高二年級上冊期末【?？?0題考點】（選修一+選修二）-2022-2023學年高二數(shù)學考試滿分全攻略（人教A版2019選修第一冊）（解析版）

高二上學期期末【?？?0題考點專練】

（選修一+選修二）

選擇題（共17小題）

I.（2021秋?沈河區(qū)校級期末）已知向量7=（1,1,0）,則與之同向共線的單位向量彳=（）

A.(叵,0)B.(0,1,0)C.(叵叵,0)D.(-1,-1,0)

2222

【分析】根據共線向量和單位向量的定義計算即可.

【解答】解：向量Z=（I,1,0）,則與之同向共線的單位向量為

故選：C.

【點評】本題考查了共線向量和單位向量的定義與應用問題，是基礎題.

2.（2021秋?湘潭縣期末）己知等比數(shù)列｛“”｝中，。|=2,04=16,則公比q=（）

A.-2B.2C.4D.-4

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式列出方程，由此能求出公比.

【解答】解：：在等比數(shù)列｛斯｝中，“1=2,04=16,

al

解得公比q=2.

故選：B.

【點評】本題考查等比數(shù)列的公比的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運

用.

3.（2021秋?湖北期末）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，

其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC-A181G中，M,N分別是4C”8場的中

點，G是的中點，若筋=》瓦+），荷+z正，則x+y+z=（）

Cl

224

【分析】連接AM,AN,由同卷而+M）卷正普布耳正，即可求出答案.

【解答】解：連接AM,AN,如下圖：

由于G是例N的中點,

?-*1-?—?1.1—?—?1”?1—?q.1-

??AG專(AM+AN)(AA1號AC+AB號AA1)=與ABqAA14AC，

根據題意知同=XAB4y布+zAC'

所以x+y+z—^-,

【點評】本題考查了空間向量的線性運算，屬于基礎題.

4.（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）直線x-JEy-3=0的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.60°D.30.

【分析】先求出直線的斜率，再利用直線的斜率與傾斜角的關系求解.

【解答】解：直線x-遂廠3=0可化為產返廠代，

_3

:?直線的斜率為近，

3

設直線的傾斜角為a,則tanQ0,

3

又?.?ae[O°,180°),

...a=30°,

即直線的傾斜角為30°,

故選：D.

【點評】本題主要考查了直線的斜率與傾斜角的關系，屬于基礎題.

5.（2021秋?定州市期末）已知直線/經過A（-2,3盯），8（-3,4加）兩點，則直線/的傾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根據已知條件，結合斜率與傾斜角的關系，即可求解.

【解答】解：；直線/經過A（-2,3日），8（-3,4?）兩點，

kAB=

-3-(-2)

設直線/的傾斜角為a,

V0^a<180°,

又???tana=-F，

.,.a=120°.

故選：C.

【點評】本題主要考查傾斜角與斜率的關系，屬于基礎題.

6.（2021秋?五華區(qū)校級期末）設機為實數(shù)，若直線與圓/+）2-?-6），+8=0相交于知，N兩點,

且IMNI=蓊，則m=（）

A.3B.-1C.3或-1D.-3或1

【分析】將圓的一般方程化成圓的標準方程，求出圓心和半徑，再結合垂徑定理，即可求解.

【解答】解：?.?圓/+y2-4x-6>8=0,

二（x-2）2+（y-3）2=5,即圓心為（2,3）,半徑為遙，

;直線y=x+mf

??x-)葉機=0,

IMNI=273.

（泥產=（■^滑

二由圓的垂徑定理可得,52+2,解得加=3或m=-1.

故選：C.

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，掌握垂徑定理是解本題的關鍵，屬于基礎題.

7.（2021秋?邢臺期末）某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為

拋物線，在軸截面內的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖

②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為3.6口，深度為06”，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）

①②

A.1.35mB.2.05〃？C.2.7機D.5.4m

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程，由題意可得拋物線上的點4的坐標，將A的

坐標代入拋物線的方程，求出p的值，進而求出焦點到頂點的距離.

【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為：y2=2px,p>0,由題意可得|AB|=3.6,

則4的縱坐標為1.8,

再由深度為0.6,可得A的橫坐標為0.6,

即4（061.8）,將A的坐標代入拋物線的方程可得：1.82=2pX0.6,

可得p—2.1,

所以拋物線的方程為：y2=5.4x,

所以拋物線的焦點到頂點的距離為顯=&工=1.35,

22

故選：A.

①②

【點評】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線的性質的應用，屬于基礎題.

8.（2021秋?平頂山期末）在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被

定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，

清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）

A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺

【分析】由題意知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設冬至日的日影長為“I尺，公差為"尺，利用

等差數(shù)列的通項公式，求出d,即可求出m，由此能求出結果.

【解答】解：設從冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十

二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列｛斯｝,

設冬至日的日影長為⑶尺，公差為“尺，

?.?冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，

al+a4+&7=331+9（1=31.5

a2+a§+a&=3a[+12d=28.5

解得ai=13.5,d=-\,

大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為：

。3+。6+。9=3。1+15（/=25.5（尺）.

故選：A.

【點評】本題考查等差數(shù)列的實際運用，考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

9.（2021秋?亳州期末）在三棱錐P-ABC中，下=彳，屈=1,=3，為PB上的點，且PB=4PD，

則而=（）

_

A-a-^lr-bq1c-DR--^3?-a+^l-br-c-JcI*1-*DL+y2b:+一c

【分析】利用空間向量的線性運算求解即可.

【解答】解：：麗=4同，

.??CD=CB+BD=（AB-AC）+旦麗

4

=（AB-AC）+旦<AP-AB）

4

44

故選：B.

【點評】本題考查空間向量的線性運算，屬于基礎題.

10.（2021秋?東莞市期末）如圖，在平行六面體ABC。-481cl￡>i中，AB+AD-CC^（）

ABD

-ACj-AtCC.D[B-DBI

【分析】根據已知條件，結合向量的加減法法則，即可求解.

【解答】解：為平行四面體，

====

??AB+AD-CC1DC+AD+C1CAC+C1CA1C1+C1CA1C-

故選：B.

【點評】本題主要考查向量的加減法法則，屬于基礎題.

22

11.（2022春?僧州校級期末）橢圓“上=1的焦距為2,則〃?的值等于（）

m4

A.5B.8C.5或3D.5或8

【分析】利用橢圓的焦距，求解〃7即可.

22

【解答】解：橢圓“上=1的焦距為2,

m4

可得A/IR-4=1或74-m=l，解得加=5或m=3.

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，是基礎題.

22

12.（2021秋?湘潭縣期末）雙曲線C：1_匚二1的虛軸長為（）

39

A.V3B.2V3C.3D.6

【分析】直接利用雙曲線方程求解4即可得到結果.

22

【解答】解：因為雙曲線c：

39

廬=9,所以6=3,所以雙曲線的虛軸長為劫=6.

故選：D.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，是基礎題.

13.(2021秋?北海期末)在數(shù)列｛斯｝中,ai=l,n(?+1)(即+1-加)=1(nGN*),則“2022=()

A4043B4041C2020D2021

,2022-2021'2021"2022

【分析】根據遞推關系式求得??+i-??=—A_=l-再利用累加法求解即可.

n(n+l)nn+1

【解答】解：???數(shù)列｛斯｝中,ai=Ln(M+1)(斯+1-斯)=1(nGN*)

1-4〃=―—---，

n(n+1)nn+1

ai-a\=\——,

2

Q3-〃2=工」，

23

-a，?-1——---

n-ln

Clu~d\11——,

**.。2022=。1+11=4043

20222022

故選：A.

【點評】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，屬于基礎題目.

14.(2021秋?未央區(qū)校級期末)下列求導不正確的是()

A.[(3x+5)3r=9(3x+5)2

B.Cx^lnx)'=3X2//7JV+X2

z2sinx>./2xcosx+4sinx

r?(2~^=3

xx

D.(2A+cosx)1=2xln2-siar

【分析】根據基本初等函數(shù)、積的導數(shù)、商的導數(shù)和復合函數(shù)的求導公式求導即可.

【解答】解：［(3x+5)=3-3(3x+5)2=9(3x+5)2,A正確；

3

(x3lnx)7=3X21nx+^-=3x2lnx+xii,8正確；

z2sinxx//x'cosxYxsinx2xcosx-4sinxc倍誤.

(2x+cosx)'=2v/n2-sinx,。正確.

故選：C.

【點評】本題考查了積的導數(shù)、商的導數(shù)、基本初等函數(shù)和復合函數(shù)的求導公式，考查了計算能力，屬于

基礎題.

15.(2021秋?玉林期末)曲線f(x)=加L/在點(1,/(I))處的切線方程為()

A.y=-xB.y=2x-3C.y=-3x+2D.y=-2x+l

【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=l處的導數(shù)值，再求出/(I)的值，利用直線方程的點斜式

得答案.

【解答】解：由f(x)=lnx-x2,得f'(x)=A-2x,

x

則/(1)=-1,又f(I)=7,

，曲線/(x)=/nx-/在點(1,/(1))處的切線方程為y+l=-(x-1),

即y=-x.

故選:A.

【點評】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關鍵是熟記基本初等函數(shù)的導函數(shù)，是基礎

題.

2

16.(2021秋?海東市期末)已知A,B分別是圓Ci：/+)2-2x-4y-4=0和圓C2：7+y-6x+4yH2=0

上的動點，點P在直線/：x+y+3=0上，貝”必|+『用的最小值是()

A.2717+4B.2V17-4c.K/77+2D.2^17-2

【分析】由已知可得解回PCI-R,|PB|冽PC2I-，，求得Ci關于直線/的對稱點為。，則解|+儼8閆PC1I+IPC2I

-4=|PC|+|PC2|-42|。?254,計算即可得出結果.

【解答】解：由題意可知圓G的圓心為。(1,2),半徑R=3,圓C2的圓心為C2(3,-2),半徑廠=1,

設Ci關于直線/：x+y+3=0的對稱點為D(xo，yo),

丫0-2.

x0-l-

則解得力(-5,-4),

X0+1紅收oA

22+3'0

則|PCi|=|P￡>|,

因為A,B分別在圓G和圓C2上,

所以陷|》|尸。|-R,\PB\^\PC2\~r,

貝”必|+|PB|2|PCI|+|PC2|-4=\PD\+\PC2\-4,

因為|PD|+|PC2|>|DC2|=2V17-

所以|PA|+|PB|>2萬-4，

故選：B.

【點評】本題考查了與圓有關的最值問題，涉及點的對稱問題，屬于中檔題.

17.(2021秋?玉林期末)若函數(shù)/G)=2?-(〃+1)x單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-8,-1)B.(-8,o)C.(-8,0]D.(…，-]]

【分析】先求導，再根據/(x)單調遞增，得到對任何x€R,f(x)=6?-(a+1)>0,再求出。的取

值范圍.

【解答】解：f(x)=6，-(a+1),

因為『(x)單調遞增，所以對任何xWR,f(x)=6?-(a+1)20,

所以只要-(a+1)20,解得

所以實數(shù)〃的取值范圍是(-8,-1],

故選：D.

【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題.

二.填空題(共22小題)

18.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)已知向量彳=⑵-3,1),b=(2,k,2)，且；?[，則實數(shù)％=2.

【分析】根據兩向量垂直時數(shù)量積為0,列方程求出/的值.

【解答】解：因為向量Z=(2,-3,1),b=(2,k,2)，且Z1K

所以a，b=4-3k+2=0,

解得k=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了空間向量的數(shù)量積應用問題，是基礎題.

19.(2021秋?青海期末)直線八：x+)+2=0與直線由2x+2y-1=0之間的距離為返

【分析】整理兩條直線中x的系數(shù)相同，y的系數(shù)相同，直接代入平行線間的距離公式，可求得結果.

【解答】解：直線/i：x+)+2=0與直線/2：2x+2y-1=0,即，2的方程為x+y-1=0,

2

I2,I5小

所以兩條平行線間的距離-上-=變2,

22

Vl+14

故答案為：顯

4

【點評】本題考查平行線間的距離公式的應用，屬于基礎題.

20.(2021秋?民勤縣校級期末)已知函數(shù)/(X)=?+2/(1)/“X,則/(1)=-2.

【分析】可根據基本初等函數(shù)的求導公式求出/(x),然后即可求出/(1)的值.

【解答】解：(x)=2x+2，⑴,

X

：.f(1)=2+2/(1),

:?/(1)=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查了基本初等函數(shù)的求導公式，已知函數(shù)求值的方法，考查了計算能力，屬于基礎題.

21.(2021秋?茂名期末)在空間直角坐標系中，若三點A(l,-1,a),B(2,a,0),C(1,0-2)滿

S.：(AB-2AC)1BC.則實數(shù)。的值為_二9一

2~

【分析】先求出五=(-1，0,-2),AB-2AC=(-1.a+\,-4-a),再由(族-2菽)，前，能求

出a.

【解答】解：VA(1,-1,a),B(2,a,0),C(1,a,-2),

AAB=(L〃+l，-a),2AC=(0,26r+2,-4-2〃)，BC=(-1，0,-2),

AB-2AC~(1，-1,4+〃)，

V(AB-2AC)±BC，

???(屈-2菽)?就=-1-8-2〃=0,

解得實數(shù)〃=-1.

2

故答案為：-—.

2

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量坐標運算法則、向量垂直的性質等基礎知識，是基礎題.

22.(2021秋?湖南期末)已知直線小or+(a+3)y-1=0與以Q+3)x-y+2=0垂直，則a=-3或1.

【分析】利用直線與直線垂直性質，得到關于?的方程，再求出。的值.

【解答】解：直線小ax+(a+3)y-1=0與/2：(。+3)x-)+2=0垂直，

：.a(a+3)+(a+3)X(-1)=0,

解得。=-3或。=1.

故答案為：-3或1.

【點評】本題考查直線與直線垂直的性質，考查運算求解能力，是基礎題.

23.(2021秋?呈貢區(qū)校級期末)在等比數(shù)列｛斯｝中，若ai=Lq=2,則如與ax的等比中項是±4.

【分析】由已知先求出“4,。8,然后結合等比中項的定義即可直接求解.

【解答】解：等比數(shù)列伍〃｝中，。|=工，4=2,

8

所以614=1,。8=16,

則〃4與48的等比中項±4.

故答案為：±4.

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及等比中項的定義，屬于基礎題.

24.(2021秋?宣城期末)設x,)WR,向量Z=(x,1,1),b=(l>Y,1),c=(2,-4,2)且

；lb,b//c>則

【分析】利用空間向量的垂直與共線，列出方程組求解即可

【解答】解：；；=(x,1,1),b=(1?y.1),3=(2,-4.2)

且;1E,b//c>

x+y+1=0且工=_X_,

2-4

/.x=l,y=-2,

，a=(1，1，1)，b=(1，-2,1),a+b=(2,-1,2),

Ia+b|—V4+l+4~3?

故答案為：3.

【點評】本題考查空間向量的垂直與共線，向量的模的求法，是基礎題.

25.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)圓/+v2-2x+6v+9=0的圓心坐標為(1,-3)；半徑為1.

【分析】直接利用轉換關系，把圓的一般式轉換為標準式，進一步求出圓心和半徑.

【解答】解：圓/+/-2x+6y+9=0轉換為標準式(x-1)2+(y+3)2=1,

故圓心坐標為(1,-3),半徑為1.

故答案為：(I,-3)；I.

【點評】本題考查的知識要點：圓的方程的一般式和標準式之間的轉換，主要考查學生的運算能力和數(shù)學

思維能力，屬于基礎題.

2

26.(2021秋?興慶區(qū)校級期末)經過點A(2,-2)且與雙曲線2-/=i有公共漸近線的雙曲線方程為

【分析】根據漸近線相同，利用待定系數(shù)法設出雙曲線方程進行求解即可.

22

【解答】解：與雙曲線二-）2=1有公共漸近線的雙曲線的方程可設為三二-）,2=入，（入#0）,

22

,?,雙曲線過點（2,-2）,

：.X=2L-（-2）2=2-4=-2,

2

222

即二一9=-2,即/_三=]

224

故答案為：zl_xl=1.

24

【點評】本題主要考查雙曲線方程的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵.比較基礎.

27.（2021秋?遵義期末）根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經該拋物線反射后與對

稱軸平行，一條平行于對稱軸的光線經該拋物線反射后會經過拋物線的焦點.如圖所示，從A（5,/MI）沿

直線>=如發(fā)出的光線經拋物線V=4x兩次反射后，回到光源接收器。（5,機2），則該光線經過的路程為

12.

【分析】由拋物線方程求得拋物線的焦點坐標與直線方程，再由拋物線的定義求解光線經過的路程.

【解答】解：如圖，拋物線b=4x的焦點坐標為尸（1,0）,準線方程為x=-l.

由拋物線的性質可得，|Bf]=|A,B\,\CF]^\CD'I，

,該光線經過的路程為|AB|+|BQ+|C￡>|=HA'|+|￡>O'1=6+6=12.

故答案為：12.

【點評】本題考查拋物線的幾何性質，考查化歸與轉化、數(shù)形結合思想，是基礎題.

28.（2021秋?青海期末）己知某圓錐曲線的兩個焦點分別為尸I，乃，點P為該圓錐曲線上任意一點，若|PFi|：

IPF2I：|F|F2|=2：1：2,則該圓錐曲線的離心率為2或2.

-3

【分析】通過圓錐曲線是橢圓或雙曲線時，分別求解離心率即可.

【解答】解：|PFi|：|P尸2l：|FIF2|=2：1：2,

令|PFl|=2f,\PF2\=t,\F\F2\=2t,f>0,

當圓錐曲線為橢圓時，2ai=|PFi|+|PP2|=3f,2c\=\F\F2\=2t,

所以橢圓的離心率e,=2=2；

ai3

當圓錐曲線為雙曲線時,2a2=\\PFi\-|PF2||=62c2=\FiF2\=2t,

所以雙曲線的離心率e0="=2.

2a2

故答案為：2或2.

3

【點評】本題考查橢圓以及雙曲線的離心率的求法，是基礎題.

29.（2021秋?鷹潭期末）若雙曲線/_工!_=1的離心率為2,則此雙曲線的漸近線方程_y=±JEx_.

【分析】根據離心率得出c=2a,結合/+廿=°2得出°,關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.

【解答】解：由題可知，離心率e：^=2，即c=2a,

a

又J+62=c2=4a2,即b2=3q2,則且二四，

a

故此雙曲線的漸近線方程為y=±Mx.

故答案為：y=±V3x.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，漸近線方程的求法，是基礎題.

30.（2021秋?東豐縣期末）已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，數(shù)列出"｝是等比數(shù)列，為+。9=8皿,加歷<=64,則

a5_1

cosA,"-———77—,

4-b4b102

【分析】由等差中項的性質可得“5=411,由等比中項的性質可得久bio=b,=16,再代入運算，即可.

【解答】解：數(shù)列｛金｝是等差數(shù)列，

所以45=工（。1+49）=4TT,

2

因為數(shù)列也”｝是等比數(shù)列，所以b：=66b8，

又66b7岳=64,所以b.=64,即歷=4,所以64bio=b：=16,

所以cos-.......二COS4-=cos(--2L)=A

4-b4bI。4-1632

故答案為：1

2

【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟練掌握等差中項與等比中項的性質是解題的關鍵，考查

邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

2

31.（2021秋?海淀區(qū)校級期末）若數(shù)列｛斯｝的前n項和為S?=3n-2n+L則數(shù)列｛“〃｝的通項公式an

2,n=l

6n-5,n>2

【分析】利用an=Sn-Sn\即可求解.

【解答】解：當〃=1時，ai=Si=2,

當心2時,SnT=3(n-l)2-2(n-1)+1=3〃2-8〃+6,

??一S?-1=6〃-5,

2n=l

綜上,a=s、

n6n-5,n>2

’2,n=l

故答案為:

6n-5,n>2

【點評】本題考查了數(shù)列通項公式與前N項和之間的關系，屬于基礎題.

32.（2021秋?興慶區(qū)校級期末）定義在（0,+8）上的函數(shù)/（x）滿足：Vx>0有/（x）+xf（x）>0成立

且f(l)=2,則不等式/(x)<2的解集為(0,1).

x

【分析】令h(x)=xf(x),x>0,然后對其求導，結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而可求.

【解答】解：令〃(x)=xf(x),x>0,

因為定義在(0，+8)上的函數(shù)/(X)滿足：Vx>0有/(X)+xf(x)>0成立，

所以〃'(x)=/(x)+xf(x)>0,

所以/?(x)在(0,+8)上單調遞增，

因為f(1)=2,所以〃(1)=2,

則當x>0時，不等式/(x)<2可轉化為引>(X)<2,即〃(x)<2,

x

解得，0cx<1.

故答案為：(0,1).

【點評】本題主要考查了利用函數(shù)的單調性求解不等式，函數(shù)的構造及導數(shù)的應用是求解問題的關鍵，屬

于基礎題.

33.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)己知P為曲線C：x=3五上一點，T(0,9),A(3,3),則儼7]+|附|的

4

最小值為21.

-4―

【分析】利用拋物線的定義可知|P7]等于P到準線y=-9的距離為d,則|P71+|B4|最小值為A到準線y=-

4

2的距離，即可求出|即+|附的最小值.

4

【解答】解：由題意知，曲線C是拋物線，=9y的右半部分且T(0,2)是焦點

4

因為尸為曲線C上一點，

若P到準線y=-9的距離為d,則d=\P7],

4

所以儼7]+|別="+|以|,要使其值最小，

則小|%|即為點A到準線y=-9的距離，

4

所以『71+1別的最小值為3+9=21,

44

故答案為：21

4

【點評】本題考查拋物線的定義，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題.

34.(2021秋?遼陽期末)已知P為拋物線》;今乂？上的動點，M(0,3)，N(4,3),則|PM|+|PN的最小

值為6.

【分析】由拋物線的方程可得焦點的坐標，即M為拋物線的焦點，求出拋物線的準線方程，過P作準線的

垂線，垂足為P,,由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，則|PM+|PN|=|PN|+|PP'I'WP'|,進而

求出最小值.

【解答】解:3),M點(0,3)恰好為焦點，準

線方程為了=

將N的坐標代入3?＞工X42,所以N在拋物線的內部，如圖所示:

12

過戶作準線的垂線，垂足為產，由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，則|PM+『N|=FM+|PP[

嚴=3-(-3)=6,當且僅當MP,P三點共線時取等號,

故答案為：6.

【點評】本題考查拋物線的性質的應用及線段之和的最小值的求法，屬于中檔題.

35.(2021秋?湖北期末)函數(shù)f(x)=e、1x2-ax是R上的單調遞增函數(shù)，則4的取值范圍是「8,

X\A/D2A蟲人----------------------

n_

【分析】求導后，通過參變分離法，可將原問題轉化為恒成立，再利用導數(shù)求得函數(shù)g(x)=

-x的最小值，即可.

【解答】解：因為f(x)=e'-1x2-ax是氏上的單調遞增函數(shù)，

所以/(x)。恒成立，即

設g(x)=e^-x,則g'(x)=/-1,

當x>0時，g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上單調遞增，

當x<0時，g'(x)<0,g(x)在(-8,o)上單調遞減，

所以g(X)min=§(0)=1,

所以即4的取值范圍是(-8,1J.

故答案為：(-8,1].

【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，理解函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的聯(lián)系，以及參變分離法是

解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

36.(2021秋?臨渭區(qū)期末)如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，AB=\,則在原來的正方體中，直線

CF與平面EMB所成角的正弦值為_?_.

【分析】先將正方體的平面展開圖還原成正方體，建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量

的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面EMB的法向量，由線面角的計算公式求解即可.

【解答】解：將正方體的平面展開圖還原成正方體，

以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則E(l,0,0),M(1,I,1),8(0,1,0),F(1,1,0),C(0,I,1),

所以而=(1,0,-1),BE=(1,-1,0),EM=(0,1,1)，

設平面EM8的法向量為]=(x,y,z)>

則?畫=o,即(x-y=o

n-EM=0lv+z=0

令％=1,則y=l,z=-1,

故二=(1,1,-1)，

ICF?n_|_______2_____=返

所以|cos〈CF?n>|=

|CF|Ini^/l+lxVl+1+13

所以直線CF與平面EMB所成角的正弦值為限.

_3

故答案為：圓

3

【點評】本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，線面角的求解，正方體的平面展開圖的理解與應用，

在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進

行研究，屬于中檔題.

37.(2021秋?陳倉區(qū)期末)一條光線經過點A(2,3)射到直線x+y+l=0上，被反射后經過點8(1,1),

則入射光線所在直線的方程為5x-4y+2=0.

【分析】根據對稱的性質，設點A(2,3)關于直線/的對稱點為A'(xo,和)，利用斜率和中點坐標可得

A',可得反射光線所在直線的方程.聯(lián)立方程組求解在x+y+1=0上的反射點，即可求解入射光線直線的

方程.

【解答】解：設點A(2,3)關于直線/的對稱點為A'(xo,和)，

'2+XQ3+y。

21211=0

解得：A'(-4,-3),

由于反射光線所在直線經過點A'(-4,-3)和8(1,1),

所以反射光線所在直線的方程為y-1=(x-1)?景，即4x-5.v+l=0.

解方程組（4x-5y+i=°,解得反射點p（一2,-』）.

Ix+y+l=O33

所以入射光線所在直線的方程為：5x-4y+2=0.

故答案為：5x-4y+2=0.

【點評】本題考查了直線關于直線的對稱直線方程的求法，斜率，中點坐標的應用，屬于中檔題.

38.（2021秋?湖北期末）已知數(shù)列｛斯｝滿足ai+2a2+4。3+-+2"-%”=1,將數(shù)列｛斯｝按如下方式排列成新

2

數(shù)列：0,a2，42,42,43，。3，。3，43，。3，…，a?,a”，…，a?>….則新數(shù)列的前70項和為_里

「____上一r___--16—

⑵-1）項

【分析】先根據題干條件得到aJ，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.

n2n

++,+n

【解答】解：at+2a24a3-,2'n言①，

當〃=1時，a=A；

al2

當〃》2時，+2a2+4a3+…+2n-2abi'②'

①-②得：

2叫=1,即a」

乙”n2n2n

又滿足a」，所以a」.

1a

2an2nn2n

由1+3+5+…+(2n-1)=〃2=64,得”=8.

令3則上

222

會管15749

兩式相減得《'54+2'二/2乂…+2X一'-」今=4?+'

22228292,1-512,

21——乙

2

則

所以新數(shù)列的前70項和為迺qqm

2562925616

故答案為：47

16

【點評】本題考查數(shù)列求和，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

39.（2021秋?和平區(qū)校級期末）數(shù)列｛〃”｝滿足0+242+22.3+?+2"（"=工（w+1）n（n-1）,若對任意人>0,

3

所有的正整數(shù)〃都有入2-H+2>??成立，則實數(shù)k的取值范圍是_（-8,V2

【分析】先由題設求得斯，然后利用數(shù)列的單調性求得其最大值，把對任意人>0,所有的正整數(shù)〃都有鏟

-馱+2＞%成立轉化為k＜入4^^對任意人＞0恒成立，再利用基本不等式求得人得「的最小值，即可

得到答案.

【解答】解：由。1+2a2+22〃3+…+2"-%=2(〃+1)n(M-1),

3

2n

當〃22時，a?+2a2+2,a3+-+2~an-\=—n(”-1)(n-2),

3

1

兩式相減可得：2nan=-^-[(n+1)n(n-l)-n(n-l)(n-2)]=n(n-l),

所以a』5?)一,

n211-1

由ci\=0,顯然成“，

?n.(n+1)nn(n-l)dtn-2n、+2n_-n、+3n

an+lan-2n2n-1-2n2n

所以，當0＜〃W3時，。"+1-即＞0,當“24時，斯+1-斯＜0,

因此，0V〃W3,數(shù)列｛如｝單調遞增，當時，數(shù)列｛“”)單調遞減，

由23得，a4所以當”=3或〃=4時，數(shù)列｛斯｝取最大值，且最大值為日，

2

對任意人＞0,所有的正整數(shù)n都有入2-kX+2＞an成立，可得入_k入+2〉多

因此，k入〈入2+工，即入代「對任意入＞0恒成立，

22人

由XxX—v-=V21當且僅當入T-，即入=圾時取最小值，

2人V2人2人

則k＜\(入+2dA)mm.=vV2，

所以實數(shù)k的取值范圍是(-8,V2),

故答案為：(-8,V2).

【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法、數(shù)列的單調性在求數(shù)列的項的最值中的應用及基本不等式

在處理不等式恒成立問題中的應用，屬于中檔題.

三.解答題(共21小題)

40.(2021秋?賓陽縣校級期末)已知△48C的三個頂點是A(4,0),B(6,7),C(0,3).

(I)求AC邊所在的直線方程；

(II)求經過AB邊的中點，且與AC邊平行的直線/的方程.

【分析】(I)由A、C兩點坐標可以寫出直線AC斜率，再代入A、C中的一個點就可以求出AC方程.(II)

求出A8中點，/與AC平行，從而斜率相等，即可設出/,代入4、C中點求得/.

【解答】解：(I)由題意知4c斜率為女=生&=-3,所以AC邊所在直線方程為y-o=-3(X-4),

0-444

即3x+4y-12=0.

(II)由(I)知/可設為3x+4y+m=0,又48邊中點為(5,1),將點(5,1)代入直線/的方程

22

得3X5+4X1+加=0,解得膽=-29,所以/方程為3x+4y-29=0.

2

【點評】本題考查了直線方程的求解和兩直線平行的關系，屬于簡單題.

41.(2021秋?成都期末)已知圓C的圓心為C(l,2),且圓C經過點P(5,5).

(I)求圓C的一般方程；

(II)若圓O：/+/=〃，(W>o)與圓C恰有兩條公切線，求實數(shù)m的取值范圍.

【分析】(力設圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=J(r為圓C的半徑)，再將點尸(5,5)代入圓C方

程，即可求解.

(//)將已知條件轉化為兩圓相交，再結合圓心距與兩圓半徑之間的關系，即可求解.

【解答】解：⑺設圓C的方程為(x-1)2+(廠2)2=/(r為圓C的半徑)，

?.?圓C經過點尸(5,5),

二(5-1)2+(5-2)2=即J=25,

圓C的標準方程為(x-1)2+(y-2)2=25.

(〃)由(/)知圓C的圓心為C(l,2),半徑為5,

?.?圓O：苫2+尸=”2(,?>0)與圓C恰有兩條公切線，

.?.圓。與圓C相交，

/.|5-m\<\OC\<5+m,

10C|=V(l-0)2+(2-0)2=V5，

5-Vb<5+^5.

故，〃的取值范圍是(5-y，5+>石).

【點評】本題主要考查兩圓之間的位置關系，屬于基礎題.

42.(2021秋?遼寧期末)已知直線/：(2a-1)x+(a+2)y-5=0.

(1)若。=2,求直線/與直線/1：x+2y-3=0的交點坐標；

(2)若直線/與直線/2：2x-y+3=0垂直，求a的值.

【分析】(1)直接利用直線間的位置關系建立方程組，進一步求出交點的坐標；

(2)利用直線垂直的充要條件的應用求出a的值.

【解答】解：（1）當a=2時，直線/的方程為3x+4y-5=0,

所以兩直線的交點為—x+4y-5=°,解得fx=-l,即點尸（_1,2）.

[x+2y-3=0[y=2

（2）由于直線/：（2tz-1）x+（a+2）y-5=0與直線fe：2x-y+3=0垂直，

故2（2a-1）-（。+2）=0,

解得

3

【點評】本題考查的知識要點：直線間的位置關系，直線垂直的充要條件，主要考查學生的運算能力和數(shù)

學思維能力，屬于基礎題.

43.（2022春?新和縣校級期末）已知雙曲線C：A_-（?>o,b>0）的漸近線方程為J§x±2y=0,

aD

且過點（2A/2>a）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過雙曲線的一個焦點作斜率為1的直線/交雙曲線于A、B兩點，求弦長履B|.

【分析】（1）根據雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點（K歷，JE）可構造方程求得a,b,由此可得雙曲線方

程，

（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得AB方程，與雙曲線方程聯(lián)立后，利用弦長公式可求得結果.

【解答】解：（1）由雙曲線方程知：漸近線斜率女=±上，又漸近線方程為愿x±2y=0,.?也正，

aa2

?.?雙曲線過點（zQ,JE）,；?與-3寸=1，

a2b2

但正

a2（