人教A版高中數(shù)學(xué)必修一5三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

知識(shí)剖析

1周期函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足

f(x+7)=f(x),那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，7叫做該函數(shù)的周期.

PS

①?gòu)慕馕鍪?7)=/(X)來(lái)看：任一自變量x對(duì)應(yīng)函數(shù)值y與x增加T后對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等；

②從圖象看：整體函數(shù)圖象是由一部分圖象像“分身術(shù)''一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長(zhǎng)度就是其

正周期！

③三角函數(shù)就是典型的周期函數(shù).

2正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

注表中的kez

y—sinxy=cosx

22

圖像

一

R

定義域R

值域[-1(1][-1H

當(dāng)x=]+2k7T時(shí)，y=1；

max當(dāng)％=2Er時(shí)，ymax=1；

最值

當(dāng)％=7T+2攵兀時(shí)，=-1.

當(dāng)x=-1+2/OT時(shí)，ymin=-1.ymin

周期性27r27r

對(duì)稱(chēng)中心(kn,0):"+g,0)

71

對(duì)稱(chēng)軸%=k"+5x=kn

在［一］+2k兀A+2/OT］上是增函數(shù)；在［―兀+2々兀，2Er］上是增函數(shù);

單調(diào)性

在冷+20，學(xué)+2網(wǎng)上是減函數(shù).在［2k/r，兀+2劃上是減函數(shù).

3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

注表中的kez

y—tanx

圖像

定義域

值域R

最值既無(wú)最大值也無(wú)最小值

周期性n

對(duì)稱(chēng)中心

對(duì)稱(chēng)軸無(wú)對(duì)稱(chēng)軸

單調(diào)性在(JOT-］#兀+》上是增函數(shù)

經(jīng)典例題

【題型一】求解三角函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1周期性

【典題1］/(x)=|sinx|+|cos尤|的最小正周期是()

71

A.—B.nC.2n

【解析】/(%+］)=\sin(x+7)1+\cos(x+2)l=Icosxl+\sinx\=/(x),

故5是y=f(%)的周期，由選項(xiàng)可知選4

【點(diǎn)撥】從定義出發(fā)：存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)工值，都滿足/(%+T)=f(x),則T叫做

該函數(shù)的周期.

【典題2】下列函數(shù)中，最小正周期為與的是()

A.y=sin|x|B.y=cos\2x\C.y=|tanx|D.y=\sin2x\

【解析】由圖可知函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故4不正確；

由于函數(shù)y=cos\2x\=cos2x的周期為萬(wàn)=n,故8不正確;

由圖可知函數(shù)y=|tanx|的周期7=n,故C不正確:

由圖可知函數(shù)丫=回712刈的周期為7=或故。正確,

故選：D.

【點(diǎn)撥】

①函數(shù)/(%)=Asin(a)x+<p),/(%)=Acos(3x+⑴)的最小正周期T=—.

(1)

函數(shù)/(%)=Atan{a)x+尹)的最小正周期T=

②利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)變換與翻轉(zhuǎn)變換，利用圖象判斷函數(shù)周期更容易些.

性質(zhì)2對(duì)稱(chēng)性

【典題1】函數(shù)y=sin(2x+g)的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)?,0)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)?,0)對(duì)稱(chēng)

63

C.關(guān)于直線無(wú)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線x=?對(duì)稱(chēng)

63

【解析】方法I對(duì)于函數(shù)y=sin(2x+；),

(求出函數(shù)的所有對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心再判斷)

令2%+臺(tái)＞而，則x=2+一,則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=^+M(k6N*),

若三+竽=&解得k=：CN*；若看+與=g解得k=；￡N*,故排除C,D；

1226o12232.

令2x+m=k7T,則％=—?+票，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是(一.+:，0)(ACN*),

若一g+?=g解得k=:任N*,可排除4

若一+”=g解得％=ieN*,故關(guān)于點(diǎn)(；0)對(duì)稱(chēng).

6233

故選:B.

方法2對(duì)于函數(shù)、=sin(2x+g),

當(dāng)％=押，2%+臺(tái)拳而(表0)不是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心，故4錯(cuò)誤；

當(dāng)％=；時(shí)，2%+宙=兀，而(兀,0)是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；

當(dāng)％=押，2x+”拳而x=g不是正弦函數(shù)y=s加的對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=g時(shí)，2%+彳=兀，而％=兀不是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸，故D錯(cuò)誤；

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題兩種方法，

方法1是求出三角函數(shù)的全部對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心(此時(shí)把3X+W看成整體)，再判斷；

方法2是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化正弦函數(shù)y=sin%的性質(zhì)判斷；

對(duì)于三角函數(shù)/(%)=Asin^ayx+@)+8

①若%=%是其對(duì)稱(chēng)軸，貝必汽0+9是正弦函數(shù)y=s出％的對(duì)稱(chēng)軸；

②若(&,B)是其對(duì)稱(chēng)中心，則(3%o+0,8)滿足函數(shù)y=As譏％+8的對(duì)稱(chēng)中心.

對(duì)于三角函數(shù)/(x)=Acosia)x+(p)+B類(lèi)似.

【典題2】已知函數(shù)f(x)=cos(3x+0)(-六(P＜芻圖象關(guān)于直線x=居對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在區(qū)間［0,網(wǎng)

上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

【解析】???函數(shù)/'(X)=cos(3x+w)圖象關(guān)于直線％=瑞對(duì)稱(chēng)，

二3x招+=kn,(y=cos%的對(duì)稱(chēng)軸是x=kit)

57r

(p——g—F/CTT,kEZ,

由一知，攵=1時(shí)，＜p=%

故f(%)=cos(3x+看)，

令/(%)=0得3%+看=5+時(shí),々￡2,?,?%=5+竽*￡2.

因?yàn)椋?［0,兀］,所以k=0,1,2時(shí)，0=5,普,普滿足條件，

故零點(diǎn)有三個(gè).

性質(zhì)3單調(diào)性

【典題1】函數(shù)/(x)=3sin(等一2x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()

4瑙，詈］B.成，等心㈢為［-￥用

【解析】(求出函數(shù)的全部減區(qū)間)

解——+2/OTW——2xWw+2卜兀得，——kjtWxW——kn(k6Z),

k=0時(shí)，^<x<g；k=l時(shí)，一詈WxW一系1=一1時(shí)，詈GW等，

二成，凈是/(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間.

故選：B.

【點(diǎn)撥】

①?gòu)?fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減

函數(shù)f(x)=3sin(y-2x)可看成y=3sinu與u=學(xué)一2x組成復(fù)合函數(shù).因?yàn)閡=y-2x是減函數(shù)，求函數(shù)

/(X)=3sin(Y-2x)的減區(qū)間，則把點(diǎn)一2%代入y=sinx的增區(qū)間［一1+2kn,1+2/OT］求出x的范圍.

②判斷［工，詈］是否/(x)=3sin(詈-2x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，也可以采取前面判斷對(duì)稱(chēng)性的方法.具體

想法如下

g，等］是f(x)=3sin(￡-2%)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間

=居，等是f(x)=3sin(2x—號(hào)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間

<=>由工<x<—拳<半—2萬(wàn)<—/,而§不是y=sinx的增區(qū)間；

故以，等］不是=3s譏(2x—爭(zhēng)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，不是『⑶=3sing-2%)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,

即選項(xiàng)4錯(cuò)誤.

作某些選擇題這樣做會(huì)簡(jiǎn)潔些.

【典題2】若f(x)=sizi(2x-?,貝ij()

A./(I)>f(2)>/(3)B./(3)>f(2)>/(I)

C./2)>/(1)>/(3)D.f(l)>/(3)>/(2)

【解析】(顯然選項(xiàng)是由函數(shù)單調(diào)性作出判斷)

令——■+2/i7T<2x—<—+2/CTT,解得---F/C7T<X<---F/C7T(kGZ),

24288

故fQ)=sin(2x-,在［-、羽上遞增,

由函數(shù)的周期性易得函數(shù)在［?,?］上遞增，關(guān)于x=?對(duì)稱(chēng)，

OOO

(由于1,2,3在g,捫內(nèi)，需要了解函數(shù)在其附近的單調(diào)性，相當(dāng)數(shù)形結(jié)合的思路)

其中3比2離對(duì)稱(chēng)軸x=?更近些，所以八3)</(2)<0,而/(I)接近1,

所以八1)>/(2)>/(3).

故選：A.

性質(zhì)4最值

【典題1］若函數(shù)/(X)=cos(3X-鄉(xiāng)3>0)的最小正周期為｝則f(x)在［0，勺上的值域?yàn)開(kāi)_____

324

【解析】依題意得史=3.?.3=4.

0)2

XG［0"4X-36I--3冷卜

.??cos(4x—》6［-弓，1］，即/")的值域是［一：，1］.

【典題2】已知函數(shù)f(x)=2cos(2x-勺在［a-今,a］(a€R)上的最大值為yi，最小值為y2，則、1一、2的取

值范圍是.

【解析】函數(shù)/(x)=2cos(2式一9的周期為兀，

且對(duì)稱(chēng)軸為尤=看+竽，對(duì)稱(chēng)中心(居+kn,0),k&Z,

f(x)的圖象大致如圖所示；

區(qū)間［a?正好是函數(shù)［個(gè)周期，在一個(gè)周期內(nèi)討論就行，

設(shè)［a—*a］的中點(diǎn)為P,

由圖可知，

當(dāng)點(diǎn)P落在對(duì)稱(chēng)軸上，即a弋建時(shí)，、1=2,y2=V2,

此時(shí)yi-y2取得最小值為2-V2；

當(dāng)點(diǎn)P落在對(duì)稱(chēng)中心上，即a-1=1時(shí)，y\=V2,=—夜，

此時(shí)yi-丫2的值為2夜；

???yi-丫2的取值范圍是［2-短2魚(yú)］.

【點(diǎn)撥】

①對(duì)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，由圖可知，相對(duì)而言靠近對(duì)稱(chēng)軸位置，函數(shù)值變化較慢，而靠近對(duì)稱(chēng)中心位

置函數(shù)值變化較快些.

②本題也屬于“縱向距”問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合處理恰當(dāng).

鞏固練習(xí)

1(★)下列函數(shù)中最小正周期為兀的函數(shù)是()

1

A.y=sinxB.y=cos-^xC.y—tan2xD.y=\sinx\

【答案】D

【解析】4、函數(shù)y=s譏無(wú)的最小正周期T=2兀，不滿足條件；

B、函數(shù)yncosax的最小正周期為7=誓=4兀，不滿足條件；

2

C、y=tan2x的最小正周期為T(mén)=$不滿足條件；

D、y=|sinx|的周期T=TT,滿足條件.

故選：D.

2(*)下列函數(shù)中，關(guān)于直線％=-看對(duì)稱(chēng)的是()

A.y=sin(x+B.y=sin(2x+

71Ji

C.y—cos{x+2)D.y=cos(2x+2)

【答案】D

【解析】將x=-強(qiáng)代入y=cos(2x+J),得函數(shù)值為1,

故久=—看是y=cos(2x—%的一條對(duì)稱(chēng)軸，

故選：D.

3(支)設(shè)函數(shù)/'(X)=cos(2x-號(hào))，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.的一個(gè)周期為-兀B.、=/(乃的圖象關(guān)于直線％=竽對(duì)稱(chēng)

C.70+?)的一個(gè)零點(diǎn)為％=-苧D.f(x)在區(qū)間白，芻上單調(diào)遞減

【答案】c

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4、/(x)=cos(2x—^),其周期丁=竽=兀,4正確；

對(duì)于B、/(%)=cos(2x—^),令2x—%=kn,解可得％=竽+1，即y=/(%)的對(duì)稱(chēng)軸為％=竽+看當(dāng)

k=l時(shí)、久=冬，即y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=呈對(duì)稱(chēng)，B正確；

對(duì)于C、f(x+今)=C0S(2x+7T—芻=cos(2x+冬),當(dāng)％=—鄂寸，f(x+今=cosO—1,則％=一號(hào)不是

/(%+?)的零點(diǎn)，C錯(cuò)誤;

7TTT

對(duì)于。、/(%)=cos(2x—可)，2kn<2%—-2kn+n,

解可得也+l<x<kn+^,即函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為［而+看,而+爭(zhēng)，

TTJi.^7*/7

則函數(shù)在匕二］上遞減，又由匚,；］e［-,—］,則/(x)在區(qū)間匚，不上遞減，D正確；

63326332

故選：C.

4(*)下列函數(shù)中，以7T為周期且在區(qū)間弓，兀)單調(diào)遞增的是()

A./(%)=\cos2x\B./(x)=\sin2x\C./(%)=|cosx|D./(%)=|smx|

【答案】c

127T77

【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期為￡?—=—?故4不滿足條件；

127r71

由于/(%)=|s譏2%]的周期為a?—=—,故B不滿足條件；

由于/(久)=|cos%|的最小正周期為二?27r=7T,在區(qū)間(5,兀)上，/(%)=|cos%|=-COS%單調(diào)遞增，故C

滿足條件；

由于/(%)=|sinx|的最小正周期為；?2兀=兀，在區(qū)間6，%)上，/(%)=s譏%單調(diào)遞減，故D不滿足條件，

故選：C.

50)關(guān)于函數(shù)/(%)=的性質(zhì)，下列敘述不正確的是()

TC

A.f(x)的最小正周期為w

B.〃%)是偶函數(shù)

C.f(x)的圖象關(guān)于直線久=等(&GZ)對(duì)稱(chēng)

D.f(久)在每一個(gè)區(qū)間(Mr水兀+*)(kGZ)內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】A

【解析】對(duì)于函數(shù)/?(x)=|tan%|的性質(zhì)，根據(jù)該函數(shù)的圖象知，其最小正周期為兀，4錯(cuò)誤；

X/(_x)=|tan(—x)|=\tanx\=/(x),所以f(%)是定義域上的偶函數(shù)，B正確；

根據(jù)函數(shù)/(x)的圖象知，/(x)的圖象關(guān)于直線％=竽佻€2)對(duì)稱(chēng)，C正確；

根據(jù)f(x)的圖象知，/Q)在每一個(gè)區(qū)間(曜時(shí)+舒(k€Z)內(nèi)單調(diào)遞增，。正確.

故選：A.

6(**)下列函數(shù)中，以2兀為周期，%=5為對(duì)稱(chēng)軸，且在(0[)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

7T

A.y=2\sinx\+sinxB?y=2cos(x4-2)

C.y—sin(2x一★)D.y=tan^+與)

【答案】A

【解析】y=sin(2x-*)=-cos2x的周期為高=TT,不滿足條件，故排除4；

???y=C0S(2x+冬)=—S譏2x的周期為W=7T,不滿足條件，故排除B；

42

對(duì)于y=2Ml+sinx=｛黑建圖魯瑟+27ry故函數(shù)的周期為"

當(dāng)X=5時(shí)，y=3,為最大值，故函數(shù)X=曰為對(duì)稱(chēng)軸，

且該函數(shù)在在(0段)上單調(diào)遞增的函數(shù)，故C滿足條件；

由于y=tan(*+?當(dāng)》=狎，y不存在，故函數(shù)的圖象不以“矮對(duì)稱(chēng)軸，故排除。，

故選：C.

7(★★)已知直線％=,x=%2分別是曲線/(%)=2s譏(％+號(hào))與g(x)=—cos%的對(duì)稱(chēng)軸，

則/(%1-％2)=()

A.2B.0C.±2D.±1

【答案】C

[解析]由％+亨=kji+.得%=kji+速即/(%)的對(duì)稱(chēng)軸為%=kji+看，k￡Z,

y=—cos%的對(duì)稱(chēng)軸為％=kiTt,H€Z,

???直線》=%i，x=亞分別是曲線/(%)與g(X)的對(duì)稱(chēng)軸，

JI

???=々7T+4，kGZ,%2=k]7T,k]EZ,

則%1—%2=/=+1M7r=(k—〃!.)九+著,kEZfki￡Z,

則f(%1%2)=2sin[(fc—fci)7r+看+芻=2sin[(k-ki)n+舒=~2cos[(k-k^n]=±2,

故選：C.

8(★★)關(guān)于函數(shù)f(x)=\sinx\+cos%有下述四個(gè)結(jié)論：

①/(%)是周期函數(shù)；②/(%)的最小值為一或；

③/(X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④/⑴在區(qū)間6,今單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.①③C.②③D.②④

【答案】B

【解析】函數(shù)fQ)=|sinx|+cosx,其中|sinx|的周期為兀,cos2x的周期為2兀,所以函數(shù)的最小正周期為2兀，

故函數(shù)為周期函數(shù).①/(x)是周期函數(shù)；正確.

②函數(shù)的最小值為一1,所以：/Q)的最小值為-魚(yú)；錯(cuò)誤.

③由于/(一%)=f(x),/'(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

④/⑶在區(qū)間弓段)單調(diào)遞減.故錯(cuò)誤.

故選：B.

9(★★★)已知函數(shù)/(x)=sin((o尤+0)(3>0,0<9<今的最小正周期為兀，且關(guān)于(-4,0)中心對(duì)稱(chēng)，則下

列結(jié)論正確的是()

A.f⑴</(0)</(2)B./(0)</(2)</(1)

C./(2)</(0)</(I)D./(2)</(I)</(0)

【答案】D

【解析】???函數(shù)的最小周期是兀，???普=兀，得3=2,

則/%)=sin(2x+

??"(X)關(guān)于(一看,0)中心對(duì)稱(chēng)，

■JTJT

**2x(—g)+。=k.7t,kEZ,即乎=/CTT+.，kEZ,

0V9〈夕

???當(dāng)k=0時(shí)，cp=/,即/(%)=sin(2%+今，

則函數(shù)在［一率g上遞增，在蛤，期］上遞減，/(0)=/。)，

■JTTC

???*<1<2,/(-)>/(I)>/(2),即/(2)</(I)</(0),

q

1()(★★★)已知/'(x)=Sin(3X+w)(3>0,0<0W7T)是R上的奇函數(shù)，若/(X)的圖象關(guān)于直線X=百對(duì)稱(chēng),

且f(x)在區(qū)間［-金，由內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則&)=()

7311V3

A.—yB?-5C.~D.—

2222

【答案】A

【解析】/'(x)=sin(3。+<p)(3>0,0<9W兀)是R上的奇函數(shù),所以3=kir,keZ,

當(dāng)％-1時(shí)，<p=n.所以/(%)-sin(o>x+兀)=~sina)x,

由于&)=-sin(^<d)=±1,

nTi11

所以-3=kn+—(kWZ),整理得-3=k+一,整理得3=4k+2.

4242

當(dāng)k=0時(shí)，3=2,函數(shù)/(%)=—sin2x,

由于［-務(wù)和,

所以2x6［-看,答］,故函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).

當(dāng)k=1時(shí)3=4+2=6,函數(shù)/(%)=—sin6x.

由于xe［一務(wù),若］,

所以6x6［—得,霽］,由于6x€［—得，繆］內(nèi)單調(diào)，故函數(shù)不為單調(diào)函數(shù).

當(dāng)％=2時(shí)，3=10,函數(shù)在區(qū)間［一今,書(shū)內(nèi)也不是單調(diào)函數(shù)，

所以/（%）=~sin2x,

故鹿）=一$嗎=一坐.

故選：A.

【題型二】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)的值或范圍

【典題1】已知3>0,函數(shù)/0）=5譏（3%一9的圖象在區(qū)間（與，兀）上有且僅有一條對(duì)稱(chēng)軸，則實(shí)數(shù)3的取

值范圍是.

【解析】由3刀-^=上兀+，解得》=竺+在，

420）460

則y=f（%）的對(duì)稱(chēng)軸％=第+居#wz,

由>=/（%）在（J㈤上有一條對(duì)稱(chēng)軸，則滿足3V"+在V7T,（存在性）

22343

即/c4—<3V2kH—,（D

42

而對(duì)稱(chēng)軸只有一條，則要滿足出二把+在工？且竺業(yè)+會(huì)之兀，（唯一性）

34co2a）4a）

即Zk-LeoWk+Z②

24

（k+-<2k+-

由①②可得《二三解得k=o,1,2；

I2k--<k+-

l24

當(dāng)k=0時(shí)，由①②可得36?,|）;當(dāng)k=l時(shí)，由①②可得36（；，爭(zhēng)；

當(dāng)k=2時(shí)，由①②可得3eg,—］；

故答案為:G,|）U（：，芍］U［g，勺.

【點(diǎn)撥】

①本題的思路是先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再數(shù)形結(jié)合處理；理解“有且僅有一條對(duì)稱(chēng)軸”，存在一條對(duì)稱(chēng)軸在

區(qū)間內(nèi)，而其左右的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間外；

②本題涉及到兩個(gè)參數(shù)k和3,求的是3的取值范圍，方法是得到k和3的關(guān)系式，再

由keZ的特殊性求出k的取值（或范圍），進(jìn)而求3的取值范圍.

【典題2】已知函數(shù)/'（X）=|C0S（3X+》|（3>0）在區(qū)間［冶,中上單調(diào)遞減，則3的取值范圍

為.

【解析】y=|cosx|的單調(diào)遞減區(qū)間為［k兀，卜兀+§,keZ,

(注由函數(shù)y=|cosx|圖象易得)

,n

,77TT,1K7l~~

由攵兀工3X+:式/C7T+7,keZ,得—-<X<

32co竽

kn+-

即函數(shù)y=/"(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［等,寸］,k€Z,

若fQ)在區(qū)間［-g上單調(diào)遞減，

36

?,kn--TTkn+-6打

則一<一g且一回>

a)3a)6

W-Ifc+I,fcGZ,

得

co<-3k+1

3>0k只能取0；

當(dāng)k=0時(shí)，卜4，即0<3屋，即3的取值范圍是(0

1(0<155

【點(diǎn)撥】本題先得到y(tǒng)=|cosx|的單調(diào)減區(qū)間再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到求出f(x)=|cos3久+§］的減區(qū)

17rl,TT17rl.兀

、―K7t——KTl+—1I,r~.r,—_,,,,_ITKU——KTl+—

間［---，----J,kE.Z,根據(jù)題思目定可符［一1---，------

33L36JU)O)

【典題31已知函數(shù)f(x)=s出3x+9,(3>0)在區(qū)間［一上是增函數(shù)，且在區(qū)間［0，網(wǎng)上恰好取

336

得一次最大值1,則3的取值范圍是()

4(0/B.［i,|］c.［|,i］D.［i,|)

【解析】方法一復(fù)合函數(shù)法

A,Tt2兀J?57r2n.n..5nn

令〃=3X+7,-<X<-則—<U<-—0)4t--.

3363363

二函數(shù)y=sinu在區(qū)間［一93+g+m上單調(diào)遞增，

3363

r27T.n57T1m「r717rldI

二一H3+力/3+泉lU［-彳，如???a)<~.

33o3NN□

當(dāng)0<x<TTEI寸，<u<no)+p

?,?函數(shù)y=s譏〃在區(qū)間弓,na)+§恰好取一次最大值1,

???-<no)4--<—,i<<0<—.

23266

綜上所知;工3工3故選C.

65

方法二特殊值法

M/1口4人，5加

當(dāng)3=;時(shí)，令K=；X+,；n,--2n<_X<—,

2.2336

則0<u<^,則函數(shù)y=sina在區(qū)間［0，爭(zhēng)上不單調(diào),

??.(JO=［不合題意，排除BD.

當(dāng)60=.時(shí)，令〃=*+&Q-x-71*

則稱(chēng)工〃工.，則函數(shù)y=simz在區(qū)間6，工］取不到最大值1,

二3=*不合題意，排除從故選：C.

【點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)的值或范圍此類(lèi)問(wèn)題，往往都會(huì)限制函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)

性、最值等，此時(shí)最簡(jiǎn)單的想法就是先求出該函數(shù)的全部對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)區(qū)間等，再結(jié)合函數(shù)的圖象判斷求出

來(lái)的對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)性等與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系！

鞏固練習(xí)

1(★★)設(shè)/(x)=3sin(cox-金)+1,若/(x)在［一］點(diǎn)上為增函數(shù)，則3的取值范圍是

【答案】(0,1］

【解析】設(shè)/(%)=3sin(3X-$)+1,在［一/急上，3%-金￡［一等一各詈—柔，

5

工><-

歷

一7T3

一-4

-2即-

工

由于/(%)為增函數(shù)，.??《Z處'1Y2<7

7T-3--

62

122

求得OVcoW疝故選：D.

2(**)已知函數(shù)/(久)=3sin(Qc+3)(3>0)在(0,務(wù))上單調(diào)遞增，則3的最大值是.

【答案】4

【解析】由函數(shù)f(x)=3sin(o>x+軟3>0)在區(qū)間(0,金)上單調(diào)遞增，

可得3?金+1求得3s4,故3的最大值為4,

3(**)設(shè)函數(shù)f(x)=s譏(3X+。)，4>0,3>0,若/(x)在區(qū)間吟，野上單調(diào)，且/6)=〃冬)=一黑),

則/(")的最小正周期為.

【答案】n

【解析】函數(shù)/'(x)=sin(<ox+。)，4>0,3>0,若/(久)在區(qū)間落舟上單調(diào)，

,T7inn

則一=一N一一一，0<<0<3.

2co26

匹+改7

???/6)—f(?母)=~f(^)?X=之/■—皆為/(%)=S譏(3X+(p)的一條對(duì)稱(chēng)軸，

巴+匹

且(JR,0)即杳,0)為/(%)=sin(tox4-9)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，

2J

弓=/嚕=碧冷=?解得3=2e(0,3］,r=竽=兀，

4(★★★)己知函數(shù)/Q)=sin(3x+w)(3>0)滿足&)=1,抬)=0,且/(%)在區(qū)間/，殳)上單調(diào)，則3

取值的個(gè)數(shù)有個(gè).

【答案】3

【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為7,貝療=空，

CO

,??4)=1，啰)=0，

???._1=^^7=2(2尸)兀,幾WN*,即3=2(2九一1),nGN\

2444a)k7

又〃無(wú))在區(qū)間4急上單調(diào)，

*,*5—?<J=—,解得0V3V12,

S4/3

??.n可以為1,2,3,即3為2,6,10共3個(gè)值.

5(***)已知函數(shù)/(x)=cos(a)x+看)3>0)在區(qū)間［0,兀］上的值域?yàn)椋垡?,苧|，則3的取值范圍

為.

【答案】［|,|］

【解析】在區(qū)間［0,兀］上，3%+春€吟,37T+卷］,

f(x)=cos(o)x+著)的值域?yàn)閇―1,—

37r+看e[TT,——1],??o)7t6[^-,^-],?，?3e0,芻.

【題型三】綜合解答題

【典題1】已知函數(shù)/(x)=sin(2x-》

(1)當(dāng)/6(一5，-勺，右e(0譚)時(shí)/(匕)+/冷)=0,求勺一金的值；

(2)令F(x)=/(%)-3,若對(duì)任意％都有產(chǎn)(%)-(24-m)F(x)+24-m<0恒成立，求m的最大值.

0

【解析】+/(%2)=0,即為s譏(2/一朗+sin(2x2-^)=，

-

即有sin(2x1-§=-sm(2x2^)=sin(^-2x2)?

可得2/一g=2/CTT+g—2不，或2/一；=2/C7T+7T—g+2型,kEZ,

即有%+&=攵兀+g或％i—小二k7r+/,k￡Z,

由％1G(—；—g)，艾2G(°，》

可得%1-％2￡(一半，一》可得%1-％2=-1；

(2)F(x)=/(%)—3即F(%)=sin(2x-—3,

令￡=?(%),可得￡￡[-4，-2],

對(duì)任意義都有產(chǎn)(無(wú))一(2+m)F(x)4-2+m<0恒成立，

即為產(chǎn)一(2+tn)t+2+771WO,t6[—4,—2]；

則16+4(2+m)+24-m<0,4+2(24-m)4-2+m<0,

解得mW—g,即m的最大值為一

【點(diǎn)撥】

①若sina=sin0,則a=2kn+夕或a=2kn+兀一夕

②第二問(wèn)涉及恒成立問(wèn)題，采取了二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題的方法即通過(guò)二次函數(shù)的圖象分析便可求解.

【典題2】已知函數(shù)/(x)=siMx+QCOS%+Q,aER.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f。)的最大值;

(2)如果對(duì)于區(qū)間[0，自上的任意一個(gè)工,都有成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)Q=1時(shí)，/(%)=—cos2%+COSX+2=—(cos%—g)2+

vCOSXE[―1,1],

???當(dāng)cosx=I，即%=2kn±^-(/c6Z)時(shí)，~

(2)依題得sin2x+acosx+a<1,

即a(cosx4-1)<COS?%對(duì)任意x6[0，自恒成立.

當(dāng)xe[0，芻時(shí)，0<cosx<1,則1Wcosx+1<2,

???Q<上空三對(duì)任意％6[0，口恒成立.

cosx+1L2」

令t=COSX+1,貝！|1<t<2,

...a<"蘆=丁-：+1=t+1—2對(duì)任意1<t<2恒成立，

于是a<(t+1-2)min.

又—220,當(dāng)且僅當(dāng)t=l，即％=卯寸取等號(hào)；

???a<0.

【點(diǎn)撥】第二問(wèn)涉及恒成立問(wèn)題，利用了分離參數(shù)法和換元法.

鞏固練習(xí)

1(★★★)已知函數(shù)f(x)=V5sin3x-芻(其中3>0)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為7T.

(1)求函數(shù)/(X)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸；

(2)若函數(shù)y=/(%)-771在[0,兀]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),%2，求M的取值范圍及COS(%1+%2)的值.

【答案】(1)%=竽+號(hào),kez；

(2)m6V3,-苧)U(一李，V5),cos(%]+%2)=

2TC

【解析】⑴,:已知函數(shù)/(x)=V5sin(3X—以其中3>