第2章 直線和圓的方程（基礎(chǔ)、典型、新文化、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第2章直線和圓的方程（基礎(chǔ)、典型、新文化、壓軸）

分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?江蘇?高二）美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻

底，鼻底至下頻的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的g,五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位,

把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度

為2cm,五眼中一眼的寬度為1cm,若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位

于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（）

A.述B.建

44

r972n11V2

44

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.

【詳解】如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O,中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，則嗚,4）,81|,2）,

1

Ax—7

直線AB:三整理為x-y+L，

2-4_3_]_2

~2~2

原點(diǎn)0到直線距離為I』70,

故選：B

2.（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（）

A.x=3B.尸一5

C.2y=xD.x=4y—1

【答案】B

（分析】根據(jù)直線的斜截式方程的知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】直線的斜截式方程為

所以B選項(xiàng)k-5是斜截式方程，ACD選項(xiàng)不是斜截式方程.

故選：B

3.（2022.福建廈門.高二期末）“圓”是中國文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具

代表性的便是園林中的門洞.如圖，某園林中的圓弧形挪動(dòng)高為2.5m,底面寬為1m,則該門洞的半徑為（）

A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m

【答案】B

【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.

【詳解】設(shè)半徑為R,（2.5-R）2+[g]=R2,解得苗+；=5仁化簡得R=1.3.

故選：B.

4.（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是

藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形.為迎接北京冬奧會(huì)召開，某機(jī)構(gòu)定

制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1,外圈半徑為1.2,相鄰圓環(huán)圓心水平

距離為2.6,兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1,則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）

A.72JB.2.8C.7^9D.2.9

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.

【詳解】如圖所示，山題意可知|AB|=2.6,在.ABC中，取至的中點(diǎn)。，連接C。,

所以|陽=1.3,=

又因?yàn)锳C=8C,所以ABLCD,

所以忸q=Ji??n于=回?

即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為回.

故選：C

二、多選題

5.（2022?浙江?諸暨市教育研究中心高二期末）下列直線方程中斜率的有（）

A.x+y=lB.x-y=\

71

C.y=tanlxD.y=—x

-4

【答案】ACD

【分析】把所給直線方程化成斜截式直線方程，直接讀取斜率3與1進(jìn)行比較即可.

【詳解】選項(xiàng)A：x+y=l可化為y=-x+l,斜率％=—1,則有心1.判斷正確；

選項(xiàng)B：x-y=l可化為y=x-i,斜率&=1.判斷錯(cuò)誤；

jr

選項(xiàng)C：>,=tanl-x,斜率k=tanl>tan—=1,則有Zrl.判斷正確;

4

選項(xiàng)D：y=-?x,斜率A=￡<1,則有.判斷正確.

44

故選：ACD

三、概念填空

6.（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)兩條直線乙，4的斜率分別為占，k2＞則對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

2rk

-----c-----

圖示

-0-------------5

4與4的斜率都存在，分別為人,網(wǎng)，4與12中的一條斜率不存在（傾斜角為90°）,另一條斜率

對(duì)應(yīng)

關(guān)系則4-L/2=_________為零（傾斜角為0°）,則4與4的位置關(guān)系是_________

【答案】kjk?-1Z,l/2

7.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)兩條不重合的直線4，12,斜率若存在且分別為公，k2,傾斜角分別為%,

%則對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

條件%%工90°a\=?2=90°

沙

圖示北

對(duì)應(yīng)關(guān)系/]〃40_________O兩直線斜率都不存在

【答案】kt=k2/,///2

8.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）直線在y軸上的截距

定義：直線/與y軸的交點(diǎn)（0向的叫做直線/在y軸上的截距.

符號(hào)：可正，可負(fù)，也可為零.

【答案】b

9.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）直線的一般式方程

（1）定義：關(guān)于x,），的二元一次方程（其中A,2不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一

般式.

（2）適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示.

【答案】Ar+By+C=O

10.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線間的距離

點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離

定

點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度

義

兩條平行直線4：+為,+G=0與

公點(diǎn)4（X。，%）到直線/：Ax+的+C=。

式的距離d=_________4:4+By+G=°（GwG）之間的距離d=_________

—大VA2+B2

11.（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）兩直線的位置關(guān)系

Jqx+gy+G=0,

方程組i^x+與y+G=0的解一組無數(shù)組無解

直線4與,2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)零個(gè)

直線4與4的位置關(guān)系重合

【答案】無數(shù)個(gè)相交平行

12.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示

點(diǎn)AA（a,8）

直線//:Ax+By+C=G

點(diǎn)A在直線/上—

jAx+gy+G=0,

直線4與4的交點(diǎn)是4方程組id'+gy+G=0的解是_________

x=a

【答案】Aa+劭+C=0

y=b

13.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))平面上的兩點(diǎn)《(4,*),￡(孫必)間的距離公式歸身=

［答案］J(W-X|丫+(%-%『

14.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的定義：平面上到的距離等于的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為,定長

稱為圓的.

(2)確定圓的要素是和,如圖所示.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(“/),半徑長為/?的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.當(dāng)。=6=0時(shí)，方程為工2+丁=’,

表示以為圓心、半徑為，?的圓.

【答案】定點(diǎn)定長圓心半徑圓心半徑(x-a)2+。功原點(diǎn)O

15.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))直線Ar+8y+C=0與圓+(),_"=，的位置關(guān)系及判斷

位置關(guān)系相交相切相離

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)一個(gè)一個(gè)

,IAa+Bb+C\

a=J----------d____/?d____/-d____/?

幾何法：設(shè)圓心到直線的距離

判定方

(

法Ax+By+C=Q,

代數(shù)法：由i(x-“)2+(y-勿2=尸消元得到一元二次方程的判

A____0A____0A____0

別式△

【答案】210<=>>=<

16.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))圓與圓位置關(guān)系的判定

(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為4,4,兩圓連心線的長為止則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示電

d與“，"的關(guān)系—————

（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

△>0n

圓G方程'

消元，一元二次方程△=0n

圓C?方程

A<0=>

4=|4一目一目,相交，內(nèi)切或外切,

【答案】d>r]+r2d=rt+r2\rx-r^<d<rx+r2

外離或內(nèi)含

四、解答題

17.（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/：Ar+8），+C=0（其中A,B不全為0）.

（1）寫出直線/的一個(gè)法向量的坐標(biāo);

（2）若直線/經(jīng)過原點(diǎn)，則A,B,C滿足的條件是什么？

（3）若直線/與x軸平行或重合，則A,B,C滿足的條件是什么？

（4）若直線/與x軸和y軸都相交且不經(jīng)過原點(diǎn)，則A,B,C滿足的條件是什么？

【答案】（1）（A,B）；（2）C=0,A,B不全為零；（3）A=0,BH0,CeR；（4）AWO,8HO,CWO

【分析】（1）根據(jù)直線的方向向量，即可容易求得法向量;

（2）根據(jù)點(diǎn)（0,0）不滿足直線方程，即可求得結(jié)果;

（3）根據(jù)直線斜率為零，即可求得結(jié)果;

（4）根據(jù)點(diǎn)（0,0）不滿足直線方程，以及直線斜率存在且不為零，即可求得結(jié)果.

⑴因?yàn)橹本€小+By+C=0的一個(gè)方向向量為（B,-A）,

故該直線的一個(gè)法向量可以為（AB）,也可是虧其平行且非零的其它向量.

（2）若11線Ax+By+C=0經(jīng)過原點(diǎn)，即（0,0）滿足直線方程,

故只需C=0，AB不全為零即可.

（3）若直線/與x軸平行或重合，則其斜率為零,

故只需A=O,8wO,CeR.

(4)若直線/與x軸和y軸都相交且不經(jīng)過原點(diǎn)，

故只需ANO,8NO,CWO.

18.(2022?湖南?高二課時(shí)練習(xí))在函數(shù)/(x)=2/-x-5的圖象上取兩點(diǎn)A(aJ(〃))、8僅J修))，求直線A8

的斜率.

22

【答案】kAB=2a+2ah+2h-\

【分析】利用斜率公式可求得直線AB的斜率.

【詳解】解：由題意可知出/>,

f⑷-/(b)(2a3q5)(2/?3/75)

由斜率公式可得直線AB的斜率為kAH=

a-ba-b

2(/切(4叫

=2a-+2ab+lb2-

a-b

19.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))根據(jù)圖中提供的信息，按從大到小的順序排列圖中各條直線/；(i=l,2,3,4,5)

的斜率并寫出各條直線的斜率.

【分析】利用斜率公式可求得各直線的斜率，由此可得出這五條直線斜率的大小關(guān)系.

【詳解】解：由已知可得匕.=匚5-1==23，質(zhì)=5-碧1=4,&=6-=0=-3；，

~+I。2—1—4—02

,3-52

所以，k2>k、>k5>k4>k3.

20.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))分別寫出點(diǎn)尸(七,幾)到x=。與y=〃的距離.

【答案】到x=。的距離為|為一同，至U=b的距離為|%-4

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.

【詳解】解：點(diǎn)尸伍，幾）到x="的距離為區(qū)刊=k-3，

點(diǎn)P（%，兒）至U尸匕的距離為坪4=|%-斗

21.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）某人上午8時(shí)從山下大本營出發(fā)登山，下午4時(shí)到達(dá)山頂.次日上午8時(shí)

從山頂沿原路返回，下午4時(shí)回到山下大本營.如果該人以同樣的速度勻速上山、下山，那么兩天中他可

能在同一時(shí)刻經(jīng)過途中同一地點(diǎn)嗎？如果他在上山、下山過程中不是勻速行進(jìn)，他還可能在同一時(shí)刻經(jīng)過

途中同一地點(diǎn)嗎？

【分析】速度勻速上山、下山時(shí)，會(huì)同一時(shí)刻經(jīng)過途中同一地點(diǎn)，若不勻速也可能在同一時(shí)刻經(jīng)過途中同

一地點(diǎn).

【詳解】因?yàn)樯仙脚c下山路程相同，時(shí)間相同，

若以同樣的速度勻速上山、下山，則在中午12點(diǎn)會(huì)經(jīng)過途中同一地點(diǎn)；

若他在上山、下山過程中不是勻速行進(jìn)，也可能在同一時(shí)刻經(jīng)過途中同一地點(diǎn).

因?yàn)槭峭粋€(gè)路線同一個(gè)時(shí)間在兩頭出發(fā)必然有交叉點(diǎn)，交叉點(diǎn)即為同時(shí)刻經(jīng)過的同一點(diǎn).

22.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）已知A,B兩點(diǎn)都在直線y=x-l上，且A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為血,求A,

8兩點(diǎn)之間的距離.

【答案】2

【分析】結(jié)合直線的斜率和傾斜角求得正確答案.

【詳解】直線y=x-i的斜率為1,傾斜角為:，

A，8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為亞，

23.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線/的方程為y-3=k（x+2）,當(dāng)k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，這樣的直線具有什

么共同的特點(diǎn)？

【答案】當(dāng)左取任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線/恒過定點(diǎn)（-2,3）,但不能與直線x=_2重合.

fx+2=0

【分析】聯(lián)立方程｛。八，求得x=-2,y=3,結(jié)合直線的方程，即可得到結(jié)論.

（y-3=o

/、[x+2=0

【詳解】由直線/的方程y—3=Z（x+2）,聯(lián)立方程組1_3=0,解得x=-2,y=3,

所以當(dāng)％取任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線/恒過定點(diǎn)(-2,3),但不能與直線x=-2重合.

24.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))任一條直線都可以用點(diǎn)斜式方程表示嗎？斜截式方程可以改寫成點(diǎn)斜式方

程嗎？

【答案】不可以，可以.

【分析】關(guān)于直線方程的概念必須要很清楚，就是什么形式的方程在那種情況下可以使用.

【詳解】點(diǎn)斜式直線方程的使用必須是已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及這條直線的斜率，但不包括斜率不存在，

就是傾斜角為90°時(shí)，此時(shí)必須使用一般方程：斜截式直線方程本質(zhì)上也是點(diǎn)斜式直線方程，只是己知點(diǎn)

是在y軸上，橫坐標(biāo)為0,所以可以.

25.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)A與點(diǎn)的距離為5,且到y(tǒng)軸的距離等于4,求A點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(4,3)或(4,-5)或

【分析】設(shè)y),根據(jù)題意列出方程組求解即可.

【詳解】設(shè)A為(x,y),

由題得，

7(x-l)2+(y+l)2=5

故A的坐標(biāo)為(4,3)或(4,-5)或(T,-1).

26.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知A(-l,3),B(3,3),C(l,2G+3),證明.A3C是等邊三角形.

【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求解三邊長度，叮得證.

【詳解】因?yàn)?(-1,3),B(3,3),C(l,26+3),所以恒用=布二爐薦了'=4,

\AC\=7(-1-1)2+(3-2A/3-3)2=J4+12=4,忸C|=J(3-l)2+(3-26-3)2=J4+12=4，

所以［4同=卜［=忸。，所以..ABC是等邊.三角形.

【典型】

一、單選題

1.(2022?吉林?撫松縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知點(diǎn)只。分別為圓G：(x-2『+(>+4)2=1與圓

G：(x+2)2+(y+3>=4的任意一點(diǎn)，則|PQ|的取值范圍是()

A.[717-4,717+4]B.[717-3,717+3]

C.即-2,如+2]D.[717-1,717+1]

【答案】B

【分析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到|P0的取值范圍.

【詳解】G：(x-2p+(y+4)2=l的圓心為G(2,-4)泮徑彳=1,

G:(x+2)2+(y+3)2=4的圓心為C2(-2,-3)，半徑4=2,

圓心距d=J(2+2)2+(-4+3)2=如＞1+2=4+4，

二兩圓相離，

二|叫e[d-/;一+4++[而-3,M+3],

故選：B.

2.(2022?江蘇連云港?高二期末)直線x-^y+2y/3=0被圓x2+y2=4截得的弦長為()

A.1B.6

C.2D.3

【答案】C

(分析】利用直線和圓相交所得的弦長公式2二層直接計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得圓的圓心為0(0,()),半徑r=2,則圓心到直線的距離d=!2士上01=6,所以由直

4+3

線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：2產(chǎn)彳=2亞==2.

故選：C.

3.(2022?河北唐山?高二期末)圓￡：/+/-4》+2丫-4=0與圓6：/+丁+4、-4)，+4=0的位置關(guān)系為

()

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

【答案】C

【分析】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)和半徑的長，然后利用圓與圓的位置關(guān)系判定.

2222

[詳解】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得G:(x-2)+(y+l)=9;C2:(X+2)+(y-2)=4.

可知圓心G(2,-1).C2(-2,2)，半徑4=3,4=2,

|GG卜^(2+2)2+(-1-2)2=5=4+/p

故兩圓外切,

故選：c

二、填空題

4.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)/。，2）,A8邊上的中線CM所在的直線方程為

x+2y-l=0,NABC的平分線所在直線方程為丫=￡則直線BC的方程為

【答案】2x-3y-l=0

【分析】由題意可知，點(diǎn)8在角平分線丁=尢上，可設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)是（加m）,利用AB的中點(diǎn)在立線CM上,

可解出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A，，且4在直線BC上，利用兩點(diǎn)式方程可得答案.

【詳解】由題意可知，點(diǎn)B在角平分線丁=*匕可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（加m）.

則AB的中點(diǎn)（《一，三一）在直線CM上，，k-+2下——1=0,

解得：加=-1,故點(diǎn)5（—

=

%-1x0=2

設(shè)A關(guān)于丫=%的對(duì)稱點(diǎn)為4（卻%）,則有，

%+2%+1%=1

2~2

即4（2,1）

則由A，在直線8C匕可得8C的方程為言=言

即3（y+l）=2（x+l）,gp2x-3y-l=0,

故答案為：2x-3y-1=0.

5.（2022?吉林?吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末）已知點(diǎn)"（3,1）在圓C：（x-l）2+（y+l）2=r2（r＞0）內(nèi)，過

點(diǎn)”的直線被圓C截得的弦長最小值為8,則廠=

【答案】2瓜

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到

關(guān)于/?的方程，求解即可.

【詳解】由點(diǎn)M（3,l）在圓C：（工一球+（丫+1）2=/內(nèi)，且

所以（3-iy+（3+l）2＜，，又「＞（）,解得廠＞2收

過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為|CM|

又c(l,—l),;.|CM=2及

所以8=2新二jZ/F=2護(hù)二i，解得r=2#

故答案為：2瓜

6.(2022?吉林白山?高二期末)直線/：，nx—y-3機(jī)+1=0與圓O:*2+y2=]6相交于A,B兩點(diǎn)，貝獷人卻的最

小值為?

【答案】2瓜

【分析】直線/過定點(diǎn)尸(3,1),圓心0(0,0),當(dāng)PO_LAB時(shí)，|AB|取得最小值，再由勾股定理即可求解.

【詳解】由/：/nr-y-3〃?+l=0,得機(jī)(x—3)—y+l=0,

由「「x一3：0Z得直線/過定點(diǎn)尸(3,1),且P在圓°：f+y2=i6的內(nèi)部，

[_y+l=0

由圓O:f+y2=i6可得圓心0(0,0),半徑r=4,

當(dāng)PO_LAB時(shí)，取得最小值，

圓心0(0,0)與定點(diǎn)P(3,l)的距離為d=屈手=回，

則IAB|的最小值為2,產(chǎn)一儲(chǔ)=2V16-10=2A/6.

故答案為：2忌.

三、解答題

7.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))回答下列問題：

(1)任意一條直線的方程都可以用直線的截距式表示嗎？

(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,2),且在x軸和y軸上的截距相等的直線有幾條？請(qǐng)寫出這些直線的方程.

【答案】(1)見解析；

(2)有2條，直線方程為：y=2x或x+y-3=0

【分析】(1)利用截距式的定義分析；

(2)分類討論當(dāng)直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)，分析直線的方程進(jìn)而求解；

(1)不可以,

因?yàn)榻鼐嗍椒匠?+密=1,a片0,6工0,所以當(dāng)直線與x軸或和y軸平行，或直線過原點(diǎn)時(shí)，就不能用截距

ab

式方程來表示.

(2)(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)、符合題意，此時(shí)宜線方程為y=2x；

(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可是直線的方程為2+2=1

aa

又直線過點(diǎn)(1,2),則，+2=1,解得0=3,故所求直線為：+告=1,即x+y-3=o

aa33

所以符合題意的直線有2條，直線方程為：y=2x或x+y-3=0

8.(2022?河北唐山?高二期末)已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過A(-U)和8(1,3)兩點(diǎn).

(1)求圓C的方程;

(2)過點(diǎn)23,2)的直線/被圓C截得的弦長為6,求直線/的方程.

【答案】(1)。-2)2+〉2=10

⑵x=3或3x-4y-l=0

【分析】(1)設(shè)圓c的方程為d+y+o無+切+/=0,根據(jù)已知條件列出方程組求解即得;

(2)分斜率存在與否，利用直線與圓相切的條件求解.

(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

--=0,

2D=-4,

則-D+E+F+2=0,解得，E=0,

D+3E+F+10=0,F=-6.

所以圓C的方程為Y+y2-4x-6=0,即(x-2y+y2=10.

(2)因?yàn)橹本€/被圓C截得的弦長為6,

所以圓心到直線/的距離d==3=1.

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，直線/方程為x=3,符合題意.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程為y—2=%(x-3),即日-y-3Z+2=0

\2k-3k+2\3

貝i]d==1.解得

y/k2+\

7

此時(shí)直線/方程為y-2=：(x-3),g|J3x-4y-l=O.

綜上所述，直線/的方程為x=3或3x-4y-l=0.

9.(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知直線/：%-尸3=0,一束光線從點(diǎn)A(l,2)處射向x軸上一點(diǎn)B,又從點(diǎn)B

反射至h上的一點(diǎn)C,最后從點(diǎn)C反射回點(diǎn)A.

（1）試判斷由此得到的.MC的個(gè)數(shù)；

（2）求直線8c的方程.

【答案】⑴符合題意的A8C只有1個(gè)；（2）3x+y—1=0.

【分析】（1）設(shè)W機(jī)0）,利用對(duì)稱求解4,*的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)C既在直線上，又在直線上，可得

解；

（2）直線BC的方程，即為直線A8的方程，結(jié)合（1）即得解

【詳解】（1）如圖，設(shè)8（皿0）,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A（l,-2）,

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線X-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為3'(%,%)

「T

.xn-m

'3一比+3=0

[22

B'(—3,7W+3).

2

根據(jù)光學(xué)知識(shí)'知點(diǎn)C在直線上'點(diǎn)C又在直線5幺上,則直線"5的方程為），=行（，-機(jī)）.

2/、

y=-3-5/77

由,m-i，得x=--

「八加一3

x-y+3=0

又直線48的方程為'-2=節(jié)°@-1）,

_-m-1/八

y-2=---(x-1)m-3

由，4'得工=----

個(gè)八%+5

x-y+3=0

所以±0'=—,即3,"2+8加一3=0,

機(jī)一3m+5

解得機(jī)=：或-3.

當(dāng)時(shí)，符合題意;

當(dāng)〃?=-3H寸，點(diǎn)3在宜線x-y+3=。上，不能構(gòu)成三角形.

綜上，符合題意的ABC只有1個(gè).

（2）由（1）得機(jī)=；,

則直線48的方程為3x+y-1=0,

即直線BC的方程為3x+y-\=0.

10.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知A（l,2）,3（5,0）,C（3,4）.

（1）若A,B,C,?？梢詷?gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，判斷A,B,C,。構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.

【答案】（1）（-1,6）或（7,2）或（3,-2）；（2）平行四邊形ABCO為菱形，平行四邊形AB3CACB。不

是菱形.

【分析】（1）分四邊形ABC。、ABDC,AC8O是平行四邊形三種情況討論，分別利用對(duì)邊的斜率相等求

解，即可；

（2）分別驗(yàn)證對(duì)角線是否垂直，即對(duì)角線斜率乘積是否為-1,即可.

【詳解】⑴由題意得怎8=丁0-2=一]1,

k.c=w—r=1,kpc=7―7=-2,設(shè)D[^a,b）.

若四邊形A8CO是平行四邊形，則28=左相，k—kec，

b-4_1

〃一32d二一1,、

即：：，解得（（，即。（T6）.

b-2,\h=6'/

----=-2i

若四邊形是平行四邊形，

則小=&A8,^BD=&AC,

b-41

-------=——

即廣:2,解得：=：,即0(7,2).

。-01b=2

-------=1

、〃-5

若四邊形AC80是平行四邊形，

則%=^AB,^BD="AC，

b-O_1

即::，解得八c，即。3,—2.

匕=-2-2

a-1

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,6）或（7,2）或（3,?2）.

（2）若。的坐標(biāo)為（-1,6）,

6-0

因?yàn)椤〢C=1，kBD=~~~-=一1,

-1—□

所以砥L凝。=-1，所以AC_LBQ,

所以平行四邊形A8CD為菱形.

若。的坐標(biāo)為（7,2）,

2-2

因?yàn)樵鮟=-2,k=――=0,

AD7-1

所以怎C'?砥"=0w-l，所以平行四邊形力80c不是菱形.

若。的坐標(biāo)為（3,-2）,因?yàn)橹本€CD的斜率不存在，所以平行四邊形AC8O不是菱形.

因此，平行四邊形488為菱形，平行四邊形ABAC.4CBD不是菱形.

【新文化】

一、單選題

1.（2022?全國?高二專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是

古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)%（%＞0且Zwl）的點(diǎn)的軌

跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知。（（）,（）），＞4（3,0）,圓。:（》-2）2+丫2=/（廠＞0）上有且僅有

一個(gè)點(diǎn)P滿足|以|=2|尸。，貝。的取值為（）

A.1B.5C.1或5D.不存在

【答案】C

【分析】直接設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,根據(jù)|用=2-?？梢郧蟮命c(diǎn);＞的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),

則兩圓外切或內(nèi)切，可得|c。=r+/;或\CCt\=\r-r;\.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（x,y）

?.?照=2|叫即^（x-3）2+y2=2c

整理得：（x+l）2+y=4

...點(diǎn)P的軌跡為以G（-1,0）為圓心，半徑4=2的圓，

?.?圓C:（x-2）2+y2=廠2的c（2,0）為圓心，半徑『的圓

由題意可得：3=|CG|=r+.或3=陽|=>-石|

，/■=1或r=5

故選：C.

2.（2022?廣東茂各高二期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線

論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)MQ0且上1）

PA

的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,A（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿而=2,則動(dòng)點(diǎn)

P軌跡與圓a-2尸+丁=2的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.內(nèi)切D.外切

【答案】A

【分析】苜先求得點(diǎn)尸的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】由條件可知，=2,

4^7

化簡為：（X+1丫+/=4,

動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以（」,（））為圓心，2為半徑的圓，

圓。-2）2+丁=2是以（2,0）為圓心，0為半徑的圓，兩圓圓心間的距離d=3<2+JL

所以兩圓相交.

故選：A

3.（2022?安徽蚌埠?高二期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到

兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比42*1）為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿

波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，4-2,0）,8（4,0）,點(diǎn)P滿足號(hào)二，設(shè)點(diǎn)P的軌跡

為C,下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為（x-4/+y2=]6

B.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，AABP面積的最大值為24

C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線尸。是44P3的角平分線

D.在C上存在點(diǎn)M,使得|〃O|=2|M4|

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可求出C的方程為(X+4)2+V=I6,即可根據(jù)題意判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】對(duì)A,由靄=；可得2,(x+2y+y2=J(x_4>+y2,化簡得/+/+8x=0,

I廠力I乙

即(x+4)2+y2=16,A錯(cuò)誤；

對(duì)B,當(dāng)A,8/三點(diǎn)不共線時(shí)，點(diǎn)尸到直線A8的最大距離為4,所以&WP面積的最大值為:創(chuàng)46=12,

B錯(cuò)誤；

IPAIOA1

對(duì)C,當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)榈?右=彳，所以射線尸。是N4P8的角平分線，C正確；

IriiI(JoZ

對(duì)D,設(shè)M(x,y),由|MO|=2|MA|可得點(diǎn)M的軌跡方程為卜+|；+>2=與，而圓*+4了+爐=16與圓

+的圓心距為4—?<4-《，兩圓內(nèi)含，所以這樣的點(diǎn)〃不存在，D錯(cuò)誤.

I3；933

故選：C.

4.(2022?江蘇?高二專題練習(xí))唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬

傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬''問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),

先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A(l,l),

若將軍從山腳下的點(diǎn)3(4,4)處出發(fā)，河岸線所在直線/的方程為x-y+1=0,則“將軍飲馬”的最短總路程是

()

A.3x/6B.y/34C.>/5D.2石

【答案】D

【分析】先求點(diǎn)B(4,4)關(guān)于直線x-y+l=0對(duì)稱的點(diǎn)C3㈤，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)B(4,4)關(guān)于直線x-y+l=0對(duì)稱的點(diǎn)為以S),

依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為|4C|,

此時(shí)|AC|=J(l-3)2+(1-5)2=2右,

故選：D.

二、多選題

5.（2022?全國?高二）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,

3的距離之比為定值〃？（〃洋1）的點(diǎn)的軌跡是圓后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡

稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2,0）,B（4,0）,點(diǎn)「滿簿=1.設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.C的方程為（x+4>+y2=i2

B.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線尸。是/4PB的平分線

C.在C上存在K使得|KO|=2|K4|

PD1

D.在x軸上存在異于A,B的兩個(gè)定點(diǎn)E,使得出二萬

【答案】BD

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（x,y），根據(jù)題意可求出C的方程可判斷A,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可判斷B,求出

點(diǎn)K的軌跡方程與C的方程聯(lián)立可判斷C,設(shè)RE.的坐標(biāo)結(jié)合C的方程可判斷D.

/、IM1J(x+2)2+y21

【詳解】設(shè)點(diǎn)P,則由局=3可得2=3,

\PB\2。/2

化簡可得(犬+4丫+丁=16,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)橹]=5，|。4卜2,|。叫=4,

所以扁=5'所以耐二扇’射線是“有的平分線’故B正確；

設(shè)存在K(%,%),則(%+4『+%2=16,即玉)2+8々+%2=0,

因?yàn)閨叫=2］必所以斤?=2卮不/，

所以X；+巾=4［(x。+2『+%］，所以片++g+為2=0,

又因?yàn)榕c2+8%+為2=0,所以4=2,又因?yàn)?=2不滿足C:(x+4『+y2=16,

所以不存在K滿足條件，故C錯(cuò)誤：

假設(shè)x軸上存在異于AB的兩定點(diǎn)D,E,使得忸=:，

\PE2

可設(shè)。(祖,0),￡■(",0),可得J(x-4+y2=2^x-m)2+y2,

由P的軌跡方程為x2+y2+8%=0,可得8/〃-2〃=-24,4m2-n2=0,

解得〃?=-6,"=-12或》7=—2,〃=4(舍去),即存在D(-6,0),E(-12,0),故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查阿波羅尼斯圓的定義及應(yīng)用，屬于新定義問題；證明角平分線除了可以通過線段的長度

比來證明，還可以通過點(diǎn)到線段兩邊的距離相等來證明；和圓有關(guān)的線段長度問題，可以利用坐標(biāo)法來解

決問題.

三、填空題

6.(2021?全國?高二單元測試)舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰(1615-1660)設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，。是滑槽

A8的中點(diǎn)，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處的較鏈與QV連接，MN上的栓子。可沿滑槽4B滑動(dòng).

當(dāng)點(diǎn)。在滑槽A8內(nèi)作往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng).記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為G，點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)軌跡為Q.若ON=￡W=1,MN=3,過G上的點(diǎn)P向C1作切線，則切線長的最大值為.

DB

【答案】Vl5

【分析】以滑槽他所在的直線為X軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，分別求出曲線G和G

的方程，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】以滑槽A3所在的直線為x軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.

因?yàn)閨ON|=1,所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡C1是以。為圓心，半徑為1的圓，其方程為x?+y2=L

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(cosasin。)，由于[ON]TDM=1，易得DQCOS，,。)，

由|MV|=3可得NM=3N￡>，設(shè)”(x,y),

貝ij(x-cosay-sin。)=3(cosa-sin6),解得A/(4cose,-2sin。),

所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡C,是橢圓，其方程為寸+$=1.

164

設(shè)上的點(diǎn)P(4cosa,2sina),則|O葉=16cos2a+4sin2a=4+12cos2a<16,

則切線長為耐W74Ji不斤=J聲，即切線長的最大值為厲.

故答案為：V15.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：通過建立直角坐標(biāo)系分別求出曲線G和G的方程，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題.

7.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：

任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知「ABC的頂點(diǎn)A（T,0）,

3（0,4）,C（2,0）,則歐拉線的方程為.

【答案】x-y+2=0

【分析】根據(jù)給定信息，利用三角形重心坐標(biāo)公式求出A3C的重心，再結(jié)合對(duì)稱性求出A3C的外心，然

后求出歐拉線的方程作答.

7A

【詳解】因一ABC的頂點(diǎn)A（-4,0）,8（0,4）,C（2,0）,則,ABC的重心,

顯然43c的外心M在線段4c中垂線x=-l上，設(shè)

由例得：歷/=Jl+d）2,解得：。=1,即點(diǎn)〃（7」），

1-1

直線MG:y-l=V—（x+1）,化簡整理得：x-y+2=0,

--+1

3

所以ABC歐拉線的方程為x-y+2=o.

故答案為：x-y+2=0

四、解答題

\PA\

8.（2021?江蘇?高二專題練習(xí)）平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足謁