2025版新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第4課時(shí)余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例課時(shí)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站北偏東40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東10°D．南偏西10°2.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測(cè)得BC的距離為10m，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A．5eq\r(2)mB．5eq\r(3)mC．5eq\r(5)mD．5eq\r(6)m3.如圖，在救災(zāi)現(xiàn)場(chǎng)，搜救人員從A處動(dòng)身沿正北方向行進(jìn)x米達(dá)到B處，探測(cè)到一個(gè)生命跡象，然后從B處沿南偏東75°行進(jìn)30米到達(dá)C處，探測(cè)到另一個(gè)生命跡象，假如C處恰好在A處的北偏東60°方向上，那么x＝()A．10eq\r(2)米B．10eq\r(3)米C．10米D．10eq\r(6)米4.小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采納了如圖所示的方式來進(jìn)行測(cè)量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距25米的C，D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為45°，30°，并測(cè)得∠BCD＝120°，則教學(xué)樓AB的高度是()A．20米B．25米C．15eq\r(3)米D．20eq\r(2)米5．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距()A．20mB．eq\r(30)mC．30mD．30eq\r(3)m6．甲船在A處，乙船在甲船北偏東60°方向的B處，甲船沿北偏東θ方向勻速行駛，乙船沿正北方向勻速行駛，且甲船的航速是乙船航速的eq\r(3)倍，為使甲船與乙船能在某時(shí)刻相遇，則()A．15°<θ<30°B．θ＝30°C．30°<θ<45°D．θ＝45°7．某同學(xué)從A點(diǎn)向正前方走了10米到B點(diǎn)，然后左轉(zhuǎn)60°再向前走了x米到C點(diǎn)，此時(shí)距離A點(diǎn)10eq\r(7)米，則x的值為________.8.如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CD＝100米，∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，則AB的長為________米．關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．某指揮中心A接到在其北偏東60°相距5海里的甲船拋錨等待救援信號(hào)，指揮中心快速通知在A西偏北30°相距3海里的乙船前去救援，若乙船的速度是20海里/小時(shí)，則乙船須要航行()小時(shí)．A．eq\f(3,20)B．eq\f(1,4)C．eq\f(7,20)D．eq\f(1,3)2.如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為60°，沿傾斜角為45°的斜坡前進(jìn)若干米后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°，已知山的高度BC為eq\r(3)千米，則斜坡AD＝()A．eq\r(2)千米B．eq\r(6)－eq\r(2)千米C．1千米D．1.5千米3．國慶期間我校數(shù)學(xué)愛好小組的同學(xué)開展了測(cè)量校內(nèi)旗桿高度的活動(dòng)，如圖所示，在操場(chǎng)上選擇了C，D兩點(diǎn)，在C，D處測(cè)得旗桿的仰角分別為45°、30°.在水平面上測(cè)得∠BCD＝120°，且C、D的距離為15米，則旗桿的高度為多少米？()A．13B．13eq\r(5)C．15D．15eq\r(5)4．如圖，為了測(cè)量山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)．若已測(cè)得AB之間的距離為a，∠BAM＝α，∠ABM＝β，由于條件不足，須要再觀測(cè)新的角，則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀測(cè)的角的其中一組，可以求出M，N間距離的組數(shù)為()①∠BNM和∠MBN；②∠AMN和∠BNM；③∠NAB和∠BNAA.0B．1C．2D．35．一架高空偵察飛機(jī)以800m/s的速度在海拔20000m的高空直線飛行，飛機(jī)的航線和某個(gè)山頂在同一鉛垂平面內(nèi)，飛機(jī)第一次探測(cè)該山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過10s后飛機(jī)其次次探測(cè)該山頂?shù)母┙菫?0°，則該山頂?shù)暮０胃叨燃s為(eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732)()A．1072mB．1573mC．2436mD．3200m6．(多選)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是()A．A處與D處之間的距離是24nmileB．燈塔C與D處之間的距離是8eq\r(3)nmileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°7．一船向正北方向航行，望見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，船接著航行半小時(shí)后，望見燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這艘船的速度是________．8.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝20eq\r(2)m，并在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB＝________m．9.某氣象儀器探討所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A、B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比在B地晚eq\f(2,17)秒．A地測(cè)得該儀器彈至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°.(1)求A、C兩地的距離；(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)10．某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上，距離為12eq\r(6)海里，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°的方向上，距離為8eq\r(3)海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東45°的方向上，求(1)A、D間的距離；(2)C、D間的距離．核心素養(yǎng)升級(jí)練1．《墨經(jīng)·經(jīng)說下》中有這樣一段記載：“光之人，煦若射，下者之人也高；高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下．在遠(yuǎn)近有端，與于光，故景庫內(nèi)也．”這對(duì)小孔成像有了第一次的描述．如圖為一次小孔成像試驗(yàn)，已知物距∶像距＝6∶1，OA＝OB＝12，cos∠A′OB′＝eq\f(23,32)，則像高為()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(\r(21),2)D．eq\f(\r(41),2)2.如圖，某大型廠區(qū)有三個(gè)值班室A，B，C，值班室A在值班室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2eq\r(3)千米處．(1)保安甲沿CA從值班室C動(dòng)身行至點(diǎn)P處，此時(shí)PC＝3千米，求PB的距離，并說明點(diǎn)P在點(diǎn)B方向角哪個(gè)方向上；(2)保安甲沿CA從值班室C動(dòng)身前往值班室A，保安乙沿AB從值班室A動(dòng)身前往值班室B，甲乙同時(shí)動(dòng)身，甲的速度為2千米/小時(shí)，乙的速度為1千米/小時(shí)．若甲乙兩人通過對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為3千米(含3千米)，試問有多長時(shí)間兩人不能通話？第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：B解析：燈塔A，B的相對(duì)位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故選B.2．答案：D解析：因?yàn)椤螦BC＝75°，∠ACB＝60°，故∠BAC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理，eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，故AB＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)m．故選D.3．答案：D解析：依題意得C＝180°－A－B＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以eq\f(30,\f(\r(3),2))＝eq\f(x,\f(\r(2),2))，x＝10eq\r(6).故選D.4．答案：B解析：設(shè)AB＝x，在直角三角形ABC、ABD中，BC＝AB＝x，BD＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\r(3)x，在三角形BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，即3x2＝x2＋252－2×25·xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得x1＝25，x2＝－eq\f(25,2)(舍).故選B.5．答案：C解析：如圖，過炮臺(tái)頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測(cè)小船C的俯角為45°，設(shè)A處觀測(cè)小船D的俯角為30°，連接BC、BD，Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米，Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝eq\r(3)AB＝30eq\r(3)米，在△BCD中，BC＝30米，BD＝30eq\r(3)米，∠CBD＝30°，由余弦定理可得：CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos30°＝900，∴CD＝30米(負(fù)值舍去).故選C.6．答案：B解析：如圖所示：設(shè)在點(diǎn)C處相遇，BC＝x，則AC＝eq\r(3)x，由題知：∠ABC＝120°，由正弦定理得：eq\f(x,sin（60°－θ）)＝eq\f(\r(3)x,sin120°)，解得sin(60°－θ)＝eq\f(1,2).因?yàn)?°<60°－θ<60°，所以60°－θ＝30°，即θ＝30°.故選B.7．答案：20解析：依題意AB＝10，AC＝10eq\r(7)，∠ABC＝120°，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即700＝100＋BC2－2×10×BC×(－eq\f(1,2))，解得BC＝20或BC＝－30(舍去).8．答案：50eq\r(2)解析：在△ACD中，已知CD＝100，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，∴AC＝100，在△BCD中，∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∴∠CBD＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(100×sin105°,sin45°)＝eq\f(\r(3)＋1,2)×100，在△ABC中，∠ACB＝30°，利用余弦定理知AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos30°)＝50eq\r(2).關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．答案：C解析：如圖，設(shè)甲在B處，乙在C處，由題可得|AB|＝5，|AC|＝3，∠BAC＝120°，在△ABC中，由余弦定理得|BC|2＝52＋32－2×5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，所以|BC|＝7，所以乙船須要航行eq\f(7,20)小時(shí)．故選C.2．答案：B解析：如圖，延長AD交BC于E，則∠BDE＝30°，∠DEB＝135°，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝eq\r(3)，AB＝2，所以AC＝1，因?yàn)椤螮AC＝45°，所以EC＝1，所以BE＝eq\r(3)－1，在△BED中，eq\f(BD,sin135°)＝eq\f(BE,sin30°)，所以BD＝eq\r(6)－eq\r(2)，在△ABD中，∠BAD＝15°，∠ABD＝15°，所以AD＝BD＝eq\r(6)－eq\r(2)，故選B.3．答案：C解析：如圖所示，設(shè)旗桿的高度為h，所以BC＝eq\f(h,tan45°)＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)h)2＝h2＋152－2×h×15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即2h2－15h－225＝0，解得h＝15或h＝－eq\f(15,2)(舍去)，故選C.4．答案：D解析：由AB＝a，∠BAM＝α，∠ABM＝β，在△ABM中，利用正弦定理可以求出AM，BM的長，對(duì)于①∠BNM和∠MBN，在△BMN中，利用正弦定理可得eq\f(MN,sin∠MBN)＝eq\f(BM,sin∠BNM)，得MN＝eq\f(BMsin∠MBN,sin∠BNM)，從而可求出MN，對(duì)于②∠AMN和∠BNM，先求得∠AMB＝π－α－β，所以∠BMN＝∠AMN－∠AMB，在△AMB中，利用正弦定理eq\f(BM,sin∠MAB)＝eq\f(AB,sin∠AMB)，求出BM，然后在△BMN中，利用正弦定理可得eq\f(MN,sin∠MBN)＝eq\f(BM,sin∠BNM)，得MN＝eq\f(BMsin∠MBN,sin∠BNM)，從而可求出MN，對(duì)于③∠NAB和∠BNA，在△ABN中，由正弦定理得eq\f(BN,sin∠NAB)＝eq\f(AB,sin∠BNA)，可求得BN＝eq\f(ABsin∠NAB,sin∠BNA)，再在△ABN中利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠ABN，從而可求得∠MBN＝∠ABN－β，再在△BMN中，利用余弦定理得MN2＝BN2＋BM2－2BM·BNcos∠MBN，從而可求出MN，所以三組數(shù)據(jù)均能求出MN，故選D.5．答案：A解析：設(shè)第一次探測(cè)點(diǎn)為A，其次次探測(cè)點(diǎn)為B，山頂為點(diǎn)C，山高為h，由題意可得，∠ACB＝15°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(BC,sin45°)，又AB＝800×10＝8000(m)，所以BC＝eq\f(sin45°·AB,sin15°)＝eq\f(sin45°·AB,sin（45°－30°）)＝eq\f(2AB,\r(3)－1)，又h＝20000－eq\f(\r(3)BC,2)＝20000－eq\f(\r(3)AB,\r(3)－1)＝20000－4000×(3＋eq\r(3))≈1072(m)，故選A.6．答案：ABC解析：在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，則∠B＝45°，AB＝12eq\r(6).由正弦定理得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24，所以A處與D處之間的距離為24nmile，故A正確；在△ADC中，由余弦定理得，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，又AC＝8eq\r(3)，解得CD＝8eq\r(3).所以燈塔C與D處之間的距離為8eq\r(3)nmile，故B正確，∵AC＝CD＝8eq\r(3)，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∴燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；∵燈塔B在D的南偏東60°，∴D在燈塔B的北偏西60°，故D錯(cuò)誤；故選ABC.7．答案：10海里/小時(shí)解析：設(shè)船的初始位置為A，航行半小時(shí)后到達(dá)位置B，兩燈塔的位置為C，D，如圖所示，由題意知：CD＝10，∠ABC＝60°，∠ABD＝75°，∠BAD＝90°，∵∠BCA＝90°－60°＝30°，∠DBC＝75°－60°＝15°，∴∠BDC＝∠BCA－∠DBC＝30°－15°＝15°，∴BC＝CD＝10；在Rt△ABC中，AB＝BCsin∠BCA＝10sin30°＝5，∴船的速度為eq\f(5,0.5)＝10(海里/小時(shí)).8．答案：20解析：在△BCD中，∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，則∠DBC＝180°－∠BCD－∠BDC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以CD·sin∠BDC＝BC·sin∠DBC，所以20eq\r(2)sin60°＝BC·sin45°，得BC＝20eq\r(3)，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)，所以AB＝BCtan∠ACB＝20eq\r(3)tan30°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝20，所以塔高AB＝20m．9．解析：(1)由題意，設(shè)AC＝x，則BC＝x－eq\f(2,17)×340＝x－40.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2BA×ACcos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.∴A、C兩地間的距離為420m.(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，所以CH＝ACtan∠CAH＝140eq\r(3)(m).10．解析：如圖，∠DAB＝75°，∠ADB＝45°，∠DAC＝30°，AB＝12eq\r(6)，AC＝8eq\r(3).(1)在△ABD中，∠ABD＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，∴AD＝eq\f(ABsin∠ABD,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)sin60°,sin45°)＝36(海里).(2)在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos∠DAC＝(8eq\r(3))2＋362－2×8eq\r(3)×36×eq\f(\r(3),2)＝16×39，∴CD＝4eq\r(39)(海里).核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：B解析：由題可知，∠AOB＝∠A′OB′，所以cos∠AOB＝cos∠A′OB′