概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 第4章 習(xí)題課+5

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）習(xí)題課第4章數(shù)字特征與極限處理2

習(xí)題課解??例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，求E(X).X的概率密度為則令，故.因?yàn)?，，?

習(xí)題課??例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，求E(X).解X的概率密度為則令，則4例1和例2的題型相同，隨即變量X的分布函數(shù)都用標(biāo)準(zhǔn)??方法歸納

習(xí)題課正態(tài)分布的分布函數(shù)

表示，求X的期望.

首先，求出X的概率密度

f(x)，f(x)是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

表示的;其次，求出X的期望E(X)，計算過程中要用到

的和.性質(zhì)5解

習(xí)題課??例3設(shè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，且X的概率分布為，Y的概率密度為其他.（1）求；（2）求Z=X+Y的概率密度.（1）（2）記Z的分布函數(shù)為

，那么.6

習(xí)題課當(dāng)z<0時，；

7

習(xí)題課

所以，Z的概率密度為其他.

8解

習(xí)題課??例4設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為.在給定

的條件下,隨機(jī)變量Y服從均勻分布.求.根據(jù)Y的分布函數(shù)可以求出Y的概率密度函數(shù)為其他.9

習(xí)題課因此，??方法歸納本題是第二章習(xí)題課例5的續(xù)，都是2014年考研題的一個

大題.這也是離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量混合的題型，在第二章習(xí)題課例5中，將離散型隨機(jī)變量

X的兩個取值分別代入，求出Y的分布函數(shù)；概率密度函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計算.本題將分布函數(shù)求導(dǎo)得到

Y的.10解

習(xí)題課??例5設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),求.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為.則11??方法歸納

習(xí)題課本題是隨機(jī)變量函數(shù)期望定理的應(yīng)用:求解隨機(jī)變量函數(shù)的期望，用函數(shù)的取值乘以原隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，再求積分.12解

習(xí)題課??例6設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且EX與EY存在，記，，求=

.（A）.（B）.（C）.（D）.因?yàn)樗?，，故?yīng)選B.13解

習(xí)題課??例7設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

，Y表示X被3除的余數(shù)，求E(Y).由題意知，Y所有可能的取值為0,1,2.則；.因此，；14??方法歸納

習(xí)題課

本題解題的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量Y與X之間的關(guān)系，因Y表示X被3除的余數(shù)，{Y=2}對應(yīng){X=3n+2}，再利用X的概率分布進(jìn)行計算.{Y=0}對應(yīng){X=3n}、{Y=1}對應(yīng){X=3n+1}、故有15解

習(xí)題課??例8設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）服從

，求.由于（X,Y）服從二維正態(tài)分布，且，則X與Y相互獨(dú)立.因此，??方法歸納本題用到了二維正態(tài)分布一個結(jié)論：對于服從二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X,Y），X與Y不相關(guān)等價于X與Y相互獨(dú)立..16解

習(xí)題課，??例9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量且X1與X2相互獨(dú)立,且方差均存在，X1與X2的概率密度分別為

與，隨機(jī)變量Y1的概率密度為，隨機(jī)變量.則（A）.，（B）.，（C）.，（D）.，17

習(xí)題課故.又因?yàn)?，，則.故，應(yīng)選D.18解

習(xí)題課??例10設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為，，若，求.由題意知，解之得.因此，X的方差為19解

習(xí)題課??例11設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為，Y服從參數(shù)為λ的泊松分布.令Z=XY.（1）求

；（2）求Z的概率分布.（1）由題意知，，

，.所以，.20

習(xí)題課（2）Z的所有可能取值為全體整數(shù)值，且，對于，有21??方法歸納要求解Z的概率分布，首先要確定Z的取值范圍，因X的取值為

習(xí)題課，，即時，需要一定的技巧，根據(jù)X、Y的取值不妨設(shè)

，再利用X與Y的獨(dú)立性進(jìn)行求解.

22解

習(xí)題課??例12設(shè)X服從區(qū)間

上的均勻分布，，求.由題意知，X的概率密度函數(shù)為則其他.，23解

習(xí)題課??例13設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率分布相同,X的概率分布為，，且X與Y的相關(guān)系數(shù).（1）求的概率分布；（2）求；（1）設(shè)的概率分布為

X010ab1cdY24

習(xí)題課

根據(jù)題意計算可得，，.由解得.25

習(xí)題課因?yàn)椋?同理可得，.因此，.綜上所述，的概率分布為

X0102/91/911/95/9根據(jù)題意計算可得，（2）Y26解

習(xí)題課??例14設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域上服從均勻分布，令求Z1與Z2的概率分布相關(guān)系數(shù).根據(jù)的聯(lián)合分布律

Z20101/4011/21/4Z127

習(xí)題課可以得到Z1、Z2和Z1Z2的分布律：Z101P3/41/4Z201P1/43/4Z1Z201P3/41/4可得，，..28

習(xí)題課.因此，.29

習(xí)題課??方法歸納本題與第三章的例四的后續(xù)題目,都是2020年考研題數(shù)三的22題.此類二維離散型隨機(jī)變量的問題,涉及到聯(lián)合分布律的求法、邊緣分布律的求法，還綜合了連續(xù)型隨機(jī)變量的均勻分布、數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)等知識點(diǎn)，能順利求解.要求學(xué)生扎實(shí)的掌握這些基礎(chǔ)知識才

由

的分布律可得到

及

的分布律為30解

習(xí)題課??例15

已知

的分布律為計算-112概率1/41/21/414概率3/41/4-118概率1/41/21/431

習(xí)題課32解

習(xí)題課??例16已知二維隨機(jī)變量

的聯(lián)合分布律為計算

，

的期望

33

習(xí)題課34

習(xí)題課??例17

設(shè)隨機(jī)變量Y~N(0,1),求

的聯(lián)合分布列.

(X1,X2)的可能取值數(shù)對及相應(yīng)的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=2

2Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=2[Φ(2)

Φ(1)]解35

習(xí)題課P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.6826列表為：X101X2