2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【課件】

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸

納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明.2024.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建微專題10幾何法求空間角與距離考點分類突破4課時跟蹤檢測PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

1.已知直線

l

1⊥平面α，直線

l

2?平面α，則

l

1與

l

2的位置關(guān)系一定成

立的是（

）A.相交B.

垂直C.異面D.

平行解析：

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，則

l

1⊥

l

2，故選B.2.如圖，正方形

SG

1

G

2

G

3中，

E

，

F

分別是

G

1

G

2，

G

2

G

3的中點，

D

是

EF

的中點，現(xiàn)在沿

SE

，

SF

及

EF

把這個正方形折成一個四面

體，使

G

1，

G

2，

G

3三點重合，重合后的點記為

G

，則在四面體

S

-

EFG

中必有（

）A.

SG

⊥△

EFG

所在平面B.

SD

⊥△

EFG

所在平面C.

GF

⊥△

SEF

所在平面D.

GD

⊥△

SEF

所在平面解析：

四面體

S

-

EFG

如圖所示，由

SG

⊥

GE

，

SG

⊥

GF

，且

GE

∩

GF

＝

G

得

SG

⊥△

EFG

所在的平面.故選A.3.已知

AB

是圓柱上底面的一條直徑，

C

是上底面圓周上異于

A

，

B

的

一點，

D

為下底面圓周上一點，且

AD

⊥圓柱的底面，則必有（

）A.平面

ABC

⊥平面

BCD

B.平面

BCD

⊥平面

ACD

C.平面

ABD

⊥平面

ACD

D.平面

BCD

⊥平面

ABD

解析：

因為

AB

是圓柱上底面的一條直徑，所以

AC

⊥

BC

，又

AD

垂直于圓柱的底面，所以

AD

⊥

BC

，因為

AC

∩

AD

＝

A

，所以

BC

⊥平面

ACD

.

由于

BC

?平面

BCD

.

所以平面

BCD

⊥平面

ACD

.

A.3πB.2πC.π

5.正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的大小為

?.

1.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這

個平面.2.垂直于同一條直線的兩個平面平行.3.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也

垂直.4.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個

平面.5.三垂線定理：若

PO

⊥α，

PC

在平面α內(nèi)的射影為

CO

，

l

?α，

l

⊥

CO

，則

l

⊥

PC

.

6.三垂線定理的逆定理：若

PO

⊥α，

PC

在平面α內(nèi)的射影為

CO

，

l

?α，

l

⊥

PC

，則

l

⊥

CO

.

1.已知

m

和

n

是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給

出的條件中一定能推出

m

⊥β的是（

）A.α⊥β且

m

?αB.

m

⊥

n

且

n

∥βC.

m

∥

n

且

n

⊥βD.

m

⊥

n

且α∥β解析：

由結(jié)論1可知C正確.2.（多選）下列命題為真命題的是（

）A.若兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合B.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也

垂直C.垂直于同一條直線的兩個平面相互平行D.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個

平面解析：

對于A，兩個相交平面有一條交線，交線有無數(shù)個公

共點，但是這兩個平面不重合，故A錯誤；對于B，由結(jié)論3可知正

確；對于C，由結(jié)論2可知正確；對于D，由結(jié)論4可知正確，故選

B、C、D.3.（多選）（2024·新高考Ⅱ卷10題）如圖，在正方體中，

O

為底面的

中心，

P

為所在棱的中點，

M

，

N

為正方體的頂點.則滿足

MN

⊥

OP

的是（

）解析：

由結(jié)論5易知B、C正確.PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，

AB

⊥

AD

，

AC

⊥

CD

，∠

ABC

＝60°，

PA

＝

AB

＝

BC

，

E

是

PC

的

中點.證明：（1）

CD

⊥

AE

；證明：在四棱錐

P

-

ABCD

中，∵

PA

⊥底面

ABCD

，

CD

?平面

ABCD

，∴

PA

⊥

CD

，又∵

AC

⊥

CD

，且

PA

∩

AC

＝

A

，∴

CD

⊥平面

PAC

.

又

AE

?平面

PAC

，∴

CD

⊥

AE

.

（2）

PD

⊥平面

ABE

.

證明：由

PA

＝

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝60°，可得

AC

＝

PA

.

∵

E

是

PC

的中點，∴

AE

⊥

PC

.

由（1）知

AE

⊥

CD

，且

PC

∩

CD

＝

C

，∴

AE

⊥平面

PCD

.

又

PD

?平面

PCD

，∴

AE

⊥

PD

.

∵

PA

⊥底面

ABCD

，

AB

?平面

ABCD

，∴

PA

⊥

AB

.

又∵

AB

⊥

AD

，且

PA

∩

AD

＝

A

，∴

AB

⊥平面

PAD

，又

PD

?平面

PAD

，∴

AB

⊥

PD

.

又∵

AB

∩

AE

＝

A

，∴

PD

⊥平面

ABE

.

解題技法1.證明直線和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直線垂直于平面的傳遞性（

a

∥

b

，

a

⊥α?

b

⊥α）；（3）面面平行的性質(zhì)（

a

⊥α，α∥β?

a

⊥β）；

（4）面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β＝

a

，

l

⊥

a

，

l

?β?

l

⊥α）.2.證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線

面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂

直的基本思路.

在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，點

E

，

F

分別在

A

1

D

，

AC

上，

EF

⊥

A

1

D

，

EF

⊥

AC

，求證：

EF

∥

BD

1.證明：如圖所示，連接

A

1

C

1，

C

1

D

，

B

1

D

1，

BD

.

∵

AC

∥

A

1

C

1，

EF

⊥

AC

，∴

EF

⊥

A

1

C

1.又

EF

⊥

A

1

D

，

A

1

D

∩

A

1

C

1＝

A

1，∴

EF

⊥平面

A

1

C

1

D

，

①∵

BB

1⊥平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

A

1

C

1?平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

∴

BB

1⊥

A

1

C

1.∵四邊形

A

1

B

1

C

1

D

1為正方形，∴

A

1

C

1⊥

B

1

D

1，又

B

1

D

1∩

BB

1＝

B

1，∴

A

1

C

1⊥平面

BB

1

D

1

D

，而

BD

1?平面

BB

1

D

1

D

，∴

A

1

C

1⊥

BD

1.同理

DC

1⊥

BD

1.又

DC

1∩

A

1

C

1＝

C

1，∴

BD

1⊥平面

A

1

C

1

D

，

②由①②可知

EF

∥

BD

1.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】

（2024·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥平面

ABC

，∠

ACB

＝90°.（1）證明：平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

；解：證明：因為

A

1

C

⊥平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，所以

A

1

C

⊥

BC

.

因為∠

ACB

＝90°，所以

AC

⊥

BC

.

因為

AC

∩

A

1

C

＝

C

，

AC

，

A

1

C

?平面

ACC

1

A

1，所以

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.因為

BC

?平面

BB

1

C

1

C

，所以平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

.

（2）設(shè)

AB

＝

A

1

B

，

AA

1＝2，求四棱錐

A

1-

BB

1

C

1

C

的高.解：如圖，取棱

AA

1的中點

D

，連接

BD

，

CD

.

因為

AB

＝

A

1

B

，所以

AA

1⊥

BD

.

因為

BC

⊥平面

ACC

1

A

1，

AA

1?平面

ACC

1

A

1，所以

BC

⊥

AA

1.因為

BC

∩

BD

＝

B

，

BC

，

BD

?平面

BCD

，所以

AA

1⊥平面

BCD

.

因為

CD

?平面

BCD

，所以

AA

1⊥

CD

.

因為

AA

1∥

CC

1，所以

CD

⊥

CC

1.又因為

CD

⊥

BC

，

BC

∩

CC

1＝

C

，

BC

，

CC

1?平

面

BB

1

C

1

C

，所以

CD

⊥平面

BB

1

C

1

C

.

因為

AA

1＝2，所以

CD

＝1.易知

AA

1∥平面

BB

1

C

1

C

，所以四棱錐

A

1-

BB

1

C

1

C

的高為

CD

＝1.解題技法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理（

a

⊥β，

a

?α?α⊥β）.2.已知平面垂直時，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作

交線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

（2024·全國乙卷18題）如圖，四面體

ABCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

為

AC

的中點.（1）證明：平面

BED

⊥平面

ACD

；解：證明：因為

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

DB

＝

DB

，所以△

ADB

≌△

CDB

，所以

BA

＝

BC

，又

E

為

AC

的中點，所以

AC

⊥

BE

，

AC

⊥DE

，因為

BE

∩

DE

＝

E

，且

BE

，

DE

?平面BED

，所以

AC

⊥平面

BED

，又

AC

?平面

ACD

，所以平面

BED

⊥平面

ACD

.

（2）設(shè)

AB

＝

BD

＝2，∠

ACB

＝60°，點

F

在

BD

上，當(dāng)△

AFC

的面積

最小時，求三棱錐

F

-

ABC

的體積.

法一因為

DE

⊥

AC

，

DE

⊥

BE

，

AC

∩

BE

＝

E

，所以

DE

⊥平面

ABC

，

法二由（1）知

BD

⊥

AC

，又

BD

⊥

EF

，所以

BD

⊥平面

ACF

，所以

BF

即為

B

到平面

ACF

的距離，

平行與垂直的綜合問題考向1

平行與垂直關(guān)系的證明【例3】在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

⊥

AC

，

B

1

C

⊥平面

ABC

，

E

，

F

分別是

AC

，

B

1

C

的中點.（1）求證：

EF

∥平面

AB

1

C

1；證明：因為

E

，

F

分別是

AC

，

B

1

C

的中點，所以

EF

∥

AB

1.又

EF

?平面

AB

1

C

1，

AB

1?平面

AB

1

C

1，所以

EF

∥平面

AB

1

C

1.（2）求證：平面

AB

1

C

⊥平面

ABB

1.證明：因為

B

1

C

⊥平面

ABC

，

AB

?平面

ABC

，所以

B

1

C

⊥

AB

.

又

AB

⊥

AC

，

B

1

C

?平面

AB

1

C

，

AC

?平面

AB

1C

，

B

1

C

∩

AC

＝

C

，所以

AB

⊥平面

AB

1

C

，又因為

AB

?平面

ABB

1，所以平面

AB

1

C

⊥平面

ABB

1.解題技法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂

直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的綜合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的

綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作

交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.考向2

平行、垂直關(guān)系與幾何體的度量【例4】如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，底面

ABCD

為平行四邊形，△

PCD

為等邊三角形，平面

PAC

⊥平面

PCD

，

PA

⊥

CD

，

CD

＝2，

AD

＝3.（1）設(shè)

G

，

H

分別為

PB

，

AC

的中點，求證：

GH

∥平面

PAD

；解：證明：連接

BD

，易知

AC

∩

BD

＝

H

，

BH

＝

DH

.

又由

BG

＝

PG

，故

GH

為△

PBD

的中位線，所以

GH

∥

PD

.

又因為

GH

?平面

PAD

，

PD

?平面

PAD

，所

以

GH

∥平面

PAD

.

（2）求證：

PA

⊥平面

PCD

；解：證明：取棱

PC

的中點

N

，連接

DN

.

依題意，得

DN

⊥

PC

.

因為平面

PAC

⊥平面

PCD

，平面

PAC

∩平面

PCD

＝

PC

，

DN

?平面

PCD

，所以

DN

⊥平面

PAC

.

又

PA

?平面

PAC

，所以

DN

⊥

PA

.

又已知

PA

⊥

CD

，

CD

∩

DN

＝

D

，所以

PA

⊥平面

PCD

.

（3）求直線

AD

與平面

PAC

所成角的正弦值.

解題技法1.平行、垂直關(guān)系應(yīng)用廣泛，不僅可以判斷空間線面、面面位置關(guān)

系，而且常用于求空間角和空間距離、體積.2.綜合法求直線與平面所成的角，主要是找出斜線在平面內(nèi)的射影，

其關(guān)鍵是作垂線，找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.

（2024·全國甲卷19題）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個

封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面

ABCD

是邊長為8（單位：cm）

的正方形，△

EAB

，△

FBC

，△

GCD

，△

HDA

均為正三角形，且它們

所在的平面都與平面

ABCD

垂直.（1）證明：

EF

∥平面

ABCD

；解：證明：如圖，分別取

AB

，

BC

的

中點

M

，

N

，連接

EM

，

FN

，

MN

，∵△

EAB

與△

FBC

均為正三角形，且邊長均為8，∴

EM

⊥

AB

，

FN

⊥

BC

，且

EM

＝

FN

.

又平面

EAB

與平面

FBC

均垂直于平面

ABCD

，平面

EAB

∩平面

ABCD

＝

AB

，平面

FBC

∩平面

ABCD

＝

BC

，

EM

?平面

EAB

，

FN

?平面

FBC

，∴

EM

⊥平面

ABCD

，

FN

⊥平面

ABCD

，∴

EM

∥

FN

，∴四邊形

EMNF

為平行四邊形，∴

EF

∥

MN

.

又

MN

?平面

ABCD

，

EF

?平面

ABCD

，∴

EF

∥平面

ABCD

.

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

PART3微專題10幾何法求空間角與距離幾何法求空間角與距離主要是轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形，即把空間角轉(zhuǎn)化

為平面角，空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解三角形的邊、

角問題.一、幾何法求空間角【例1】

（1）在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

⊥

BC

，

AB

＝

BC

＝

AA

1，

D

，

E

分別為

AC

，

BC

的中點，則異面直線

C

1

D

與

B

1

E

所成角

的余弦值為（

）（2）如圖，已知正四棱錐

P

-

ABCD

底面邊長為2，側(cè)棱長為4，

M

為側(cè)棱

PC

的中點，則直線

BM

與底面

ABCD

所成角的正弦值為（

）

60°

點評

幾何法求空間角主要分為3個步驟：①作（找）角；②證

明這個角就是要求的角；③計算.其中作（找）角是關(guān)鍵，對于

異面直線所成的角，一般是通過平移一條直線直至與另一條直

線相交，從而得到所求角的平面角；對于線面所成的角，一般

是在直線上找一點，作平面的垂線，連接斜足與垂足得到直線

在平面上的射影，直線與它在該平面上的射影所成的角就是所

求角的平面角；對于平面與平面所成的角（二面角），一般可

通過定義法、垂面法、垂線法等得到所求角的平面角.

1.在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點

D

是

BC

1與

B

1

C

的交點，則

AD

與平面

BB

1

C

1

C

所成角的正弦值是（

）

2.在正四棱錐

P

-

ABCD

中，

M

為棱

AB

上的點，且

PA

＝

AB

＝2

AM

，

設(shè)平面

PAD

與平面

PMC

的交線為

l

，則異面直線

l

與

BC

所成角的正

切值為

?.

二、幾何法求距離【例2】

（1）如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，

PB

⊥平面

ABCD

，

PB

＝

AB

＝2

BC

＝4，

AB

⊥

BC

，則點

C

到直線

PA

的距離為（

）D.4

（2）如圖所示，在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AD

＝

AA

1＝2，

AB

＝4，點

E

是棱

AB

的中點，則點

E

到平面

ACD

1的距離為（

）A.1

點評

（1）求點線距一般要作出這個距離，然后利用直角三角

形求解，或利用等面積法求解；（2）求點面距時，若能夠確定過點與平面垂直的直線，即作出這個距離，可根據(jù)條件求解，若不易作出點面距，可借助于等體積

法求解.

1.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐

P

-

ABCD

中，側(cè)棱

PA

⊥底面

ABCD

，∠

ABC

＝90°，

PA

＝

AB

＝

BC

＝2，

AD

∥

BC

，則

AD

到平

面

PBC

的距離為

?.

2.如圖，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝4，

AC

＝

BC

＝3，

D

為

AB

的中點.（1）求點

C

到平面

A

1

ABB

1的距離；

（2）若

AB

1⊥

A

1

C

，求二面角

A

1-

CD

-

C

1的余弦值.解：如圖，取線段

A

1

B

1的中點

D

1，連接

DD

1，則

DD

1∥

AA

1∥

CC

1.又由（1）知

CD

⊥平面

A

1

ABB

1，故

CD

⊥

A

1

D

，

CD

⊥

DD

1，所以∠

A

1

DD

1為所求的二面角

A

1-

CD

-

C

1的平面角.

PART4課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.已知平面α，直線

m

，

n

，若

n

?α，則“

m

⊥

n

”是“

m

⊥α”的

（

）A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516171819202122232425262728解析：

由

n

?α，

m

⊥

n

，不一定得到

m

⊥α；反之，由

n

?α，

m

⊥α，可得

m

⊥

n

.∴若

n

?α，則“

m

⊥

n

”是“

m

⊥α”的必要不充

分條件.2.如圖，在斜三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，∠

BAC

＝90°，

BC

1⊥

AC

，則

C

1在底面

ABC

上的射影

H

必在（

）A.直線

AB

上B.

直線

BC

上C.直線

AC

上D.△

ABC

內(nèi)部解析：

連接

AC

1（圖略），由

AC

⊥

AB

，

AC

⊥

BC

1，

AB

∩

BC

1＝

B

，得

AC

⊥平面

ABC

1.∵

AC

?平面

ABC

，∴平面

ABC

1⊥平面

ABC

，∴

C

1在平面

ABC

上的射影

H

必在兩平面的交線

AB

上.3.（2024·九省聯(lián)考）設(shè)α，β是兩個平面，

m

，

l

是兩條直線，則下列

命題為真命題的是（

）A.若α⊥β，

m

∥α，

l

∥β，則

m

⊥

l

B.若

m

?α，

l

?β，

m

∥

l

，則α∥βC.若α∩β＝

m

，

l

∥α，

l

∥β，則

m

∥

l

D.若

m

⊥α，

l

⊥β，

m

∥

l

，則α⊥β解析：

如圖，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

對于A：設(shè)平面α為平面

ABCD

，平面β為平面

ADD

1

A

1，

m

＝

B

1

C

1，

l

＝

BC

，

m

∥α，

l

∥β，α⊥β，

但

m

∥

l

，故A錯；對于B：

m

＝

BC

，平面α為平面

ABCD

，

l

＝

AD

，平面β為平面

ADD

1

A

1，此時

m

?α，

l

?β，

m

∥

l

，但α與β不平行，B錯；對于D：平面α為平面

ABCD

，平面β為平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

m

＝

AA

1，

l

＝

BB

1，此時

m

⊥α，

l

⊥β，

m

∥l

，但α與β平行不垂直，D錯.4.如圖，設(shè)平面α∩平面β＝

PQ

，

EG

⊥平面α，

FH

⊥平面α，垂足分

別為

G

，

H

.

為使

PQ

⊥

GH

，則需增加的一個條件是（

）A.

EF

⊥平面αB.

EF

⊥平面βC.

PQ

⊥

GE

D.

PQ

⊥

FH

解析：

因為

EG

⊥平面α，

PQ

?平面α，所以

EG

⊥

PQ

.

若

EF

⊥

平面β，則由

PQ

?平面β，得

EF

⊥

PQ

.

又

EG

與

EF

為相交直線，所

以

PQ

⊥平面

EFHG

，所以

PQ

⊥

GH

.

5.（多選）如圖，在三棱錐

V

-

ABC

中，

VO

⊥平面

ABC

，

O

∈

CD

，

VA

＝

VB

，

AD

＝

BD

，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A.

AC

＝

BC

B.

AB

⊥

VC

C.

VC

⊥

VD

D.

S

△

VCD

·

AB

＝

S

△

ABC

·

VO

6.（多選）如圖，在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝

AB

＝4，

BC

＝2，

M

，

N

分別為棱

C

1

D

1，

CC

1的中點，則（

）A.

A

，

M

，

N

，

B

四點共面B.平面

ADM

⊥平面

CDD

1

C

1C.直線

BN

與

B

1

M

所成的角為60°D.

BN

∥平面

ADM

解析：

如圖所示，對于A中，直線

AM

，

BN

是

異面直線，故

A

，

M

，

N

，

B

四點不共面，故A錯誤；對于B中，在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，可得

AD

⊥平面

CDD

1

C

1，所以平面

ADM

⊥平面

CDD

1

C

1，

故B正確；對于C中，取

CD

的中點

O

，連接

BO

，

ON

，則

B

1

M

∥

BO

，所以直線

BN

與

B

1

M

所成的角為∠

NBO

（或

其補(bǔ)角）.易知△

BON

為等邊三角形，所以∠

NBO

＝60°，故C正確；對于D中，因為

BN

∥平面

AA

1

D

1

D

，顯然

BN

與平面

ADM

不平行，故D錯誤.

8.如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，底面

ABCD

為矩形，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，

PA

⊥

PD

，

PA

＝

PD

，

E

，

F

分別為

AD

，

PB

的中點.（1）求證：

PE

⊥

BC

；證明：因為

PA

＝

PD

，

E

為

AD

的中點，所以

PE

⊥

AD

.

因為底面

ABCD

為矩形，所以

BC

∥

AD

，所以

PE

⊥

BC

.

（2）求證：平面

PAB

⊥平面

PCD

；證明：因為底面

ABCD

為矩形，所以

AB⊥

AD

.

又因為平面

PAD

⊥平面

ABCD

，平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，

AB

?平面

ABCD

，所以

AB

⊥平面

PAD

，因為

PD

?平面

PAD

，所以

AB

⊥

PD

.

又因為

PA

⊥

PD

，

AB

∩

PA

＝

A

，所以

PD

⊥平面

PAB

.

因為

PD

?平面

PCD

，所以平面

PAB

⊥平面

PCD

.

（3）求證：

EF

∥平面

PCD

.

9.在空間四邊形

ABCD

中，平面

ABD

⊥平面

BCD

，且

DA

⊥平面

ABC

，則△

ABC

的形狀是（

）A.銳角三角形B.

直角三角形C.鈍角三角形D.

不能確定解析：

作

AE

⊥

BD

，交

BD

于

E

，∵平面

ABD

⊥平面

BCD

，∴

AE

⊥平面

BCD

，

BC

?平面

BCD

，∴

AE

⊥

BC

，而

DA

⊥平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，∴

DA

⊥

BC

，又∵

AE

∩

AD

＝

A

，∴

BC

⊥平面

ABD

，而

AB

?平面

ABD

，∴

BC

⊥

AB

，即△

ABC

為直角三角形.10.（2024·全國乙卷7題）在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別

為

AB

，

BC

的中點，則（

）A.平面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1B.平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

C.平面

B

1

EF

∥平面

A

1

AC

D.平面

B

1

EF

∥平面

A

1

C

1

D

解析：

如圖，對于選項A，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，因為

E

，

F

分別為

AB

，

BC

的中

點，所以

EF

∥

AC

，又

AC

⊥

BD

，所以

EF

⊥

BD

，又易知

DD

1⊥

EF

，

BD

∩

DD

1＝

D

，從而

EF

⊥平面

BDD

1，又

EF

?平面

B

1

EF

，所以平

面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1，故選項A正確；對于選

項B，因為平面

A

1

BD

∩平面

BDD

1＝

BD

，所以由選項A知，平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

不成立，故選項B錯誤；對于選項C，由題意知直線

AA

1與直線

B

1

E

必相交，故平面

B

1

EF

與平面

A

1

AC

不平行，故選項C錯誤；對于選項D，連接

AB

1，

B

1

C

，易知平面

AB

1

C

∥平面

A

1

C

1

D

，又平面

AB

1

C

與平面

B

1

EF

有公共點

B

1，所以平面

A

1

C

1

D

與平面

B

1

EF

不平行，故選項D錯誤.故選A.11.（多選）如圖，四棱錐

P

-

ABCD

的底面為矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

AD

＝1，

PD

＝

AB

＝2，點

E

是

PB

的中點，過

A

，

D

，

E

三點的平面α與平面

PBC

的交線為

l

，則（

）A.

l

∥平面

PAD

B.

AE

∥平面

PCD

12.（2024·威海模擬）如圖，在四棱錐

S

-

ABCD

中，底面四邊形

ABCD

為矩形，

SA

⊥平面

ABCD

，

P

，

Q

分別是線段

BS

，

AD

的中

點，點

R

在線段

SD

上.若

AS

＝4，

AD

＝2，

AR

⊥

PQ

，則

AR

＝

?

?.?

13.如圖，矩形

ABCD

中，

AB

＝1，

BC

＝

a

，

PA

⊥平面

ABCD

，若在

BC

上只有一個點

Q

滿足

PQ

⊥

DQ

，則

a

＝

?.2解析：如圖，連接

AQ

，取

AD

的中點

O

，連接

OQ

.

∵

PA

⊥平面

ABCD

，∴

PA

⊥

DQ

，又

PQ

⊥

DQ

，∴

DQ

⊥平面

PAQ

，∴

DQ

⊥

AQ

.

∴點

Q

在以線段

AD

的中點

O

為圓心，

AD

為

直徑的圓上，又∵在

BC

上有且僅有一個點

Q

滿足

PQ

⊥

DQ

，

∴

BC

與圓

O

相切（否則相交就有兩點滿足垂直，矛盾），∴

OQ

⊥

BC

，∵

AD

∥

BC

，∴

OQ

＝

AB

＝1，∴

BC

＝

AD

＝2，即

a

＝2.14.在四棱錐

P

-

ABCD

中，平面

ABCD

⊥平面

PCD

，底面

ABCD

為梯

形，

AB

∥