高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.2向量的減法學(xué)案（含解析）北師大版必修4

2．2向量的減法考綱定位重難突破1.理解向量減法的法則及其幾何意義．2.能運(yùn)用法則及其幾何意義，正確作出兩個向量的差.重點(diǎn)：1.向量的減法法則．2.向量的減法的幾何意義．難點(diǎn)：向量的減法法則的應(yīng)用及對幾何意義的理解.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第38頁[自主梳理]1．相反向量與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝－a＋a＝0；(4)若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.2．向量的減法(1)定義：向量a加上b的相反向量，叫作a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法．(2)幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如圖所示．(3)文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€向量的起點(diǎn)放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．[雙基自測]1．在四邊形ABCD中，則eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：D2．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(FD,\s\up6(→)) B.eq\o(FC,\s\up6(→))C.eq\o(FE,\s\up6(→)) D.eq\o(BE,\s\up6(→))解析：由于D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，因此，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，故選D.答案：D3．下列四個式子中可以化簡為eq\o(AB,\s\up6(→))的是()①eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).A．①④ B．①②C．②③ D．③④解析：因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以①正確，排除C，D；因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以④正確，排除B，故選A.答案：A授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第38頁探究一向量減法的幾何作用[典例1]如圖，已知不共線的兩個非零向量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.[解析](1)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a(如圖①)．(2)對于－a－b，有下列兩種作法：作法一：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a－b(如圖②)．作法二：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，再以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作?OACB，則eq\o(CO,\s\up6(→))＝－a－b(如圖③)．向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算，利用相反向量的定義就可以把減法化為加法．在用三角形法則進(jìn)行向量的減法運(yùn)算時，只要記?。哼B接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量即可．1．作圖：(1)如圖①，已知向量a和a＋b，求作b；(2)如圖②，已知向量b和b－a，求作a.解析：(1)取平面內(nèi)任一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，連接AB，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b為所求(圖①)．(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以B為終點(diǎn)，再作eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，連接OA，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝a為所求(圖②)．探究二向量減法的運(yùn)算[典例2]化簡：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[解析]解法一(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.解法二(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.解法三設(shè)O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，OD，則(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－Beq\o(D,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.向量加減運(yùn)算主要有兩種解法：一是直接利用向量加減運(yùn)算法則；二是引入點(diǎn)O，將各向量統(tǒng)一用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))等表示，然后進(jìn)行化簡．2．對于菱形ABCD，給出下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；②|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|；③|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|；④|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|.其中正確的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：由菱形的性質(zhì)，可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以②正確，①錯誤；因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|，|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|，即③正確；因?yàn)閨eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，所以④正確．綜上所述，正確的個數(shù)為3，故選C.答案：C探究三向量加減法綜合問題[典例3]已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(OD,\s\up6(→)).[解析]解法一如圖所示，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝a＋c－b.解法二eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋0.＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝a＋(－b＋a)＝a－b＋c.(1)關(guān)于向量的加法和減法，一種方法就是依據(jù)三角形法則通過作圖來解決，另一種方法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運(yùn)算來解決．(2)用幾個向量表示某個向量問題的解題步驟是：第一步，觀察向量位置；第二步，尋找(或作)有關(guān)的平行四邊形或三角形；第三步，利用三角形或平行四邊形法則找關(guān)系；第四步，化簡結(jié)果．3．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點(diǎn)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，求證：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.證明：(1)如圖，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜邊AB的中點(diǎn)，得|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.在△ACM中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＝a－b，在△MCB中，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．從而由|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.向量加減法的幾何意義應(yīng)用中的誤區(qū)[典例]已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0[解析]因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，故A成立．