高等應用數學 課件 第8章 多元函數微分法及其應用

第8章多元函數微分法及其應用

§8.1多元函數§8.2偏導數§8.3全微分§8.4多元復合函數的導數與隱函數的導數§8.5多元函數的極值與最值§8.1多元函數

一、多元函數的概念

二、二元函數的極限

三、二元函數的連續(xù)性內容提要第一節(jié)多元函數MultipleFunction一、多元函數的概念第一節(jié)多元函數MultipleFunction以上兩個例子的共同特點是：當兩個變量在規(guī)定的范圍內每取定一對數值時，按照確定的對應關系，另外一個變量總有唯一確定的值與之對應.第一節(jié)多元函數MultipleFunction二元函數z=f(x,y)在點的函數值記為：或例8.1.1已知求

解求函數在(1,1)處的函數值課堂練習解我們把二元以及二元以上的函數統(tǒng)稱為多元函數.第一節(jié)多元函數MultipleFunction

一元函數的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間，而二元函數的定義域通常則是由平面上一條或幾條光滑曲線所圍成的平面區(qū)域，圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界,邊界上的點稱為邊界點,包括邊界在內的區(qū)域稱為閉區(qū)域,不包括邊界在內的區(qū)域稱為開區(qū)域.如果一個區(qū)域總可以被包含在一個以原點為中心的圓域內，則稱此區(qū)域為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域．2.二元函數的定義域如果區(qū)域D可以被包含在某個以原點為圓心的圓內,則稱D為有界區(qū)域;否則稱之為無界區(qū)域.

與一元函數類似，確定二元函數的定義域時，也分為兩種情況：

（1）當自變量和因變量具有實際意義時，我們以自變量的實際意義確定函數的定義域．

（2）當函數是用一般解析式表達，自變量沒有明確的實際意義時，我們以使自變量有意義的范圍作為函數的定義域．xO例8.1.2求二元函數的定義域。解

函數的表達式為偶次根式，要使函數有意義，自變量x,y應滿足不等式所以函數的定義域為點集D在平面上表示以原點為圓心，1為半徑的圓域（如右圖所示），它是有界閉區(qū)域。例8.1.2求二元函數z=ln(x+y)的定義域.xO第一節(jié)多元函數MultipleFunction3.二元函數的幾何意義設是定義在區(qū)域D上的一個二元函數，點集稱為二元函數z=f(x,y)的圖形.通常二元函數的圖形是空間的一個曲面.二元函數z=1-x-y對應一個平面二元函數對應原點在原點，半徑為R的上半球面第一節(jié)多元函數MultipleFunction

二、二元函數的極限定義8.1.2設是xOy平面上的一個點，δ是某一正數，與點距離小于δ的點的全體，稱為點的δ鄰域，記作，即將去掉后的點集稱為點的去心的δ鄰域，記作，即1.鄰域和去心鄰域的概念第一節(jié)多元函數MultipleFunction2．二元函數的極限第一節(jié)多元函數MultipleFunction注：1.二元函數z=f(x,y)當

時的極限為A，是指點(x,y)無論以任何方式趨于點時，f(x,y)都無限接近A.如果(x,y)以某一特殊方式，例如沿一條特定直線或曲線趨近于某一特定值，也不能判定函數的極限存在.2.反過來，如果當點(x,y)以不同方式趨于點時，f(x,y)趨向于不同的值，那么就可以判定函數z=f(x,y)當時的極限不存在.3.為了區(qū)別于一元函數的極限，我們稱二元函數的極限為二重極限.

計算二重極限一般來說要比計算一元函數的極限更復雜也更困難，通常有以下幾種計算方法：

（1）利用變量替換轉化為一元函數求極限，再利用如：兩個重要的極限，等價無窮小代換等求極限．

（2）若函數沿某條路徑其極限不存在或沿不同的路徑趨于不同的值，則可斷定其極限不存在．解：令u=xy

例8.1.4求極限求極限解

課堂練習證令y=kx(k為常數），則顯然，趨向數值隨著k的不同而不同，故極限不存在.例8.1.5證明極限不存在.第一節(jié)多元函數MultipleFunction

三、二元函數的連續(xù)性1．二元函數連續(xù)的定義第一節(jié)多元函數MultipleFunction

三、二元函數的連續(xù)性2．二元初等函數的連續(xù)性與一元函數類似，二元連續(xù)函數經過四則運算和復合運算后仍為二元連續(xù)函數．由x和y的基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算所構成的可用一個式子表示的二元函數稱為二元初等函數．可以證明，一切二元初等函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的．

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數的性質相類似，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數也有如下性質．

性質8.1.1(最值定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數，在D上一定有最大值和最小值．

性質8.1.2(有界性定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數在D上一定有界．

性質8.1.3(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數，若在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上必取得介于這兩個值之間的任何值至少一次．由二元初等函數的連續(xù)性可知，如果要求它在點

處的極限，而該點又在此函數的定義區(qū)域內，則該函數的極限值就等于函數在點P0的函數值，即解例8.1.6

求極限求極限課堂練習解1.多元函數的概念（1）理解二元函數的概念，會求二元函數的函數值（2）會求簡單二元函數的定義域（3）理解二元函數的幾何意義2.二元函數的極限（1）理解二元函數極限的概念（注意趨近方式的任意性）（2）會求簡單二元函數的極限3.二元函數的連續(xù)性小結（1）理解二元函數連續(xù)的定義（2）會利用二元初等函數的連續(xù)性求極限第8章多元函數微分法及其應用

§8.1多元函數§8.2偏導數§8.3全微分§8.4多元復合函數的導數與隱函數的導數§8.5多元函數的極值與最值§8.2偏導數

一、偏導數的定義及其計算方法

二、高階偏導數

內容提要第一節(jié)多元函數MultipleFunction一、偏導數的定義及其計算方法第一節(jié)多元函數MultipleFunction第一節(jié)多元函數MultipleFunction第一節(jié)多元函數MultipleFunction2.偏導數的求法第一節(jié)多元函數MultipleFunction

二、高階偏導數第一節(jié)多元函數MultipleFunction第一節(jié)多元函數MultipleFunction第8章多元函數微分法及其應用

§8.1多元函數§8.2偏導數§8.3全微分§8.4多元復合函數的導數與隱函數的導數§8.5多元函數的極值與最值§8.3全微分

一、全微分的定義

二、全微分在近似計算中的應用內容提要第一節(jié)多元函數MultipleFunction一、全微分的定義圖8-3第一節(jié)多元函數MultipleFunction第一節(jié)多元函數MultipleFunction例8.3.1求函數的全微分。解

因為且這兩個偏導數連續(xù),所以，例8.3.2計算函數在點（2,1）處的全微分.例8.3.3求的全微分.求函數的全微分課堂練習解二、全微分在近似計算中的應用例8.3.4利用全微分計算的近似值解因為圓柱體體積(其中r為底面半徑，h為高)，所以例8.3.5要造一個無蓋的圓柱形水槽，其內半徑為2米，高為4米，厚度均為0.01米，求大約需用材料多少立方米？計算的近似值課堂練習解1.全微分的定義（1）理解全微分的定義（2）掌握可微的必要條件和充分條件（3）會求多元函數的全微分2.全微分在近似計算中的應用（1）理解全微分近似計算公式（2）會利用全微分計算近似值小結§8.4多元復合函數的導數與隱函數的導數

一、多元復合函數的導數

二、隱函數的導數內容提要第一節(jié)多元函數MultipleFunction一、多元復合函數的導數在一元函數微分學中，我們已經學過復合函數的的“鏈式求導法則”，現在把它推廣到多元復合函數的情形.回顧一元函數復合函數求導法則：

基本思想：將復雜函數求導轉化為若干簡單函數求導。第一節(jié)多元函數MultipleFunction1.復合函數的中間變量為多元函數的情形

定理8.4.1如果函數

和

在點處的兩個偏導數都存在，且其偏導數可用下列公式計算:，

處都存在偏導數，函數

在對應點

處具有連續(xù)偏導數，則復合函數

在點此運算法則稱為二元復合函數求導的鏈式法則.二元復合函數變量間的依賴如圖8.4.1所示.鏈式求導法則的函數變量之間的關系，可以類比于乘法原理和加法原理，觀察從因變量到自變量的路徑,不同類的路徑用加法,同一路徑的不同段之間用乘法．連線相乘分線相加圖8.4.1例8.4.1設求和

解:例8.4.2設求和

解令

，則

，畫出鏈式圖，于是課堂練習設求和解畫出鏈式圖，于是2.復合函數的中間變量為一元函數的情形設

構成復合函數

，其變量間的依賴關系如圖8.4.2所示.圖8.4.2可導，函數

在對應點

處具有連續(xù)偏導數,

定理8.4.2如果函數

及

都在點

處則復合函數

在點處可導，則其導數可用下下列公式計算:導數

稱為全導數.例8.4.3設求和

解:設

求全導數解:課堂練習3.其他情形處具有偏導數，

在對應點

處具有連續(xù)偏導數,

定理8.4.3設函數

在點

則復合函數

在點處兩個偏導數存在，則其偏導數可用下列公式計算:，

二元復合函數變量間的依賴關系如圖圖8.4.38.4.3所示.例8.4.4設求和

解:第一節(jié)多元函數MultipleFunction二、隱函數的導數1.由方程確定的一元隱函數的導數．在一元函數微分學中，我們介紹了利用復合函數求導法求由方程所確定的一元隱函數的導數的的方法.下面根據多元復合函數微分法來導出由方程所確定的函數的導數的公式．將由方程所確定的隱函數代入該方程，得恒等式利用多元復合函數微分法,上述方程兩端同時對求偏導，得若則2.方程所定的二元隱函數的偏導數．如果由方程確定了二元隱函數且連續(xù)及將代入則有恒等式利用多元復合函數微分法,上述方程兩端分別對求偏導，得由于故例8.4.5求由方程所確定的隱函數的兩個偏導數和解:設則有所以例8.4.6求由方程所確定的隱函數的偏導數所以解法一利用多元復合函數微分法，兩端對求偏導，得則有解法二則有所以例8.4.7已知隱函數由方程所確定，求和解:設則有所以1.多元復合函數的導數（1）會利用二元復合函數的鏈式法則求偏導（2）會求全導數（3）掌握其他情形的多元復合函數求偏導數小結2.隱函數的導數（1）會求由方程確定的一元隱函數的偏導數（2）會求方程所確定的二元隱函數的偏導數§8.5多元函數的極值與最值

一、二元函數的極值

二、二元函數的最值內容提要

三、條件極值與拉格朗日乘數法第一節(jié)多元函數MultipleFunction一、二元函數的極值在許多實際問題中，常常遇到求多元函數的極值或者最大值、最小值的問題．1．極值與極值點的定義

定義8.5.1函數在點的某一鄰域內定義，如果對于該鄰域內異于的任意一點都有則稱函數在點處有極大值稱為函數的極大值點;如果都適合不等式則稱函數在點處有極小值實例1函數在點處有極小值．因為對于點的鄰域內異于的點都有從幾何上看這是顯然的，因為點是開口朝上的橢圓拋物面的頂點．實例2函數在點處有極大值．因為對于點的鄰域內異于的點都有從幾何上看這是顯然的.實例3函數在點處既不取得極大值也不取得極小值．因為，而在點的任一鄰域內，總有點使得和點使得成立．從幾何上看，它表示雙曲拋物面(馬鞍面).如何求二元函數的極值呢？下面兩個定理是關于二元函數極值問題的結論．2．極值存在的必要條件如果二元函數在點處取得極值，那么固定，一元函數在點處也必取得相同的極值；同理，固定，在點處也取得相同的極值．因此，由一元函數極值的必要條件，我們可以得到二元函數極值的必要條件．極值存在的必要條件與一元函數的情形類似，對于多元函數，能使所有的一階偏導數同時為零的點稱為函數的駐點．定理8.5.1設函數在點處取得極值，且在該點處的偏導數存在，則必有注（1）由定理8.5.1可知，具有偏導數的函數的極值點一定是駐點．（2）函數的駐點不一定是極值點.如:點是函數的駐點，但不是函數的極值點．（3）函數的極值點也不一定是駐點．如：函數在點處有極大值，但在點處的偏導數不存在(即不是駐點)．怎樣判定一個駐點是否是極值點呢？下面的定理回答了這個問題．3．極值存在的充分條件定理8.5.2設函數在點的某一鄰域內有連續(xù)一階與二階偏導數,且是一個駐點，即令則在點取得極值的條件如表所示：判別式是極大值是極小值不是極值不確定ABC法則（A）.有極大值（B）.有極小值（C）.不取極值（D）.可能取極值，也可能不取極值課堂練習B例8.5.1求

的極值。解:

得方程組解之得駐點為(0,0),(1,1)，又因為令

整理結果，各駐點對應的極值判別如表所示。由上表可知，(1,1)點是極小值點，f(1,1)=-1是函數的極小值．駐點

ABC0-30無極值6-36極小值例8.5.2求

的極值。解:

解方程組求得駐點為(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),再求出二階偏導數整理結果，各駐點對應的極值判別如表所示。駐點

ABC(1,0)1206(1,2)120-6無極值(-3,0)-1206無極值(-3,2)-120-6極小值極大值課堂練習求函數的極值.

函數解解方程組得駐點為(0,0),(2,2),駐點

ABC-82-242-2無極值是極大值由上表可知，(0,0)是極大值點，f(0,0)=0是函數的極大值．二、二元函數最值與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值.1.多元函數極值的一些結論：（2）函數在閉區(qū)域的最值只能在駐點、偏導數不存在點及閉區(qū)域的邊界上取得。（1）閉區(qū)域上的連續(xù)函數一定有最大值和最小值。(1)求出函數在D內部的駐點處的函數值駐點邊界上的最值比較這些函數值的大小,最大的就是函數在D上的最大值,最小的就是函數在D上的最小值.（內點）（邊界上）(3)