高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第8章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§8.1多元函數(shù)§8.2偏導(dǎo)數(shù)§8.3全微分§8.4多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§8.5多元函數(shù)的極值與最值§8.1多元函數(shù)

一、多元函數(shù)的概念

二、二元函數(shù)的極限

三、二元函數(shù)的連續(xù)性?xún)?nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、多元函數(shù)的概念第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction以上兩個(gè)例子的共同特點(diǎn)是：當(dāng)兩個(gè)變量在規(guī)定的范圍內(nèi)每取定一對(duì)數(shù)值時(shí)，按照確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，另外一個(gè)變量總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的函數(shù)值記為：或例8.1.1已知求

解求函數(shù)在(1,1)處的函數(shù)值課堂練習(xí)解我們把二元以及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù).第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

一元函數(shù)的定義域一般來(lái)說(shuō)是一個(gè)或幾個(gè)區(qū)間，而二元函數(shù)的定義域通常則是由平面上一條或幾條光滑曲線(xiàn)所圍成的平面區(qū)域，圍成區(qū)域的曲線(xiàn)稱(chēng)為該區(qū)域的邊界,邊界上的點(diǎn)稱(chēng)為邊界點(diǎn),包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱(chēng)為閉區(qū)域,不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域.如果一個(gè)區(qū)域總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓域內(nèi)，則稱(chēng)此區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域．2.二元函數(shù)的定義域如果區(qū)域D可以被包含在某個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓內(nèi),則稱(chēng)D為有界區(qū)域;否則稱(chēng)之為無(wú)界區(qū)域.

與一元函數(shù)類(lèi)似，確定二元函數(shù)的定義域時(shí)，也分為兩種情況：

（1）當(dāng)自變量和因變量具有實(shí)際意義時(shí)，我們以自變量的實(shí)際意義確定函數(shù)的定義域．

（2）當(dāng)函數(shù)是用一般解析式表達(dá)，自變量沒(méi)有明確的實(shí)際意義時(shí)，我們以使自變量有意義的范圍作為函數(shù)的定義域．xO例8.1.2求二元函數(shù)的定義域。解

函數(shù)的表達(dá)式為偶次根式，要使函數(shù)有意義，自變量x,y應(yīng)滿(mǎn)足不等式所以函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D在平面上表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓域（如右圖所示），它是有界閉區(qū)域。例8.1.2求二元函數(shù)z=ln(x+y)的定義域.xO第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction3.二元函數(shù)的幾何意義設(shè)是定義在區(qū)域D上的一個(gè)二元函數(shù)，點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形.通常二元函數(shù)的圖形是空間的一個(gè)曲面.二元函數(shù)z=1-x-y對(duì)應(yīng)一個(gè)平面二元函數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)在原點(diǎn)，半徑為R的上半球面第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

二、二元函數(shù)的極限定義8.1.2設(shè)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，δ是某一正數(shù)，與點(diǎn)距離小于δ的點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)的δ鄰域，記作，即將去掉后的點(diǎn)集稱(chēng)為點(diǎn)的去心的δ鄰域，記作，即1.鄰域和去心鄰域的概念第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction2．二元函數(shù)的極限第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction注：1.二元函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)

時(shí)的極限為A，是指點(diǎn)(x,y)無(wú)論以任何方式趨于點(diǎn)時(shí)，f(x,y)都無(wú)限接近A.如果(x,y)以某一特殊方式，例如沿一條特定直線(xiàn)或曲線(xiàn)趨近于某一特定值，也不能判定函數(shù)的極限存在.2.反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)以不同方式趨于點(diǎn)時(shí)，f(x,y)趨向于不同的值，那么就可以判定函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)時(shí)的極限不存在.3.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱(chēng)二元函數(shù)的極限為二重極限.

計(jì)算二重極限一般來(lái)說(shuō)要比計(jì)算一元函數(shù)的極限更復(fù)雜也更困難，通常有以下幾種計(jì)算方法：

（1）利用變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限，再利用如：兩個(gè)重要的極限，等價(jià)無(wú)窮小代換等求極限．

（2）若函數(shù)沿某條路徑其極限不存在或沿不同的路徑趨于不同的值，則可斷定其極限不存在．解：令u=xy

例8.1.4求極限求極限解

課堂練習(xí)證令y=kx(k為常數(shù)），則顯然，趨向數(shù)值隨著k的不同而不同，故極限不存在.例8.1.5證明極限不存在.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

三、二元函數(shù)的連續(xù)性1．二元函數(shù)連續(xù)的定義第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

三、二元函數(shù)的連續(xù)性2．二元初等函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)類(lèi)似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù)．由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱(chēng)為二元初等函數(shù)．可以證明，一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類(lèi)似，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有如下性質(zhì)．

性質(zhì)8.1.1(最值定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值．

性質(zhì)8.1.2(有界性定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界．

性質(zhì)8.1.3(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，若在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上必取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次．由二元初等函數(shù)的連續(xù)性可知，如果要求它在點(diǎn)

處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則該函數(shù)的極限值就等于函數(shù)在點(diǎn)P0的函數(shù)值，即解例8.1.6

求極限求極限課堂練習(xí)解1.多元函數(shù)的概念（1）理解二元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的函數(shù)值（2）會(huì)求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的定義域（3）理解二元函數(shù)的幾何意義2.二元函數(shù)的極限（1）理解二元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）（2）會(huì)求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的極限3.二元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)（1）理解二元函數(shù)連續(xù)的定義（2）會(huì)利用二元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§8.1多元函數(shù)§8.2偏導(dǎo)數(shù)§8.3全微分§8.4多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§8.5多元函數(shù)的極值與最值§8.2偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法

二、高階偏導(dǎo)數(shù)

內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction2.偏導(dǎo)數(shù)的求法第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

二、高階偏導(dǎo)數(shù)第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§8.1多元函數(shù)§8.2偏導(dǎo)數(shù)§8.3全微分§8.4多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§8.5多元函數(shù)的極值與最值§8.3全微分

一、全微分的定義

二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、全微分的定義圖8-3第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例8.3.1求函數(shù)的全微分。解

因?yàn)榍疫@兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),所以，例8.3.2計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)（2,1）處的全微分.例8.3.3求的全微分.求函數(shù)的全微分課堂練習(xí)解二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例8.3.4利用全微分計(jì)算的近似值解因?yàn)閳A柱體體積(其中r為底面半徑，h為高)，所以例8.3.5要造一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水槽，其內(nèi)半徑為2米，高為4米，厚度均為0.01米，求大約需用材料多少立方米？計(jì)算的近似值課堂練習(xí)解1.全微分的定義（1）理解全微分的定義（2）掌握可微的必要條件和充分條件（3）會(huì)求多元函數(shù)的全微分2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用（1）理解全微分近似計(jì)算公式（2）會(huì)利用全微分計(jì)算近似值小結(jié)§8.4多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一、多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)合函數(shù)的的“鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則”，現(xiàn)在把它推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形.回顧一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

基本思想：將復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為若干簡(jiǎn)單函數(shù)求導(dǎo)。第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形

定理8.4.1如果函數(shù)

和

在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且其偏導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:，

處都存在偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)此運(yùn)算法則稱(chēng)為二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.二元復(fù)合函數(shù)變量間的依賴(lài)如圖8.4.1所示.鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則的函數(shù)變量之間的關(guān)系，可以類(lèi)比于乘法原理和加法原理，觀察從因變量到自變量的路徑,不同類(lèi)的路徑用加法,同一路徑的不同段之間用乘法．連線(xiàn)相乘分線(xiàn)相加圖8.4.1例8.4.1設(shè)求和

解:例8.4.2設(shè)求和

解令

，則

，畫(huà)出鏈?zhǔn)綀D，于是課堂練習(xí)設(shè)求和解畫(huà)出鏈?zhǔn)綀D，于是2.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

，其變量間的依賴(lài)關(guān)系如圖8.4.2所示.圖8.4.2可導(dǎo)，函數(shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

定理8.4.2如果函數(shù)

及

都在點(diǎn)

處則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)可用下下列公式計(jì)算:導(dǎo)數(shù)

稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù).例8.4.3設(shè)求和

解:設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:課堂練習(xí)3.其他情形處具有偏導(dǎo)數(shù)，

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

定理8.4.3設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則其偏導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:，

二元復(fù)合函數(shù)變量間的依賴(lài)關(guān)系如圖圖8.4.38.4.3所示.例8.4.4設(shè)求和

解:第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.由方程確定的一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們介紹了利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求由方程所確定的一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的的方法.下面根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)微分法來(lái)導(dǎo)出由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式．將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程，得恒等式利用多元復(fù)合函數(shù)微分法,上述方程兩端同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)，得若則2.方程所定的二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．如果由方程確定了二元隱函數(shù)且連續(xù)及將代入則有恒等式利用多元復(fù)合函數(shù)微分法,上述方程兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)，得由于故例8.4.5求由方程所確定的隱函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和解:設(shè)則有所以例8.4.6求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所以解法一利用多元復(fù)合函數(shù)微分法，兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得則有解法二則有所以例8.4.7已知隱函數(shù)由方程所確定，求和解:設(shè)則有所以1.多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）會(huì)利用二元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)（2）會(huì)求全導(dǎo)數(shù)（3）掌握其他情形的多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)小結(jié)2.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）會(huì)求由方程確定的一元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（2）會(huì)求方程所確定的二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)§8.5多元函數(shù)的極值與最值

一、二元函數(shù)的極值

二、二元函數(shù)的最值內(nèi)容提要

三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、二元函數(shù)的極值在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常遇到求多元函數(shù)的極值或者最大值、最小值的問(wèn)題．1．極值與極值點(diǎn)的定義

定義8.5.1函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意一點(diǎn)都有則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處有極大值稱(chēng)為函數(shù)的極大值點(diǎn);如果都適合不等式則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處有極小值實(shí)例1函數(shù)在點(diǎn)處有極小值．因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)的鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有從幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)是開(kāi)口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)．實(shí)例2函數(shù)在點(diǎn)處有極大值．因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)的鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有從幾何上看這是顯然的.實(shí)例3函數(shù)在點(diǎn)處既不取得極大值也不取得極小值．因?yàn)?，而在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)，總有點(diǎn)使得和點(diǎn)使得成立．從幾何上看，它表示雙曲拋物面(馬鞍面).如何求二元函數(shù)的極值呢？下面兩個(gè)定理是關(guān)于二元函數(shù)極值問(wèn)題的結(jié)論．2．極值存在的必要條件如果二元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，那么固定，一元函數(shù)在點(diǎn)處也必取得相同的極值；同理，固定，在點(diǎn)處也取得相同的極值．因此，由一元函數(shù)極值的必要條件，我們可以得到二元函數(shù)極值的必要條件．極值存在的必要條件與一元函數(shù)的情形類(lèi)似，對(duì)于多元函數(shù)，能使所有的一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)．定理8.5.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有注（1）由定理8.5.1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)．（2）函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如:點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)．（3）函數(shù)的極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)．如：函數(shù)在點(diǎn)處有極大值，但在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在(即不是駐點(diǎn))．怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題．3．極值存在的充分條件定理8.5.2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)一階與二階偏導(dǎo)數(shù),且是一個(gè)駐點(diǎn)，即令則在點(diǎn)取得極值的條件如表所示：判別式是極大值是極小值不是極值不確定ABC法則（A）.有極大值（B）.有極小值（C）.不取極值（D）.可能取極值，也可能不取極值課堂練習(xí)B例8.5.1求

的極值。解:

得方程組解之得駐點(diǎn)為(0,0),(1,1)，又因?yàn)榱?/p>

整理結(jié)果，各駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極值判別如表所示。由上表可知，(1,1)點(diǎn)是極小值點(diǎn)，f(1,1)=-1是函數(shù)的極小值．駐點(diǎn)

ABC0-30無(wú)極值6-36極小值例8.5.2求

的極值。解:

解方程組求得駐點(diǎn)為(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),再求出二階偏導(dǎo)數(shù)整理結(jié)果，各駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極值判別如表所示。駐點(diǎn)

ABC(1,0)1206(1,2)120-6無(wú)極值(-3,0)-1206無(wú)極值(-3,2)-120-6極小值極大值課堂練習(xí)求函數(shù)的極值.

函數(shù)解解方程組得駐點(diǎn)為(0,0),(2,2),駐點(diǎn)

ABC-82-242-2無(wú)極值是極大值由上表可知，(0,0)是極大值點(diǎn)，f(0,0)=0是函數(shù)的極大值．二、二元函數(shù)最值與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.1.多元函數(shù)極值的一些結(jié)論：（2）函數(shù)在閉區(qū)域的最值只能在駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及閉區(qū)域的邊界上取得。（1）閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。(1)求出函數(shù)在D內(nèi)部的駐點(diǎn)處的函數(shù)值駐點(diǎn)邊界上的最值比較這些函數(shù)值的大小,最大的就是函數(shù)在D上的最大值,最小的就是函數(shù)在D上的最小值.（內(nèi)點(diǎn)）（邊界上）(3)