高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第三節(jié) 圓的方程突破熱點(diǎn)題型 文

第三節(jié)圓的方程考點(diǎn)一求圓的方程[例1](1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為_(kāi)_______________．(2)(·江西高考)若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________________．[自主解答](1)法一：由題知kAB＝2，A，B的中點(diǎn)為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)．∵圓過(guò)A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)，∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴C(2,1)，r＝|CA|＝eq\r(5－22＋2－12)＝eq\r(10).∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－3＝0，,5－a2＋2－b2＝r2，,3－a2＋－2－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(10)，))故圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.法三：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋4＋5D＋2E＋F＝0，,9＋4＋3D－2E＋F＝0，,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\f(E,2)－3＝0，))解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5.∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.(2)由已知可設(shè)圓心為(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－eq\f(3,2)，r2＝eq\f(25,4).故圓C的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).[答案](1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)(2)(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)【互動(dòng)探究】本例(2)中“與直線y＝1相切”改為“圓心在y＝1上”，結(jié)果如何？解：∵圓過(guò)點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)(4,0)．∴圓心在直線x＝2上，又∵圓心在y＝1上，∴圓心的坐標(biāo)為(2,1)，半徑r＝eq\r(2－02＋1－02)＝eq\r(5).因此，圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.【方法規(guī)律】求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值．求下列圓的方程：(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(2)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3.與y＝－4x聯(lián)立可得圓心為(1，－4)，所以半徑r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2).故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0，))解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95，所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－eq\f(1,3)，則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0.同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(1－12＋2－122)＝10，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題[例2](·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.[自主解答]由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為eq\r(3)的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R＝2.所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x－2)2＋y2＝4.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝2eq\r(3).若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則eq\f(|QP|,|QM|)＝eq\f(R,r1)，可求得Q(－4,0)，所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)．由l與圓M相切得eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),4).當(dāng)k＝eq\f(\r(2),4)時(shí)，將y＝eq\f(\r(2),4)x＋eq\r(2)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1＝eq\f(－4＋6\r(2),7)，x2＝eq\f(－4－6\r(2),7).所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\f(18,7).當(dāng)k＝－eq\f(\r(2),4)時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|＝eq\f(18,7).綜上，|AB|＝2eq\r(3)或|AB|＝eq\f(18,7). 【方法規(guī)律】求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．解：(1)法一：設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，即x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)(x≠3且x≠1)，y＝eq\f(y0＋0,2)，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上運(yùn)動(dòng)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題、中檔題．2．高考中主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題；(2)與圓上的點(diǎn)(x，y)有關(guān)的代數(shù)式的最值問(wèn)題．例如，形如u＝eq\f(y－b,x－a)型；形如t＝ax＋by型；形如(x－a)2＋(y－b)2型．[例3](1)(·重慶高考)設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6B．4C．3(2)(·山東高考)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______．[自主解答](1)當(dāng)PQ所在直線過(guò)圓心且垂直于直線x＝－3時(shí)，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，－1)到直線x＝－3的距離減去半徑2，即最小值為4.(2)設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝eq\r(2)，由題意知最短的弦過(guò)P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長(zhǎng)為2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).[答案](1)B(2)2eq\r(2)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法．一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問(wèn)題；②形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題．已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解：(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2).所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(n－3,m＋2)表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，則eq\f(n－3,m＋2)＝k.由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2).可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大值為2＋eq\r(3)，最小值為2－eq\r(3).——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1種方法——