第25課 四邊形綜合 （解析版）-2021年中考數(shù)學(xué)學(xué)霸必刷測(cè)評(píng)卷（+綜合）

2021年中考數(shù)學(xué)學(xué)霸必刷測(cè)評(píng)卷（專題+綜合）

第五單元四邊形第25課：四邊形綜合

一.選擇題（共7小題）

1.如圖，正方形MCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是各邊的中點(diǎn)，連結(jié)GH,取G4的中點(diǎn)P,連結(jié)EP,

FP,則下列說(shuō)法正確的是（）

B.四邊形BEPF的周長(zhǎng)是DGD”周長(zhǎng)的3倍

C.1EPF60?

D.四邊形BEPF的面積是DGDH面積的3倍

【解析】連接AC,BD,EH,HG,EF,FG,

Q點(diǎn)E,F,G,〃分別是各邊的中點(diǎn)，

\EF,是DA8C和D4X7的中位線，

\EF//AC,EF=-AC,HG//AC,HG=-AC,

22

\EF//EF,EF=HG,

同理，EH=FG,

Q正方形ABCD中，AC=BD,AlBD,

\四邊形￡FGH是正方形，

Q點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，

\HP=-HG=-EH,

22

\設(shè)EW=HG=EF=FG=2x,

\HP=PG=x,

\PE=PF=-J5x,

\PE=—GH,故A錯(cuò)誤；

2

QAE=BE=AH,?BAD90?,

\AE=BE=缶，

\四邊形5EP尸的周長(zhǎng)二（2&+DGW7周長(zhǎng)=（2&+2）x,

Q3?（2應(yīng)2）x?（2>/22&x,故8錯(cuò)誤;

Qsin?EPB,

\勝PB30?,

\^PF60?,故C錯(cuò)誤；

QOB=OD,

QHG/1AC,AH=DH,

\PD=PO,

\PB=3PD,

i3I

\四邊形BEPF的面積=yEFgPB=7EFgPD,DGDH面積=5EFgPD,

\四邊形BEPF的面積是DG，歸面積的3倍，故D正確.

故選：D.

2.如圖，四邊形AB。、CEFG是正方形，E在CZ）上且8E平分DOBC,。是BO中點(diǎn)，直線BE、DG交

于H.BD,AH交于M,連接0”,下列四個(gè)結(jié)論:

①BEAGD；?OH=-fiG；③？AHD45?；④GD=叵AM,

2

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】①正確，證明如下：

QBC=DC,CE=CG,?BCE?DCG90?,

\DBEC@DDGC(SAS),

\?EBC?CDG,

Q?BDC?DBH?EBC90?,

\?BDC?DBH?CDG90?,即昭八6。，故①正確；

②QBE平分DDBC,

\?DBH?GBH.

QBE八GD,

\2BHD?BHG90?.

在DBHD和DBHG中

I?DBH?GBH

\BH^BH,

BHD?BHG

\DBHD@DBHG(ASA),

\DH=GH.

Q。是BO中點(diǎn)，

\DO=BO.

\?！笔荄8DG的中位線，

\OH=-BG,故②正確；

2

③由于B54￡>、DBCD、D3HZ)都是直角，因此A、B、C、。、H五點(diǎn)都在以BO為直徑的圓上；

由圓周角定理知：?DHA7ABD45?,故③正確；

④由③知：A、B、C、D、H五點(diǎn)共圓，貝?BDH；

又?DBG45?,

\DABM^DDBG,

\AM:DG=AB:BD=I:&,B[J￡>G=-JlAM：

故④正確；

\正確的個(gè)數(shù)有4個(gè).

故選：D.

3.如圖，矩形ABCZ)中，AB=8.AD=3.點(diǎn)E從。向C以每秒1?個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以AE為一邊在AE

的右下方作正方形A瓦G.同時(shí)垂直于CD的直線MN也從C向。以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)多少

秒時(shí).直線MN和正方形AEFG開(kāi)始有公共點(diǎn)？（）

【解析】過(guò)點(diǎn)F作世八C。于點(diǎn)Q,

Q在正方形AEEG中，2AEF90?,AE=EF,

\?1?290?,

Q?DAE?190?,

\1DAE?2,

在DAD石和DEQ尸中，

?￡)?FQE

?DAE?QEF,

AE=EF

\DADE@DEQF(AAS),

\AD=EQ=3,

當(dāng)直線MV和正方形AEFG開(kāi)始有公共點(diǎn)時(shí)：3Q+CM..8,

\f+3+2，..8,

解得：t..2,

3

故當(dāng)經(jīng)過(guò)*秒時(shí).直線MN和正方形AEFG開(kāi)始有公共點(diǎn).

3

4.如圖，在矩形中，AB=日45=3,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿8c邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,連結(jié)。E,點(diǎn)E作

OE的垂線交AB于點(diǎn)尸.在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊，在E尸上方作等邊DEFG,則邊EG的中點(diǎn)”

所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（）

A.26B.3色C.一下D.一代

23

【解析】如圖，連接切，取EF的中點(diǎn)M,連接8M,HM,

在等邊三角形EFG中，EF=FG,”是EG的中點(diǎn)，

\?FHE90?,?EFH-?EFG30?,

2

又QM是EF的中點(diǎn)，

\FM=HM=EM,

在RtDFBE中，?FBE90?,M是E尸的中點(diǎn)，

\BM=EM=FM,

\BM=EM=HM=FM,

'點(diǎn)、B,E,H,尸四點(diǎn)共圓，

連接BH,則？HBE?EFH30?,

'點(diǎn)H在以點(diǎn)B為端點(diǎn)，BC上方且與射線BC夾角為30。的射線上,

如圖，過(guò)C作CH廿BH于點(diǎn)、HC，

Q點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)，沿8c邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,

\點(diǎn)H從點(diǎn)B沿BH運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H弧

在中，?BH算90?,

\BH莊SCgpos?CBH3?4孚，

\點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是地.

2

故選：C.

5.如圖，在四邊形ABCD中,AC=BD=7,點(diǎn)E,F,G,"分別為邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn),

連接￡G,HF,相交于點(diǎn)O,則EG2+"2的值為（）

A.32B.41C.36D.49

【解析】如圖，連接EF、FG、HG、EH,

QE、F、G、”分別是線段AB、BC、CD、4。的中點(diǎn)，

\EH、FG分別是DAB￡＞、DBC￡）的中位線，EF、HG分別是DACD、DABC的中位線,

根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，EH=FG=-BD=3.5,EF=HG=-AC=3.5,

22

又QAC=BD,

\EH=FG=EF=HG,

\四邊形EFG”是菱形；

\￡GAFH,EG=2OE,FH=2OH,

在RtDOEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH-=EH2=3.52,

等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2=4?3.5249,

\(2OE)2+(2OH)2=49,

即EG2+FH2=49.

故選：D.

6.如圖，將正方形（圖①）作如下操作：第1次，分別連接各邊中點(diǎn)，得到5個(gè)正方形（圖②）；第2次將

圖②中左上角的正方形按上述方法再分割得到9個(gè)正方形（圖③），%,以此類推，若要得到2033個(gè)正方

形，則需要操作（）次.

【解析】Q第1次：得到4+1=5個(gè)正方形;

第2次：得到4?21=9個(gè)正方形；

以此類推，第"次得到（4〃+1）個(gè)正方形，

若第n次得到2033個(gè)正方形，則4n+1=2033,

解得：”=508.

故選：C.

7.如圖，RtDABE中，?B90?,AB=BE,將DABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到DA//O,過(guò)。作￡心八BE

交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接并延長(zhǎng)交"■于點(diǎn)尸，連接OE交于點(diǎn)O.下列結(jié)論：

①DE平分SHDC;?DO=OE-.③H是8F的中點(diǎn)；@BC-CF=2CE:

⑤CD=HF,其中正確的有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C,3個(gè)D.2個(gè)

【解析】90?,AB=BE,

\?AEB1BAE45?,AE=>/2BE,

Q將DABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

\?DAE?AEB45?,AD=AE=yflBEfDH=BE,AH=ABf?ABE?AHD90?,

\?DAB?ABE90?,AH=DH=AB=BEf

又QZ)C八BE,

\四邊形ABCD是矩形，

\AB=CD=DH,AD=BC=&E,2BCD?DHE90?,

QDH=DC,DE=DE,

\RtDDEC@RtDDEH(HL),

\HE=EC,?AED?DEC67.5?,?CDE?HDE22.5?,

\DE平分DHDC,故①正確；

QAB=AH,?BAE45?,

\?ABH?AHB67.5?,

\?OHE?OEH67.5?,

\OH=OE,2DHO22.5??HDO,

\DO=HO,

\OE=OD,故②正確；

如圖，連接8,

Q2ABH67.5?,

\?CBH22.5?,

\?BFC67.5?,

QHE=EC,?AEB45?,

\?ECH?EHC22.5?,

\?HBC?HCE，?FCH67.5?,

\BH=CH,?FCH2BFC,

\HC=HF,

\BH=HF,

'點(diǎn)”是創(chuàng)7的中點(diǎn)，故③正確，

如圖，過(guò)點(diǎn)H作HN人BC于N,

\HN//CD,

\DBHNsDBFC,

、BH_HN_\

~BF~~FC~21

\FC=2HN,

QAE=42BE,AH=BE,

\HE=(>/2-1)BE=CE,

QHV八BC,?AEB45?,

\HN=—HE=-(y/2-1)BE,

22

\CF=2HN=(2-垃)BE,

QBC-CF=BE+CE-CF=BE+(72-\)BE-(2-C)BE=2(>/2-1)BE,

\BC-CF=2CE,故④正確；

Q?HFD180?67.5=112.5?,?HDF45?,

\2HDF,

\HF?DH,

\HF?CD,故⑤不合題意，

故選：B.

二.填空題（共5小題）

8.四邊形對(duì)角線4C=8耳,BD=6應(yīng)，P、Q、R、S分別是A8、BC、CD、ZM的中點(diǎn)，則PR2+QS2

的值為132.

【解析】如圖1，QP、Q、R、S分別是43、BC、CD、ZM的中點(diǎn)，

\PS和RQ分別是DABD和DCM的中位線，

\PS=^BD,PS//BE）,RQ=』BD,RQUBD,

\PS=RQ,PS/IRQ,

\四邊形PQRS是平行四邊形；

如圖2,過(guò)戶作尸于G,過(guò)S作加人QR交QR的延長(zhǎng)線于H,

則？PGQ?SHR90?.

Q四邊形PQRS是平行四邊形，

\PQ=SR,PQ//SR,

\?PQG?SRH,

\DPQG@DSRH(AAS),

\PG=SH,QG=RH.

在RtDPRG和RtDQSH中，由勾股定理，得

PR2=PG2+RG2=PG2+(QR-QG)2,

QS2=SH2+QH2=SH2+(QR+RH)2=PG2+(QR+QG)2,

\PR2+QS2=2PG-+2QR2+2QG2=2(PG2+QG2)+2QR2.

又PG?+QG2=PQ",

故PR2+QS2=2（PQ2+QR2）.

\PR?+。曉=2（RS、RQ2）=2（§AC）2+（；8D）2）=2?66132,

故答案為：132.

9.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BO交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AC上，且。E=CD,連接O￡,?ABE-?ACB,

2

【解析】如圖，作8八BE于H,EF"80于尸.設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為G.

則？?BCH?BHC90?,

Q四邊形為矩形，

\AD=BC,AB=CD,?ABC?BAD90?,AD!IBC,AC=BD

\1ABE?CBH90?,

\2ABE1BCH,

Q?ABE-?ACB,

2

\?BCH?GCH,

\BH=GH,BC=CG,?CBH?CGH,

設(shè)則￡￡>=8=M=x,

QAE=2,所以AD=AE+￡?=2+x,

\CG=CB=2+x，

QAD//BC,

\?AEG2CBH2CGH?AGE,

\AG=AE=2,

\AC=AG+CG=4+x,

在RtDABC中：AB2+BC2=AC2,

222

\x+(x+2)=(x+4),解得玉=6,x2=-2(舍)，

\AB=CD=6,AD=AC=8,AC=BD=10,

QAC與BD交于點(diǎn)O,

\AO=80=CO=DO=5,

Qsin?^"=竺/，cos?如處=空=；

BDDE5BDED：

、?3~、18A4廠八24

\EF=-ED=—，Dr=—ED=——

5555

\OF=OD-DF=5--=-

55

在RtDEFO中：

OE2=OF2+EF2=(-)2+(—)2=—=13,

5525

\0E=713.

故答案為：＞/rj

10.如圖，正方形中，4)=6,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)E作EF八ED,交A8于

點(diǎn)F,連接。F,交AC于點(diǎn)G,將DEFG沿E尸翻折，得到D比連接。M,交EF干點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是4B

邊的中點(diǎn)，則DSW的面積是—.

一21

DC

【解析】如圖1,過(guò)E作PQ人0C,交.DC于P,交AB于Q,連接BE,

圖1

QDC//AB,

\PQAAB,

Q四邊形ABC。是正方形，

\2ACD45?,

\DPEC是等腰直角三角形，

\PE=PC,

設(shè)則PE=x,PD=6-x,EQ=6-x,

\PD=EQ,

Q2DPE?EQF90?,?PED?EFQ,

\DDPE@DEQF(AAS)9

\DE=EF,

QDE八EF,

\DZ)即是等腰直角三角形，

QDC=BC,?DCE?BCE45?,CE=CE,

\DDEC@DBEC(SAS),

\DE=BE,

\EF=BE,

QEQ八FB,

\FQ=BQ=-BF,

一2

QAB=AD=6,尸是AS的中點(diǎn)，

\BF=3,

3

\FQ=BQ=PE=|,

\CE=—,PD=),

22

\EF=DE=,

2

如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作"/人AC于點(diǎn)/7,

圖2

QAD=CD=6,

\AC=6A/2

QDC//AB,

\DDGC^DFGA,

、CGCD6c

AGAF3

\CG=2AG,

\AG=20,

\GE=AC-AG-CE=672-2&--=—,

22

Q?MC45?,HF^AC,

\1FAC1AFH45?,

\AH=HF,且AF=3,

Q將DEFG沿EF翻折，得到DE/必，

\5口環(huán)材=Y，F(xiàn)M=GF=#,1DFE?EFM45?,

\?DFM90?，

QDF=->JDA2+AF2=J36+9=3丘,

'SDDFM=l倉(cāng)中右\/5=y,

QDEQM的面積=S四邊儂

\DEDM的面積=工倉(cāng)白叵跡+

222422

故答案為：—.

2

11.已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE,BE,DE.過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線AP交OE于點(diǎn)尸.若

正』P=1,PB=瓜,下列結(jié)論：

?DAPD@DAEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為正；③EB八ED；

④^DAPD+SDAPB=1+y/^?⑤SjE方彩ABC。=4+下.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③

【解析】①Q(mào)?￡48?BAP90?,?PAD?BAP90?)

\?EAB?PAD,

又QAE=AP,AB=AD,

Q在DAPD和DA￡B中，

iAE=AP

1?EAB?PAD,

\AB=AD

\DAPD@DAEB(SAS)；

故此選項(xiàng)成立；

@QDAPD@DAEB,

\?APD1AEB,

Q?AEB1AEP?BEP,1APD?AEP?PAE,

\?BEP?PAE90?,

\EB八ED；

故此選項(xiàng)成立；

②過(guò)B作8尸入AE,交AE的延長(zhǎng)線于F,

QAE=AP,?EAP90?,

\?AEP?APE45?,

又Q③中EB^EO,BFAAF,

\?FEB?FBE45?,

又QBE=-JBP2-PE2=2,

\BF=EF=丘,

故此選項(xiàng)正確；

④如圖，連接BO,在RtDAEP中，

QAE=AP=1,

\EP=0,

又QPB二底,

\BE=2,

QDAPD@DAEB,

\PD=BE=2,

QEF=BF=~]2,AE=1,

\在RtDABF中，AB2={AE+EF)2+BF1=5+272,

\S.+S1MMsD曲=gs正方彩Me-；倉(cāng)"BE=i?(5押2=g+".

(也可以證明SDABP+SDADP=SnillKiAEBP=SDAEP+SDPEB=—+*)

故此選項(xiàng)不正確.

QAB2=5+20,

\&方形ABCO=AB-=5+2*,

故此選項(xiàng)不正確.

故答案為：①②③.

12.如圖，在正方形中，E為A8上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃AO.與AC、0c分別交于點(diǎn)G、F,H

為CG的中點(diǎn)，連接。E、EH>DH、FH.下列結(jié)論：

①EG=DF-,

②？AEH?ADH180?:

③DEHF@DDHC；

④PH2=AP2+CH2-,

⑤若若=:，則3SDHW=5s00Hc，

AB3

其中結(jié)論正確的有①②③④⑤.（填寫(xiě)序號(hào)）

BC

【解析】①Q(mào)四邊形ABCQ為正方形，EF//AD,

\EF=AD=CD,?ACD45?,?GFC90?,

\DC尸G為等腰直角三角形，

\GF=FC,

Q￡G=EF-GF,DF=CD-FC,

\EG=，故①正確；

②QDCFG為等腰直角三角形，〃為CG的中點(diǎn),

\FH=CH,?GFH-?GFC45??HCD,

2

在DE/正和D￡>”C中，

IEF=CD

UEFH?DCH,

FH=CH

\DEHF@DDHC(SAS),故③正確；

\?HEF?HDC,

\?AEH?ADH?AEF?HEF?ADF2HDC?AEF?ADF180?,故②正確;

④如圖，將DDCH繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，可得DD4Q,連接QP,

O

\DDAQ@DDCH,

\AQ=CH,DQ=DH,?ADQ?CDH,

QDEHF@DDHCf

\EH=DH,?EHF?DHC,

\?DHE1FHC90?,

\?EDH45?,

\?ADP?CDH45?,

\?ADP?ADQ45??EDH,

又QQD=DH,DP=DP,

\DQDP@DHDP(SAS),

\PH=QP,?QAD?HCD45?,

\?0AP90?,

\QA2+AP2=QP1,

\PH?=AP2+C//2,故④正確;

⑤Q寮(

\AE=-BE,

2

QDC77G為等腰直角三角形，”為CG的中點(diǎn),

\FH=GH,?FHG90?,

Q?EGH2FHG?HFG90?1HFG2HFD,

在DEG"和DDFH中，

IEG=DF

1?EGH?HFD,

\GH=FH

\DEGH@DDFH(SAS),

\7EHG1DHF,EH=DH,?DHE1EHG?DHG?DHF?DHG?FHG90?,

\為等腰直角三角形，

過(guò)H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，如圖所示：

設(shè)“M=x,貝ljDW=2x,DH=&,CD=3x,

DPHC2222

則S=；倉(cāng)歸"CD=|x,SDEDH-1?DH1?(V5x)|x,

\3SDEDH=5SDOHC,

故⑤正確；

故答案為：①②③④⑤.

三.解答題(共3小題)

13.已知如圖，在四邊形ABCD中，?BAD?BCD,點(diǎn)E、F、G、H分別是BC、CD、AC、BD中點(diǎn).

(1)求證：?EGF?EHF；

(2)求證：?DHG?DBA?DBC.

【解析】證明：（1）QDF=FC,DH=HB,

\FH//CB,

QDH=HB,BE=EC,

\EH//CD,

\四邊形是平行四邊形,

\?EHF?BCD,

QCF=DF,CG=GA,

\FG//AD,

\?FGC?DAC，

QAG=GC,CE=EB,

\EG//AB,

\?CGE?CAB,

\?EGF?DAB,

Q?DAB2BCD,

\?EGF?EHF.

(2)Q?EGF2EHF,

\E,F,G,H四點(diǎn)共圓，

\?GHF?GEF,

QCF=DF,CE=EB,

\EF//BD,

QCG=GA,CE=EB,

\EG//BA,

\?GEF2ABD,

QEF//CB,

\1DHF?DBC,

\?GHD?GHF?DHF2ABD?DBC.

D

14.如圖①，已知RtDABC中，?C90?,AC=Scm,8c=6cm,點(diǎn)尸由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2c?〃/s.以AQ、PQ為邊作Y4QPO,

連接。Q，交AB于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（單位：s）（01效4）.解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)f為何值時(shí)，AQ=AP-.

（2）如圖②，當(dāng)f為何值時(shí)，Y4QPQ為矩形；

（3）當(dāng)/為何值時(shí)，DPEQ是以PE為直角邊的直角三角形.

【解析】（1）在RtDABC中，由勾股定理得：AB=yJAC2+BC2=+62=10,

Q點(diǎn)P由8出發(fā)沿班方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。由4出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均

為2cm/s,

\AP=AB-BP=10-2t,AQ=It,

QAQ=AP,

\10-2r=2t,

解得：/=2(s)；

2

(2)Q四邊形AQPD是矩形,

\?PQA?C90?

又Q?8AC?BAC,

\DAQP^DACB,

,AQ_AP

\---=----,

ACAB

日口2t10-2t

8