概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 第2章 第6講 隨機變量函數(shù)的分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第6講隨機變量函數(shù)的分布第2章隨機變量及其分布在實際中，求截面面積例如，第6講隨機變量函數(shù)的分布2??問題的提出的分布.人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.已知圓軸截面直徑d

的分布，將與Y有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X的事件.設(shè)隨機變量X的分布已知，第6講隨機變量函數(shù)的分布3如何由X的分布求出Y的分布？Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù))，隨機變量函數(shù)的分布本講內(nèi)容01離散型隨機變量函數(shù)的分布02連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布5離散型隨機變量函數(shù)的分布??方法設(shè)X是離散型隨機變量，其分布列為則的可能取值為也是離散型，其分布列Y=g(X)??注應把他們適當合并.當某些g(xi)相等時，01

離散型隨機變量函數(shù)的分布已知

X

的分布律6??例1則（1）Y=3X+2的分布律為Y的取值為-4,2,5,701

離散型隨機變量函數(shù)的分布7已知

X

的分布律??例1則（2）Y=X2+1的分布律為Y的取值為1,2,5Z??注注意合并.01

離散型隨機變量函數(shù)的分布8設(shè)隨機變量X表示某品牌手表的日走時誤差X-1012P0.20.40.30.1Y可能的取值為0,1,4.從而Y的分布律為：Y014P0.30.50.2??例2(單位:s)，求Y=(X-1)2

分布律.解其分布律為：由于01

離散型隨機變量函數(shù)的分布9解01

離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)隨機變量X的概率分布為??例33,….求隨機變量的分布律.當X=2k,k=1,2,…時，Y=0;因，故當X=4k+1,k=0,1,2,…時，Y=1;當X=4k+3,k=0,1,2,…時，Y=-1;因此，Y的取值為-1,0,1.1001

離散型隨機變量函數(shù)的分布Y-101P2/151/38/15所以,Y的分布律為11解01

離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為??例4求隨機變量與的分布律.12解01

離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為??例4求隨機變量與的分布律.本講內(nèi)容01離散型隨機變量函數(shù)的分布02連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布（1）分布函數(shù)法（2）公式法14連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，求Y=g(X)的分布函數(shù)FY(y)或密度fY(y).知其分布函數(shù)FX(x)或密度fX(x)，

方法02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布用公式從分布函數(shù)出發(fā)15??方法一??方法二單調(diào)可導反函數(shù)可導02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)X~N(,2)，則Y=aX+b~N(a+b,a2

2)特別地，若X~N(,2)，則公式法標準化16??例5解02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布公式法設(shè)隨機變量X表示某服務(wù)行業(yè)一位顧客的服務(wù)時間，求反函數(shù)為17X服從指數(shù)分布，??例6解的概率密度．02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布不嚴格單調(diào)！分布函數(shù)法18解??例7設(shè)隨機變量X~N(0,1),求的概率密度．02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布19求Y的分布律.所以Y的分布律為Y-1/21/2P1/43/4設(shè)隨機變量服從均勻分布U(-1,3)，記??例8解因為02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布20由題意知，T的概率密度為解??例9某儀器設(shè)備內(nèi)的溫度T是隨機變量，已知試求M的分布.M的分布函數(shù)記為FM(y)則有且T~N(100,4)02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布21將上式關(guān)于y求導，即M~N(45,1).可得M的概率密度為02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布22設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(X)，則隨機變量Y=2X+1的分布函數(shù)G(y)=().??例10解02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布故應選D.23解02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布??例11的概率密度為（）.已知隨機變量X的概率密度為，則Y=3-2X故應選B.24解02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布??例12求：Y=sinX

的概率密度.設(shè)隨機變量X的概率密度為：注意到：當0<x<π

時0<y

≤1故：當y

≤0時有：當y

≥1時有：2502

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布當0≤

y

≤1時：而：26解02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布當x<1時，F(xiàn)(x)=0；當x>8時，F(xiàn)(x)=1F(x)是X的分布函數(shù)，求：Y=F(X)的概率密度.??例13設(shè)隨機變量X的概率密度為：當

時，有27設(shè)G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù)，

27當y<0時，G(y)=0；當y≥1時，G(y)=1對于y∈[0,1)，有于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為

【評注】

事實上，本題中的

X為任意連續(xù)型隨機變量均可以，此時Y=F(X)仍服從均勻分布.相應結(jié)論及證明見下例.02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布28已知隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，證明：Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.??例14證明02

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布由于：0≤y≤1設(shè)Y的分布函數(shù)是G(y)于是：當y<0時G(y)=0;當y>1時G(y)=1;又由于X的分布函數(shù)F(x)是嚴格遞增的連續(xù)函數(shù),所以：其反函數(shù)存在且嚴格遞增.2902

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布當0≤y≤1時,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y

即Y的分布函數(shù)是：已知隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，證明：Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.??例143002

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布可見，Y服從[0,1]上的均勻分布.對求導得Y的密度函數(shù)為:Z??注本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應用.已知隨機變量X