初中數(shù)學壓軸題

中考數(shù)學壓軸題精編

k

1.(河南省)如圖，直線y=kix+人與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于A(1,6),B

x

(a,3)兩點.

(1)求我卜依的值；

k

(2)直接寫出hc+人一”>0時x的取值范圍；

x

(3)如圖，等腰梯形O8C。中，BC//OD,OB=CD,0。邊在x軸上，過點C作CE_L。。

于E,CE和反比例函數(shù)的圖象交于點P,當梯形OBCD的面積為12時，請判斷PC和PE

的大小關(guān)系，并說明理由.

1.解：

(1)由題意知：&2=1x6=6...........................................

...反比例函數(shù)的解析式為>'=-

X

又B(a,3)在丫=9的圖象上，.?.a=2,(2,3)

X

??,直線y=hv+b過A(1,6),B(2,3)兩點

g+0=6%=-3

解得4分

[2k1+b=3b=9

(2)x的取值范圍為l〈xV2....................................................................................6分

(3)當S梯形08=12時,PC=PE.............................................................................7分

設(shè)點尸的坐標為（機，n）,9：BC//OD,CELOD,0B=CD,B（2,3）

：.C（機，3）,CE=3,BC=m-2,0D=m+2

:?SmOBCD=—（8C+。。）?CE,即12=—x（加一2+m+2）x3

22

31

?*-z?i=4,mn6>n——，即PE——CE

22

：.PC=PE?....................................................................................................................10分

2.(河南省)

(1)操作發(fā)現(xiàn)?

如圖，矩形ABCC中，E是A。的中點，將AABE沿8E折疊后得到△GBE,且點G在矩形

ABC。內(nèi)部.小明將BG延長交DC于點R認為GF=。凡你同意嗎？說明理由.

(2)問題解決A

保持(1)中的條件不變，若DC=2DF,求處的值；

AB

(3)類比探究

保持(1)中的條件不變，若DC=n?DF,求處的值.B

AB

2.解:

(1)同意.連接EF,則N￡GF=N￡>=90。，EG=AE=ED,EF=EF

RtAEGF^RtAEDF,GF=DF......................................3分

(2)由(1)知GF=￡>凡設(shè)。尸=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

"：DC=2DF,：.CF=x,DC=AB=BG=2x

：.BF=BG+GF=3x

在RtZXBC尸中,BC2+CF2=BF2,BPy2+x2=(3x)2

'.y=2V2x,=—=V2......................6分

ABlx

(3)由(1)知GF=QF,設(shè)￡>F=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

\"DC=n-DF,：.DC=AB=BG=nx

：.CF=(w-l)x,BF=BG+GF=(n+l)x

在RtZ\BCF中，BC2+CF2=BF2,即/+[(〃一])月2=[(〃+山產(chǎn)

._.f.AD_y_14n/方2、

?.y-2vnXt??--------------(或一尸)................................10分

ABnxnJ”

3.(河南省)在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)

三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為〃?，△A/B的面積為S.求S

關(guān)于小的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點尸是拋物線上的動點，點。是直線)，=一》上的動點，判斷有幾個位置能夠使得

點P、Q、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點。的坐標.

2

S=SAAMD+S機般DMBO—SAABO

=—(，*+4)(――m2—w+4)+—(――/M2—w+4+4)(—/n)——X4X4

22222

=-/?'—4m(-4</n<0).............................................................................................6分

即S=-w2—4/n=—(>M+2)2+4

.?.S最大值=4..............................................................................................................................7分

（3）滿足題意的Q點的坐標有四個，分別是：（一4,4）,（4,-4）

（-2+2卮2-275）,（-2-2V5,2+275）.....................................................11分

2014年中考數(shù)學分類匯編一一與特殊四邊形有關(guān)的填空壓軸題

2014年與特殊四邊形（正多邊形）有關(guān)的填空壓軸題，題目展示涉及：折疊問題；旋

轉(zhuǎn)問題；三角形全等問題；平面展開-最短路徑問題；動點問題的函數(shù)圖象問題.知識點涉

及：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定和性質(zhì)；解直角三角形，勾股定理，正多邊形

性質(zhì)；銳角三角函數(shù).數(shù)學思想涉及：分類討論；數(shù)形結(jié)合；方程思想.現(xiàn)選取部分省市的

2014年中考題展示，以饗讀者.

【題1】（2014.年河南省第題）如圖矩形ABCD中，AD=5,AB=7,點E為DC上一個

動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點D落在NABC的角平分線上時,DE的長為.

【考點】：翻折變換（折疊問題）.

【分析】：連接BD，，過D，作MN_LAB,交AB于點M,CD于點N,作DTJLBC交BC

于點P,先利用勾股定理求出MD,再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【解答】：解：如圖，連接BD,過D作MN_LAB,交AB于點M,CD于點N,作D，P_LBC

1??點D的對應點D，落在NABC的角平分線上，

MD'=PD',

設(shè)MD'=x,則PD'=BM=x,

AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得AD=A?=5,

x2+(7-x)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RTAEND中，設(shè)ED，=a,

①當MD'=3時，D'E=5-3=2,EN=7-CN-DE=7-3-a=4-a,

a2=22+(4-a)2,

解得a=g即DE=g

22

②當MD，=4時，D，E=5-4=1,EN=7-CN-DE=7-4-a=3-a,

a2=l2+(3-a)2,

解得a=2即DE=也.

33

故答案為：月或?

23

【點評工本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應

相等的.

【題2】(2014年四川省綿陽市第17題)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、

CD上的點，ZEAF=45°,AECF的周長為4,則正方形ABCD的邊長為.

【考點工旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).

【分析】：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NEAF=45。，進而得出AFAE2△EAF,即可得出

EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4,得出正方形邊長即可.

［解答］：解：將^DAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF位置，

由題意可得出：4DAF合△BAF,

DF=BF,ZDAF=ZBAF,

ZEAF=45°,

在4FAE和^EAF中

'AF=AF'

<NFAE=/EAF'，

,AE=AE

△FAE之AEAF(SAS),

EF=EF',

???△ECF的周長為4,

EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=4,

2BC=4,

BC=2.

故答案為：2.

【點評工此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出

△FAE合△EAF是解題關(guān)鍵.

【題3】(2014年湖北隨州第16題)如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為2,翻折NB、

ZD,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P、EF、GH分別是折痕(如圖2).設(shè)AE=x

(0<x<2),給出下列判斷：

①當x=l時，點P是正方形ABCD的中心；

②當x=lfl寸，EF+GHAAC；

2

③當0<x<2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是豆；

4

④當0<x<2時，六邊形AEFCHG周長的值不變.

其中正確的是—(寫出所有正確判斷的序號).

圖1圖2

【考點】：翻折變換(折疊問題)；正方形的性質(zhì).

【分析】：(1)由正方形紙片ABCD,翻折NB、ZD,使兩個直角的頂點重合于對角線

BD上一點P,得出ABEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當AE=1時，重合點P是

BD的中點，即點P是正方形ABCD的中心；

(2)由ABEFsABAC,得出EF=2AC,同理得出GH=』AC,從而得出結(jié)論.

44

(3)由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-AEBF的面積-46口11的面積.得

出函數(shù)關(guān)系式，進而求出最大值.

(4)六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH++HG+AG=(AE+CF)+(FC+AG)+(EF+GH)

求解.

【解答】：解：(1)正方形紙片ABCD,翻折NB、ZD,使兩個直角的頂點重合于對角

線BD上一點P,

△BEF和4三DGH是等腰直角三角形，

???當AE=1時，重合點P是BD的中點，

點P是正方形ABCD的中心；

故①結(jié)論正確，

(2)正方形紙片ABCD,翻折NB、ND,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,

「.△BEF~△BAC,

??x-l

2

BE=2-九旦

22

3

.BFLEF即2_EF

BAAC2AC

EF=aAC,

4

同理，GH=1AC,

4

EF+GH=AC,

故②結(jié)論錯誤，

(3)六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積.

AE=x,

六邊形AEFCHG面積=22-JLBE?BF-1GD?HD=4』(2-X)?(2-X)-lx?x=-

2222

x?+2x+2=-(x-1)~+3,

六邊形AEFCHG面積的最大值是3,

故③結(jié)論錯誤，

(4)當0<x<2時，

?；EF+GH=AC,

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH++HG+AG=(AE+CF)+(FC+AG)+(EF+GH)

=2+2+2&=4+2&

故六邊形AEFCHG周長的值不變，

故④結(jié)論正確.

故答案為：①④.

【點評工考查了翻折變換(折疊問題)，菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC,綜

合性較強，有一定的難度.

【題4】(2014江西第13題)如圖，是將菱形ABCD以點0為中心按順時針方向分別旋

轉(zhuǎn)90°,180°,270°后形成的圖形。若N84Z)=6O,AB=2,則圖中陰影部分的面積為

(第13題)（第13M）

【考點】菱形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】連接AC、BD,AO、BO,AC與BD交于點E,求出菱形對角線AC長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可知AOJ_CO。在RtaAOC中，根據(jù)勾股定理求出AO=CO==?,從而求出

Rtz^AOC的面積，再減去4ACD的面積得陰影部分AOCD面積，一共有四個這樣的面積，乘以

4即得解。

【解答】

解：連接BD、AC,相交于點E,連接AO、CO。

?.?因為四邊形ABCD是菱形，

AAC±BD,AB=AD=2o

???/BAD=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，BD=AB=2,

111

AZBAE=-ZBAD=30°o,AE=-AC,BE=DE=-BD=1,

222

在RtAABE中，AE=1ABi-BP=V22-I2=百，

.,.AC=26。

???菱形ABCD以點0為中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°,

/.ZA0C--X3600=90°,即AO_LCO,AO=CO

4

在RSA0C中，AO=CO==y/b°

V^,(?=-A0?C0=-X#X#=3,?DE=-X2A/3乂\=乖),

2222

.?.S陰影=S"oc-SAADC=4X(3-73)=12-473

所以圖中陰影部分的面積為12-473,

【題5】（2014年河南省第14題汝口圖，在菱形ABCD中，AB=1,ZDAB=60",把菱

形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形AB，CD,其中點C的運動路徑為無尸，則圖中

陰影部分的面積為

【考點】：菱形的性質(zhì)；扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】：連接BD,過D，作D，H_LAB,則陰影部分的面積可分為3部分，再根據(jù)菱形

的性質(zhì)，三角形的面積公式以及扇形的面積公式計算即可.

【解答】：解：連接BD，，過D，作D'HLAB,

在菱形ABCD中，AB=1,ZDAB=60。，把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形

ABCD，，

DH=3,

2

SAABD'=—x1x——>

222

圖中陰影部分的面積為工+衛(wèi)-V3-

42

【點評】：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只

改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

【題6】（2014?泰州第16題）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm,E為CD邊上一，點,

ZDAE=30°,M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q.若PQ=AE,

【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形

【專題】：分類討論.

【分析】：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNLBC,交BC于點N,由ABCD為正方形，得到

AD=DC=PN,在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而

利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三

角形ADE與三角形PQN全等,利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ,

NDAE=NNPQ=30。，再由PN與DC平行，得至ijzPFA=NDEA=60。，進而得到

PM垂直于AE,在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義

求出AP的長，再利用對稱性確定出AP，的長即可.

【解答】：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN_LBC,交BC于點N,

???四邊形ABCD為正方形，

AD=DC=PN,

在RtAADE中，ZDAE=30°,AD=3cm,

二tan30°=延，即DE=V5cm,

AD

根據(jù)勾股定理得：AE=^32_^2V3cm,

??,M為AE的中點，

AM=AAE=A/3：m,

2

在RtAADE和RtAPNQ中,

(AD=PN,

lAE=PQ，

RtAADE2RtAPNQ(HL),

：DE=NQ,ZDAE=ZNPQ=30°,

?/PNIIDC,

??.ZPFA=ZDEA=60°,

/.ZPMF=90°,即PM_LAF,

在RtAAMP中，NMAP=30°,COS30°=&L

_AP

...AP=-----翅----=^^=2cm；

cos30°y_3

~~2

由對稱性得到AP，=DP=AD-AP=3-2=lcm,

綜上，AP等于1cm或2cm.

故答案為：1或2.

【點評】：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判

定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【題7】（2014年重慶市第18題）如圖，正方形ABCD的邊長為6,點O是對角線AC、

BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE,過點C作CF_LBE,垂足為F,連接OF,則OF

【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì).

【分析】：在BE上截取BG=CF,連接OG,證明△OBG空△OCF,則OG=OF,

ZBOG=ZCOF,得出等腰直角三角形GOF,在RTABCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長,

即可求得OF的長.

【解答】：解：如圖，在BE上截取BG二CF,連接0G,

.RT^BCE中，CF±BE,

ZEBC=ZECF,

???ZOBC=ZOCD=45°,

ZOBG=ZOCF,

在AOBG與AOCF中

'OB二OC

<NOBG=NOCF

BGXF

/.△OBG堊△OCF(SAS)

??.OG=OF,ZBOG=ZCOF,

OG±OF,

在RT/kBCE中，BC=DC=6,DE=2EC,

EC=2,

BE=VBC2+CE2=V62+22=2^)

???BC2=BF?BE,

貝I]62=BF?2伍，解得：BF=.^52,

EF=BE-BF=^S^,

5

CF2=BF>EF,

CF=2?Z1P,

5_

GF=BF-BG=BF-CF=-§VlQ,

5

在等腰直角AOGF中

OF2=1GF2,

2_

5

【點評】：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股

定理的應用.

【題8】（2014年寧夏笫15題）如圖，在四邊形ABCD中，ADIIBC,AB=CD=2,BC=5,

NBAD的平分線交BC于點E,且AEIICD,則四邊形ABCD的面積為.

D

【考點】：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【分析】：根據(jù)題意可以判定△ABE是等邊三角形，求得該三角形的高即為等腰梯形

ABCD的高.所以利用梯形的面積公式進行解答.

【解答】：解：如圖，過點A作AF_LBC于點F.

ADIIBC,

/.ZDAE=ZAEB,

又ZBAE=ZDAE,

ZBAE=ZAEB,

,/AEIICD,

ZAEB=ZC,

,/ADIIBC,AB=CD=2,

四邊形是等腰梯形，

ZB=NC,

AABE是等邊三角形，

AB=AE=BE=2,ZB=60°,

AF=AB-sin60°=2x

2

,/ADIIBC,AEIICD,

???四邊形AECD是平行四邊形，

.?.AD=EC=BC-BE=5-2=3,

梯形的面積二工(AD+BC)xAF=lx(3+5)x舟4a.

2

【點評】：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的

性質(zhì)等.

【題9】（2014?寧波第11題）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上,

BC=1,CE=3,H是AF的中點，那么CH的長是.

【考點】：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】：連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,NACD=NGCF=45。,

再求出NACF=90。，然后利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【解答】：解：如圖，連接AC、CF,

:正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

；.AC=a,CF=3&,

ZACD=ZGCF=45°,

ZACF=90°,

由勾股定理得，AF=-7AC2+CF2=V\/22+（3^/2）

是AF的中點,

【點評】：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角

形是解題的關(guān)鍵.

【題10]（2014?武漢第16題）如圖,在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,

ZABC=ZACB=ZADC=45%則BD的長為.

【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形

【分析】：根據(jù)等式的性質(zhì)，可得NBAD與/CAD'的關(guān)系，根據(jù)SAS,可得ABAD與

△CAD'的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD'的關(guān)系，根據(jù)勾

股定理，可得答案.

【解答】：解：作AD'1AD,AD'=AD,連接CD',DD',如圖：，

?.?/BAC+NCAD=NDAD'+ZCAD,

即NBAD=/CAD',

在4BAD與ACAD'中，

fBA=CA

-NBAD=NCAD'，

,AD=AD'

.,.△BAD空ZXCAD'(SAS),

.*.BD=CD,.

/DAD'=90°

由勾股定理得DD'=JAD?+(AD')27^=4?

VDC2+(DDZ)2=^9+32=V41

ND'DA+ZADC=90"

由勾股定理得CD'=底+(DD')2二的屈二而

.\BD=CD,=V41>

故答案為：V4i.

【點評工本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵.

【題11］（2014?蘇州第17題）如圖，在矩形ABCD中，里心，以點B為圓心，BC

BC5

長為半徑畫弧，交邊AD于點E.若AE?ED=4,則矩形ABCD的面積為一.

【考點】：矩形的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】：連接BE,設(shè)AB=3x,BC=5x,根據(jù)勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的

值，求出AB、BC,即可求出答案.

【解答】：解：如圖，連接BE,則BE=BC.

設(shè)AB=3x,BC=5x,

?.?四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=3x,AD=BC=5x,ZA=90°,

由勾股定理得：AE=4x,

則DE=5x-4x=x,

VAE?ED=A

3

4x?x=—,

3

解得：x=Y5（負數(shù)舍去），

3

則AB=3x=bBC=5x=&叵

3_

，矩形ABCD的面積是ABxBC=J5><殳③5,

3

故答案為：5.

【點評】：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應用，解此題的關(guān)鍵是求出x的值，題目

比較好，難度適中.

【題129]（2014?棗莊第18題）圖①所示的正方體木塊棱長為6cm,沿其相鄰三個面

的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從

頂點A爬行到頂點B的最短距離為cm.

圖①

【考點】:平面展開-最短路徑問題；截一個幾何體

【分析】:要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)"兩點之

間線段最短”得出結(jié)果.

【解答】:解：如圖所示：

B

△BCD是等腰直角三角形，4ACD是等邊三角形，

在RtABCD中，CD=.BC2+.d2=6任01,

BE=-icD=3-\/2cm,

在RtAACE中，AE=^^Q2_Qg2=3-\/3；m,

二從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3揚3我）cm.

故答案為：（3，外3，§）.

【點評】：考查了平面展開-最短路徑問題，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面

圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題.

【題13］（2014年江蘇徐州第18題）如圖①，在正方形ABCD中，點P沿邊DA從點

D開始向點A以lcm/s的速度移動；同時，點Q沿邊AB、BC從點A開始向點C以2cm/s

的速度移動.當點P移動到點A時，P、Q同時停止移動.設(shè)點P出發(fā)xs時，APAQ的面

積為ycn?,y與x的函數(shù)圖象如圖②,則線段EF所在的直線對應的函數(shù)關(guān)系式為.

【考點】：動點問題的函數(shù)圖象.

【分析】：根據(jù)從圖②可以看出當Q點到B點時的面積為9,求出正方形的邊長，再利用三

角形的面積公式得出EF所在的直線對應的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】：解：.點P沿邊DA從點D開始向點A以lcm/s的速度移動；點Q沿邊AB、BC

從點A開始向點C以2cm/s的速度移動.

當P點到AD的中點時，Q到B點，

從圖②可以看出當Q點到B點時的面積為9,

二9=L（1AD）?AB,

22

---AD=AB,

AD=6,即正方形的邊長為6,

當Q點在BC上時，AP=6-x,AAPQ的高為AB,

y=A(6-x)x6,即y=-3x+18.

2

故答案為：y=-3x+18.

【點評】：本題主要考查了動點函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是求出正方形的邊長.

2014年中考數(shù)學沖刺復習資料:二次函數(shù)壓軸題

面積類

1.如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點例是線段BC上的點(不與B,C重合)，過M作何N〃y軸交拋物線于M若點M

的橫坐標為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下，連接N8、NC,是否存在相，使△8NC的面積最大？若存在，求機

的值；若不存在，說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

分析：

(1)已知了拋物線上的三個點的坐標，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點"的橫坐標，代入直線BC、拋物

線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長.

(3)設(shè)MN交x軸于。，那么△BNC的面積可表示為：SABNC=SAMNLSAMNB=MN(OD+DB)

=MN?OB,MN的表達式在(2)中己求得，08的長易知，由此列出關(guān)于SZSBNC、機的函

數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出△BNC是否具有最大值.

解答：

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3),則：

a(0+1)(0-3)=3,a--1；

，拋物線的解析式：y=-(x+1)(x-3)=-J?+2X+3.

(2)設(shè)直線BC的解析式為：y^kx+b,則有：

(3k+b=0

lb=3

解得產(chǎn)_1；

[b=3

故直線BC的解析式：y=-x+3.

已知點M的橫坐標為機，MN//y,則M(，〃，-〃?+3)、N(m,-/n2+2/n+3)；

MN=-nr+2m+3-(-m+3)=-nr+Sm(0</n<3).

(3)如圖；

?：S&BN『SAMNLSAMNB=MN(OD+DB)=MN?OB,

_22

S&BNC=(m+3m)*3=-(w-)+—(0<m<3)；

8

，當機=時，△BNC的面積最大，最大值為2Z.

8

2.如圖，拋物線y=ax2-米-2（a。。）的圖象與x軸交于A、8兩點，與y軸交于C

點，已知B點坐標為（4,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

（3）若點M是線段8C下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M

點的坐標.

考點：二次函數(shù)綜合題..

專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.

分析：(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將8點坐標代入解析式中即可.

(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定4點坐標，然后通過證明△A8C是直角三角形來推導出

直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標.

(3)ZiMBC的面積可由SAM/?C=8CX〃表示，若要它的面積最大，需要使人取最大值，即點

M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一

個交點時，該交點就是點M.

解答：

解：(1)將8(4,0)代入拋物線的解析式中，得：

0=16a-x4-2,即：a=i

；?拋物線的解析式為：y=/-x-2.

(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得：A(-1,0)、C(0,-2)；

：.OA=\,OC=2,。8=4,

即：0。2=04.。8,又：oc_LA8,

.?.△OACS/XOCB,得：N0C4=N0BC：

,NACB=ZOCA+ZOCB=ZOBC+Z0CB=9()°,

.二△ABC為直角三角形，A8為aABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為A8的中點，且坐標為：(，0).

(3)已求得：B(4,0)、C(0,-2),可得直線BC的解析式為：)，=x-2；

設(shè)直線/〃8C,則該直線的解析式可表示為：產(chǎn)x+b,當直線/與拋物線只有一個交點時，

可列方程：

x+b-x1-x-2,即：x1-2x-2-b=0,且△=()；

.\4-4x(-2-/>)=0,即6=-4；

直線/：y^x-4.

所以點“即直線/和拋物線的唯一交點，有：

C12-3-0

X2

尸工x-2_(x=2

■,解得：即M(2,-3).

HX-41尸一3

過M點作MNLx軸于N,

SABMC=S梯形OCM/SAMNB~SA0CB=X2X(2+3)+x2x3-x2x4=4.

平行四邊形類

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)=*+加+〃經(jīng)過點A(3,0)、B(0,-3),點P

是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M,設(shè)點P的橫坐標為人

(1)分別求出直線A8和這條拋物線的解析式.

(2)若點P在第四象限，連接AM、BM,當線段PM最長時，求的面積.

(3)是否存在這樣的點P,使得以點P、M,B、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在,

請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程一因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待

定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定..

專題：壓軸題；存在型.

分析：

(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A(3,0)B(0,-3)分別代入1

與嚴日+6,得到關(guān)于"?、〃的兩個方程組，解方程組即可；

(2)設(shè)點P的坐標是(f,L3),則戶-2f-3),用P點的縱坐標減去M的縱坐標

得到PM的長，即PM=(f-3)-(d-2廣3)=-尸+3/,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

當仁-——二時,P”最長為_。二9二,再利用三角形的面積公式利用

2X(-1)4X(-1)

S&ABM=S4BP/S&APM計算即可；

(3)由PM〃08,根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=08時，點P、M.B、。為頂點的四

邊形為平行四邊形，然后討論：當尸在第四象限：PM=0B=3,PM最長時只有，所以不可

能；當尸在第一象限：PM=OB=3,(?-2r-3)-(f-3)=3；當尸在第三象限：PM=0B=3,

I2-3片3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.

解答：

解：(1)把A(3,0)B(0,-3)代入得

(O=9+3/n解得了-2,所以拋物線的解析式是尸2一2x-3.

I-3=n[n=-3

設(shè)直線AB的解析式是產(chǎn)kx+b,

把A(3,0)B(0,-3)代入尸fcr+b,f0-3k+b,解得，卜一1,

[-3=b[b=-3

所以直線AB的解析式是y=x-3；

(2)設(shè)點尸的坐標是(f,L3),則產(chǎn)

因為p在第四象限，

所以PM=G-3)-(?-2r-3)=-?+3r,

當片-——,二時,二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為一。二9,

2X(-1)4X(-1)

則S^ABM=S^BPM~^SL\APM~—X~X3?~

248

(3)存在，理由如下：

'：PM//OB,

...當PM=OB時，點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形,

①當P在第四象限：PM=OB=3,PM最長時只有，所以不可能有PM=3.

②當尸在第一象限：PM=OB=3,(?-2?-3)-(r-3)=3,解得f尸斑②，屋一^^!(舍

22

去)，所以P點的橫坐標是如②；

2_

23

③當尸在第三象限：PM=OB=3,t-3t=3,解得九=3+4五(舍去),t2=-所以尸

22

點的橫坐標是3一板.

2_

所以P點的橫坐標是羽②或3-收.

22

4.如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為4(0,1),B(2,0),O(0,

0),將此三角板繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ASO.

(1)一拋物線經(jīng)過點4、B\B,求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點尸，使四邊形尸87VB的面積是

△?長。面積4倍？若存在，請求出尸的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，試指出四邊形尸夕是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形P87VB

的兩條性質(zhì).

考點：二次函數(shù)綜合題..

專題：壓軸題.

分析：

(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A'(-1,0),B'(0,2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

即可；

(2)利用Sna?PB'A,B=S^B,OA，+S&PB'O+S&POB^再假設(shè)四邊形PB'A'B的面積是△A'8'O面積的4

倍，得出一元二次方程，得出P點坐標即可；

(3)利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形P87rB為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)

得出答案即可.

解答：

解：Q)夕。是由△AB。繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的,

又4(0,1),B(2,0),O(0,0),

(-1,0),B'(0,2).

方法一：

設(shè)拋物線的解析式為：y=a>r+bx+c(存0),

:拋物線經(jīng)過點A'、B\B,

，0=a-b+c'a=T

.I2=c，解得：，b=l，，滿足條件的拋物線的解析式為y=-W+x+2.

0=4a+2b+c.c=2

方法二：(-1,0),B'(0,2),B(2,0),

設(shè)拋物線的解析式為：尸a(x+1)(x-2)

將周(0,2)代入得出：2=4(0+1)(0-2),

解得：a--\,

故滿足條件的拋物線的解析式為產(chǎn)-(x+1)(%-2)=-/+x+2；

(2)為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，

設(shè)P(x,y),貝iJx>0,y>0,P點坐標滿足尸-x2+x+2.

連接尸8,PO,PB',

SVWHPB'A'B=SAB'。'+S/\PB'O+SAPOB，

=x1x2+x2xx+x2xy,

=x+(-J?+X+2)+1,

=-f+2x+3.

"：A'O=1,B'O=2,...△AE。面積為:x1x2=1,

假設(shè)四邊形PB'A'B的面積是面積的4倍，則

4=-f+2x+3,

即f-2r+l=0,

解得：X1=X2=1,

此時)=-[2+]+2=2,即p(1,2).

.?.存在點?(1,2),使四邊形PB48的面積是△Ab。面積的4倍.

(3)四邊形尸8/3為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個均可.

①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等；

③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等.-------------------（10分）

或用符號表示：

①/B'A'B=NPBA'或?PA'=B'Bx?B'P//A'B；?B'A'=PB.-----------

-------（10分）

5.如圖，拋物線尸c2-2x+c的頂點A在直線/：y=x-5上.

（1）求拋物線頂點A的坐標；

（2）設(shè)拋物線與），軸交于點B,與x軸交于點C、￡＞（C點在。點的左側(cè)），試判斷△ABO

的形狀；

（3）在直線/上是否存在一點P,使以點尸、4、B、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在，求點P的坐標;

考點：二次函數(shù)綜合題..

專題：壓軸題；分類討論.

分析:

（1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點4的橫坐標，然后代入直線/的

解析式中即可求出點A的坐標.

(2)由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標.則AB、AD,BO三邊

的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀.

(3)若以點P、A、B、。為頂點的四邊形是平行四邊形，應分①48為對角線、②為對

角線兩種情況討論，即①4。幺8、@ABLPD,然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列

方程求出尸點的坐標.

解答：

解：(1)..,頂點A的橫坐標為JC=-—^=1,且頂點A在y=x-5上，

當x=\時，_y=l-5=-4.

(1,-4).

(2)ZkAB。是直角三角形.

將4(1,-4)代入尸c2-2x+c,可得，1-2+c=-4,.,.c=-3,

.,.yr2-2x-3,.,.B(0,-3)

當)=0時，x2-2x-3=0>制=-1,及=3

：.C(-1,0),D(3,0),

83=。咫+?！?gt;2=18,AB2=(4-3)2+12=2,AD2=(3-1)2+42-20,

BD^+AB^AD2,

：.ZABD=90°,即△ABO是直角三角形.

(3)存在.

由題意知：直線產(chǎn)x-5交y軸于點E(0,-5),交x軸于點尸(5,0)

：.OE=OF=5,

又：OB=OO=3

/\OEF與△08。都是等腰直角三角形

ABD//1,BPPA//BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是孫或B4BD,如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G.

設(shè)P(xi，Xi-5),則