湖南省長沙市2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題含解析

Page172024年高一數(shù)學下學期期中考試試卷時量：120分鐘分值：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得的取值范圍，依據(jù)不等式的基本性質(zhì)可求得原函數(shù)的值域.【詳解】因為，所以，因此，函數(shù)的值域是.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)值域，考查基本分析求解實力，屬基本題.2.已知全集，，，則集合A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因為A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故選D.考點：集合的運算.3.設復數(shù)，是z的共軛復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，再依據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則計算可得；【詳解】解：由，則，所以故選：D4.已知，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導公式化簡已知等式可得，進而依據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可求，再依據(jù)二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】解：因為，又，所以，則.故選：C5.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝60°，a，則等于（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦定理即可干脆求解．【詳解】A＝60°，a，由正弦定理可得，2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，則2．故選：D．【點睛】本題主要考查了正弦定理應用，屬于基礎試題．6.函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理即得.【詳解】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，且，故函數(shù)在上有唯一零點，也即在上有唯一零點.故選：B.7.在△中，為邊上的中線，為的中點，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關平面對量基本定理的有關問題，涉及到的學問點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，須要仔細對待每一步運算.8.在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)體積求得錐體高度，利用正弦定理求出底面所在的圓的半徑，結(jié)合勾股定理求得外接球的半徑，即可求出其表面積．【詳解】如圖所示，設點G為的外心，則平面，由，∴，則三棱錐的外接球的球心O在直線上．設其外接球的半徑為R，由正弦定理得，在中，，由勾股定理得，即，解得．正三棱錐外接球的表面積是，故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，若，則的值可能為（）A.1 B. C.10 D.【答案】AD【解析】【分析】首先求得，再探討的取值，解方程即可求解.【詳解】，因為，所以，當時，，解得：，當時，，解得：，故選：AD10.點P是所在平面內(nèi)一點,滿意,則的形態(tài)不行能是A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】AD【解析】【分析】由條件可得，再兩邊平方即可得答案.【詳解】∵P是所在平面內(nèi)一點，且，∴，即，∴，兩邊平方并化簡得，∴，∴，則肯定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不行能是鈍角三角形，等邊三角形，故選：AD.【點睛】本題考查向量在幾何中的應用，考查計算實力，是基礎題.11.在△中，角的對邊分別為，則下列的結(jié)論中正確的是（）A.若，則△肯定是等腰三角形B.若，則C.若△是銳角三角形，則D.已知△不是直角三角形，則【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合誘導公式以及正切函數(shù)的兩角和公式，逐個選項進行推斷求解即可【詳解】對于A，由，得，即，因為在中，令，，此時，仍有，所以，不肯定是等腰三角形，A錯誤；對于B，因為在上是減函數(shù)，，所以，所以，由正弦定理得，B正確；對于C，若是銳角三角形，則均為銳角，所以，，得和，且，得，同理，可證得，，，所以成立，C正確；對于D，已知△不是直角三角形，，則有，所以，得所以，D正確；故選：BCD.12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線BN與MB1是異面直線 B.直線AM與BN是平行直線C.直線MN與AC所成的角 D.平面BMN截正方體所得的截面面積為【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)異面直線的定義干脆推斷AB選項，依據(jù)，轉(zhuǎn)化求異面直線所成的角，利用確定平面的依據(jù)，作出平面截正方體所得的截面，并求面積.【詳解】直線BN與MB1是異面直線，故A正確；直線AM與BN是異面直線，故B錯誤；如下圖，由條件可知，所以異面直線與所成的角為，是等邊三角形，所以，故C錯誤；如下圖，連接、、，因為，，所以，又，則四邊形是梯形，且四邊形為平面截正方體所得的截面，，，所以四邊形是等腰梯形，則梯形的高是，所以梯形的面積，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復數(shù)，則復數(shù)的模是________.【答案】2【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法法則進行化簡計算，從而求出模長.【詳解】，所以的模長為.故答案為：214.已知，，且，則的最小值是________.【答案】9【解析】【分析】干脆利用乘1法結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：，當且僅當，即時取等號，故的最小值為9.故答案為：915.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，圓臺的側(cè)面積為，則該圓臺全面積為________.【答案】【解析】【分析】干脆利用圓臺的側(cè)面積公式計算.【詳解】設圓臺較小底面的半徑為，則另一底面的半徑為.由，解得.則該圓臺全面積為.故答案為：16.中國折疊扇有著深厚的文化底蘊.如圖（2），在半圓（半徑為20cm）中作出兩個扇形和，用扇環(huán)形（圖中陰影部分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形的面積為，扇形的面積為，當時，扇形的現(xiàn)狀較為美觀，則此時扇形的半徑為__________cm【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知條件和扇形的面積公式可求得答案.【詳解】設，半圓O的半徑為r，扇形OCD的半徑為，，所以，即，所以，所以，又，所以，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設復數(shù)，求實數(shù)為何值時？（1）是實數(shù)；（2）對應點位于復平面的其次象限.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）要使是實數(shù)，應滿意對數(shù)的真數(shù)大于零且虛部等于零；（2）對應的點位于復平面的其次象限應滿意實部小于零即“真數(shù)大于零且小于”，同時虛部大于零，列出不等式組即可求得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）（舍去）.（2）考點：復數(shù)的相關概念.18.設的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，設S為的面積，滿意.（1）求B；（2）若，設，求邊取得最大值時的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由已知及三角形面積公式和余弦定理得可得，再依據(jù)同角基本關系即可求出，再依據(jù)三角形的內(nèi)角關系，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知，再依據(jù)正弦定理和已知條件可知，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，所以，即，∴，又，所以.【小問2詳解】解：的內(nèi)角和，又，，由（1）得，即，由正弦定理，可知，又，，即，又，∴，所以當，即時，取得最大值.19.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的邊長均為，E，F(xiàn)分別是線段AC1和BB1的中點．（1）求證：EF平面ABC；（2）求三棱錐C﹣ABE體積．【答案】（1）證明見解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取AC中點G，證明四邊形EFBG是平行四邊形得出BGEF，故而EF平面ABC；（2）依據(jù)計算體積．【詳解】（1）證明：取AC的中點為G，連結(jié)GE，GB，在△ACC1中，EG為中位線，所以EGCC1，，又因為CC1BB1，CC1＝BB1，F(xiàn)為BB1中點，所以EGBF，EG＝BF，所以四邊形EFBG為平行四邊形，所以EFGB，又EF平面ABC，GB平面ABC，所以EF平面ABC．（2）因為E為AC1的中點，所以E究竟面ABC的距離是C1究竟面ABC的距離的一半，即三棱錐E﹣ABC的高h＝CC1＝，又△ABC的面積為，所以．20.已知函數(shù)，（，）為奇函數(shù)，且圖像相鄰的對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角A，B，C對應邊分別為a，b，c，且，，求的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡，再依據(jù)奇偶性與對稱性求解參數(shù)；（2）先求出，再依據(jù)正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】.由函數(shù)相鄰的對稱軸之間的距離為，得，∴，又∵為奇函數(shù)，∴，即，得，即，而，，故.【小問2詳解】由（1）可知，，得，即，∵，∴，∴，即，∵，，，∴，，∴，而，故；∵，故；∴，即的周長的取值范圍為.21.長沙市雅禮中學為“雅禮杯”足球賽制作了冠軍獎杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，，，若按此方案設計：（1）當時，在中，G為AB邊上隨意一點，求的最大值；（2）制作商發(fā)覺，當OP最長時，該獎杯比較美觀，求此時的大小.【答案】（1）最大值為100（2）【解析】【分析】（1）以為坐標原點，為軸，為軸建立如圖所示平面直角坐標系，表示出點的坐標，設，，依據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示及一次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）作交于，交于，且，設，即可表示出，，設，作交于，交于，從而得到，再由勾股定理得到，利用同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角公式化簡，最終依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【小問1詳解】解：依據(jù)題意，如圖建立直角坐標系，則，，，設，∵，，，所以，∴當，即與重合時取得最大值為.【小問2詳解】解：作交于，交于，且，設，則，，設，作交于，交于，因為，所以，，，所以，所以，即，，所以.因為，所以當，即時最大，也就是最長時.22.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若m，，時，有.（1）證明在上為增函數(shù)，并求出不等式的解集；（2）若對全部，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】