初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）第04講 充分條件與必要條件（學生版）

第04講充分條件與必要條件1．理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義；2．了解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關系；3．能通過充分性、必要性解決簡單的問題；4．能對充分條件進行證明。一、命題定義與表示1、命題的定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．2、命題的表示：命題表示為“若p，則q”時，p是命題的條件，q是命題的結論．二、充分條件條件與必要條件1、充分條件與必要條件定義（1）一般地，“若，則”為真命題，是指由條件通過推理可以得出結論.這時，我們就說，由可推出，記作，并且說，是的充分條件，是的必要條件。（2）如果“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結論，記作.這時，我們就說，不是的充分條件，不是的必要條件。2、充分條件與必要條件的關系是的充分條件反映了，而是的必要條件也反映了，所以是的充分條件與是的必要條件表述的是同一個邏輯關系，只是說法不同。而是的充分條件只反映了，與能否推出沒有任何關系。三、充要條件1、充要條件的定義如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。2、充要條件的含義若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結論不同。3、充要條件的等價說法：是的充要條件又常說成是成立當且僅當成立，或與等價。四、充分、必要、充要條件的證明1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個方面，然后驗證另一個方面不成立。2、證明“充要條件”一般應分兩個步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件。盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。一般地，證明成立的充要條件為，在證明充分性時，應以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結論”，即；在證明必要性時，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結論”，即考點一：命題的概念與真假判斷例1．(多選)下列語句是命題的是（）A．3是15的約數(shù)B．x2+2x+1≥0C．4不小于2D．你準備考北京大學嗎?【變式訓練】下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程的判別式大于0;④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命題的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4考點二：充分、必要條件的判斷例2．已知集合，，則“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【變式訓練】指出下列各組命題中，是的什么條件？是的什么條件？（1）若，，；（2）或；；（3）：能被整除，：能被整除．考點三：根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍例3．已知不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（）A．或B．或C．D．【變式訓練】已知，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．考點四：探求充要條件例4．（多選）下列各選項中，p是q的充要條件的是（）A．p：或，q：方程有兩個不同的實數(shù)根B．p：，q：C．p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等D．p：，q：【變式訓練】下列結論，可作為“兩條直線平行”的充要條件的是______．①同位角相等；②內(nèi)錯角相等；③同旁內(nèi)角互補；④同旁內(nèi)角相等．考點五：充要條件的證明例5．求證：等式對任意實數(shù)恒成立的充要條件是.【變式訓練】已知，是實數(shù)，求證：成立的充要條件是.1．下列語句是命題的是（）A．二次函數(shù)的圖象太美啦！B．這是一棵大樹C．求證：D．3比5大2．設：p：，q：，則p是q成立的（）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分不必要條件；③是的必要不充分條件；④是的充分不必要條件；正確的命題序號是（）A．①④B．①②C．②③D．③④5．若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6．（多選）下列四個命題中為真命題的是（）A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件C．關于的方程有實數(shù)根的充要條件是D．若集合，則是的充分不必要條件7．（多選）有以下四種說法，其中說法正確的是（）A．“是實數(shù)”是“是有理數(shù)”的必要不充分條件B．“”是“”的充要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件8．（多選）設全集為U，在下列選項中，是的充要條件的是（）A．B．C．D．9．已知集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．10．已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.1．下列是“四邊形是矩形”的充分條件是（）A．四邊形的對角線相等B．四邊形的兩組對邊分別相等C．四邊形有兩個內(nèi)角都為直角D．四邊形的兩組對邊分別平行且有一組對角互補2．已知a，，則“”的一個必要條件是（）A．B．C．D．3．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A．B．C．D．5．若，則（）A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的充要條件C．“”是“”的必要不充分條件D．“”是“”的既不充分也不必要條件6．已知條件p：，條件q：，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．7．（多選）下列結論正確的有（）A．在中，“是鈍角”是“