-高中數(shù)學(xué)第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式評估驗收卷新人教A版選修4-5

第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式評估驗收卷(四)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時命題成立，則有n＝k＋1時命題成立．現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則有()A．命題對所有正整數(shù)都成立B．命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C．命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立D．以上說法都不正確解析：依題意命題A(n)對大于或等于n0的正整數(shù)都成立．答案：C2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,2)(5n2－7n＋4)()A．n為任何正整數(shù)時都成立B．僅當n＝1,2，3時成立C．當n＝4時成立，n＝5時不成立D．僅當n＝4時不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入驗證可知B正確．答案：B3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋…＋eq\f(1,n3)＜2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A．1＋eq\f(1,23)＜2－eq\f(1,2)B．1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＜2－eq\f(1,3)C．1＋eq\f(1,23)＜2－eq\f(1,3)D．1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＜2－eq\f(1,4)解析：因為n≥2，所以第一步驗證不等式應(yīng)為n＝2時1＋eq\f(1,23)＜2－eq\f(1,2).答案：A4．設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,3n＋2) B.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)C.eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) D.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)解析：因為f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，所以f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).答案：D5．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則()A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：本題主要考查數(shù)列的概念．由n到n2一共有整數(shù)n2－n＋1個，所以f(n)有n2－n＋1項，當n＝2時代入得，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).故本題正確答案為D.答案：D6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假設(shè)n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(k∈N＋)B．假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確(k∈N＋)C．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(k∈N＋)D．假設(shè)n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(k∈N＋)解析：n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)n取第k個正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n取第(k＋1)個正奇數(shù)，即n＝2k＋1時正確．答案：B7．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點個數(shù)最多為()A．f(k)＋1 B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)解析：第k＋1條直線與前k條直線都相交有交點，所以應(yīng)比原先增加k個交點．故應(yīng)選B.答案：B8．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\r(2)－1，前n項和Sn＝eq\r(n＋1)－1，先算出數(shù)列的前4項的值，根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項公式是()A．a(chǎn)n＝eq\r(n＋1)－1 B．a(chǎn)n＝neq\r(n＋1)－1C．a(chǎn)n＝eq\r(2n)－eq\r(n) D．a(chǎn)n＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)解析：由題意，可知S2＝a1＋a2＝eq\r(3)－1，所以a2＝eq\r(3)－1－eq\r(2)＋1＝eq\r(3)－eq\r(2)；S3＝a1＋a2＋a3＝eq\r(4)－1，所以a3＝S3－S2＝eq\r(4)－eq\r(3)，同理，可得a4＝S4－S3＝eq\r(5)－eq\r(4)，故可猜想an＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).答案：D9．F(n)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F(k)(k∈N*)真，則F(k＋1)真，現(xiàn)已知F(7)不真，則有①F(8)不真②F(8)真③F(6)不真④F(6)真⑤F(5)不真⑥F(5)真其中正確的是()A．③⑤ B．①②C．④⑥ D．③④解析：因為F(k)(k∈N*)真，則F(k＋1)真的逆否命題是：F(k＋1)不真，則F(k)不真，從而可結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的原理知：當F(7)不真時，F(xiàn)(6)不真，F(xiàn)(5)亦不真，故③⑤是正確的．答案：A10．設(shè)0＜θ＜eq\f(π,2)，已知a1＝2cosθ，an＋1＝eq\r(2＋an)，則猜想an為()A．2coseq\f(θ,2n) B．2coseq\f(θ,2n－1)C．2coseq\f(θ,2n＋1) D．2sineq\f(θ,2n)解析：a1＝2cosθ，a2＝eq\r(2＋2cosθ)＝2coseq\f(θ,2)，a3＝eq\r(2＋2cos\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,4)，猜想an＝2coseq\f(θ,2n－1).答案：B11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) B．a(chǎn)＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a(chǎn)＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D．不存在這樣的a，b，c解析：因為等式對一切n∈N*均成立，所以n＝1，2，3時等式成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3（a－b）＋c，,1＋2×3＝32（2a－b）＋c，,1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))答案：A12．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A．30 B．26C．36 D．6解析：f(1)＝36，f(2)＝108，n≥3時f(n)＝9[(2n＋7)3n－2＋1]，(2n＋7)·3n－2＋1，當n≥3時能被4整除，結(jié)合選項知C正確．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．若用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋1＞n2＋n＋2成立時，第一步應(yīng)驗證_____________________________________________________．答案：n0＝3，24＞32＋3＋214．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N＋)，(從“第k步到k＋1步”時，兩邊應(yīng)同時加上________．答案：(－1)k(k＋1)215．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當n是非負整數(shù)時，55n＋1＋45n＋2＋35n能被11整除”的第一步應(yīng)寫成：當n＝___________時，55n＋1＋45n＋2＋35n＝________＝________，能被11整除．解析：本題考查對運用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況，由于n是非負整數(shù)，所以第一步應(yīng)考慮n＝0.答案：051＋42＋302216．已知數(shù)列{an}，其中a2＝6，且滿足eq\f(an＋1＋an－1,an＋1－an＋1)＝n，則a1＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．解析：由已知可得eq\f(a2＋a1－1,a2－a1＋1)＝1，eq\f(a3＋a2－1,a3－a2＋1)＝2，eq\f(a4＋a3－1,a4－a3＋1)＝3，將a2＝6代入以上三式，解得：a1＝1，a3＝15，a4＝28.由于a1＝1，a2＝2×3，a3＝3×5，a4＝4×7，猜想得an＝n(2n－1)．答案：11528n(2n－1)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n（2n＋2）)＝eq\f(n,4（n＋1）)(n∈N*)．證明：(1)當n＝1時，左邊＝eq\f(1,2×1×（2＋2）)＝eq\f(1,8)，右邊＝eq\f(1,4（1＋1）)＝eq\f(1,8)，左邊＝右邊．所以當n＝1時，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＝eq\f(k,4（k＋1）)，則當n＝k＋1時，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＋eq\f(1,2（k＋1）[2（k＋1）＋2])＝eq\f(k,4（k＋1）)＋eq\f(1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k（k＋2）＋1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(（k＋1）2,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋1＋1）).所以當n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立．18．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)＝3·52n＋1＋23n＋1(n∈N*)能被17整除．證明：(1)當n＝1時，f(1)＝3×53＋24＝391＝17×23，故f(1)能被17整除．(2)假設(shè)n＝k時，命題成立．即f(k)＝3·52k＋1＋23k＋1能被17整除，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝3·52k＋3＋23k＋4＝52·3·52k＋1＋52·23k＋1－52·23k＋1＋23k＋4＝25f(k)－17·23k＋1由歸納假設(shè)，可知f(k)能被17整除，又17·23k＋1顯然可被17整除，故f(k＋1)能被17整除．綜合(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，f(n)能被17整除．19．(本小題滿分12分)求證：平面上通過同一點的n條直線分平面為2n個部分．證明：(1)當n＝1時，一條直線把平面分成兩部分，故命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，平面上通過同一點的k條直線把平面分成2k個部分，設(shè)第(k＋1)條直線落在相鄰的兩條直線之間，它把這兩條直線所圍成的平面上的兩個區(qū)域變成4個區(qū)域，也即增加一條直線后，平面上的區(qū)域共有2k＋2＝2(k＋1)個，故命題對于n＝k＋1也成立．由(1)，(2)知，原命題對于任何正整數(shù)n都成立．20．(本小題滿分12分)設(shè){xn}是由x1＝2，xn＋1＝eq\f(xn,2)＋eq\f(1,xn)(n∈N＋)定義的數(shù)列，求證：xn＜eq\r(2)＋eq\f(1,n).證明：(1)當n＝1時，x1＝2＜eq\r(2)＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當n＝k(k≥1)時，不等式成立，即xk＜eq\r(2)＋eq\f(1,k)，那么，當n＝k＋1時，xk＋1＝eq\f(xk,2)＋eq\f(1,xk).由歸納假設(shè)，xk＜eq\r(2)＋eq\f(1,k)，則eq\f(xk,2)＜eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2k)，eq\f(1,xk)＞eq\f(1,\r(2)＋\f(1,k)).因為xk＞eq\r(2)，所以eq\f(1,xk)＜eq\f(\r(2),2).所以xk＋1＝eq\f(xk,2)＋eq\f(1,xk)＜eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)＋eq\f(1,2k)≤eq\r(2)＋eq\f(1,k＋1).即xk＋1＜eq\r(2)＋eq\f(1,k＋1).所以當n＝k＋1時，不等式xn＜eq\r(2)＋eq\f(1,n)成立．綜上所述，得xn＜eq\r(2)＋eq\f(1,n)(n∈N＋)．21．(本小題滿分12分)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n（n＋1）)))的前n項和記為Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表達式；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．(1)解：an＝eq\f(1,n（n＋1）)，S1＝a1＝eq\f(1,2)；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)；S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)解：猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N＋)．(3)證明：①當n＝1時，S1＝a1＝eq\f(1,2)，右邊＝eq\f(1,2).等式成立．②假設(shè)當n＝k時，Sk＝eq\f(k,k＋1)，則當n＝k＋1時，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝eq\f(k,k＋1)＋eq\f(1,（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(（k＋1）2,（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k＋1,k＋2)＝eq\f(k＋1,（k＋1）＋1).即當n＝k＋1時，等式成立．由①②可得Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N＋)．22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn，