2025版高考數(shù)學一輪總復(fù)習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第7節(jié)二項分布超幾何分布與正態(tài)分布教師用書

第七節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布考試要求：1．駕馭二項分布和超幾何分布的概念．2．了解正態(tài)分布的含義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．n重伯努利試驗與二項分布(1)n重伯努利試驗把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗．將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．n重伯努利試驗具有如下共同特征：(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次．(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立．(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事務(wù)A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，則稱隨機變量X聽從二項分布，記作X～B(n，二項分布與兩點分布的聯(lián)系由二項分布的定義可以發(fā)覺，兩點分布是一種特別的二項分布，即n＝1時的二項分布．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－3．超幾何分布的期望E(X)＝nMN＝np(p為N超幾何分布的特征(1)考察對象分兩類．(2)已知各類對象的個數(shù)．(3)從中抽取若干個個體，考察某類個體數(shù)X的概率分布．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，x∈R，其中μ(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．③曲線在x＝μ處達到峰值1σ④曲線與x軸圍成的面積為1．⑤在參數(shù)σ取固定值時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的改變而沿x軸平移，如圖(1)所示．⑥當μ取定值時，正態(tài)曲線的形態(tài)由σ確定，σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖(2)所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，x∈R，則稱隨機變量X正態(tài)總體在三個特別區(qū)間內(nèi)取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827．②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．若X聽從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1及3σ原則解題．二、基本技能·思想·活動閱歷1．推斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)的(2)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X聽從超幾何分布． (×)(3)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X聽從超幾何分布． (√)(4)一個盒中裝有4個黑球、3個白球，從中任取一個球．若是白球，則取出來，若是黑球，則放回盒中，直到把白球全部取出來．設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，則X聽從超幾何分布． (×)(5)二項分布是一個概率分布，其公式相當于二項式(a＋b)n綻開式的通項，其中a＝p，b＝1－p． (×)(6)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標準差． (√)2．有一批谷類種子，假如每1粒種子發(fā)芽的概率為12A．38B．14C．1A解析：3粒種子中發(fā)芽的粒數(shù)聽從二項分布X～B3，12，所以恰有2粒發(fā)芽的概率為C3．某班有48名同學，一次考試后的數(shù)學成果聽從正態(tài)分布，平均分為80，標準差為10，則理論上在80分到90分的人數(shù)是()A．32B．16C．8D．20B解析：因為數(shù)學成果近似地聽從正態(tài)分布N(80，102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827．依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是124．有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽取n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的數(shù)學期望是()A．nB．(n－1)MNC．nMND．(nC解：設(shè)抽到的次品數(shù)為X，則有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽取n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)X聽從超幾何分布即X～H(n，M，N)，所以抽到的次品數(shù)的數(shù)學期望值E(X)＝nMN5．已知隨機變量ξ～B5，14，則P45512解析：隨機變量ξ～B5，14，則P(ξ＝3)＝C53·6．已知隨機變量X～N(1，62)，若P(X>0)＝0.8，則P(X≥2)＝________．0.2解析：隨機變量X聽從正態(tài)分布N(1，62)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱，所以P(x≥2)＝P(x≤0)＝1－P(x>0)＝0.2．考點1二項分布——基礎(chǔ)性某公司聘請員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當這兩位專家看法不一樣時，再由第三位專家進行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為12，復(fù)審能通過的概率為310(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；(2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機變量X的分布列．解：設(shè)“兩位專家都同意通過”為事務(wù)A，“只有一位專家同意通過”為事務(wù)B，“通過復(fù)審”為事務(wù)C．(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事務(wù)D，則D＝A∪BC．因為P(A)＝12×12＝P(B)＝2×12×1P(C)＝310所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25所以某應(yīng)聘人員被錄用的概率為25(2)依據(jù)題意，X＝0，1，2，3，4，且X～B4，Ai表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用”(i＝0，1，2，3，4)．因為P(A0)＝C40×P(A1)＝C41×25P(A2)＝C42×P(A3)＝C43×25P(A4)＝C44×所以X的分布列為X01234P812162169616二項分布概率公式可以簡化求概率的過程，但須要留意檢查該概率模型是否滿意公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k的三個條件：(1)在一次試驗中某事務(wù)A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p．(2)n次試驗不僅是在完全相同的狀況下進行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的．(3)該公式表示n次試驗中事務(wù)A恰好發(fā)生了從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取3次，記摸得白球個數(shù)為X．若E(X)＝95，則m＝________，P(X254125解析：甲從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取3次，記摸得白球個數(shù)為X，則X～B3因為E(X)＝95，所以E(X)＝3×3m+3＝95所以P(X＝2)＝C32×35考點2超幾何分布——應(yīng)用性在心理學探討中，常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響，詳細方法如下：將參與試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評價兩種心理示意的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．解：(1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務(wù)為M，則P(M)＝C84C(2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4，則P(X＝0)＝C65CP(X＝1)＝C64CP(X＝2)＝C63CP(X＝3)＝C62CP(X＝4)＝C61C因此X的分布列為X01234P151051(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征：①考查對象分兩類．②已知各類對象的個數(shù)．③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．1．(多選題)在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球、4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球．設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是()A．P(X＝1)＝8B．隨機變量X聽從二項分布C．隨機變量X聽從超幾何分布D．E(X)＝8ACD解析：由題意知隨機變量X聽從超幾何分布，故B錯誤，C正確．X的取值分別為0，1，2，3，4，則P(X＝0)＝C64C104＝114，P(P(X＝2)＝C42C62C104＝37P(X＝4)＝C44C所以E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×2．某中學德育處為了調(diào)查學生對“國安法”的關(guān)注狀況，在全校組織了“國家平安知多少”的學問問卷測試，并從中隨機抽取了12份問卷，得到其測試成果(百分制)如下：52，63，67，68，72，76，76，76，82，88，93，94．(1)寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學生，試估計該校測試成果在70分以上的人數(shù)；(2)從所抽取的70分以上的學生中再隨機選取4人，記ξ表示測試成果在80分以上的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得中位數(shù)為76，樣本中70分以上的所占比例為812＝2故可估計該校測試成果在70分以上的約為3000×23(2)由題意可得ξ的可能取值為0，1，2，3，4．P(ξ＝0)＝C40C44C84＝170，P(ξ＝1)＝C41C43C84＝1670＝835，P(ξ＝2)＝C42C4所以ξ的分布列為ξ01234P181881E(ξ)＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×8考點3正態(tài)分布——應(yīng)用性(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．0.14解析：因為X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14．(2)(2024·重慶校級模擬)重慶合川桃片遠近著名，某個品種的合川桃片是小袋裝的，其質(zhì)量聽從正態(tài)分布N(100，0.01)(單位：g)．現(xiàn)抽取500袋樣本，X表示抽取的桃片質(zhì)量在(100，100.2]的袋數(shù)，則X約為______．(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545．239解析：因為質(zhì)量聽從正態(tài)分布N(100，0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1．因為P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，且μ＝100，σ＝0.1，所以P(99.8≤X≤100.2)≈0.9545，所以P(100＜X≤100.2)≈0.95452則抽取的桃片質(zhì)量在(100，100.2)的袋數(shù)X聽從二項分布，即X～B(500，0.47725)，則E(X)＝500×0.47725≈239．(2024·湖南模擬)扶貧期間，扶貧工作組從A地到B地修建了馬路，脫貧后，為了了解A地到B地馬路的交通通行狀況，工作組調(diào)查了從A地到B地行經(jīng)該馬路的各種類別的機動車共4000輛，匯總行車速度后作出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)試依據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這4000輛機動車的平均車速(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)．(2)由頻率分布直方圖可大致認為，該馬路上機動車的行車速度Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取調(diào)查樣本中4000輛機動車的平均車速和車速的方差s2(s2＝204.75)．①請估計該馬路上10000輛機動車中車速高于84.8km/h的車輛數(shù)(精確到個位)；②現(xiàn)從經(jīng)過該馬路的機動車中隨機抽取10輛，設(shè)車速低于84.8km/h的車輛數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973，取204.75＝14.3．解：(1)由題意可知，x＝(45＋95)×0.1＋(55＋85)×0.15＋65×0.2＋75×0.3＝70.5．故樣本中的這4000輛機動車的平均車速為70.5km/h．(2)由題意，Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝x＝70.5，σ2＝s2＝204.75，則σ＝14.3．①因為P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝P(56.2≤Z≤84.8)≈0.6827，所以P(Z>84.8)≈12所以車速高于84.8km/h的車輛數(shù)的估計值為0.15865×10000＝1586.5≈1587．②行車速度低于84.8km/h的概率為1－0.15865＝0.84135，又X～B(10，0.84135)，所以E(X)＝10×0.84135＝8.4135．課時質(zhì)量評價(六十二)A組全考點鞏固練1．某種病毒的潛藏期X(單位：日)近似聽從正態(tài)分布N(7，σ2)．若P(X≤3)＝0.128，則可以估計潛藏期大于或等于11天的概率為()A．0.372B．0.256C．0.128D．0.744C解析：因為μ＝7，所以P(X≥11)＝P(X≤3)＝0.128．2．已知隨機變量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝1.2，D(ξ)＝0.96，則實數(shù)n的值為()A．4B．6C．8D．24B解析：由題意可得，E(ξ)＝np＝1.2①，D(ξ)＝np(1－p)＝0.96②，由①②可得，1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝6．3．某地7個貧困村中有3個村是深度貧困，現(xiàn)從中隨意選3個村，下列事務(wù)中概率等于67A．至少有1個深度貧困村B．有1個或2個深度貧困村C．有2個或3個深度貧困村D．恰有2個深度貧困村B解析：用X表示這3個村莊中深度貧困村數(shù)，則X聽從超幾何分布，所以P(X＝k)＝C3kC43-kC7P(X＝1)＝C42C31C73＝1835P(X＝3)＝C40C33C73＝135，所以P即有1個或2個深度貧困村的概率為674．某試驗每次成功的概率為p(0<p<1)．現(xiàn)重復(fù)進行10次該試驗，則恰好有7次試驗未成功的概率為(A)A．C103p31-p7C．p3(1－p)7 D．p7(1－p)35．已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：千克)聽從正態(tài)分布N(90，64)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在區(qū)間[82，106]內(nèi)的產(chǎn)品估計有()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．A．8186件 B．6826件C．4772件 D．2718件A解析：依題意，產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：千克)聽從正態(tài)分布N(90，64)，得μ＝90，σ＝8，所以P(82≤X≤106)＝0.9545－0.9545-6．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次(每次1件)．若X表示取得次品的次數(shù)，則P(X≤2)＝()A．38B．1314C．4D解析：因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為48＝12．從中取3次，X為取得次品的次數(shù)，則X～BP(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C32×122×7．(2024·青島模擬)在某次模擬中，全年級的數(shù)學成果近似聽從正態(tài)分布N(93.1，49)．據(jù)此估計：在全年級同學中隨機抽取的4名高三同學中，恰有2名同學的數(shù)學成果超過93.1分的概率是________．38解析：由題意，可得每名學生的數(shù)學成果ξ～N所以P(ξ＞93.1)＝12，則全級隨機抽取的4名同學中恰有2名的成果超過93.1的概率p＝C428．某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校溝通訪問．(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列．解：(1)設(shè)事務(wù)A為“選派的3人中恰有2人會法語”，則P(A)＝C52C(2)依題意知X的取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝C43C73＝435，P(P(X＝2)＝C41C32C73＝1235所以X的分布列為X0123P418121B組新高考培優(yōu)練9．(2024·濟寧模擬)甲、乙兩位同學進行羽毛球競賽，約定五局三勝制(無平局)，已知甲每局獲勝的概率都為25A．1625B．81125C．72D解：依據(jù)題意，甲獲勝包括三種狀況：①第三局甲成功，其概率p1＝25②第三局乙成功，第四局甲成功，其概率p2＝1-25×2③第三、四局乙成功，第五局甲成功，其概率p3＝1-252×則甲獲勝的概率p＝p1＋p2＋p3＝9812510．(多選題)下列結(jié)論正確的是()A．若隨機變量X聽從兩點分布，P(X＝1)＝12，則D(X)＝B．若隨機變量Y的方差D(Y)＝2，則D(3Y＋2)＝8C．若隨機變量ξ聽從二項分布B4，12，則P(D．若隨機變量η聽從正態(tài)分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，則P(2≤η≤8)＝0.8CD解析：對A，若隨機變量X聽從兩點分布，P(X＝1)＝12，則D(X)＝12×1-12＝14，故A錯誤；對B，若隨機變量Y的方差D(Y)＝2，則D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，故錯誤；對C，若隨機變量ξ聽從二項分布B4，12，則P(ξ＝3)＝C43123·1-121＝14，故正確；對D，若隨機變量η聽從正態(tài)分布N(5，σ2)，11．(多選題)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中ak(k＝2，3，4，5)出現(xiàn)0的概率為13，出現(xiàn)1的概率為23，記X＝a2＋a3＋a4＋aA．X聽從二項分布B．P(X＝1)＝8C．X的均值E(X)＝8D．X的方差D(X)＝4ABC解析：由二進制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1且每個數(shù)位上的數(shù)字互不影響，故X的可能取值有0，1，2，3，4，且X的取值表示1出現(xiàn)的次數(shù)，由二項分布的定義可得X～B4，23，故A正確．故P(X＝1)＝C41231133＝881，故B正確；因為X～B4，23，所以E(X12．有9粒種子分種在3個坑內(nèi)，每坑放3粒，每粒種子的發(fā)芽概率為0.5．若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不須要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒有發(fā)芽，則這個坑須要補種．假定每個坑至多補種一次，須要補種的坑數(shù)為2的概率等于________．21512解析：由題意，單個坑須要補種的概率p＝0.53＝用ξ表示須要補種的坑數(shù)，則ξ～B3，18，所以須要補種的坑數(shù)為2的概率P(ξ＝2)＝C3213．“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已深化人心，這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展．某市購置新能源汽車的車主中女性車主所占的比例為25，現(xiàn)從該市購置新能源汽車的車主中隨機選取216625解析：女性車主所占的比例為2則女性車主恰有2人的概率是C52·252·14．在箱子中有10個小球，其中有3個紅球，3個白球，4個黑球．從這10個球中任取3個．求：(1)取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列；(2)取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率．解：(1)由題意知，隨機變量X的全部可能取值為0，1，2，3，且X聽從參數(shù)為N＝10，M＝3，n＝3的超幾何分布，因此P(X＝k)＝C3kC所以P(X＝0)＝C30C73P(X＝1)＝C31C72P(X＝2)＝C32C71P(X＝3)＝C33C所以X的分布列為X0123P72171(2)設(shè)“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事務(wù)A，“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事務(wù)A1，“恰好取出2個紅球”為事務(wù)A2，“恰好取出3個紅球”為事務(wù)A3，由于事務(wù)A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而P(A1)＝C31CP(A2)＝P(X＝