高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖突破熱點(diǎn)題型 文

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例1]下列結(jié)論中正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線[自主解答]A錯(cuò)誤．如圖1所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如圖2所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．圖1圖2C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形．但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．故選D.[答案]D【方法規(guī)律】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．給出下列四個(gè)命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．解析：選A反例：①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；③若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故③中不能組成正六棱錐；④顯然錯(cuò)誤，故選A.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖1．空間幾何體的三視圖是每年高考的熱點(diǎn)，題型為選擇題或填空題，難度適中，屬中檔題．2．高考對(duì)三視圖的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)由幾何體的直觀圖求三視圖；(2)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖；(3)由幾何體的三視圖還原出幾何體的形狀．[例2](1)(·四川高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()(2)(·湖南高考)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為eq\r(2)的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\r(2)(3)(·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()[自主解答](1)由于俯視圖是兩個(gè)圓，所以排除A，B，C，故選D.(2)由已知，正方體的正視圖與側(cè)視圖都是長(zhǎng)為eq\r(2)，寬為1的矩形，所以正視圖的面積等于側(cè)視圖的面積，為eq\r(2).(3)設(shè)O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，將以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四面體補(bǔ)成一正方體后，由于OA⊥BC，所以該幾何體以zOx平面為投影面的正視圖為A.[答案](1)D(2)D(3)A三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)其正視圖有最大面積時(shí)，其側(cè)視圖的面積為()A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3)D．4解析：選A當(dāng)正視圖的面積達(dá)到最大時(shí)可知其為正三棱柱某個(gè)側(cè)面的面積，可以按如圖所示位置放置，此時(shí)側(cè)視圖的面積為2eq\r(3).2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()解析：選DA圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D.3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A．2＋eq\r(3)B．1＋eq\r(3)C．2＋2eq\r(3)D．4＋eq\r(3)解析：選D依題意得，該幾何體的側(cè)視圖的面積等于22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖[例3]如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求△ABC的面積．[自主解答]建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy′，△A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上，把y′軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC＝2OC′，A、B點(diǎn)即為A′、B′點(diǎn)，長(zhǎng)度不變．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以O(shè)C′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.【互動(dòng)探究】若本例改為“已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”．應(yīng)如何求？解：由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，故其面積S△A′B′C′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.【方法規(guī)律】平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．記住上述關(guān)系，解題時(shí)能起到事半功倍的作用．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______．解析：如圖①，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1. 由此可還原原圖形如圖②.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).答案：2＋eq\f(\r(2),2)———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)特征——三視圖的長(zhǎng)度特征“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．2個(gè)概念——正棱柱、正棱錐的概念(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面