高中數(shù)學(xué)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)題

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

、橢圓的定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)E、的距離之和等于常數(shù)（歸耳卜2。＞閨闖）,

1F2\+\PF2

動(dòng)點(diǎn)p的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)（￡，B）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（IECJ）叫作橢圓的焦距.

說(shuō)明：若|P￡|+|PE|=忻閭，P的軌跡為線段我石；若歸月|+|咋|＜忸居|，P的軌跡無(wú)圖形

2、定義的集合語(yǔ)言表述

集合F={P[W+|p&=2a＞忸瑪|}.

練習(xí)I.（2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤

（1）到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.（）

（2）到兩定點(diǎn)％（-2,0）和6（2,0）的距離之和為3的點(diǎn)M的軌跡為橢圓.（）

2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)耳（-7,0）和瑪（7,0）的距離之和為14的點(diǎn)P的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.圓D.以上都不對(duì)

22

3.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）橢圓會(huì)+春=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（5,0）,（-5,0）B.（0,5）,（0,-5）C.（0,12）,（0,-12）D.（12,0）,（-12,0）

4.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是橢圓卷+[=1上的任意一點(diǎn)，若耳,K是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則

2516

|「用+歸周等于（）

A.10B.8C.5D.4

5.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓中a=5,c=6,焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

重點(diǎn)題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

角度1：待定系數(shù)法

例題L（2022?四川?遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在軸上X,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2；

（2）一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,短軸長(zhǎng)為2.

例題2.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為8和6；

⑵中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,5）,短軸長(zhǎng)為4；

⑶中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到右頂點(diǎn)的距離為1.

角度2：定義法

例題1.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)M（x,y）始終滿足關(guān)系式Jf+（y+2）2+Jx2+（y-2>=8,則

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（）

+=1BD

A.^i2-才亮=1^玉=-"4rl

2

例題2.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知兩圓G：(X-4)+/=169,C2：(x+4)?+丁=9.動(dòng)圓M

在圓G內(nèi)部且和圓G相內(nèi)切，和圓相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是()

2222

A.工-工=1B.土+匕=1

64484864

C.二-《=1D.二+*=1

48646448

例題3.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知定點(diǎn)4(-4,0)、月(4,0)和動(dòng)點(diǎn)加(蒼》).

(1)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡及其方程.

條件①：|M用+|MR|=12

條件②：|阿|+|年|=8

(2)|M6|+|M￡|=2a(a>0),求：動(dòng)點(diǎn)”的軌跡及其方程.

同類題型歸類練

1.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))方程舊+()，-2>+舊+(y+21=10化簡(jiǎn)的結(jié)果是.

2.(2022.湖南?高二期末)一動(dòng)圓與圓W+V+Gx+SuO外切，同時(shí)與圓/+y?-6x-91=0內(nèi)切，則動(dòng)圓

圓心的軌跡方程為.

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P(x,y)滿足條件而斤五'+爐丁萬(wàn)=4,求點(diǎn)尸的軌跡C

的方程.

4.(2022.新疆?哈密市第一中學(xué)高二期末(理))求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2。和點(diǎn)(0,1)；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0,-10),P到距它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.

5.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（1）4=6力=1,焦點(diǎn)在X軸上；

（2）6=3,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-4）,焦點(diǎn)在y軸上.

重點(diǎn)題型二：對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解

22

例題1.（2022?江西吉安?高二期末（文））“加＞一3”是“方程」一+，^=1表示橢圓”的（）

A.必要不充分條件B,充分不必要條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

例題2.（2022?廣西?南寧二中高三階段練習(xí)（文））“1＜女＜5”是方程“上+工=1表示橢圓”的（）.

k—15-k

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

例題3.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓儂?+（2-,〃）/=加（2-加）的焦點(diǎn)在x軸上，求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍.

同類題型歸類練

22

1.（2022?安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））已知命題p："0＜加＜1"，命題“：”方程上+工=1表

tn\—m

示橢圓“，則p是q的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

22

2.（2022.貴州?遵義航天高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知a為實(shí)數(shù)，則“〃〉5”是“方程工+匯=1表

67-13

示的曲線為橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若方程」—+4=1表示橢圓，求女的取值范圍.

S—kk—3

重點(diǎn)題型三：橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

角度1:求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或周長(zhǎng)

例題1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓蘭+f=1的左右焦點(diǎn)分別為外，點(diǎn)B為短軸的一個(gè)

259

端點(diǎn)，則耳心的周長(zhǎng)為（）

A.20B.18C.16D.9

）2

例題2.（2022?四川眉山?高二期末（理））直線/過(guò)橢圓工+工=1的中心，交橢圓于A,B兩點(diǎn),廠是

259

橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，貝！LAB尸周長(zhǎng)的最小值為（）

A.14B.16C.18D.20

例題3.（2022?江蘇?高二）已知橢圓￡+丫=1的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥(niǎo)，點(diǎn)"在橢圓上，若1加耳1=4,

92

則鳥(niǎo)=（）

A.3伊B.60°C.120°D.150°

例題4.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）設(shè)P是橢圓上+片=1上一點(diǎn)，不K是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，貝!IcosN^PE

94

的最小值是（）

角度2：求焦點(diǎn)三角形的面積

例題1.（2022?四川內(nèi)江?高二期末（理））已知P是橢圓二+《=1上的點(diǎn)，6、乙分別是橢圓的左、右

259

PF.PF,1

焦點(diǎn)，若尾問(wèn)=々，則△片P鳥(niǎo)的面積為（）

A.3#>B.9A/3C.6D.9

22

例題2.（2022?山西呂梁?高二期末）已知耳分別是橢圓C:=+4=l（a>6>0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是

橢圓C上的一點(diǎn)，且/KMg耳/心的面積為1,則橢圓C的短軸長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.20D.4

例題3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)片,八是橢圓a+片=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且

496

1=4:3,則的面積為()

A.2&B.4&C.4D.6

角度3：幾何最值問(wèn)題

例題1.（2022?四川?遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)耳是橢圓廣+.=1的左焦點(diǎn)，“是橢圓

43

上任意一點(diǎn)，貝小「41+1產(chǎn)川的取值范圍是（）

A.[3,5]B.[3,+oo）C.[3,后]D.（底+8）

例題2.（2022?山東臨沂?高二期末）耳，E分別為橢圓工+片=1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

43

點(diǎn)則|M4|+版|的最小值為（）

A彳而DC麗cAMnc所

A.4---B.2--—C.4+--D.2+--

2222

例題3.（2022?寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知戶為橢圓=1上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)分

2516

別為圓（*+3）2+丁=1和圓（x-3）2+V=4上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|/W|的最小值為（）

A.6B.7C.9D.10

角度4：其他問(wèn)題

）2

例題1.（2022?上海普陀?二模）設(shè)橢圓「二+二=1的左、右兩焦點(diǎn)分別為5,尸?，尸是「上的點(diǎn)，則使

84

得△PEE是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.

例題2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為士、外的橢圓工+￡=1上，若NRPK=90,則

4520

|P4"P閭的值為.

同類題型歸類練

,>2

1.（2022?安徽亳州?高三期末（理））已知橢圓二+4=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為士、死，點(diǎn)尸在

a~h~

橢圓上，且滿足歸用=|耳凡|.若橢圓的離心率為|,則NP4后的余弦值為（）

A.yB.-C.-D.-

2848

2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）橢圓與雙曲線/-弓=1有相同的焦點(diǎn)環(huán)，心，離心率互為倒數(shù)，戶為橢

圓上任意一點(diǎn)，則角N6P居的最大值為（）

3.（2022.全國(guó)?高二）已知有相同兩焦點(diǎn)耳，鳥(niǎo)的橢圓工+丁=1（機(jī)>1）和雙曲線.-9=1（">0），尸是它

mn

們的一個(gè)交點(diǎn)，則△KP行的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨機(jī)，〃的變化而變化

22

4.（2022?上海虹口?二模）已知橢圓C：5+/=13>0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為"、F2,過(guò)人的直線

交橢圓C于A3兩點(diǎn).若耳48是等邊三角形，則匕的值等于.

r2V2

5.（2022.全國(guó).高二課時(shí)練習(xí)）己知耳、鳥(niǎo)分別是橢圓二+二=1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若

369

尼=120。，則這樣的點(diǎn)P有個(gè).

->o

6.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓工+二=1的焦點(diǎn)為"，尸2,點(diǎn)P在該橢圓上，如果線段尸耳的中

123

點(diǎn)在〉軸上，那么|歷|：歸閭的值為.

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓。：二+亡=1的左焦點(diǎn)為￡4B是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，

167

且NA￡B=90。，貝ILAB尸的周長(zhǎng)為.

8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓]+[=1的左焦點(diǎn)為巴，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O

2516

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段尸耳的中點(diǎn)，則A"。1的周長(zhǎng)為.

9.（2022?湖北?高二階段練習(xí)）己知F是橢圓C：看+]=1的左焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，A（l,2）,則附+附

的最小值為.

10.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C:《+X=l上一點(diǎn)，耳片是其左右焦點(diǎn)，且N耳?居=60,

259

則三角形△片P6的面積為

11.（2022.全國(guó).高二課時(shí)練習(xí)）橢圓捺+/1（“>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)?,A（0,6）,MFR

的面積為百，且斗心，則橢圓方程為（）

2

AX21n%2y2

A.Fy=1B.1=1

334

22

12.（2022?黑龍江?大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知片、鳥(niǎo)是橢圓C：5+4=1（。>/,>0）的兩個(gè)焦

a~b~

點(diǎn)，尸為橢圓C上的一點(diǎn)，且P￡_LP6.若△尸片片的面積為9,則6=（）

A.2B.3C.4D.5

13.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知點(diǎn)44,0)和B(2,2),M是橢圓《+f=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|M4|+|M8|

259

最大值是()

A.10+2710B.10-2^C.8+710D.8-V10

重點(diǎn)題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

例題1.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知AfiC的周長(zhǎng)為14,頂點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為（0,3）、（0-3）,

則點(diǎn)A的軌跡方程為（）

22

B.^-+—=l(y*0)

167V7

22

C.一+上=1("0)D.-^-+—=1(x^0)

1677167''

例題2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)圓（x+Ip+/=25的圓心為C,點(diǎn)A。,。）是圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)。為圓

周上任一點(diǎn)，線段A。的垂直平分線與C。的連線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

4x24v2

B."-+”-=1

21252125

2

r4x4y2

2521

例題3.（2022?全國(guó)?高二）動(dòng)點(diǎn)M在圓.d+y2=25上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線段。為垂足，則

線段血中點(diǎn)的軌跡方程是.

底)產(chǎn)］x24v2E-E=1

B.土+竺-=1C.

252525252525

同類題型歸類練

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)產(chǎn)（根,0）,動(dòng)點(diǎn)。在圓O：f+y2=9上，PQ的垂直平分線交直線

OQF點(diǎn)M,若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，則根的值可以是（）

A.5B.4

C.3D.2

2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4,0）,B（4,0）,它的周長(zhǎng)是18,則頂點(diǎn)

C的軌跡方程是（）

22

B.—+—=1（#0）

259

2222

c.工+21=1（"0）D.—+—=l（y*0）

1697259l）

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知[AB]=3,A,B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，。為原點(diǎn)，OP=goA+go8,

點(diǎn)P的軌跡方程為

2222

A.—+/=1B.x2+^—=1C.j+y2=iD.x2+—=1

47499

第五部分：新定義問(wèn)題

1.（2022.北京市十一學(xué)校高二期末）在橢圓C：4+4=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一

crb2

個(gè)定圓「：丁+V=/+從上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圖由法國(guó)數(shù)學(xué)家G-Ma/ge（1746-1818）最先發(fā)

現(xiàn).若橢圓。的離心率為e,左、右焦點(diǎn)分別為片、工，P為橢圓。上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P和原點(diǎn)作直線/與蒙日?qǐng)A

|PM|?|PN|

「相交于M,N,則兩7阿

A.4B.1C.e2D.以上答案均不正確

e

2.（2022重慶市清華中學(xué)校高二階段練習(xí)）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是著名的物

理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用''逼近法''得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘

且橢圓C的離心率為且，面積為127，則橢圓C的方程

積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上,

4

為（）

3.（2022?安徽?高二階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用

垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的

矩形ABC。截某圓錐得到橢圓「，且工與矩形A8CO的四邊相切.設(shè)橢圓r