3.D設(shè)長度為5、7、8的邊所對的角分別為角A、B、C,由三角形的性質(zhì)易知

A,C分別為最小角，最大角,B為中間角，所以B為銳角，因為cosB=》WW，所以

ZXbXoL

B=60。，所以A+C=120°.故選D.

4.A由（a-b-c）（a-b+c）+ab=0,可得a2+b2-c2=ab,所以cosC-a+b'c又

2ab2

CG（0,"）,所以Cg.因為sinA=g,AG（0,JT）,所以A=,或A榨.當(dāng)人或時,Bg當(dāng)

A彎時,A+C>n,不合題意.故選A.

6

5.C由a=b2+c2-2bccosA,得102=152+c2-2X15Xccos300,.,.c2-15V3c+125=0,

解得c也誓e（5,25）,

Ac有兩解，即AABC有兩個解,故選C.

6.B根據(jù)3人支點且及已知得;，2+6段+2二解得b=5,所以a=b+2=7,所以

△ABC的周長等于7+5+8=20.故選B.

7.C設(shè)BC邊上的高為AD,則BC=3AD,又知B=：,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以

KC=y/AD2+DC2=V5AD,AB=V2AD.在4ABC中，由余弦定理的推論，知

AB2+AC2-BC2_2AD2+5AD2-9AD工噂,故選c.

cosZBAC=

2AB?AC2xV2ADxV5AD

8.答案1

解析由余弦定理的推論可得cosA支押=2+邛,整理得b2+b-2=0,解得

2bc2V2b4

b=l或b=-2（舍去）.

1

答案

9.2-

解析原式:缶

bccosA-^-accosB+abcosC

abc

b2+c^\,,a2+c2j2丁+理/

+ac|+abl

2ac2aba2+b2+c21

a2+b2+c22(a2+/J2+c2)2

10.答案7

解析由余弦定理的推論及已知得cosA夸簽駕=察魯=今設(shè)AC邊上的中

2*AB?AC2x9x83

2

線長為x,由余弦定理,得X2=(y)+AB2-2?y-ABCOSA=42+92-2X4X9X|=49,所

以x=7(負值舍去).所以AC邊上的中線長為7.

11.解析VZDAC=90°,

,sinZBAC=sin(90°+NBAD)=cosNBAD,

.,.cos/BAD=竺.

3

在AABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2AB?AD?cosZBAD,即

BD2=18+9-2X3V2X3X^=3,ABD^.

12.解析(1)V^AABC中，2cosz警一cos2c=1,，2sinq-cos2c=1,

二?cos2C+l_2sin"^=cos2C+cosC=0,

2COS2C+COSC-1=0,解得cosC=2或cosC=T(舍去).

XV0<C<7t,/.C=^.

(2)Va=3,b=2,

...在AABC中，由余弦定理，得c=Va2+b2-2abcosC=V9+4-6=V7,

.c_V7

13.D由目=上,得a=駕.在AABC中，?.?(XsinBWl,...工Nl,，a》bsinA.

sinAsmBs\nBs\nB

14.D設(shè)4ABC的外接圓的半徑為R,

則由正弦定理可得一冬=2R,

s\nZ.ABC

即2R-.2丫-2?所以R=

sinl35V2

T

所以AABC的外接圓的面積S=nR2=4五.故選D.

百

15-B由就:熹，得si.」,asin82V5x/

b2422

,.,0°<A<135o,/.ZA=60°或NA=120°.

16.DVa=6,A=60°,B=75°,

.,.C=180o-60°-75o=45°,

/.由七f,得C=^=^1=2V6.故選D.

sinAsinCs\nAsin60

17.BC選項A:因為A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三個角是確定的值,

故只有一解.選項B:因為sinC=^-^<l,且c>b,所以角C有兩解.選項C:因為

b15

sinB=^=^<l,且b>a,所以角B有兩解.選項D:因為sinB=-<1,且b<a,所以

a7a

角B僅有一解.故選BC.

18.C由3bcosC=c(l-3cosB)及正弦定理可得3sinBcosC=sinC(l-3cosB),化簡

可得sinC=3sin(B+C).又A+B+C=兀,

AsinC=3sinA,Ac:a=sinC:sinA=3:1.故選C.

19.答案y

角星析Va=3,b=2V6,B=2A,

???由正弦定理可得急磊

..Z,2V6V6

..cosA=—

2a2x33

20.答案28-2

解析..“6。。（=45。,..4=75。,...最小邊長為c,由正弦定理,得益。二島?又

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°?cos300+cos45°sin30°=-?二

V2

c=2s^in^45=0-^2=x-z2-V3/—-2.

sin75V6+V2

-4-

21.解析(1)VcosB^,0<B<JT,

sinB=Vl-cos2B=

由正弦定理，得施:AB

sinC,

,V2

...AB=比胖與=5版

sinF2

5

(2)^EAABC中，A+B+C=n,

A=TU?(B+C),

cosA=-cos(B+C)=-cos^B+；

=-cosBcos-+sinBsi

44

又cosB=^,sinB=|,

.4v-J23vV2_V2

..cosA=-XT+-XT=--.

2

0<A<TI,/.sinA=Vl-cosA=^.

?..cost/AA--TC\)=cosA.cosT-T+,si.nA.si.nIT-TT

\6/66

yfiyW7V2-V6

=--X—+——X-=---------.

10210220

22.解析由tan:+tan：=4,

得tan—+tan-=4,

.n-C.C

sinfsin5-

—+T=4

即Tt-C

cos-^-cos2

2￡cl.4?C

mcos?+sinT7

整理得一^^=4,

sin^cos^

XVsinC=2sin^?cos：,.'.-^-=4,

22sinC

1

/.sinC=-.

2

又C￡（o,冗），???cq或c丹.

oo

?4l+cos4l-cos(B+C)

又sinBsinC=cosJ-,即

222

2sinBsinC=l-cos(B+C)=l-cosBcosB+sinBsinC,

cosBcosC+sinBsinC=1,

,cos(B-C)=l,

VBG(0,J：),/.B-C=0,

；.B=C岑故A名

63

由正弦定理得二，，7=/廣空=4,

sinFsinCs\nAsinm

所以b=c=4siri7=2.故b=c=2,A=多,B=；.

636

23.C解法一：由余弦定理,得cosC=W=*整理得bJcl即b=c,故該三角形

2ab2b

一定為等腰三角形.

無法判斷其是不是直角三角形.故選C.

解法二:Va=2bcosC,

二?由正弦定理得sinA=2sinBcosC.

又「A+B+C=%

sinA=sin［冗一(B+C)］

=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.

?二2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC.

.*.sinBcosC-cosBsinC=0,

即sin(B-C)=0.

V0<B<K且0<C<n,：.-Tt<B-C<n.

.??B-C=O,即B=C.

:?△ABC為等腰三角形.無法判斷其是不是直角三角形.故選C.

24.B解法一：由bcosC+ccosB=asinA及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,

BPsin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.易矢口0<A<兀,sinAWO,所以sinA=l,即A=p所

以4ABC為直角三角形.故選B.

解法二：由余弦定理的推論及已知得b-粵M+c?警文=a-sinA,整理得

2ab2ac

2a2=2a2sinA,易知a?W0,所以sinA=l,又0<A<n,所以A=］所以AABC為直角三角

形.故選B.

25.B由cos］竽可得，

22c

1+cosBa+cnQ

「_十廠，R即ncosB=-.

22cc

解法一：由余弦定理的推論可得可注；整理，得a2+b2=c\

2acc

:?△ABC為直角三角形.無法判斷其是不是等腰三角形.故選B.

解法二：由正弦定理可得cosB二絲二，即cosBsinC=sinA.

sine

又A+B+C=n,AsinA=sin(B+C),

cosBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,

/.sinB=0或cosC=0.

VB,Ce(o,JI),

/.cosC=0,C=］.

「?△ABC為直角三角形.無法判斷其是不是等腰三角形.故選B.

26.A設(shè)直角三角形的三邊長分別為a,b,c,且a2+b2=c2,令三邊都增加x(x>0),

貝(a+x)?+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0,所以新

三角形中最大邊所對的角是銳角，所以新三角形是銳角三角形.

27.AB解法一:acosA=bcosB,

由余弦定理的推論得,a?二*=b?勺現(xiàn)，

2bc2ac

整理得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),

/.a'c2-a'-b3c2+b,l=0,

c(a2-b2)+(b2+a2)(bz-a2)=0,

.\(b2-a2)(a2+b2-c2)=0,

b2=a2或a2+b2-c2=0,

.,.b=a^ZC=90°,

/.△ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選AB.

解法二：由正弦定理及已知，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.

因為2A,2BG(0,2n),

所以2A=2B或2A+2B=",

即A=B或A+B=p所以4ABC為等腰三角形或直角三角形,故選AB.

易錯警示

注意區(qū)分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三

角形，理解“或”和“且”的區(qū)別.

能力提升練

1.A由號得sinB=a等普丹

s\nAs\nBa2V32

'：b<a,，B<A,二B=3O。,故選A.

易錯警示

本題易錯選C.要注意題中的隱含條件“b<a,即B〈A"，故B只能等于30°.

2.A設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由sinA:sinB：sinC=3:5：

6及正弦定理,得a：b：c=3:5:6,則可設(shè)a=3k,b=5k,c=6k,k>0.

由余弦定理的推論得COSB=Q^—73號2丁25

2ac2x3kx6/c9

貝ijsinB=V1-cos2B=^^.

3.答案!

解析因為sin(A-C)=sinB：,

4

o

所以sin(A-C)=sin(A+C)

所以2cosAsinC=*

因為*所以2sinAcosC=sin2B,

bcosC

所以2(sinAcosC+cosAsinC)=sin"B+^,

4

整理得sin2B-2sinB+J=0,解得sinB=1或sinB=|(舍去).故答案為今

4.解析設(shè)正方形的邊長為x(l<x<3),NABP=a，則NCBP=90°-a.

2i9^2?2i02?n2Q22r

在aABP中，cosZABP-v=—,在aCBP中，cosZCBP=v=—,又

4x4x4x4x

COS'NABP+COS?NCBPMI,.?.(魯?+(噤j=],即X"TOX2+17=O,...XJ5+2企或

X2=5-2V2.如果X2=5-2V2,那么AC力10-4&<3,...點P至I」點C的距離不可能為3,

...xJ5-2魚舍去，.,.x=j5+2a,即正方形的邊長為J5+2a.

主編點評

當(dāng)已知條件中邊的關(guān)系較多時,可考慮用余弦定理，同時方程思想的運用在本題

中得到了充分的體現(xiàn).

5.B因為滿足條件的三角形有兩個,所以asinC<c<a,所以苧a〈或<a,所以

V2<a<2.

6.A由題意得a2+c2-b~=V3ac,

二由余弦定理的推論得cosB嚕碧.

又B為銳角三角形ABC的內(nèi)角，O

「?cosA+sinC=cosA+sin傳-A)二4sinA+|cosA=V3sin(4+*

VAABC為銳角三角形,

(0<A<^,

?z

(0<,-5n-AA<，-n,

TT

.?亭bsin(/+§〈|.

故cosA+sinC的取值范圍為(乎

7.D根據(jù)余弦定理的推論得處JcosB+cosC=與a-W：整理得

2b2c+2bc2=a2b+bc2-b3+a2c+b?c-c3,即b2c+bc2=a2b+a2c-(b3+c3),所以

(b+c)(b2+c2-a2)=0,所以b2+c2=a2,所以A=90°,sinA=l,則bc=8,所以

a+b+c=Vfo2+c2+(b+c)V2foc+2Vhc=4+4V2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2混時取等號,所以

△ABC的周長的最小值為4+4企.故選D.

8.答案4;(2V2,2V3)

解析因為C=2A,所以sinC=2sinAcosA,由正弦定理得c=2acosA,所以—J=2a=4.

cosA

因為4ABC是銳角三角形,所以C=2AG(0,=),B=n-ACn-3AG(0,=),所以

AC管，9,所以COSAG所以c=4cosAG(2V2,2V3).

9.答案V3;(1+V3,4+2V3)

解析由正弦定理,可得asinC=csinA=2sin^=V3.

abcc，

rh--b陽?-Sin4_V3u_c?sinB_2sin停-C)

tn--；-―_1寸a----,D---——

s\nAs\nBsinesinesinesinesine；

匚匚I、I.1V3.V3cosC+sinC

所以a+b--+---——

sinesinC

,,V3(l+cosC).,2V3cos2j

=1+.c1+

sinC2si畤.ecos5與

tari]

由AABC是銳角三角形,可得0<C<^,0<^-C<^,所