第1課時　幾何問題課件冀教版數(shù)學九年級上冊

第二十四章一元二次方程24.4一元二次方程的應用第1課時幾何問題

一般圖形問題1.如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個角上剪去

邊長為

xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋長方體盒子，則

x

的

值為(

A

)A.2B.7C.2或7D.3或6A123456789101112【解析】根據(jù)題意可知做成無蓋的長方體盒子的底面是長為(10－2x

)cm，寬為(8－2

x

)cm的長方形，∴(10－2

x

)(8－2

x

)＝24.整理，得

x2－9

x

＋14＝0.解得

x1＝2，

x2＝7(不符合題意，舍去)，∴

x

的值為2.1234567891011122.已知如圖所示的圖形的面積為24，則

x

的值為

?.【解析】根據(jù)題意，得(

x

＋1)2－12＝24.整理，得

x2＋2

x

－24＝0.解得

x1＝4，

x2＝－6(不符合題意，舍去)，∴

x

的值為4.4

1234567891011123.如圖，一張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方

形和兩個全等的矩形，剩余部分(陰影部分)可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為

cm3.48

123456789101112

解得

x1＝2，

x2＝9(不符合題意，舍去).∴該鐵盒的底面長為10－2×2＝6(cm)，寬為6－2＝4(cm)，高為2cm.∴該鐵盒的體積為2×4×6＝48(cm3).123456789101112

圍墻問題4.(2023·邯鄲大名縣月考)空地上有一段長為20m的舊墻

MN

，一邊利用

舊墻，其他三邊利用木欄圍成一個矩形菜園如圖所示，已知木欄總長為

40m，所圍成的菜園面積為198m2.設垂直于舊墻的一邊長為

xm，下列

正確的是(

C

)CA.由題意，得－

x2＋40

x

＝198B.

x

的取值范圍為

x

＜20C.只有一種圍法D.只有兩種圍法123456789101112【解析】∵木欄總長為40m，垂直于舊墻的一邊長為

xm，∴平行于舊墻的一邊長為(40－2

x

)m.∵舊墻長20m，∴40－2

x

≤20.∴

x

≥10.故選項B不符合題意根據(jù)題意，得

x

(40－2

x

)＝198.整理，得

x2－20

x

＋99＝0.解得

x1＝11，

x2＝9(不符合題意，舍去).故選項A，D不符合題意，選項C符合題意.1234567891011125.(2023·秦皇島昌黎縣期中)某社區(qū)在開展“美化社區(qū)，幸福家園”活動

中，計劃利用如圖所示的直角墻角(陰影部分，兩邊足夠長)和50m長的

籬笆圍成一個矩形花園

ABCD

(籬笆只圍

AB

，

AD

兩邊).若在直角墻角

內(nèi)點

P

處有一棵桂花樹，且與墻

BC

，

CD

的距離分別是10m，30m，

要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，則花園的面積

(填“能”或“不能”)為625m2.不能

123456789101112【解析】設

AB

＝

xm，則

AD

＝(50－

x

)m.由題意，得

x

(50－

x

)＝625.整理，得

x2－50

x

＋625＝0.解得

x1＝

x2＝25.∴

AD

＝50－

x

＝50－25＝25(m)＜30m.∴要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)，則花園的面積不能為625m2.123456789101112

邊框與甬道問題6.【教材第47頁例2改編】如圖，某農(nóng)家樂老板計劃在一塊長130m，寬

60m的空地上開挖兩塊形狀大小相同的垂釣魚塘，它們的面積之和為5

750m2，兩塊垂釣魚塘之間及周邊留有寬度相等的垂釣通道，則垂釣通

道的寬度為(

B

)A.4.5mB.5mC.5.5mD.6mB123456789101112【解析】設垂釣通道的寬度為

xm，則兩塊垂釣魚塘可合成長為(130－3

x

)m，寬為(60－2

x

)m的矩形.根據(jù)題意，得(130－3

x

)(60－2

x

)＝5750.整理，得3

x2－220

x

＋1025＝0.

1234567891011127.如圖，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中

陰影部分)，余下的部分為草坪，要使草坪的面積為551m2，則道路的

寬為

?m.1

【解析】設道路的寬為

xm.根據(jù)題意，得(30－

x

)(20－

x

)＝551.整理，得

x2－50

x

＋49＝0.解得

x1＝1，

x2＝49(不符合題意，舍去)，∴道路的寬為1m.1234567891011128.如圖，在一幅長為60cm，寬為40cm的亞運會吉祥物圖畫的四周鑲一

條相同寬度的紙邊，制成一幅矩形掛圖.若要使整個掛圖的面積是3500

cm2，則紙邊的寬為

?cm.5

123456789101112【解析】設紙邊的寬為

xcm，則掛圖的長為(60＋2

x

)cm，寬為(40＋2

x

)cm.由題意，得(60＋2

x

)(40＋2

x

)＝3500.整理，得

x2＋50

x

－275＝0.解得

x1＝5，

x2＝－55(不符合題意，舍去).∴紙邊的寬為5cm.123456789101112

9.如圖，已知

AB

的長為2，以

AB

為邊在

AB

的下方作正方形

ACDB

.

取

AB

邊上一點

E

，以

AE

為邊在

AB

的上方作正方形

AENM

.

過點

E

作

EF

⊥

CD

，垂足為F

.

若正方形

ACDB

與四邊形

MNFC

的面積相等，則

AE

的長是(

B

)A.－

－1B.

－1C.±

－1D.

＋1B123456789101112【解析】∵四邊形

ACDB

與四邊形

AENM

都是正方形，∴

AB

＝

AC

＝

BD

＝2，∠

M

＝∠

N

＝∠

C

＝∠

B

＝∠

D

＝90°.∵

EF

⊥

CD

，∴四邊形

EFDB

與四邊形

MNFC

都為矩形.∵正方形

ACDB

與四邊形

MNFC

的面積相等，∴正方形

AENM

與矩形

BDFE

面積相等.設

AE

＝

x

，則

BE

＝2－

x

，由題意，得

x2＝2(2－

x

).整理，得

x2＋2

x

－4＝0.

12345678910111210.如圖，是一個長為30m，寬為20m的矩形花園，現(xiàn)要在花園中修建

等寬的小道，剩余的地方種植花草.要使種植花草的面積為468m2，那

么小道進出口的寬度應為

?m.2

【解析】設小道進出口的寬度為

xm，依題意，得(30－2

x

)(20－

x

)＝468.整理，得

x2－35

x

＋66＝0.解得

x1＝2，

x2＝33(不符合題意，舍去).∴小道進出口的寬度應為2m.12345678910111211.(2023·石家莊橋西區(qū)月考)如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助

房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈

ABCD

，并在邊

BC

上留一

個2m寬的門(建在

EF

處，另用其他材料).(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？123456789101112解：(1)設矩形

ABCD

的邊

AB

＝

xm，則邊

BC

＝70－2

x

＋2＝(72－2

x

)m.根據(jù)題意，得

x

(72－2

x

)＝640.整理，得

x2－36

x

＋320＝0.解得

x1＝16，

x2＝20.當

x

＝16時，72－2

x

＝72－32＝40(m)；當

x

＝20時，72－2

x

＝72－40＝32(m).答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2的羊圈.123456789101112(2)羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不

能，請說明理由.解：(2)不能.由題意，得

x

(72－2

x

)＝650.整理，得

x2－36

x

＋325＝0.∵Δ＝(－36)2－4×1×325＝－4＜0.∴一元二次方程沒有實數(shù)根.∴羊圈的面積不能達到650m2.123456789101112

12.

我國古代數(shù)學家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法，以

方程

x2＋5

x

＝14為例，三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方

圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖所示的大正方