高中數(shù)學(xué)蘇教版必修四教學(xué)案第2章22向量的線性運(yùn)算

向量的線性運(yùn)算

第1課時(shí)向量的加法

預(yù)

習(xí)

導(dǎo)入門答辯——辨析問題解疑惑

引

區(qū)新知自解——自讀教材找關(guān)鍵

知識(shí)點(diǎn)1向量的加法

入n答料

在大型生產(chǎn)車間里，一重物被天車從4處搬運(yùn)到8處，如下圖.它的實(shí)

際位移AB,可以看作水平運(yùn)動(dòng)的分位移AC與豎直運(yùn)動(dòng)的分位移AD的

合位移.

問題1：依據(jù)物理中位移的合成與分解，你認(rèn)為AB,AD,Ad之間

有什么關(guān)系？

提示：AB=AC+AD.

問題2：A力與之間有什么關(guān)系？

提示：AD^CB.

問題3：向量A5,AC,Cfi之間有什么關(guān)系？

提示：AB^AC+CB.

新加a*

1.向量加法的定義

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.

2.向量加法的運(yùn)算法那么

(1)三角形法那么：

向量a和6,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作04=a,AB=b,那么向量05,戶_J

OaA

叫做a與b的和，記作a+b,即a+6=0A+=03.

(2)平行四邊形法那么：

兩個(gè)不共線的非零向量a,6,作。/i=a,OC^b,以。耳,0C

鄰邊作。物比；那么以。為起點(diǎn)的對角線上的向量。8=a+b,如

圖.這個(gè)法那么叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法那么.

知識(shí)點(diǎn)2向量加法的運(yùn)算律

人口本科

問題1：如圖，*=4月+前=8+"同理衣=4/+反=

b+a.由此你能得出什么結(jié)論？

AaB

提示：a+b=b+a.

問題2：如圖，AD=AB+BC+CD=a+Z>+c；AD=AB+

5/=a+(b+c)；AD^AC+CD^(a+b)+c.由此你又能得出什

么結(jié)論？

提示：a+b+c=a+(Z>+c)=(a+/>)+c.

向量加法的交換律和結(jié)合律

(1)交換律：a+b=b+a；

(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；

(3)a+O=O+a=a；

(4)a+(—a)=(—a)+a=0.

［歸納.升華.領(lǐng)悟1------------------------->

1.向量加法的三角形法那么是從位移求和引出的，使用三角形法那么特殊要留意“首尾相

接"，和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向其次個(gè)向量的終點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)向量平行(或共線)時(shí)，三角

形法那么同樣適用.

2.向量加法的平行四邊形法那么是從力的合成引出的，使用該法那么關(guān)鍵是將向量a,6的

起點(diǎn)移到同一點(diǎn)4并以a,6為鄰邊作平行四邊形如，那么向量即為a+&

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

動(dòng)II

高考為標(biāo)提煉技法

區(qū)把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟

考點(diǎn)1向量的加法運(yùn)算

［例1］化簡以下各式：

(1)PB+OP+BO；

(2)CAB+MB)+BO+OM；

(3)AB+BC+CD+DE.

［思路點(diǎn)撥］多個(gè)向量相加，可以利用向量加法的三角形法那么求解，也可直接運(yùn)算.

［精解詳析］(1)而+麗+麗=(而+麗)+麗=麗+麗=0；

(2)(AB+MB)+BO+OM^(AB+BO)+(OM+MB)^AO+OB^AB；

(3)AB+BC+CD+DE^AC+CD+DEAD+DE-AE.

［一點(diǎn)通］在進(jìn)行向量加法運(yùn)算時(shí)，利用運(yùn)算律轉(zhuǎn)化為“順次首尾相接的形式相加"，即

+=A力的形式，計(jì)算簡捷且不易出錯(cuò).

〃〃/題做條例

1.在平行四邊形485中，BC+CD+DA^.

解析：BC+CD+DA=(BC+CD)+DA=BD+DA=BA.

答案：BA

2.以下各式中結(jié)果為。的是.

①4*++Ci；②血+加+5。+0〃；

③O/i+OC+BO+CO；?AB+CA+BD+DC.

解析：①原式=AC+CA=0；

②原式=(AB+BO)+(OM+MA)=AO+OA=0,

③原式=(83+O/i)+(6。+。6)=ZU+0=54.

④原式=(AB+BZ))+(DC+C4)=AD+DA-0.

故①②④符合.

答案：①②④

3.化簡或計(jì)算：

MCD+BC+AB；

(2)AB+DF+CD+BC+FA.

解：(1)CD+BC+AB=(AB+BO+CD

AC+CD=AD.

(2)AB+DF+CD+BC+FA

=(AB+BC)+(CD+DF)+FA

=AC+CF+FA

=AF+FA=0.

向量加法法則的應(yīng)用

［例2］四邊形力的是平行四邊形，昆〃是對角線鎮(zhèn)上的兩點(diǎn)，且FD

=必(如下圖).4E

求證：四邊形4g是平行四邊形.

■”■■■■■■*

［思路點(diǎn)撥］要證明四邊形/物是平行四邊形，可證明45=。?；駻O=BC.

［精解詳析］:?四邊形川底是平行四邊形，

：.FC//AE,FC=AE,

又?.?尸d,A￡方向相同，尸6=49，

'：DF=EB,且在一條直線上，加與E4方向相同，

/.DF=EB,

VAB^AE+EB,DCDF+FC,

：.AB^DC,：.AB//DC,AB=DC,

四邊形繆是平行四功形.

［一點(diǎn)通］解決此類問題應(yīng)留意以下兩點(diǎn)：

(1)要留意向量加法的三角形法那么及平行四邊形法那么的應(yīng)用條件；

(2)要留意方向相同且長度相等的有向線段所表示的向量是相等向量.

〃〃，匾.班靠鐘，'〃〃

4.如圖，正六邊形故跡中，BA+CD+EF=./——弋

解析：由于氏4，故氏4+麗+后/=麗+。后+為戶c/\F=

CF\—/

BA

答案：CF

5.在正六邊形仔'中，AB=a,AF=b,求AC,AD,AE.

解：如下圖，連結(jié)尾交力。于點(diǎn)。,連結(jié)眼由平面幾何學(xué)問得四邊形四方1和四邊形ABCO

均為平行四邊形.

依據(jù)向量的平行四邊形法那么，有

A0=AB+AF=a+b,

故有AD=2AO=2a+26.

在平行四邊形/式》中,

AC=AB+AO=a+a+b=2a+6.

而萬心=Z)=b￡=a+6,

由三角形法那么得ZE=AF+FE=b+a+b=a+2b.

考點(diǎn)3向量加法在實(shí)際問題中的應(yīng)用

［例3］小雨滴在無風(fēng)時(shí)以4m/s的速度勻速下落.一陣風(fēng)吹來，使得小雨滴以3m/s的速

3

度向東移動(dòng).那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？（提示：tan370=/

［思路點(diǎn)撥］依據(jù)題意作出示意圖，然后利用向量解決.

［精解詳析］

法一：如圖，設(shè)0.表示小雨滴無風(fēng)時(shí)下落的速度，。后表示風(fēng)的速度,

0A,仍為鄰邊作平行四邊形的龍，那么加就是小雨滴實(shí)際飛行的速度.

在Rt△%C中，|市|=4m/s,|衣|=3m/s,

所以=y]I0A2+IAC三5m/s.

AC3

且tanZA0C=———=亍，即//。光37°.

\0A\4

所以小雨滴實(shí)際飛行速度為5m/s,方向約為東偏南53°.

法二：如圖，設(shè)。4表示小雨滴無風(fēng)時(shí)下落的速度，4方表示風(fēng)的速度,

以創(chuàng)，48為兩邊作三角形”IE,那么0萬就是小雨滴實(shí)際飛行的速度.

在Rt△如6中，

0A=4m/s,AB=3m/s,

所以103I=y]\0A\2+\AB|2=5m/s.

AB3

所以tanZA0B=即/4施A37°.

I0A「4,

所以小雨滴實(shí)際飛行的速度為5m/s,方向約為東偏南53°.

［一點(diǎn)通］利用向量解題，其關(guān)鍵是通過向量的運(yùn)算建立向量與未知量的關(guān)系，然后求解并

作出實(shí)際答復(fù)，解決時(shí)要留意作圖的精確?????性.

〃〃，墨瓶,親鈍“〃/

6.一條寬為mkm的河，水流速度為2km/h,船在靜水中的航速為4km/h,該船要從河的

一邊駛向?qū)Π?，為使行程最短，?yīng)怎樣支配行駛方向？用時(shí)多少？

解：如圖，設(shè)4。為水流速度，4萬為最大航速，以〃'和和為鄰邊D、~笊

A

作平行四邊形4曲.依據(jù)題意/匹例，在RtA4"和平行四邊形I的中，DB\=\AC=2,

|AD|=4,NABg90°,

所以IABI='皿2一|西2=2升,

.yI-41

sinNBAD=.—,

AD「2o'

所以/%%=30°.

設(shè)所用時(shí)間為t（h）,那么t=^i=1（h）.

2弋32

答：船沿著與水流方向成120。的方向行駛可使行程最短，用時(shí)0.5小時(shí).

7.在“3?11”大地震后，一架救援直升飛機(jī)從4地沿北偏東600方向飛行了40km到6地,

再由3地沿正北方向飛行40km到達(dá)。地，求此時(shí)直升飛機(jī)與4地的相對位置.

解：如下圖，設(shè)48、8心分別是直升飛機(jī)兩次位移，那么ad表示［北c

兩次位移的合位移.即=+/

在Rt中，

）DB1=20km,|AD=20^/5km,"。東

在RtZX/切中，

IAC\='、而『+加）=40mkm,NCAD=6Q°,

即此時(shí)直升飛機(jī)位于/地北偏東30°,

且距離力地40餡km處.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

向量加法法那么的應(yīng)用

對于向量求和的三角形法那么與平行四邊形法那么，要留意它們的應(yīng)用條件.當(dāng)兩個(gè)向量不

共線時(shí)，它們是全都的.但當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法那么仍舊適用，而平行四邊形法那么就

不適用了.向量加法遵循三角形法那么和平行四邊形法那么，因此，向量加法的三角形法那么和

平行四邊形法那么實(shí)際上就是向量加法的幾何意義.

用三角形法那么求兩個(gè)向量和的步驟是：

第一步：將其中一個(gè)向量平移，使兩個(gè)向量中的一個(gè)向量的起點(diǎn)與另一個(gè)向量的終點(diǎn)重合；

其次步：將剩下的起點(diǎn)與終點(diǎn)相連，并指向終點(diǎn)，那么該向量即為兩向量的和.

訓(xùn)

練

隨堂練

提課下練

能

速

，提

時(shí)檢測

課下限

練，讓

對點(diǎn)

分鐘

課堂8

，步

一檢測

，每課

提能

化所

鐵消

熱打

區(qū)學(xué)生趁

步嬴

營步

步為

度

練準(zhǔn)

度又

練速

學(xué)，既

ng

ubentinc

初，g

能

本提

固

練習(xí)

分層

四)

升(十

量提

課下力

題

填空

一、

C=

D+B

+C

AB

0A+

簡：

1.化

D=

+C

OC

D=

+C

BC

B+

=0

BC

D+

+C

0B

C=

+B

CD

B+

+A

：0A

解析

OD.

。

：0

答案

是.

范圍

取值

a+6的

那么|

=5,

,|引

a|=8

假設(shè)|

2.

；

值13

最大

+引取

，|a

同向時(shí)

a與6

：當(dāng)

解析

值3.

最小

+引取

，a

向時(shí)

與6反

當(dāng)a

,13]

：[3

答案

序

確的

，正

論中

下結(jié)

在以

，那么

向量