初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第15講 對數(shù)及其運算（教師版）

第15講對數(shù)及其運算1．了解對數(shù)的概念，會進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化，會求簡單的對數(shù)值；2．掌握積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)，并能正確利用對數(shù)運算性質(zhì)進行對數(shù)運算；3．掌握換底公式及其推論；4．掌握常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念與記法.一、對數(shù)的概念1、對數(shù)的定義：如果（且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2、對數(shù)的基本性質(zhì)（1）當(dāng)，且時，．（2）負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)，即.（3）特殊值：1的對數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對數(shù)是1，即（，且）．（4）；（5）二、常用對數(shù)與自然對數(shù)名稱定義記法常用對數(shù)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)自然對數(shù)以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)三、對數(shù)的運算性質(zhì)及應(yīng)用1、運算性質(zhì)：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．3、可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.四、對數(shù)運算常用方法技巧1、對數(shù)混合運算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然后進行化簡合并；（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對數(shù)相減的形式。2、對數(shù)運算中的幾個運算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對數(shù)運算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進行化簡；（2）的應(yīng)用技巧：對數(shù)運算過程中如果出現(xiàn)兩個對數(shù)相乘且兩個對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡；（3）指對互化的轉(zhuǎn)化技巧：對于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解。考點一：對數(shù)的概念辨析例1．有下列說法：①以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).其中正確的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根據(jù)常用對數(shù)以及自然對數(shù)的概念可知①③正確，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知④正確，只有當(dāng)且時，指數(shù)式才可以化成對數(shù)式，②錯誤，故選：C【變式訓(xùn)練】已知對數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B考點二：對數(shù)式與指數(shù)式互化例2．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化可知：對于選項A：等價于，故A正確；對于選項B：等價于，故B正確；對于選項C：等價于，故C錯誤；對于選項D：等價于，故D正確；故選：C.【變式訓(xùn)練】將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式．（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）由，可得；（2）由，可得；（3）由，可得；（4）由，可得.考點三：利用對數(shù)性質(zhì)解對數(shù)方程例3．求下列各式中x的值．（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得，，則，所以.（2）由可得，，故，所以.【變式訓(xùn)練】若對數(shù)方程的兩根為，則______.【答案】【解析】，或，由，由，所以，故答案為：考點四：利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡例4．（多選）下列運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：BCD.【變式訓(xùn)練】計算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）．考點五：用已知對數(shù)表示其他對數(shù)例5．已知，，用a，b表示_______．【答案】【解析】因為，所以，.故答案為：.【變式訓(xùn)練】（1）已知，，求.（用表示）（2）已知，，求.（用表示）【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，所以.（2）因為，所以，所以.考點六：利用換底公式證明等式例6．已知，求證：.【答案】證明見解析.【解析】設(shè)()，則，，，故.【變式訓(xùn)練】設(shè)，且，求證：【答案】證明見解析.【解析】設(shè)，，則，，.因為，所以，即.所以，即.1．有以下四個結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④【答案】C【解析】對于①，，正確；對于②，，正確；對于③，若，則，故錯誤；對于④，若，則，故錯誤，故選：C.2．使式子有意義的x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D3．則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，則，故選：B．4．對于，且，下列說法中，正確的是（）①若，則;②若，則;③若，則;④若，則.A．①③B．②④C．②D．①②④【答案】C【解析】對于①，當(dāng)時，都沒有意義，故不成立;對于②，，則必有，故正確;對于③，當(dāng)互為相反數(shù)且不為0時，也有，但此時，故錯誤;對于④，當(dāng)時，都沒有意義，故錯誤.綜上，只有②正確.故選：C5．已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：A.6．（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】AD【解析】對于可化為：，A正確，對于可化為：，B不正確，對于可化為與，,C不正確，對于可化為：，D正確，故選：AD．7．（多選）設(shè)為非零實數(shù)，，且，則下列式子正確的是（）A．；B．；C．；D．.【答案】AD【解析】對于A：，A正確；對于B：當(dāng)時，，B錯誤；對于C：，C錯誤；對于D：，D正確.故選：AD.8．若_____．【答案】8【解析】∵，∴，∴，解得，故答案為：8.9．計算__________.【答案】【解析】原式故答案為：10．已知，，則____________．（用含的式子做答）【答案】【解析】，，，故答案為：.11．計算下列各式的值（或的值）：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由，得，所以；（2）由兩邊取以10為底對數(shù)，得，即，解得；（3）由，得，所以，即；（4）.12．已知a，b，c滿足.當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，求證：.【答案】證明見解析【解析】設(shè)，可得，其中，可得，，所以.1．有以下四個結(jié)論，其中正確的是（）A．B．C．若，則D．【答案】B【解析】因為，，所以A錯誤，B正確；若，則，故C錯誤；，而沒有意義，故D錯誤．故選：B.2．的值是（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.3．設(shè)函數(shù)，則（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由，則.故選：B4．（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【解析】對于選項A，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故A正確；對于選項B，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故B錯誤；對于選項C，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故C正確；對于選項D，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故D正確.故選：ACD.5．（多選）下列正確的是（）A．B．C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，因為，則，所以，，C對；對于D選項，因為，則，所以，，D對.故選：BCD.6．若有意義，則實數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】若有意義，則滿足，解得.故答案為：7．若，則x的值為________．【答案】4【解析】因為，所以，即，解得．故答案為：4.8．已知，試用表示______.【答案】【解析】因為，利用對數(shù)的換底公式可得：，，于是，,∴,故答案為：.9．關(guān)于的二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為_________．【答案】或【解析】因為關(guān)于的二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則，解得或，所以或.故答案為：或.10．將下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式或指數(shù)式改寫為對數(shù)式：（1）；