高考數學一輪復習第八章立體幾何課時達標檢測（三十三）空間幾何體的三視圖直觀圖表面積與體積(1)文

課時達標檢測（三十三）空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積[小題對點練——點點落實]對點練(一)空間幾何體的三視圖和直觀圖1．給出下列四個命題：①各側面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；③有兩側面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個數是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選A①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；③④顯然錯誤，故選A.2．(2018·廣州六校聯考)已知某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，給出下列5個圖形：其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數為()A．5 B．4C．3 D．2解析：選B由題知可以作為該幾何體的俯視圖的圖形可以為①②③⑤.故選B.3．在如圖所示的空間直角坐標系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A．①和③ B．③和①C．④和③ D．④和②解析：選D由題意得，該幾何體的正視圖是一個直角三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且內有一條虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖是④；俯視圖即在底面的射影，是一個斜三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是②.4.如圖，△O′A′B′是△OAB的水平放置的直觀圖，其中O′A′＝O′B′＝2，則△OAB的面積是________．解析：在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，△OAB的面積S＝eq\f(1,2)×2×4＝4.答案：45．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為_______cm.解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：13對點練(二)空間幾何體的表面積與體積1．已知圓錐的表面積為a，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑是()A.eq\f(a,2) B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π) D.eq\f(2\r(3a),3π)解析：選C設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，則圓錐的表面積S表＝πr2＋eq\f(1,2)π(2r)2＝a，∴r2＝eq\f(a,3π)，∴2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).2．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π解析：選B由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－eq\f(1,2)×π×32×6＝63π.3．(2018·湖北四校聯考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋eq\r(5))πC．4＋(5＋eq\r(5))π D．6＋(5＋eq\r(5))π解析：選C該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為S＝π＋4π＋4＋eq\r(5)π＝4＋(5＋eq\r(5))π.4．(2017·山東高考)由一個長方體和兩個eq\f(1,4)圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________．解析：該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構成，∴V＝2×1×1＋2×eq\f(1,4)×π×12×1＝2＋eq\f(π,2).答案：2＋eq\f(π,2)5．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)解析：由題意知，圓臺中截面圓的半徑為十寸，圓臺內水的體積為V＝eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,中)＋req\o\al(2,下)＋r中r下)＝eq\f(π,3)×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量為eq\f(V,142π)＝eq\f(588π,196π)＝3(寸)．答案：36．(2018·合肥市質檢)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的________．解析：由側視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為eq\f(1,3)eq\f(1,2)×2×2×4＝8，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)對點練(三)與球有關的切、接應用問題1．在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則該三棱錐外接球的表面積為()A．2π B．6πC．4eq\r(6)π D．24π解析：選B設相互垂直的三條側棱AB，AC，AD分別為a，b，c則eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)bc＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)ac＝eq\f(\r(6),2)，解得a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3).所以三棱錐A-BCD的外接球的直徑2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(6)，則其外接球的表面積S＝4πR2＝6π.2．已知正四面體的棱長為eq\r(2)，則其外接球的表面積為()A．8π B．12πC.eq\f(\r(3),2)π D．3π解析：選D如圖所示，過頂點A作AO⊥底面BCD，垂足為O，則O為正三角形BCD的中心，連接DO并延長交BC于點E，又正四面體的棱長為eq\r(2)，所以DE＝eq\f(\r(6),2)，OD＝eq\f(2,3)DE＝eq\f(\r(6),3)，所以在直角三角形AOD中，AO＝eq\r(AD2－OD2)＝eq\f(2\r(3),3).設正四面體外接球的球心為P，半徑為R，連接PD，則在直角三角形POD中，PD2＝PO2＋OD2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2，解得R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球的表面積S＝4πR2＝3π.3．(2018·湖北七市(州)聯考)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為()A．36π B.eq\f(112,3)πC．32π D．28π解析：選B根據三視圖，可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為4的正方形，高是2eq\r(3).將該四棱錐補形成一個三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球，其中心到三棱柱6個頂點的距離即為該四棱錐外接球的半徑．∵三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，∴底面三角形的中心到該三角形三個頂點的距離為eq\f(2,3)×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴外接球的半徑R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2＋22)＝eq\r(\f(28,3))，外接球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\f(28,3)＝eq\f(112π,3)，故選B.4.(2018·陜西西工大附中訓練)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(2)m，若在這個四棱錐內放一個球，則此球的最大半徑是________．解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝eq\r(2)m，則AD＝m.設內切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即eq\f(1,3)·m2·m＝eq\f(1,3)·m2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)m2·R＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·m2·R，解得R＝eq\f(1,2)(2－eq\r(2))m，所以此球的最大半徑是eq\f(1,2)(2－eq\r(2))m.答案：eq\f(1,2)(2－eq\r(2))m[大題綜合練——遷移貫通]1．有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？解：把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度．AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5π(cm)．故鐵絲的最短長度為5πcm.2.一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側視圖是一個長為eq\r(3)、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).3．一個正三棱錐的底面邊長為6，側棱長為eq\r(15)，求這個三棱錐的體積．解：正三棱錐S-ABC如圖所示，設H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高．連接AH并延長交BC于點E，則E為BC的中點，且AE⊥BC.∵△ABC是邊長為6的正三角形，∴AE＝eq\f(\r(3),2