備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何

第八章平面解析幾何8.1直線的傾斜角、斜率與方程1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式）.【教材梳理】1.直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.（2）規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°（3）范圍：直線傾斜角的取值范圍是[02.直線的斜率（1）定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k=tan（2）過(guò)兩點(diǎn)直線的斜率公式：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1)（3）直線的方向向量坐標(biāo)：若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，則直線P1P2的方向向量P1P2的坐標(biāo)為(x3.直線方程的五種形式名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-(x0,y0不垂直于x軸（k存在）斜截式y(tǒng)=k為斜率，b是直線的縱截距，是點(diǎn)斜式的特例不垂直于x軸（k存在）兩點(diǎn)式y(tǒng)-(x1,y1不垂直于x軸和y軸(x截距式xaa為橫截距，b為縱截距，是兩點(diǎn)式的特例不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)(ab一般式Ax+By+A,B,C為系數(shù)任何位置的直線【常用結(jié)論】4.斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角（范圍）α=0°α=90°斜率（范圍）k=0k>0不存在k<05.過(guò)點(diǎn)P1(x1,（1）若x1=x2，且y1≠y（2）若x1≠x2，且y1=y（3）若x1=x2=0，且y1≠（4）若x1≠x2，且y1=y1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）傾斜角越小，斜率越小. (×)（2）不是所有的直線都有斜率. (√)（3）過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的直線都可用方程（4）能用斜截式方程表示的直線都能用點(diǎn)斜式方程表示. (√)（5）直線2kx+y+1-2k=02.過(guò)點(diǎn)A(-2,1)，B(3,-3)的直線方程為(A.4x-5y+13=0C.5x+4y+5=0[解析]解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(-2,1)和(3,-3)，所以y-1-3-1=x+23+2，所以3.（教材題改編）如果AC<0，且BC<0，那么直線Ax+By+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：由已知得，直線Ax+By+C=0在x軸上的截距-CA>0，在y4.（教材題改編）經(jīng)過(guò)A(0,1),B(-1,m)兩點(diǎn)的直線l的方向向量為(1,-1)，傾斜角為α,則m=2[解析]解：由題意知，直線l的斜率k=1-m0-(-1)=-11.所以m=2,k=-1.又k=tanα考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率例1（1）【多選題】如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2A.k1<k3<k2 B.k[解析]解：由題圖知，k2>k3>0，k故π2>α2>α3>0，且（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3)，則其斜率k的取值范圍是(DA.(-1,15)C.(-∞,-1)∪(15,+∞)[解析]解：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-2=k(x-1)，直線l令-3<1-2k<3，解得k<-1或【點(diǎn)撥】①任一直線都有傾斜角，但斜率不一定都存在，直線傾斜角的范圍是[0,π)，斜率的取值范圍是R，同時(shí)要知道正切函數(shù)在[0,π)變式1.（1）已知直線l的方程為xsinα+3y-1=0，α∈A.(0,π3]∪[2π3,π)[解析]解：因?yàn)閥=-sinα3x+13，即直線l的斜率k=-sinα3.由-1≤sinα≤1，得-3（2）已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-x+2(-1≤x[解析]解：y+2x+3可看作點(diǎn)P(-3,-2)與曲線y=x2-如圖,當(dāng)點(diǎn)A為曲線左端點(diǎn)(-1,4)時(shí),k最大,為4+2-1+3=3;當(dāng)直線PA與曲線相切時(shí),k最小,此時(shí)設(shè)PA的方程為y+2=k(x+3),與曲線方程y=x2-x+2聯(lián)立,得x2-(k+1)x+4-3k=0，其判別式Δ=(k+1考點(diǎn)二求直線方程例2（1）求適合下列條件的直線方程.（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，傾斜角為150°[答案]解：因?yàn)閮A斜角α=150°，所以斜率k=tan即y=-3（Ⅱ）過(guò)兩點(diǎn)A(1,3)，B(2,5)[答案]解：因?yàn)樾甭蔾=5-32-1=2，所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-3=2(（Ⅲ）在x軸、y軸上的截距分別為-3，-[答案]解：由題意，得直線的截距式方程為x-3即x+3y【點(diǎn)撥】選用直線方程時(shí)，注意其適用條件.同時(shí)注意截距相等包含截距為0，截距不是距離等.（2）設(shè)直線l的方程為(m（Ⅰ）已知直線l在x軸上的截距為-3，則m=-[解析]解：由題意知m2-2m-3≠0，即m≠3且m≠-1所以2m-6m2-2m-所以m=-5（Ⅱ）已知直線l的斜率為1，則m=-[解析]解：由題意知，2m2+m-1≠0，即由直線l化為斜截式方程得y=m2-2m-32m2+所以m=-2故填（Ⅰ）-53；（Ⅱ）-【點(diǎn)撥】①若方程Ax+By+C=0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0；②令x=0可得在y軸上的截距，令y=0變式2.（1）求適合下列條件的直線方程.（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)A(1,3)，傾斜角是直線y=-3x[答案]解：因?yàn)閥=-3x的斜率為k=-3，其傾斜角為120°，所以所求直線的傾斜角為所以直線方程為y-3=3(x（Ⅱ）直線過(guò)點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；[答案]解：若截距不為0,設(shè)直線的方程為xa+因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(-3,4)，所以-3a+4a此時(shí)直線方程為x+y若截距為0,設(shè)直線方程為y=kx，代入點(diǎn)(-3,4)有4=-3k,解得k=-43綜上，所求直線方程為x+y-1=0（Ⅲ）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形[答案]解：由題意可知，所求直線的斜率為±1，又過(guò)點(diǎn)(3,4)，得y-4=±(所求直線的方程為x-y+1=0或（2）一次函數(shù)y=-mnx+A.m>1且n<1 B.mn<0 C.m>0且n<0 D.[解析]解：因?yàn)閥=-mnx+1n的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故-mn＞0，且1n＜0考點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用例3（1）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0[解析]解：由直線x+my=0求得定點(diǎn)A(0,0)，直線mx-y-m+3=0，即y-3=m(x-1)，所以得定點(diǎn)B(1,3).當(dāng)m=0時(shí)，兩條動(dòng)直線垂直，當(dāng)m≠0時(shí)，因?yàn)?-1m（2）直線l過(guò)點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)（Ⅰ）當(dāng)|PA|?|PB|[答案]解：依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù).設(shè)l:y令y=0，可得A(1-令x=0，可得B(0,4-|PA=-4k(1+k2)=-4(所以當(dāng)且僅當(dāng)1k=k且k<0，即k=-1時(shí)，|PA|?|PB|（Ⅱ）當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí)，求[答案]|OA|+|OB|=(1-4k)+(4-k)=5-(k+4k)≥9.所以當(dāng)且僅當(dāng)k=4k且【點(diǎn)撥】①求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值；②求參數(shù)值或范圍，注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.變式3.（1）若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則該直線在A.1 B.4 C.2 D.8[解析]解：因?yàn)橹本€ax+by=ab過(guò)點(diǎn)(1,1)，所以a+b=ab，1a+1b=1，因?yàn)橹本€在x軸的截距為b，在y軸上的截距為a，所以直線在x軸、y（2）已知直線l1:ax-2y=2a-4，l2:2x+a[解析]解：由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,2)，直線l1的縱截距為2-a，直線l2的橫截距為a2+2，所以四邊形的面積S=12×2(2-a)+12【鞏固強(qiáng)化】1.【多選題】下列說(shuō)法正確的是(BD)A.截距相等的直線都可以用方程xa+B.方程x+my-2=0(mC.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為yD.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1[解析]解：對(duì)于A，截距相等且為0的直線都不可以用方程xa+對(duì)于B，當(dāng)m=0時(shí)，方程x+my-2=0(m∈R對(duì)于C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為θ=90°對(duì)于D，因?yàn)閤1≠x2，所以直線的斜率存在，可寫(xiě)成y-2.過(guò)點(diǎn)(1,33)且與直線x-3y=0A.x+3y-C.x=1 D.x+3y[解析]解：因?yàn)閤-3y=0，即y=33x，斜率為k1=33，傾斜角為30°，所以所求直線的傾斜角為150°或90°,斜率為-33.已知直線kx-y+1-3k=0，當(dāng)kA.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)[解析]解：kx-y+1-3k=0可化為y-1=4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l上的一點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，仍在該直線上，則直線l的斜率為(A)A.-2 B.-12 C.12[解析]解：根據(jù)題意，設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)，將該點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為(a+2,b-4)5.直線l:x+ycosA.[0,π) B.[π4,π2[解析]解：當(dāng)cosθ=0時(shí),直線l的傾斜角為π2;當(dāng)cosθ≠0時(shí),直線l的斜率k=-1cosθ∈(-∞,-1]∪[1,+∞)6.從點(diǎn)(2,3)出發(fā)的光線沿與向量a=(8,4)平行的方向照射到y(tǒng)軸上,經(jīng)y軸反射,其反射光線所在直線的方程為(AA.x+2y-4=0 B.2x+y[解析]解：反射光線與入射光線的斜率互為相反數(shù).又入射光線的斜率k=48=12,所以反射光線的斜率k'=-12.又入射光線所在直線方程為y-3=12(x-2),令7.如果直線x-4y+b=0的縱截距為正，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為[解析]解：由題意知，直線的方程為y=14x+b4(所以它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12×b4×b=88.已知在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x-2y+1=0和y[答案]解：由題意,設(shè)B(a,1)，C(2b-1,b),則AB的中點(diǎn)(a+12,2)在中線x-2y+1=0上,所以a+12-4+1=0,得a=5，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,1).AC的中點(diǎn)(b,b+32)在中線y=1上,所以b+32=1【綜合運(yùn)用】9.直線ax+by+c=0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則a，b，cA.ab>0，bc<0 B.ab>0，C.ab<0，bc>0 D.ab<0[解析]解：由于直線ax+by所以直線存在斜率，將方程變形為y=-a易知-ab<0且-cb>0，故故選A.10.過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(m,3)的直線的傾斜角α的范圍是[π4,3A.[0,2] B.(2,4] C.[0,2)∪(2,4] D.[0,4][解析]解：當(dāng)m=2時(shí)，直線AB的傾斜角為π2當(dāng)m≠2時(shí)，kAB≥1或kAB≤-1,即3-1m-2≥1或所以2<m≤4或0≤綜上，0≤m≤4.11.設(shè)點(diǎn)A(-2,3)，B(3,2)，若直線ax+y+2=0與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)，則aA.(-∞,-52]∪[4C.[-52,4[解析]解：直線ax+y+2=0恒過(guò)點(diǎn)M(0,-2)，且斜率為-a，因?yàn)閗畫(huà)圖可知-a>-52且-a<412.若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為13，-[解析]解：正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ=2，直線OA的傾斜角為θ-45°，直線OC故kOA=tan(θ故填13；-313.已知直線l:(2+（1）直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)嗎？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.[答案]解：直線l:(2+m)x+(令x+y-3=0故直線l過(guò)定點(diǎn)P(1,2)（2）若直線l分別與x軸正半軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求對(duì)應(yīng)的直線l[答案]設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b)，因?yàn)锳,B分別在x軸，y軸的正半軸，所以a>0,b>0，則可設(shè)直線l:xaS△AOB=12ab，由1=1a+2b≥21a?2b，得故△AOB面積最小時(shí)，直線l:2（Ⅱ）當(dāng)|PA|?|PB|最小時(shí)，求對(duì)應(yīng)的直線[答案]設(shè)直線l的斜率為k(k<0)，則其方程為y-2=所以A(1-2k,0)，B(0,2-k)，所以|PA當(dāng)且僅當(dāng)4k2=4k2故當(dāng)|PA|?|PB|最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線l【拓廣探索】14.已知過(guò)定點(diǎn)(2,1)作直線l,與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為4,這樣的直線有(C)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條[解析]解：根據(jù)題意,直線l不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且與坐標(biāo)軸不平行,可設(shè)截距式方程為xa+直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),則有2a+1直線l與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為4,則S=12×|a|×|b聯(lián)立①②可得,a2-8a+16=0方程a2-8a+16=0方程a2+8a-16=0的解為可知有三組不同的實(shí)數(shù)解a和b滿足題意.故選C.8.2兩條直線的位置關(guān)系1.能根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.【教材梳理】1.兩條直線的位置關(guān)系（1）平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1//l2?k1=k2，特別地，當(dāng)直線l（2）垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1k2=-1，特別地，若直線l2.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組A1x+B1y3.距離公式（1）兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)P0(x0,y0)（3）兩條平行直線間的距離：兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0【常用結(jié)論】4.兩條直線平行、垂直的充要條件設(shè)直線l1與l2的方程分別為A1x+B1y+C1=0（A1，B1（1）l1（2）l15.常見(jiàn)直線系方程（1）過(guò)定點(diǎn)(x1,y1)（2）平行于直線Ax+By+C（3）垂直于直線Ax+By+C（4）過(guò)兩條已知直線A1x+B1y+C1=0與A6.對(duì)稱常用結(jié)論（1）點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y（2）點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a（3）點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，k1（2）已知兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0（3）點(diǎn)P(x0,y0)到直線（4）直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(√)（5）若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l:y=kx+b(k≠0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于-12.（教材習(xí)題改編）過(guò)點(diǎn)(2,2)且平行于直線x-2y+3=0A.x-2y+2=0 B.2x+y[解析]解：設(shè)所求直線方程為x-2y+c=0.把點(diǎn)(2,2)代入可得2-2×2+c=0，所以3.圓(x+1)2+y2=2A.1 B.2 C.2 D.22[解析]解：圓(x+1)2+y2=2的圓心坐標(biāo)為(-1,0).由y=x4.（教材題改編）以A(1,2),B(3,4),C(9,0)[解析]解：（方法一）由題意，S△ABC=12|AB|h|AB|=AB邊所在的直線方程為x-y點(diǎn)C(9,0)到直線x-y+1=0的距離h=|9-0+1|（方法二）如圖過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)D.易得AC邊所在的直線方程為x+4y-9=0，令x=3，得y則S△=12故填10.考點(diǎn)一兩條直線的平行例1已知兩條直線l1:(a-1)x+2y+1=0A.-1 B.2 C.0或-2 D.-1[解析]解：（方法一）因?yàn)橹本€l1:(a-1)x+2y+1=0所以a=-1或a=2，又兩條直線在y所以當(dāng)a=-1或a=2（方法二）由A1B2-A解得a=-1或a=2由A1C2-A所以a=-1或a=2.【點(diǎn)撥】①當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.②在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.③A1A2變式1.已知三條直線2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，A.{-43,23} B.{-4[解析]解：由題意得直線mx-y-1=0與另外兩條直線中的一條平行，或者過(guò)另外兩條直線的交點(diǎn).當(dāng)直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0，4x+3y+5=0分別平行時(shí)，m=23或-43考點(diǎn)二兩條直線的垂直例2（1）已知直線l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0與直線l2:(a-A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]解：l1⊥l2的充要條件是(a+2)(a-顯然“a=1”是“a=±1”的充分不必要條件，故“a=1”是“l(fā)1⊥l（2）設(shè)a，b，c分別是△ABC中內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsinA+ay+c=0A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直[解析]解：由正弦定理asinA=bsin所以兩直線垂直.故選C.【點(diǎn)撥】判定兩直線垂直的方法：①判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2=-1，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則兩直線也垂直.②直接用以下方法，可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論.設(shè)直線l1:A變式2.（1）已知a>0，b>0，直線l1:(a-1)x+y-1=0，A.2 B.4 C.8 D.9[解析]解：因?yàn)閘1⊥l2，所以(a因?yàn)閍>0，b>0，所以2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=2+2+（2）已知點(diǎn)A(5,2),B(-1,4)，則AB的垂直平分線方程為(A.x-3y+7=0 B.3x-y[解析]解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,則x=5-12=2,y=直線AB的斜率k=4-2所以AB的垂直平分線的斜率為3，則AB的垂直平分線方程為y-3=3(即3x-y-考點(diǎn)三兩條直線的相交、距離問(wèn)題例3（1）直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點(diǎn)在A.-24 B.6 C.±6 D.-[解析]解：因?yàn)閮蓷l直線2x+3y-k=0和x-ky所以3b-k=0，-kb+12=0，（2）若三條直線x+y-3=0，x-y+1=0，mx+A.5 B.6 C.23 D.2[解析]解：聯(lián)立x+y-3=0因?yàn)槿龡l直線x+y-3=0，x-y+1=0則點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到直線x+2y=5（3）若兩平行直線3x-2y-1=0，6x+ay+c=0[解析]解：依題意知，63=a-2≠c-1，解得a=-4又兩平行線之間的距離為21313，所以|c2+1|32+(-2)2=21313【點(diǎn)撥】求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般思路就是解由這兩條直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn).距離的求法：①點(diǎn)到直線的距離，可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式.②兩平行直線間的距離，利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；或利用兩平行線間的距離公式d=變式3.（1）經(jīng)過(guò)兩條直線x+y-3=0和x-2y[解析]解：聯(lián)立x+y-3=0，x-2y+3=0，得交點(diǎn)為(1,2).又由題知，所求直線斜率為-2,（2）直線l過(guò)點(diǎn)P(-1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-4,5)的距離相等，則直線l的方程為x+[解析]解：（方法一）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x由題意知|2k-即|3k-1|=|-3k-所以直線l的方程為y-2=-即x+3y當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，也符合題意（方法二）當(dāng)AB//l時(shí)，直線l的斜率k=kAB=-13，直線當(dāng)l過(guò)AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí)，由直線l過(guò)點(diǎn)P(-1,2)直線l的方程為x=-1故所求直線l的方程為x+3y-5=0故填x+3y-5（3）直線l1，l2分別過(guò)點(diǎn)M(1,4)，N(3,1)，它們分別繞點(diǎn)M和N旋轉(zhuǎn)，但必須保持平行，那么它們之間的距離dA.5 B.4 C.13 D.3[解析]解：當(dāng)直線l1，l2都與MN垂直時(shí)，它們之間的距離取得最大值，且為d=|MN考點(diǎn)四對(duì)稱問(wèn)題例4（1）點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x+y+1=0[解析]解：設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x+y+1=0則b-5a-2?(-1)=-1,a+22+b+52故填(-6,-（2）已知直線l:2x-3y+1=0，點(diǎn)A(-1,-2)，則直線l關(guān)于點(diǎn)[解析]解：（方法一）在l:2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn)，如P(1,1),N(4,3),則P，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P易知P'(-3,-5)，N'(-6,-7)，由兩點(diǎn)式可得l'的方程為（方法二）設(shè)Q(x,y)為l'上任意一點(diǎn)，則Q(x因?yàn)镼'在直線l上，所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x（3）直線l1:2x+y-4=0關(guān)于直線l[解析]解：解方程組2x+y-4=0,x-y+2=0,得直線l1與直線l的交點(diǎn)A(23,83)則x+22-y2+2=0,yx又直線l2過(guò)A(23,83)和C(-2,4)兩點(diǎn)，故由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為【點(diǎn)撥】關(guān)于中心對(duì)稱問(wèn)題的處理方法：①若點(diǎn)M(x1,y1)及N(x,關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題的處理方法：①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱.若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在l上，且連接P1P2變式4.（1）點(diǎn)A(-2,a)與點(diǎn)B(b,-3)關(guān)于直線l[解析]解：由題意知點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(b-22,a-32)，因?yàn)镻在直線l上，所以b-22+2?a-32-a=0，得（2）直線l1:y=2x+3關(guān)于直線l:[解析]解：由y=2x+3，y=x+1，得直線l1所以可設(shè)直線l2的方程為y+1=即kx-y在直線l上任取一點(diǎn)(1,2)，由題設(shè)知點(diǎn)(1,2)到直線l1，l2|k-2+2k-1|k2所以直線l2的方程為x-2y=0考點(diǎn)五直線系及其應(yīng)用例5求證：動(dòng)直線(m2+2m+3)x[答案]證明：（方法一）令m=0，則直線方程為3x+再令m=1時(shí)，直線方程為6x+聯(lián)立①②，得方程組3x+y+1=0將點(diǎn)A(-1,2)代入動(dòng)直線(m(m=(3-1-2)m2故點(diǎn)A(-1,2)的坐標(biāo)恒滿足動(dòng)直線方程，所以動(dòng)直線(m2+2m（方法二）將動(dòng)直線方程按m降冪排列整理得，m2(x不論m為何實(shí)數(shù)，①式恒為零，所以有x-y+3=0，故動(dòng)直線恒過(guò)點(diǎn)(-1,2).【點(diǎn)撥】對(duì)證明直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,常用方法有恒等式法和特殊直線法,恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式,利用參數(shù)為R,則恒等式的系數(shù)為0,列出關(guān)于x,y的方程組,通過(guò)解方程組,求出定點(diǎn)坐標(biāo)；特殊直線法就是取兩個(gè)特殊參數(shù)值,得到兩條特殊直線,通過(guò)求出這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)并代入原直線系方程檢驗(yàn),即得定點(diǎn).變式5.若點(diǎn)P(-2,-1)到直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λA.[0,13) B.[0,13] C.([解析]解：把直線l的方程化為(x+由方程組x+y-2=0,3x+2y-5=0,解得x=1,y=1,又|PA|=(-2-1)2+(-1-1)2=13，且PA與直線3x+2y-5=0垂直，即點(diǎn)P到直線3x+2y-【鞏固強(qiáng)化】1.直線2x+y+m=0和A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能確定[解析]解：由方程組2x+y+m=0,x+2y再由兩直線的斜率分別為-2和-12，斜率之積不等于-另解：由題意，k1=-2,k2=-12,又k1≠k2.已知兩直線方程分別為l1:x+y=1，l2:axA.2 B.-2 C.12 D.[解析]解：因?yàn)閘1⊥l2，所以a2=-13.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線x-y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|OP|A.22 B.2 C.3 D.2[解析]解：由題意，為使|OP|取最小值，只需OP與直線x-則|OP|min=4.若兩平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)A.0 B.1 C.-2 D.-[解析]解：因?yàn)閘1//l2，所以1×(-6)≠2m，1×n又l1，l2之間的距離是5，所以|m+3|1+4=5，得m=2或5.已知直線l1:y=2x+3，直線l2與l1關(guān)于直線yA.12 B.-12 C.2[解析]解：直線y=2x+3與y=-x的交點(diǎn)為A(-1,1)，直線y=2x+3上的點(diǎn)(0,3)關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為B（-3，0），又A6.【多選題】下列說(shuō)法正確的是(AB)A.動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:xB.點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=x+1C.當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線mx-y+1-2m=0D.過(guò)點(diǎn)(2,1)且與直線3x-2y[解析]解：A項(xiàng)中，點(diǎn)M所在直線的方程為l:x+y+m=0，根據(jù)平行線間的距離公式得|m+7|2=|m+5|B項(xiàng)中，(0+12,2+12)在直線y=x+1上，且(0,2),C項(xiàng)中，直線mx-y+1-2m=0過(guò)定點(diǎn)Q(2,1)，所以點(diǎn)P(3,2)到直線mx-y+1-2m=0D項(xiàng)中，設(shè)要求的直線方程為2x+3y+m=0，把點(diǎn)(2,1)代入可得4+3+m=0，解得m=-77.已知點(diǎn)A(3,2)和B(-1,4)到直線ax+y+1=0的距離相等，則a=[解析]解：（方法一）利用點(diǎn)到直線的距離公式,可得|3a+2+1|a2+1=|-a+4+1|（方法二）直線ax+y+1=0與直線AB平行,或過(guò)線段AB的中點(diǎn),即4-2-1-3=-a或a×3-12+2+42+1=0,8.已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x+y-5=0（1）點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l[答案]解：經(jīng)過(guò)兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x+y-5)+所以|10+5λ-解得λ=2或λ=所以l的方程為x=2或4x（2）求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值[答案]由2x+y-5=0如圖，過(guò)P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤|PA|（當(dāng)l所以dmax=|【綜合運(yùn)用】9.已知A(3,1),B(-1,2)，若∠ACB的平分線所在的直線方程為y=x+1，則A.2x-y+4=0 B.2x-y[解析]解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x0,y0)，則可得直線A'B的方程為2由2x-y+4=0所以C(-3,-2)所以直線AC的方程為y-1即x-2另解：求出點(diǎn)B關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)B'，所求即為AB'10.已知直線kx-y+2k+1=0與直線2x+yA.(-32,-1)C.(-∞,-13)∪(1[解析]解：聯(lián)立kx-y+2k+1=0，2x+y-2=0所以1-2k2+k>0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-13,111.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)重合，則m+A.345 B.365 C.283[解析]解：由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y=2x-3，它也是點(diǎn)(7,3)于是3+n2=2×7+故m+n=3412.△ABC中，A(1,5)，高BE，CF所在的直線方程分別為x-2y=0，x+5yA.x+4y=0 B.5x-y=28[解析]解：因?yàn)閮蛇匒B，AC上的高線方程分別為x+5y+10=0與x-2y=0，所以它們的斜率分別為-15，12，故AB和AC的斜率分別為5，-2整理為一般式可得5x-y=0聯(lián)立方程組5x-y=0，x-2同理聯(lián)立2x+y-7=0，x+5所以BC所在直線的方程為y=-35x故選C.13.已知a，b為正數(shù)，且直線ax+by-6=0與直線2x+(b-3)y+5=0互相平行，則2a[解析]解：由兩直線互相平行可得a(b-3)=2b2a+3b=1.又a，b為正數(shù)，所以2a+3b=(2a+3b)?(2a+3b)=13+【拓廣探索】14.【多選題】如圖,直線l1,l2交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),若x，y分別表示點(diǎn)P到l1,l2的距離,則稱(x,y)為點(diǎn)P的A.距離坐標(biāo)為(0,0)的點(diǎn)有1個(gè) B.距離坐標(biāo)為(0,1)的點(diǎn)有2個(gè)C.距離坐標(biāo)為(1,2)的點(diǎn)有4個(gè) D.距離坐標(biāo)為(x,[解析]解：對(duì)于A,若距離坐標(biāo)為(0,0),則P到兩條直線的距離都為0,P為兩條直線的交點(diǎn),只有一個(gè),故A正確.對(duì)于B,若距離坐標(biāo)為(0,1),則點(diǎn)P到直線l1的距離為0,到直線l2的距離為1,即點(diǎn)P在l1上,還在與直線l2距離為1的兩條平行線上.l1與這兩條平行線的交點(diǎn)有2個(gè)對(duì)于C,滿足條件的點(diǎn)P為與l1距離為1的兩條平行線和與l2距離為2的兩條平行線的交點(diǎn),一共有4個(gè),故C對(duì)于D,若距離坐標(biāo)為(x,x),則點(diǎn)P到兩條直線的距離相等,則點(diǎn)P在∠MON及其外角的平分線上.滿足條件的點(diǎn)P在兩條互相垂直的直線上,故8.3圓的方程回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.【教材梳理】1.圓的方程（1）圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑.（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把方程(x-a)2+(y-b當(dāng)a=b=0時(shí)，方程為x2+y2=r（3）圓的一般方程：對(duì)于方程x2+y2①當(dāng)D2+E2-4F>0②當(dāng)D2+E2③當(dāng)D2+E2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓(x-a)2+(y位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>(x點(diǎn)在圓上d=(x點(diǎn)在圓內(nèi)d<(x【常用結(jié)論】3.常見(jiàn)圓的方程的設(shè)法標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點(diǎn)x2x2過(guò)原點(diǎn)(xx2圓心在x軸上(xx2圓心在y軸上x(chóng)2x2與x軸相切(xx2與y軸相切(xx24.二元二次方程Ax2+Bxy5.以A(x1,y1)6.圓心為(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程為x=a1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）圓心決定圓的位置，圓的半徑?jīng)Q定圓的大小.(√)（2）方程(x+a)2+(y+b)2（3）方程x2-2ax+（4）若點(diǎn)M(x0,y0)不在圓（5）已知圓的方程為x2+y2-2y=02.若圓(x-1)2+(y-1)2A.2 B.-2 C.1 D.-[解析]解：由題意知直線y=kx+3過(guò)圓心(1,1)，即1=k+3，解得3.（2020年北京卷）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(A)A.4 B.5 C.6 D.7[解析]解：由平面幾何知識(shí)，知當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)、圓心、點(diǎn)(3,4)共線時(shí)，圓心到原點(diǎn)的距離最小，且最小值為dmin=(3-0)4.已知a∈R，方程a2x2+(a[解析]解：由已知方程表示圓，則a2=a+2，解得a=2當(dāng)a=2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當(dāng)a=-1時(shí)，原方程為x2+y2+4x+8y-5=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2考點(diǎn)一求圓的方程例1（1）過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點(diǎn)B(2,1)[解析]解：（方法一）由已知kAB=0，所以AB的中垂線方程為x=3過(guò)B點(diǎn)且垂直于直線x-y-1=0的直線方程為y-1=-(聯(lián)立①②，解得x=3,y=0,所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑所以圓C的方程為(x-（方法二）設(shè)圓的方程為(x-因?yàn)辄c(diǎn)A(4,1)，B(2,1)在圓上，故又因?yàn)閎-1a-2=-1，解得a=3故所求圓的方程為(x-故填(x-（2）經(jīng)過(guò)P(-2,4)，Q(3,-1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6的圓的方程為x2+[解析]解：設(shè)圓的方程為x2+將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得2D又令y=0，得x2+設(shè)x1，x2是方程③的兩根，則x1+x由|x1-x2|=6由①②④解得D=-2，E=-4故所求圓的方程為x2+y2-故填x2+y2-（3）已知三角形的三邊所在直線方程分別為x+2y=5，2x-y=5[解析]解：設(shè)內(nèi)切圓圓心為I(a,b)由點(diǎn)到直線的距離知r=|2又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心總在這三角形的內(nèi)部，所以r=2由2a-b-5=a由2a-b-5=-(2將a=52代入①式，得b=56故所求圓的方程為(x-故填(x-【點(diǎn)撥】求圓的方程的方法主要是幾何法與代數(shù)法，幾何法確定圓心的位置的方法一般有：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；③圓心在圓的任意兩條不平行的弦的中垂線的交點(diǎn)上；④兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線.確定圓的半徑的主要方法是構(gòu)造直角三角形（即以弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑組成的三角形），并解此直角三角形.代數(shù)法即設(shè)出圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程），用“待定系數(shù)法”求解a，b，r或D，E，F(xiàn).求解三角形內(nèi)切圓方程要注意:內(nèi)切圓的圓心總在三角形的內(nèi)部，因此需要應(yīng)用有關(guān)知識(shí)判斷絕對(duì)值中代數(shù)式的符號(hào)，否則會(huì)求出多解（其他的解是三個(gè)旁切圓的圓心）.變式1.（1）對(duì)于a∈R，直線(1-a)x+y+2a-1=0恒過(guò)定點(diǎn)A.x2+y2C.x2+y2[解析]解：由條件知(1-a)x+y+2a-1=0，可以整理為x+y-1+(2-（2）[2022年全國(guó)甲卷]設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M[解析]解：（方法一）設(shè)圓心M(a,1-2a),半徑為r,則r2=(a-3)（方法二）設(shè)A(3,0),B(0,1),則圓心M為線段AB的垂直平分線y=3x-4與已知直線2x+y-1=0的交點(diǎn)(1,-1).設(shè)半徑為r,故填(x-（3）求以A(2,2)，B(5,3)，C(3,-1)[答案]解：設(shè)所求圓的圓心為(a,b)則有(2-a)2+(2-所以△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例2（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+（Ⅰ）yx[答案]解：原方程可化為(x-2)2+y2=3yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yx=k，即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時(shí)|2k-0|k（Ⅱ）y-x[答案]y-x可看作是直線y=x+如圖所示，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距此時(shí)|2-0+b|2=3，解得b=-2±6,所以y-（Ⅲ）x2+y[答案]x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2,所以x2+y2的最大值是(2+（2）點(diǎn)(x,y)在曲線y=4-x[解析]解：曲線y=4-x2-2為圓x2+(y+2)2=4如圖，AD=125，故所求為[5(AD-2),5BC]，即[2,18]（3）已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1，圓C2:(x-3)2+(y-4)A.52-4 B.17-1 C.[解析]解：圓心C1(2,3),C2(3,4),P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|-1，同理|PN|的最小值為|PC2|-3，則|PM|+|PN|的最小值為|【點(diǎn)撥】求解與圓相關(guān)的最值問(wèn)題，基本思路是利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化.（1）已知圓的半徑為r，則①圓O上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)P的距離d的最大值和最小值分別為dmax=|OP|+r，dmin=|OP|-r；②圓上的點(diǎn)到與該圓相離的某條直線的距離d的最大值和最小值分別為（2）與圓上點(diǎn)(x,①形如u=y-bx-a②形如t=ax③形如(x-a)2+(y-④形如|ax+by+c|型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x,y求解形如|PM|+|PN|（其中M，N均為動(dòng)點(diǎn)）且與圓C有關(guān)的折線段最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“變式2.（1）設(shè)點(diǎn)P是圓(x+1)2+(y-2)2=2A.2 B.22 C.32 D.[解析]解：因?yàn)?x+1)2+(y-2)2=2的圓心坐標(biāo)為(-1,2)，半徑為r=2，因此圓心到直線x-y-（2）設(shè)P(x,y)是圓(x-2A.6 B.25 C.26 D.36[解析]解：因?yàn)閳A(x-2)2+y2=1的半徑為1，圓心坐標(biāo)為(2,0)，該圓心到點(diǎn)(5,-4)的距離為(2-5)2+(0+4)2=5，所以圓（3）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=-4-(x-1)2圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2[解析]解：函數(shù)y=-4-(x-1)2的圖象表示圓(x-1)2+y2=4在x由于圓心(1,0)到直線x-2y-6=0的距離d=|1-2×0-6|12+(-2)2=5>2，故直線x考點(diǎn)三曲線的軌跡問(wèn)題例3（1）已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(-1,0)，B（3,0（Ⅰ）直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；[答案]解：（方法一）設(shè)C(x,y)，因?yàn)锳，B，C因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以k又kAC=yx+1，kBC=y因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+（方法二）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D（1,0），由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=12|AB|=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓（由于A，B所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-（Ⅱ）直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.[答案]解：設(shè)M(x,y)，C(x0,y0)，因?yàn)锽(3,0)所以x0=2x-3由（1）知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x-將x0=2x-3，y0=2y因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-（2）已知圓B:(x-3)2+y2=64，點(diǎn)A(-3,0)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑BP相交于點(diǎn)QA.x216+y29=1 B.x[解析]解：連接QA，由已知得|QA|=|所以|QB|+|又|AB|=6<8根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以B，A為焦點(diǎn)，8為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，即2a=8,c則a2=16,b則點(diǎn)Q的軌跡方程是x216+y（3）已知點(diǎn)P(0,-3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿足PA?AM=0，AM=-32MQ，當(dāng)點(diǎn)A在[解析]解：設(shè)M(x設(shè)A(a,0)，Q(0,b)(b>0).已知P(0,-3)，則由PA?AM=0，得a由AM=-3(x-所以x-a=3由b>0，得y>0將a=-x2代入①，得-x2(x+x【點(diǎn)撥】求與曲線軌跡有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法.①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；②定義法：根據(jù)直線、圓、圓錐曲線等定義列方程；③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；④相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.變式3.（1）已知圓C的方程為x2+y2=4，過(guò)圓C上的一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量OQ=OM+ON[答案]解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y因?yàn)镺Q=OM+ON，所以(x,y)=(因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上，所以x02+y0所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x24（2）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x24-y23=1的左、右焦點(diǎn)，P是C的右支上任一點(diǎn)，過(guò)F2作∠FA.圓 B.橢圓 C.直線 D.線段[解析]解：延長(zhǎng)F2Q交PF1于點(diǎn)R連接QO,則|QO|=12|RF1|=12(|PF1|-|PR|)=12（3）【多選題】在一張紙上有一圓C:(x+2)2+y2=r2(r>0)與點(diǎn)M(m,0)(m≠-2)，折疊紙片，使圓C上某一點(diǎn)M'A.當(dāng)-2-r<m<-2+B.當(dāng)m=2，1≤r≤2時(shí)，點(diǎn)TC.當(dāng)r=1，m=2時(shí)，點(diǎn)TD.當(dāng)r=22，m=2時(shí)，在點(diǎn)T的軌跡上任取一點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)S作直線y=x的垂線，垂足為N，則△[解析]解：對(duì)于A，當(dāng)-2-r<m<-2+r時(shí)，點(diǎn)M在圓C內(nèi)，此時(shí)有|TM|+|TC|=|CM'|=r>|對(duì)于B，當(dāng)m=2時(shí)，1≤r≤2時(shí)，T的軌跡是以點(diǎn)C，點(diǎn)M為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為x2r24-y24-r24對(duì)于C，當(dāng)r=1，m=2時(shí)，由選項(xiàng)B，知雙曲線方程為x214對(duì)于D，當(dāng)r=22，m=2時(shí)，點(diǎn)T的軌跡方程為x2-y2=2直線SN的方程為y-q=-(x-p)，它與y=所以|ON|=22|所以S△SNO=12×|【鞏固強(qiáng)化】1.已知點(diǎn)A(1,-1)，B(-1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(A.x2+y2=2 B.x2+[解析]解：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|=所以圓的方程為x2+y2=22.若方程x2+y2-4x+2A.(5,+∞) B.(-∞,5) C.[5,+∞) D.(-∞,5][解析]解：因?yàn)榉匠蘹2+所以D2+解得k<5.故選3.以點(diǎn)(3,-1)為圓心，且與直線3x+4y=0A.(x-3)C.(x+3)2[解析]解：由題意知，圓的半徑r=|3×3-4|32+424.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5m+1,12m)可以作出圓(x-1A.(-110,110C.(-113,1[解析]解：由題意,點(diǎn)P在圓外，所以(5m+1-1)2+(12m)2>1，解得|m5.已知圓x2+y2+ax+by+1=0關(guān)于直線xA.-2 B.±2 C.-4 D.[解析]解：圓x2+y2=1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)(0,0)關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為則m2+n2=1,n則點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，所以圓x2+y2=1關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的圓的方程為(x-6.在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，則△OAB[解析]解：設(shè)△OAB的外接圓方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，由點(diǎn)O(0,0),A(2,4)，B(6,2)在圓上可得，F(xiàn)7.已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F2引∠F1[解析]解：延長(zhǎng)F2Q交F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接QO,則|QO|=12|RF1|=12(|PF1|+|PR|)=12(|P8.已知點(diǎn)(x,y)在圓（1）求x+y[答案]解：設(shè)t=x+y，則y=-x+t，t為直線y=-x+t在y由|2+(-3)-t|2=1，解得t=所以x+y的最大值為2-1（2）求yx[答案]yx可視為點(diǎn)(x,y)設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為y=kx，由|2k+3|k2+1=1所以yx的最大值為-2+233（3）求x2+y[答案]x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2所以x2+y2+2x-4【綜合運(yùn)用】9.已知圓C:x2+y2+2x-2A.5 B.6 C.5-1 D.[解析]解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5.圓C的面積最小,則半徑r=m2+4m+5最小,10.【多選題】已知點(diǎn)P(cosθ,sinθ)(θA.l恒過(guò)定點(diǎn)(4,0)B.|OP|=1（OC.P到直線l的距離有最小值，最小值為3D.P到直線l的距離有最大值，最大值為5[解析]解：直線l:x+my-4=0，當(dāng)y=0|OP|=cos2點(diǎn)P的軌跡是以(0,0)為圓心，半徑為1的圓，直線l過(guò)定點(diǎn)(4,0)，位置如圖，由圖可知，點(diǎn)P到直線l的距離最小值為0，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為4，所以P到直線l的距離有最大值，最大值為5，故D正確.故選ABD.11.與直線x-y-4=0和圓x2A.(x+1)2C.(x-1)[解析]解：圓x2+y2+2x-2y=0的圓心坐標(biāo)為(-1,1)，半徑為2又圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離為62設(shè)所求圓的圓心為(a,b)，且圓心在直線x-y-4=0的左上方，則|a-b-4|2故所求圓的方程為(x-1)12.已知A(0,2)，點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，點(diǎn)Q在圓C:x2[解析]解：因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=5，所以圓C是以C(2,1)為圓心，r=5為半徑的圓.易知點(diǎn)A在圓C上，直線x+y+2=0與圓相離，設(shè)點(diǎn)所以|A'C|=(2+4)2+(1+2)2=35.連接A'C13.按照要求求動(dòng)點(diǎn)軌跡：（1）（教材習(xí)題改編）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)的距離的比為12，求動(dòng)點(diǎn)M[答案]解：設(shè)P(x,y),則2|所以4[(x+2化簡(jiǎn)得x2+y2+8x=0,（2）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(0,0)，B(6,0)，頂點(diǎn)C在曲線y=x2+3上運(yùn)動(dòng)，求[答案]設(shè)△ABC的重心G(x,y則3x=0+6+m，由n=m2+3化為y=3(x則△ABC的重心G的軌跡方程為y=3(【拓廣探索】14.【多選題】已知a>0，圓C:(x-aA.存在3個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B.存在2個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C.存在2個(gè)不同的a，使得圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D.存在唯一的a，使得圓C的面積被直線y=x[解析]解：由條件可知，圓C的半徑為1，圓心坐標(biāo)為C(a,lna)，即圓心C對(duì)于A，當(dāng)a=1時(shí)，圓C與y軸相切，當(dāng)lna=±1，即a=e或1e時(shí)，圓C與x軸相切，所以滿足要求的a對(duì)于B，若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心C到x軸和y軸的距離相等，故圓心C在y=±x上.又圓心C在y=lnx上，作圖可知曲線y=lnx與y=x對(duì)于C，若圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則a2+(lna)2=1.如圖可知，曲線y=lnx與圓x對(duì)于D，若圓C的面積被直線y=xe平分，則直線y=xe過(guò)圓心C(a,lna).則lna=ae，即需判斷曲線y=lnx與直線y故選ACD.8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.【教材梳理】1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r(r>0),圓心到直線的距離為d位置關(guān)系圖示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)幾何特征直線、圓的方程組成的方程組的解相離0d>無(wú)實(shí)數(shù)解相切1d=兩組相同實(shí)數(shù)解相交2d<兩組不同實(shí)數(shù)解2.圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示(R公共點(diǎn)個(gè)數(shù)幾何特征(O兩個(gè)圓的方程組成的方程組的解外離0d>無(wú)實(shí)數(shù)解外切1d=兩組相同實(shí)數(shù)解相交2R-d<兩組不同實(shí)數(shù)解內(nèi)切1d=兩組相同實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<無(wú)實(shí)數(shù)解【常用結(jié)論】3.與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論（1）已知⊙O1⊙O2⊙O①若點(diǎn)M(x0,yx0x(x-x0②若點(diǎn)M(x0,y0)在圓外，過(guò)點(diǎn)Mx0x(x-x0（2）圓x2+y2=y=（3）過(guò)圓x2+y2+Dx+Ey+F1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2（2）如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.(×)（3）如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(×)（4）從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(×)（5）如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切.(√)2.（教材例題改編）圓(x+2)2+y2=4A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離[解析]解：兩圓圓心分別為(-2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d=42+1=17.因?yàn)?.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0A.-2 B.-4 C.-6[解析]解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2-a，圓心(-1,1)到直線x+y+2=0的距離d=|-1+1+2|12+4.[2020年浙江卷]已知直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓[解析]解：由題意，C1,C2到直線y=kx+b的距離都等于半徑，即|b|k2+12=|4k+b|k2+12考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系命題角度1位置關(guān)系判斷例1（1）已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定[解析]解：因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外，所以a2+（2）直線l:kx-y+1+2k=0(kA.0 B.1 C.2 D.1或2[解析]解：將直線l的方程變形為k(x+2)+1-y=0，x+2=0,1-y=0,可得x=-2,y=1,所以直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1)，因?yàn)?-2)2+1【點(diǎn)撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系常見(jiàn)的方法：①幾何法：利用d與r的關(guān)系.②代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用Δ判斷.③點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交；若點(diǎn)在圓上，直線與圓可能相切，也可能相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法更適用于動(dòng)直線問(wèn)題.變式1.（1）若直線l:y=kx+1(k<0)與圓C:x2+4A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定[解析]解：因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=2，所以其圓心坐標(biāo)為(-2,1)，半徑為2.因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以|-2k-1+1|k2+1=2，解得k=±1，因?yàn)閗<0，所以k=-1，所以直線l的方程為（2）“a≥-3”是“直線y=x+1與圓(x-aA.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：圓心(a,0)到直線x-y+1=0的距離d=|a+1|2，r=2，直線與圓有公共點(diǎn)，則有d≤r，即|a+1|2≤2，解得-3≤a≤1，且命題角度2已知位置關(guān)系求參數(shù)值（范圍）例2【多選題】若圓C:x2+y2-2x+4y-20=0A.-13 B.13 C.15 D.18[解析]解：圓C:x2+y2-2x+4y若圓C:x2+y2-2x+4y-20=0上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線l如圖，即|4×1+3×(-2)+c|所以-13<c<17【點(diǎn)撥】已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí),可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，由此建立方程或不等式（組）求解.變式2.若對(duì)圓(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y)，A.(-∞,-4] B.[-4,6]C.(-∞,-4]∪[6,+∞) D.[6,+∞)[解析]解：依題意,|3x-4y+a|5+|3x-4y-9|5表示P(x,y)故圓心(1,1)到直線3x-4y+a=0的距離d=|3-4+a|命題角度3求圓的切線方程例3已知圓C:(x-（1）與直線l:x[答案]解：設(shè)切線方程為2x+則|2-2+m|5=10所以切線方程為2x+（2）過(guò)點(diǎn)A(4,-1)[答案]可知點(diǎn)A(4,-1)在圓上，故其為切點(diǎn)因?yàn)閗AC=所以過(guò)切點(diǎn)A(4,-1)的切線斜率為-3所以切線方程為y+1=-3(x即3x+【點(diǎn)撥】求過(guò)定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷定點(diǎn)在圓上還是在圓外，若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線僅有一條；若在圓外，切線應(yīng)該有兩條.變式3.過(guò)點(diǎn)P(2,4)引圓(x-1)2+([解析]解：易知點(diǎn)P在圓外.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心(1,1)到直線的距離綜上，切線方程為x=2或4x-3y+4=0.故填命題角度4求圓的弦長(zhǎng)例4[2022年天津卷]若直線x-y+m=0(m>0)與圓(x-1[解析]解：圓(x-1)2+(y-1)2=3的圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為3，圓心到直線x-【點(diǎn)撥】①一般來(lái)說(shuō)，直線與圓相交，應(yīng)首先考慮圓心到直線的距離、弦長(zhǎng)的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，由此入手求解；②圓O內(nèi)過(guò)點(diǎn)A的最長(zhǎng)弦即為過(guò)該點(diǎn)的直徑，最短弦為過(guò)該點(diǎn)且垂直于直徑的弦；③圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式為1+k2?變式4.已知圓x2+y2-6x=0A.1 B.2 C.3 D.4[解析]解：由x2+y2-6x=0可得(x-3)2+y2=9，則圓心C(3,0)，半徑r考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系命題角度1位置關(guān)系判斷例5（1）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1:x2+[答案]解：將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1:(x+2)則圓C1的圓心為C1(-2,3)，半徑圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑r2=從而|C1當(dāng)|50-k-1|<5<50-即14<k<34當(dāng)1+50-k=5，即當(dāng)|50-k-1|=5所以當(dāng)k=14或k=34當(dāng)50-k+1<5，即34<k（2）【多選題】已知圓C:x2+y2-2ax+aA.-3 B.3 C.2 D.-[解析]解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=1，圓心為(a,0)，半徑r1依題意,兩圓的圓心距d滿足|r1-r2|<d<|r1故選CD.【點(diǎn)撥】與判斷直線與圓的位置關(guān)系一樣，利用幾何方法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)方法要簡(jiǎn)捷些.其具體方法是：利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R+r，d與R-變式5.（1）已知圓C:x2+y2-2x+m=0內(nèi)切于圓(x+3)2+(A.2 B.3 C.4 D.5[解析]解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-m.由題意知，6-1-m=(-3-1)2+(-3-0)2=5，且1-m>0,解得m=0，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-（2）已知原點(diǎn)到直線l的距離為1,圓(x-2)2+(y-5)2=4A.1條 B.2條 C.3條 D.4條[解析]解：原點(diǎn)到直線l的距離為1,則直線l與圓x2+y2=1相切.又直線l與圓(x-2又兩圓的圓心距d=(2-0)2+(5-0)2命題角度2兩圓的公共弦例6求兩圓x2+y2-2[答案]解：聯(lián)立兩圓的方程得x2+y2-2x+10y-（方法一）設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組x-（方法二）由x2+y2-2x+10y-24=0，得(x-1設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l，由勾股定理得r2=d2+l2，即50=(3【點(diǎn)撥】求兩圓公共弦，一般聯(lián)立兩圓方程消去x2與y2變式6.若圓x2+y2=a2與圓x2+y2A.2 B.±2 C.1 D.±1[解析]解：兩圓的方程作差，可得公共弦所在的直線方程為a2+ay-6=0，原點(diǎn)O到直線a2+ay-6=0的距離為|學(xué)科素養(yǎng)·直曲聯(lián)立中的數(shù)學(xué)運(yùn)算典例已知圓C:x2+(（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C[答案]解：（證法一）圓C:x2+(y-1)所以圓心C到直線l:mx-y+1-所以直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn).（證法二）因?yàn)橹本€l:mx-y+1-m=0過(guò)定點(diǎn)P（1,1），而點(diǎn)P(1,1)在圓C:x2+(y-1（2）設(shè)l與圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，若定點(diǎn)P(1,1)分弦AB為APPB=12[答案]設(shè)A(x1,y1),??所以1-x1=12(x又由mx-y+1-m=0(1+m2)x2所以x1+x2由①②解得x1=3+m21+m2所以直線l的方程為x-y=0或【點(diǎn)撥】①數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.②除了直線與圓的綜合問(wèn)題外，直線與橢圓、拋物線、雙曲線等的綜合問(wèn)題也是高考考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的主要題型.變式.如圖，已知圓O的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓O交于點(diǎn)A,B，與x軸交于點(diǎn)Q，設(shè)QA=λ[答案]證明：當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，從而λ=2，μ=23當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O不重合時(shí)，直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A(x則Q(-1k,0).因?yàn)镼A=λPA,QB=μ所以x1+1k=λx1,x所以λ+μ將y=kx+1代入得(1+k2顯然Δ>0，則x1+x所以λ+μ綜上，λ+μ為定值8【鞏固強(qiáng)化】1.圓(x-1)2+(y+2A.相切 B.相交但直線不過(guò)圓心C.相交過(guò)圓心 D.相離[解析]解：由題意知圓心(1,-2)到直線2x+y-5=0的距離d=|2×1-2-5|22.已知直線l過(guò)點(diǎn)(2,-1)，則“直線l的斜率為34”是“直線l被圓C:(x-1)2+(yA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：直線l被圓C:(x-1)2+(y+3)2=4當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l:kx-y-2k-1=0，由|k+3-2k-1|k3.若兩圓x2+y2=m和x2+A.(-∞,1) B.(121,+∞) C.[1,121] D.(1,121)[解析]解：x2+y2+6圓心距為d=(0+3)2+(0-4)2=5，若兩圓有公共點(diǎn)，則4.【多選題】若圓x2+y2=r2(r>0)上恰有相異兩點(diǎn)到直線4A.92 B.5 C.112 D.[解析]解：圓心(0,0)到直線4x-3y+25=0的距離d若圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y+25=0則r=4，若恰有三個(gè)點(diǎn)，則r=6故當(dāng)圓x2+y2=r2(r>0)上恰有相異兩點(diǎn)到直線5.[2020年全國(guó)Ⅱ卷]若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0A.55 B.255 C.35[解析]解：由于圓上的點(diǎn)(2,1)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a)，則圓的半徑為a，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得圓心(1,1)到直線2x-y-3=0圓心(5,5)到直線2x-y-3=0所以，圓心到直線2x-y-3=0的距離為6.若直線y=mx+1與圓C:x2+y2+2x+2y=0A.-1 B.-12 C.34[解析]解：圓C:(x+1)2+(y+1)2=2,因?yàn)锳C⊥BC,所以圓心C到直線y7.[2021年新高考Ⅰ卷]【多選題】已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時(shí),|PB|=32 D.當(dāng)∠PBA[解析]解：lAB:x4+y2=1，即x+2y-4=0又圓的半徑為4,則點(diǎn)P到直線AB的距離小于10,A正確;點(diǎn)P到直線AB的距離最小為115-4<2,B錯(cuò)誤;點(diǎn)B故∠PBA最小（或最大）時(shí),P為切點(diǎn),PB=34-16=32,C,D8.已知過(guò)點(diǎn)P(3,4)作圓O:x2+y2=5的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，[解析]解：由PA,PB與圓O相切，可知P,A,O,B四點(diǎn)共圓，且該圓的半徑為r=|PO|2=52，圓心為PO的中點(diǎn)(32,2)，所以該圓的方程為(x-32)2+(【綜合運(yùn)用】9.從點(diǎn)P(m,3)向圓(x+2A.26 B.5 C.26 D.23[解析]解：圓心為A(-2,-2)，半徑r=2.由(m+2)因?yàn)閨AP|=所以切線長(zhǎng)l=|AP|10.【多選題】已知點(diǎn)A(2,0)，圓C:(x-a-1)2+(y-3aA.1 B.-1 C.12 D.[解析]解：設(shè)P(x,y)，由|PA|2圓C上存在點(diǎn)P，滿足|PA|2+|PO|2=10，即圓(x-1)2+y211.已知圓C:(x-3)2+(y-1)2=1和兩點(diǎn)A(-t,0)，B[解析]解：由題意可得點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，當(dāng)兩圓外切時(shí),有(3)2+12=t12.如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在某位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m[解析]解：以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則由已知得A(6,-2)設(shè)圓的半徑為r，則C(0,-r)，即圓的方程為x2將點(diǎn)A(6,-2)代入方程①36+(r-2)2所以圓的方程為x2+(y+10當(dāng)水面下降1m后，可設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(x0,-3)(x0>0)，將A'所以水面下降1m后，水面寬為2x0=25113.已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y（1）求k的取值范圍；[答案]解：由題設(shè)，可知直線l的方程為y=kx因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以|2k-解得4-73所以k的取值范圍為(4-7（2）若OM?ON=12，其中O[答案]設(shè)M(x1,y將y=kx+1代入圓C的方程(x-所以x1+x2=OM?ON由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+8=12，解得k因?yàn)閳AC的圓心(2,3)在直線l上，所以|MN|=2【拓廣探索】14.[2020年全國(guó)Ⅰ卷]已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直線l:2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙MA.2x-y-1=0 B.2x+[解析]解：⊙M的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=4，點(diǎn)依圓的知識(shí)可知，A,P,B,M四點(diǎn)共圓，且AB⊥MP，所以|PM|?|AB當(dāng)直線MP⊥l時(shí)，|MP|min=5，所以直線MP:y-1=12(x-1)所以以MP為直徑的圓的方程為(x-1)(x+1)+兩圓的方程相減可得,2x+y+1=0，即為直線AB階段集訓(xùn)6范圍：8.1直線的傾斜角、斜率與方程～8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線3x-3y+4=0A.5π6 B.2π3 C.π[解析]解：設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ=33，而θ∈[0,π)2.若直線x-y-m=0與直線mxA.22 B.522 C.32