2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.6-空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系【課件】

必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系第八章立體幾何初步、空間向量與立體幾何核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說明】考向考法高考題常以平行、垂直關(guān)系為載體,考查空間向量的運(yùn)算、直線的方向向量、平面的法向量的應(yīng)用.線面、面面關(guān)系是高考熱點(diǎn),主要在解答題中體現(xiàn).預(yù)測2025年高考本節(jié)內(nèi)容仍會與立體幾何知識結(jié)合考查,試題難度中檔.必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)知識梳理·歸納1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l____________,則稱此向量a為直線l的方向向量.注:①一條直線l有______多個方向向量(非零向量),這些方向向量之間互相平行.②直線l的方向向量也是所有與l______的直線的方向向量.(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.平行或重合無窮平行微點(diǎn)撥

(1)直線的方向向量不唯一,一般取直線上兩點(diǎn)構(gòu)成其一個方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用賦值法求出平面的一個法向量.2.

空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λmα⊥βn⊥m?n·m=0微點(diǎn)撥

利用法向量證明線面平行時,直線的方向向量與平面的法向量垂直是線面平行的必要條件,應(yīng)注明直線在平面外.基礎(chǔ)診斷·自測1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行.(

)(2)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.(

)(3)若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行.(

)(4)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.(

)類型辨析改編易錯題號12,34√√××提示:易知(1)(2)正確;(3)中向量a和b所在的直線可能重合;(4)中a所在的直線可能在平面內(nèi).

3.(選擇性必修一P32例4·變形式)若直線l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),則有(

)A.l∥α B.l⊥αC.l與α斜交

D.l?α或l∥α【解析】選B.由a=-n知,n∥a,則有l(wèi)⊥α.

核心考點(diǎn)·分類突破

角度2面面平行[例2]如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn),證明平面EFG∥平面PBC.【證明】由題意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為正方形,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

解題技法

利用空間向量證明線面、面面平行的方法(1)證明線面平行的常用方法:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量共面;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個向量平行;③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明面面平行常用的方法:①利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個不共線向量都平行于另一個平面;②證明兩個平面的法向量平行;③證明一個平面的法向量也是另一個平面的法向量.提醒:運(yùn)用向量知識判定空間位置關(guān)系時,仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時,仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.對點(diǎn)訓(xùn)練

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(2)平面ADE∥平面B1C1F.

考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題角度1

線線、線面垂直[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)AE⊥CD;

[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).(2)PD⊥平面ABE.

角度2面面垂直[例4]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明:AP⊥BC;

[例4]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.

解題技法

利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎緦c(diǎn)訓(xùn)練

如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:(1)PA⊥BD;

如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:(2)平面PAD⊥平面PAB.

考點(diǎn)三與平行、垂直有關(guān)的綜合問題[例5]如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.(1)若M是A1D的中點(diǎn),求直線CM與平面A1BE所成角的大小;

[例5]如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.(2)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂