空間的曲線及其方程

23七月20241回顧1.三元方程F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。2.表示一張球面。3.表示空間的一張平面。4.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面5.xoy平面上的準線方程母線平行于z軸的柱面方程為：23七月20242四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。（一）橢球面23七月20243橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓或繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。球面方程可寫為23七月20244（二）拋物面（p與q同號）（1）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標面xoy(z=0)去截；設(shè)p與q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐標面xoz或yoz去截；（4）用平面去截；yoxz23七月20245zxyo橢圓拋物面的圖形如下：xyzo特殊地：當p=q時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面23七月20246（2）雙曲拋物面（馬鞍面）(p與q同號)用截痕法討論：設(shè)xzyo23七月20247（三）雙曲面單葉雙曲面xyoz（1）zoxy.23七月20248雙葉雙曲面xyo（2）xoyz23七月20249空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間兩曲面的交線：注意：空間曲線的曲線方程不是唯一的。一、空間曲線的一般方程第四節(jié)空間曲線及其方程C23七月202410例1

下列方程組表示怎樣的曲線？23七月202411例2

方程組表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖。23七月202412空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程（2）消去參數(shù)t，可得到兩個柱面方程，因此空間曲線的參數(shù)方程也可視為兩張柱面的交線。注：（1）隨著參數(shù)t的變化可得到曲線上的全部點(x,y,z)。例3

設(shè)空間一動點M在圓柱面上以角速度ω繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于z軸的正方向上升，試求該動點M運動的軌跡方程。23七月202413螺旋線的參數(shù)方程取時間t為參數(shù)，動點M從A(a,0,0)點出發(fā)解經(jīng)過t時間，運動到M(x,y,z)處在圓上，所以23七月202414螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比，即上升的高度螺距Pyz0xatMNQ螺距23七月202415三、空間曲線在坐標面上的投影1.空間曲線C的投影曲線與投影柱面CSC’xyozC’稱為曲線C在xoy平面上的投影曲線。S稱為曲線C關(guān)于xoy平面的投影柱面2.空間曲線C的投影曲線與投影柱面的方程設(shè)空間曲線C的一般方程：23七月202416消去z得：表示：以曲線C(或C’)為準線，母線平行于z軸的柱面——曲線C關(guān)于xoy平面的投影柱面。表示：曲線C的投影柱面與xoy平面的交線——曲線C在xoy平面上的投影曲線。類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影面上的投影曲線面上的投影曲線23七月202417如圖:投影曲線的研究過程空間曲線投影曲線投影柱面23七月202418例4

求曲線在坐標面上的投影。解（1）消去變量z后得在面上的投影為23七月202419所以在xoz面上的投影為線段:（3）同理在yoz面上的投影也為線段:（2）因為曲線在平面上，23七月202420截線方程為解xyz23七月202421補充:空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體曲面23七月202422例6設(shè)一個立體由上半球面和錐面解半球面和錐面的交線為

所圍成，求它在xoy平面上的投影。23七月202423思考題求橢圓拋物面與拋物柱面的交線關(guān)于xoy平面的投影柱面和在xoy平面上的投影曲線的方程。解交線方程為在xoy面上的投影為23七月20242