高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)、函數(shù)的零點應(yīng)用練習(xí)及答案

高中數(shù)學(xué)幕函數(shù)、函數(shù)的零點應(yīng)用練習(xí)及答案

典例分析

題型一：正比例'反比例和一次函數(shù)型

【例1】某商人將彩電先按原價提高40%,然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺彩電比原價多賺144元，那

么每臺彩電原價是元.

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】

【答案】1200

【例2】某商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價的百分?jǐn)?shù)是.

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】

【答案】129%

9

【例3】某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行了連續(xù)5

年的觀測，并將每年年底的觀測結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測：（1）如果

不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果

從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙

漠面積減少到90萬公頃？

觀測時間1996年1997年1998年1999年2000年底

底底底底

該地區(qū)沙漠比原有面積增0.20000.40000.60010.79991.0001

加數(shù)（萬公頃）

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】(1)由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=+6

的圖象。

將x=l,y=0.2與x=2,y=0.4,代入產(chǎn)kx+b,

求得k=0.2,b=Q,

所以y=0.2x(x￡N)o

因為原有沙漠面積為95萬公頃，則到2010年底沙漠面積大約為

95+0.5x15=98(萬公頃)。

(2)設(shè)從1996年算起，第尤年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃，由題意得95+0.2元一0.6(彳

-5)=90,

解得x=20(年)。

故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。

點評：初中我們學(xué)習(xí)過的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。

特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好。

【答案】(1)98(萬公頃)(2)2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃

【例4】已知函數(shù)在R上有定義，對任何實數(shù)a〉0和任何實數(shù)龍，都有“依)=4(%)

(I)證明"0)=0;

IzjrX>0

(II)證明/(%)='—其中左和均為常數(shù)；

iL/x/^\U

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2006年，安徽理，高考

【解析】(I)令x=0,則/(0)=%(0),?.?4>(),，/(0)=0。

(II)①令x=a,a>0,x>0,則/(V)=獷(x)。

假設(shè)xN0時，/(x)=Ax(左eR),貝I/(必)=Ax?,而/乂》親女=2,A=,

即=kx成立。

②令九=一］，X<0,/(一九2)=—葉(%)

假設(shè)x<0時，f(x)=hx(heR),貝4/(一一)=一碗2,而一療(%)=一%./2%=一/2%2,

°(4八/、,|Ax,x>0,

**?f\~x2)=_V(X)，即/(%)=辰成二。f(zx)x=<成工。

')\hx,x<0

點評：該題應(yīng)用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征，從而使問題得到簡化。而不是一味的向函數(shù)求值

方面靠攏。

【答案】(I)令x=0,則/(o)=4(o),???〃>0,???/(0)=0。

(II)①令％=〃，1?〃>(),/.X>0,則/(%2)=4(%)。

假設(shè)X、0時，y(X)=kx(kwR),則/(%2)=丘2,而/M**女=2,.?./(12)=葉(無),

即/(x)=Ax成立。

②令%=—a,?.?〃>(),x<0,/(-x2j=-xf(x)

假設(shè)x<0時，f(x)=/vc(hwR),貝4/(一%，=一法2,

0

-xf(x)=-x-hx=-hx2,/(-x2)=-V(x),即/(x)=成立。二/(x)=<

hx,x<0

成工o

【例5】某市的一家報刊攤點，從報社買進(jìn)《晚報》的價格是每份0.20元，賣出價是每份0.30元，

賣不掉的報紙可以以每份0.05元價格退回報社.在一個月(以30天計)里，有20天每天可

賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個攤

主每天從報社買進(jìn)多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少

元？

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】設(shè)攤主每天從報社買進(jìn)尤份，顯然當(dāng)xC[250,400]時，每月所獲利潤才能最大.于是每月所

獲利潤y為y=20x0.3%+10x0.3x250+10x0.05x(x—250)—30x0.2x=0.5x+625,[250,

400].

因函數(shù)y在[250,400]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=400時，y有最大值825元.

【答案】當(dāng)x=400時，y有最大值825元

【例6】某地區(qū)上年度電價為0.8元小卬也年用電荷量為akW-h,本年度計劃將電價降到0.55元/kW-h

至0.75元/kW-h之間，而用戶期望電價為0.4元/左W/2.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電荷量

與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為。該地區(qū)電力的成本價為0.3元/左W/.

(1)寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的受益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)公0.2a,當(dāng)電價最低定為多少時仍可保證電力部門的受益比上年至少增長20%

(注：受益=實際用電量x(實際電價一成本價))？

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】(1)：0.55W元W0.75,

下調(diào)電價后新增的用電荷量為—

x—0.4

：.本年度用電荷量為G+——

x-0.4

k

?受益=實際用電量X(實際電價一成本價)，,y=(a+二^)(x—0.3)

x-OA

2

(2)k=0.2a,：,y=(a+k)(%-0.3)=(a+°-0)(X-0.3)

x-0.4x-OA

上年受益=(0.8-0.3)a,/.y(a+a)(x-0.3)>(0.8-0.3)a(l+20%)

x-0.4

解得x20.6e[0.55,0.75]

即最低電價應(yīng)定為0.6元/kWh.

k

答：關(guān)系式為y=(aH---------)(尤—0.3),最低電價為0.6元/kWh.

x-0.4

k

【答案】(1)y=(a+'^)(x-0.3),(2)最低電價為0.6元/kWh.

x-0.4

【例7】我國從1990年至2000年間，國內(nèi)生產(chǎn)總值(GOP)(單位：億元)如下表所示:

年份19901991199219931994199519961997199819992000

生產(chǎn)總值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404

100000I?生產(chǎn)總值I

90000-

80000-????

70000-

60000-

50000-

40000-

30000-???

20000.

10000-

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立能基本反映這一時期國內(nèi)生產(chǎn)總值變化的函數(shù)模型，并利用所建立的函

數(shù)模型，預(yù)測2010年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值.

【考點】正比例、反比例和一次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，如右圖所示.

根據(jù)散點圖，可以看出大致分布在一條直線附近.選擇1990年、2000年的數(shù)據(jù)代入y=ax+b,

得

(18598.4=1990。+6更彳n(a=7080.56

189404=2000a+b'牛何1人=-14071716.

所以，近似的函數(shù)模型為y=7080.56%-14071716.

當(dāng)x=2010時,>-160209.6,

即預(yù)測2010年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值為160209.6億元.

點評：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作散點圖，通過觀察圖象的特征，選用適合的函數(shù)模型，也可以

利用計算器或計算機(jī)的數(shù)據(jù)擬合功能，作出具體的函數(shù)解析式，再通過所得到的函數(shù)模型解

決相應(yīng)的問題.本題由兩點近似求得直線，如果由以后的線性回歸知識求解，所得模型則更

接近實際情況.

【答案】預(yù)測2010年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值為160209.6億元

題型二：二次函數(shù)型

【例8】一輛中型客車的營運(yùn)總利潤y(單位：萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(xGN)的變化關(guān)系如表所示,

則客車的運(yùn)輸年數(shù)為()時該客車的年平均利潤最大。

(A)4(B)5(C)6(D)7

X年468

y=aj^+bx+c（萬元）7117

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】表中已給出了二次函數(shù)模型

y=ax2+bx+c,

由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(4,7),(6,11),(8,7),則

7=〃4+/??4+C,

<11=tz-62+Z?-6+c,

7=tz,82+Z?,8+<?.

Io

解得。=—1,b=12,c=-25,

即y=+12x—25o

又2=-x+12-空

XX

=(+§]+12

W-10+12=2

而取"=''的條件為無=3,

x

即x=5,故選(B)。

點評：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的

結(jié)論和性質(zhì)，解決好實際問題。

【答案】B

【例9】行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離

叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進(jìn)行測試，

測試所得數(shù)據(jù)如下表。在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13m,

問汽車在剎車時的速度是多少？

剎車時車速v/km/h153040506080

剎車距離s/m1.237.3012.218.4025.8044.40

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】所求問題就變?yōu)楦鶕?jù)上表數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的問題。此模型不能由

表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標(biāo)

系。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，可看出應(yīng)選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)。假設(shè)變量v與s之間有

如下關(guān)系式：s^av2+bv+c,因為車速為。時，剎車距離也為0,所以二次曲線的圖象應(yīng)

通過原點(0,0)?再在散點圖中任意選取兩點A(30,7.30),B(80,44.40)代入，解出a、

b、c于是

s=0.0062；2+0.056多。(代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的)

將s=15,13代入得

15.13=0.0062,2+00563,

解得v?45.07o

所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h。

【答案】汽車在剎車時的速度是45.07km/h

【例10】某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金

每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費150元，未租出的

車每輛每月需要維護(hù)費50元.

(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2003年，北京，高考春

【解析】(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為：36。為3000=]2,所以這時

租出了88輛車.

(2)設(shè)每輛車的月租金定為尤元，則租賃公司的月收益為：/(x)=(100-入―)(x—150)

50

x—3000歷p,、/1、2斤，

----------------x50,整理得:/(無)=一一+162%-21000=-—(z無一4050)2+307050.所以，當(dāng)x=4050

505050

時，于(x)最大，其最大值為y(4050)=307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司

的月收益最大，最大收益為307050元.

點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

并加以解決。

【答案】(1)租出了88輛，(2)當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為

307050元

【例11】某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、L2萬件、1.3萬件，為了估測以后每

個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的

關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y="'+c(其中a,6,c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)

品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由.

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】(1)利用二次函數(shù)模型，設(shè)/(x)=加++c(a￥0)

a+b+c=1

由已知條件可得方程組：＜4a+2b+c=1.2,

9〃+3b+c=1.3

解得a=-0.05,Z?=0.35,c=0.7

.../(x)=-0.05x2+0.35x+0.7

把4月份代入可得/(4)=1.3

(2)用模型2,即指數(shù)模型y=iZ/+c=〃(x)

ab+c=l

把1,2,3月分別代入可得方程組如下：＜ab1+c=1.2

ab3=1.3

解方程組可得：a=-0.8,b=0.5,c=1.4,w(x)=-0.8x(0.5)'+1.4

“(4)=1.35,綜上可知用模型"(x)=-0.8x(0.5)工+1.4好.

答：用模型a(x)=-0.8x(0.5廠+1.4作為模擬函數(shù)較好.

【答案】用模型M(X)=-0.8x(0.5)、+1.4作為模擬函數(shù)較好

【例12】一海輪航海時所耗燃料費與其航速的平方成正比，已知當(dāng)航速為每小時a海里時，每小時所

耗燃料費為6元；此外，該海輪航行中每小時的其它費用為c元(與航速無關(guān))，若該海輪勻

速航行d海里，問航速應(yīng)為每小時多少海里才能使航行的總費用最??？此時的總費用為多

少？

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】本題的問題求的是勻速航行的速度為多少總費用最省，那么就要找到總費用和航速的關(guān)系，

總費用等于燃料費和其它費用的總和，燃料費與時間和航速有關(guān)，而其它費用只和時間有關(guān)，

而時間又是由航速確定的，所以本題的一切變量都可以用航速表達(dá)出來，從而可以列出函數(shù)

關(guān)系求最值.

由題意設(shè)所耗燃料費與其航速的平方的比例系數(shù)為％,貝hb=ka2,

a

設(shè)航速為每小時龍海里使最省，貝h航行的總費用為+c&

axx

當(dāng)^-x=—9即x=~\[bc時取最小值.

axb

答：當(dāng)航速滿足@癡時，費用最小，其最小值為之癡.

ba

【答案】當(dāng)航速滿足4癡時，費用最小，其最小值為"癡

ba

【例13】有甲、乙兩種商品，經(jīng)銷這兩種商品所能獲得的利潤依次是p萬元和q萬元，它們與投入的

資金x萬元的關(guān)系有經(jīng)驗公式：現(xiàn)有資金9萬元投入經(jīng)銷甲、乙兩種商品，

為了獲取最大利潤，問：對甲、乙兩種商品的資金分別投入多少萬元能獲取最大利潤？

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】設(shè)對乙商品投入尤萬元，則對甲商品投入9一彳萬元.

設(shè)利潤為y萬元，xe[0,9].

.,.y=—(9-x)+—A/X=—(-X+4A/X+9)=—(-(^-2)2+13),

1051010

當(dāng)代=2,即X=4時，ymax=1.3.

所以，投入甲商品5萬元，乙商品4萬元時，能獲得最大利潤1.3萬元.

【例14】某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個，出廠價為60元/個，日銷售量為1000個.為適應(yīng)市

場需求，計劃提高蛋糕檔次，適度增加成本，若每個蛋糕成本增加的百分率為x(04<l),則

每個蛋糕的出廠價相應(yīng)提高的百分率為0.5x,同時預(yù)計日銷售量增加的百分率為0.8元，已知

日利潤=(出廠價一成本)x日銷售量，且設(shè)增加成本后的日利為y.(1)寫出y與x的關(guān)

系式；(2)為使日利潤最大，問x應(yīng)取何值？

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】(1)由題意y=[60x(l+0.5x)—40x(l+x)]xl000x(l+0.8x)

=2000(-4x2+3x+10)=-8000x2+6000%+10000(0<x<l)

33

(2)要保證日利潤最大，則當(dāng)且僅當(dāng)x=——--=3=0.375時.

2x(-4)8

【答案】(1)y=-8000%2+6000%+10000(0<x<l)(2)0.375時

【例15】某商店按每件80元的價格，購進(jìn)時令商品(賣不出去的商品將成為廢品)1000件；市場調(diào)

研推知：當(dāng)每件售價為100元時，恰好全部售完；當(dāng)售價每提高1元時，銷售量就減少5件;

為獲得最大利潤，商店決定提高售價x元，請將獲得總利潤y元表示為x的函數(shù)，并確定合

理售價，求出最大利潤.

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】設(shè)比100元的售價高x元，總利潤為y元；則

y=(100+尤)(1000-5%)-80x1000=-5x2+500%+20000=-5(x-50)2+32500.

顯然，當(dāng)x=50即售價定為150元時，利潤最大；其最大利潤為32500元.

【答案】y=_5f+500x+20000售價定為150元時，利潤最大；其最大利潤為32500元

【例16】某商場經(jīng)銷一批進(jìn)貨單價為40元的商品，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表:

銷售單價/元50515253545556

日均銷售量/個48464442403836

為了獲取最大利潤，售價定為多少時較為合理？

【考點】二次函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】由題可知，銷售單價增加1元，日均銷售量就減少2個.

設(shè)銷售單價定為x元，則每個利潤為(x—40)元，日均銷量為[48-2(十一50)]個.

由于x-40>0,且48-2(x-50)>0,得40Vx<74.

貝U日均銷售利潤為y=(無一40)[48-2(尤一50)]=-2x2+228元-5920,40Vx<74.

易知，當(dāng)工=4且一=57,y有最大值.

2x(-2)

所以，為了獲取最大利潤，售價定為57元時較為合理.

點評：從表格中發(fā)現(xiàn)存在的變化規(guī)律，是課標(biāo)教材中對提價后銷量減少一類應(yīng)用問題相比大

綱教材的改進(jìn).這種表格背景更符合實際，規(guī)律都是從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，而不是直接生硬地

得到，同時也提高了讀表分析這一數(shù)學(xué)閱讀理解能力.

【答案】定為57元時較為合理

題型三：分段函數(shù)型

【例17】某集團(tuán)公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表：

一期2000年投入興建垃圾堆肥廠年處理有機(jī)肥十多萬噸年綜合收益

1億元2千萬元

二期2002年投入興建垃圾焚燒發(fā)電一年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益

4億元廠4千萬元

三期2004年投入興建垃圾焚燒發(fā)電二年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益

2億元廠4千萬元

如果每期的投次從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設(shè)2000年以后的x年的總收益為加0

（單位：千萬元），試求了（x）的表達(dá)式，并預(yù)測到哪一年能收回全部投資款。

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】由表中的數(shù)據(jù)知，本題需用分段函數(shù)進(jìn)行處理。由表中的數(shù)據(jù)易得，

2x

=<2x+4（x-2）

2x+4（x-2）+4（x-4）

顯然，當(dāng)n“時，不能收回投資款。

當(dāng)n>5時，由火n）=10n-24>70,

得n>9.4,取n=10。

所以到2010年可以收回全部投資款。

點評：分段函數(shù)是根據(jù)實際問題分類討論函數(shù)的解析式，從而尋求在不同情況下實際問題的

處理結(jié)果。

【答案】到2010年可以收回全部投資款

【例18】某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價

與上市時間的關(guān)系用圖2—10中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)

系用圖2—10中（2）的拋物線表示.

（1）寫出圖中（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式尸=/W;

寫出圖中（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式。=g（/）；

（2）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?

（注：市場售價和種植成本的單位：元/IO2,kg,時間單位：天）

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2000年，全國，高考

【解析】(1)由圖(1)可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為

3Q0-t,Q<t<2QQ,

2t-3QQ,2QQ<t<3QQ-

由圖(2)可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為

g(t)=——(r-150)2+ioo,0<r<300.

200

(2)設(shè)1時刻的純收益為〃(/),則由題意得〃(r)=f(r)—g(r),

1175

+-r+—,0<r<200,

22

即h(?)=<200

11025

,200<r<300.

200

當(dāng)g出200時，配方整理得力⑺=-—(r-50)2+100,

200

所以，當(dāng)f=50時，h(r)取得區(qū)間［0,200］上的最大值100；

當(dāng)200〈云300時，配方整理得

h(?)=-...(t—350)2+100,

200

所以，當(dāng)￡=300時，h3取得區(qū)間(200,300］上的最大值87.5.

綜上，由100>87.5可知，h⑺在區(qū)間［0,300］上可以取得最大值100,此時t=50,

即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.

點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運(yùn)用所學(xué)知識解

決實際問題的能力.

［3Q0-t,Q<t<2QQ,

【答案】(1)f(力=4

2”300,200300;

g3=-^—(r-150)2+100,OS匹300.

200--

(2)從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大

【例19】某商店將進(jìn)貨價每個10元的商品按每個18元出售時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理到市場

上做了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價(在每個18元的基礎(chǔ)上)每提高一元，則日銷量

就減少5個；若將這種商品的售價(在每個18元的基礎(chǔ)上)每降低1元，則日銷量就增加10

個.為了每日獲得最大利潤，此商品的售價應(yīng)定為每個多少元？

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】設(shè)此商品每個售價為x元，日利潤為y元，則：

當(dāng)時：y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500

即商品按20元每個售出時最大日利潤為500元；

當(dāng)0<xW18時：y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490

此時商品按每個17元售出時獲得最大日利潤為490元.

答：定價為20元可獲日最大利潤.

【答案】定價為20元可獲日最大利潤

【例20】中國青年報2001年3月19日報道：中國移動通信將于3月21日開始在所屬18個省、市移

動通信公司陸續(xù)推出“全球通”移動電話資費“套餐”，這個：“套餐”的最大特點是針對不同用

戶采取了不同的收費方法.

具體方案如下：

方案代號基本月租(元)免費時間(分鐘)超過免費時間的話費(元/分鐘)

130480.60

2981700.60

31683300.50

42686000.45

538810000.40

656817000.35

778825880.30

原計費方案的基本月租為50元，每通話一分鐘付0.4元，請問：

(1)“套餐,，中第4種收費方式的月話費y與月通話量t(月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時

之和，每次通話用時以分為單位取整計算，如某次通話時間為3分20秒，按4分鐘計通話用時)

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)取第4種收費方式，通話量多少時比原計費方式的月通話費省錢；

(3)據(jù)中國移動2000年公布的中期業(yè)績，每戶通話平均為每月320分鐘，若一個用戶的通話

量恰好是這個平均值，那么選擇哪種收費方式更合算，并說明理由.

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2002年，北京，高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽

2680<r<600

【解析】(l)y=

268+0.45x(/-600)t>600

(2)當(dāng)叱區(qū)600時，解不等式50+0.4侖268,得545WtW600(t6N),

當(dāng)t>600時，解不等式50+0.4tN268+0.45(t-600),得600<tW1040(tGN),

綜上，5450/1040時(tGN),第4種收費方式比原收費方式的月通話費省錢.

(3)因為按照原來的收費方式，320分鐘收費178元(即50+04x320),所以，不會選擇月

租費多于178元的收費方式，從而只考慮"套餐''中的前三種方式.

第一種方式的話費為：30+0.6X(320-48)=193.2(元)；

第二種方式的話費為：98+0.6X(320-170)=188(元)；

第三種方式的話費為：168元.

故選擇第三種方式.

事實上，相對于原收費方式，當(dāng)通話時間大于244分鐘時，第一種方式不合算，當(dāng)通話時間

只有在120分鐘至270分鐘時，第二種方式較合算.

2680<?<600

【答案】(l)y=

268+0.45x(”600)t>600

(2)第4種收費方式比原收費方式的月通話費省錢.

(3)第三種方式

【例21】某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中

的含藥量y(微克)與時間f(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線.

(1)寫出服藥后y與f之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(r)；

(2)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效.求服藥一次治

療疾病有效的時間？

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】(1)當(dāng)0W/W1時，y=4t;當(dāng)時，y=g)f,此時M(l,4)在曲線上,

(0<f<1)

.??4=g)j,a=3,這時y=(g)-3.所以y=/(x)=

(?>1)-

⑷20.25、1

12---.1

(2)20.25,即<「加k解得16，??—K/K5.

x匚16

￡W5

服藥一次治療疾病有效的時間為5--！-=4”個小時.

1616

生活中有許多實際問題，常作為函數(shù)模型的應(yīng)用背景.我們需依據(jù)四步曲“讀題理解一建模轉(zhuǎn)

化一求解問題一檢驗作答”求解，從冗長的文字語言中精煉出數(shù)學(xué)語言，選擇合適的數(shù)學(xué)模型

來研究.

4r(0WfW1)

【答案】(2)4"小時

「(，)16

【例22】“依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)”.國家征收個人所得稅是分段計算,總收入不超過800元,

免征個人所得稅，超過800元部分需征稅.設(shè)全月納稅所得額為x,尸全月總收入一800元，

稅率見下表：

級數(shù)全月納稅所得額稅率

1不超過500元部分5%

2超過500元至2000元部分10%

3超過2000元至5000元部分15%

9超過10000元部分45%

(1)若應(yīng)納稅額為7(x),試用分段函數(shù)表示1~3級納稅額/(無)的計算公式；

(2)某人2005年10月總收入3000元，試求該人此月份應(yīng)繳納個人所得稅多少元；

(3)某人一月份應(yīng)繳納此項稅款26.78元，則他當(dāng)月工資總收入介于

A.800~900元B.900~1200元C.1200~1500元D.1500~2800元

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】(1)依稅率表，有：第一段：x-5%,0V爛500;

第二段：(x-500)xl0%+500x5%,500〈爛2000;

第三段：(x-2000)xl5%+1500xl0%+500x5%,2000〈爛5000,

0.05x(0<^<500)

即/(x)=10.1x(尤-500)+25(500<%<2000).

0.15(x-2000)+175(2000<%<5000)

(2)這個人10月份應(yīng)納稅所得額^=3000-800=2200,

f(2200)=0.15x(2200-2000)+175=205.

所以，這個人10月份應(yīng)繳納個人所得稅205元.

(3)解法一：(估算法)由500x5%=25元，100xl0%=10元，故某人當(dāng)月工資應(yīng)在1300~1400

元之間，故選C.

解法二：(逆推驗證法)設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為400x5%=20

(元)，500x5%+200xl0%=45(元).可排除A、B、D,故選C.

點評：關(guān)系國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的納稅問題，與分段函數(shù)密切相關(guān)，我們需注意各級稅率的正確理

解，超過部分按此稅率，并非一個稅率來計算納稅.

'0.05x(0<x<500)

【答案】⑴/(x)=0.1x(x-500)+25(5O0x<200

0.15(x-2000)+175(2004)x450

(2)10月份應(yīng)繳納個人所得稅205元

(3)C

【例23】某公司是一家專做產(chǎn)品A的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完.該

公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其

中圖一中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示國內(nèi)

市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時

間的關(guān)系(國內(nèi)外市場相同).

(1)分別寫出國內(nèi)市場的日銷售量/⑺、國外市場的日銷售量g⑺與第一批產(chǎn)品A的上市

時間/的關(guān)系式；

(2)第一批產(chǎn)品A上市后，求日銷售利潤。⑺的解析式.

【考點】分段函數(shù)型【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】（1）當(dāng)04fW30時，設(shè)/'?）=公，由60=30%解得七2,則/'"）=2九

當(dāng)30</<40時，設(shè)/⑺=m+6,

由管潞了解得器孰，則削=3+24。.

所以，國內(nèi)市場的日銷售量加）=1"+24。緊澆.

3

設(shè)g(t)=at(t-40),由60=20a(20-40)解得a=~