高中數(shù)學(xué)選修44坐標系與參數(shù)方程完整教案

選修4-4教案

教案1平面直角坐標系（1課時）

教案2平面直角坐標系中的伸縮變換（1課時）

教案3極坐標系的的概念（1課時）

教案4極坐標及直角坐標的互化（1課時）

教案5圓的極坐標方程（2課時）

教案6直線的極坐標方程（2課時）

教案7球坐標系及柱坐標系（2課時）

教案8參數(shù)方程的概念（1課時）

教案9圓的參數(shù)方程及應(yīng)（2課時）

教案10圓錐曲線的參數(shù)方程（1課時）

教案11圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用（1課時）

教案12直線的參數(shù)方程（2課時）

教案13參數(shù)方程及一般方程互化（2課時）

教案14圓的漸開線及擺線（1課時）

課題：1、平面直角坐標系

教學(xué)目的：

學(xué)問及技能：回憶在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法

實力及及方法：體會坐標系的作用

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點：體會直角坐標系的作用

教學(xué)難點：可以建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，解決數(shù)學(xué)問題

授課類型：新授課

教學(xué)形式：互動五步教學(xué)法

教具：多媒體、實物投影儀

1平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法

2坐標系的作用

1平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法

2坐標系的作用

情境1：為了確保宇宙飛船在預(yù)定的軌道上運行，并在按安排完成科學(xué)考察任務(wù)后，平

安、精確的返回地球，從火箭升空的時刻開場，須要隨時測定飛船在空中的位

置機器運動的軌跡。

情境2：運動會的開幕式上常常有大型團體操的表演，其中不斷變更的背景圖案是由看

臺上座位排列整齊的人群不斷翻動手中的一本畫布構(gòu)成的。要出現(xiàn)正確的背景

圖案，須要缺點不同的畫布所在的位置。

問題1：如何刻畫一個幾何圖形的位置？

問題2：如何創(chuàng)立坐標系？

刻畫一個幾何圖形的位置，須要設(shè)定一個參照系

1、數(shù)軸它使直線上任一點P都可以由惟一的實數(shù)x確定

2、平面直角坐標系

在平面上，當取定兩條相互垂直的直線的交點為原點，并確定了度量單位和這兩條

直線的方向，就建立了平面直角坐標系。它使平面上任一點P都可以由惟一的實數(shù)對

(x,y)確定

3、空間直角坐標系

在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，當取定這三條直線的交點為原點，

并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標系。它使空間上任一點P

都可以由惟一的實數(shù)對(x,y,z)確定

1、建立坐標系是為了確定點的位置，因此，在所建的坐標系中應(yīng)滿意：

隨意一點都有確定的坐標及其對應(yīng)；反之，根據(jù)一個點的坐標就能確定這個點的位置

2、確定點的位置就是求出這個點在設(shè)定的坐標系中的坐標

例1選擇適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担硎具呴L為1的正六邊形的頂點。

*變式訓(xùn)練

如何通過它們到點0的間隔以及它們相對于點0的方位來刻畫，即用”間隔和方

向”確定點的位置？

例2已知B村位于A村的正西方1公里處，原安排經(jīng)過B村沿著北偏東60°的方向設(shè)一

條地下管線m.但在A村的西北方向400米出,發(fā)覺一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘探的結(jié)

果,文物管理部門將遺址W四周100米范圍劃為禁區(qū).試問:埋設(shè)地下管線m的安排須要

修改嗎？

*變式訓(xùn)練

1.一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸的時間比在B處晚2s,已知A、B兩地相距

800米，并且此時的聲速為340m/s,求曲線的方程

2.在面積為1的APMN中，tanZPMN=-,tanAMNP=-2,建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

2

求以M,N為焦點并過點P的橢圓方程

例3已知Q(a,b)，分別按下列條件求出P的坐標

(1)P是點Q關(guān)于點M(m,n)的對稱點

(2)P是點Q關(guān)于直線l：x-y+4=0的對稱點(Q不在直線1上)

*變式訓(xùn)練

用兩種以上的方法證明：三角形的三條高線交于一點。

思索：

通過平面變換可以把曲線攵里匚+”』=1變?yōu)橹行脑谠c的單位圓，懇求出該復(fù)合

94

變換？

小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.如何建立直角坐標系；

2.建標法的根本步驟；

3.什么時候須要建標。

書面作業(yè)：

必做題：課本P14頁1,2,3,4

教學(xué)反思：建標法，學(xué)生學(xué)習(xí)有印象，但沒有主動建標的意識，說明學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏

系統(tǒng)性，須要加強訓(xùn)練。

課題：2、平面直角坐標系中的伸縮變換

教學(xué)目的：

學(xué)問及技能：平面直角坐標系中的坐標變換

過程及方法：體會坐標變換的作用

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識

教學(xué)重點：理解平面直角坐標系中的坐標變換、伸縮變換

教學(xué)難點：會用坐標變換、伸縮變換解決實際問題

授課類型：新授課

教學(xué)方法：互動五步教學(xué)法

平面直角坐標系中的坐標變換

平面直角坐標系中的坐標變換

問題探究1：怎樣由正弦曲線”組內(nèi)得到曲線丁=疝2"

思索：“保持縱坐標不變橫坐標縮為原來的一半”的本質(zhì)是什么？

問題探究2：怎樣由正弦曲線丁=加工得到曲線y=3sinx?

思索：“保持橫坐標不變縱坐標縮為原來的3倍”的本質(zhì)是什么？

問題探究3：怎樣由正弦曲線丁=5皿1得到曲線y=3sin2x?

定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標系中隨意一點，在變換

的作用下，點P(x,y)對應(yīng)P(x，,y)稱。為平面直角坐標系中的伸縮變換

注(1沈>0,4>0

(2)把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；

(3)在伸縮變換下，平面直角坐標系不變，在同始終角坐標系下進展伸縮變換。

V-0V*

例1、在直角坐標系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。

y=3y

(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1

例2、在同一平面坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線c變?yōu)榍€—+992=9,

.>=y

求曲線c的方程并畫出圖象。

1>已知/(x)=sinx/Cx)=sin@;(3>0)力⑺的圖象可以看作把力(無)的圖象在其所

在的坐標系中的橫坐標壓縮到原來的工倍(縱坐標不變)而得到的，則口為()

3

A.-B.2C.3D.-

23

Y'—SY

2、在同始終角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2/+8了2=1,則

y=3y

曲線C的方程為（）

2Q

A.25x2+36/=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1D.-x2+^y2

x'=—x

3、在平面直角坐標系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換2后的圖形。

了=?

（1）5x+2y=0;

（2）x2+y2=1o

學(xué)問歸納：設(shè)點P（x,y）是平面直角坐標系中的隨意一點，在變換

=的作用下，點p（x,y）對應(yīng)到點尸（凡川，稱夕為平面直角坐標系

[V="y,（M>0）,

中的坐標伸縮變換

書面作業(yè)：

x=-x

必做題：1、拋物線>2=4x經(jīng)過伸縮變換4后得到

2、把圓d+>2=16變成橢圓/+仁=1的伸縮變換為_________________

16

3,在同一坐標系中將直線3x+2y=1變成直線2x+y=2的伸縮變換為

',=1

4,把曲線y=3sin2x的圖象經(jīng)過伸縮變換*一2”得到的圖象所對應(yīng)的方程為

.y'=4y

x'=2x

5、在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換,1后，曲線C變?yōu)椤?-16了2一4"=0,

卜=5〉

則曲線c的方程______________________

教學(xué)反思：伸縮變換

課題：3極坐標系的的概念

教學(xué)目的：理解極坐標的概念

教學(xué)重點：理解極坐標的意義

教學(xué)難點：可以在極坐標系中用極坐標確定點位置

授課類型：新授課

教學(xué)形式：互動五步教學(xué)法

.教具：多媒體、實物投影儀

1坐標的概念

2極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)分.

1坐標的概念

2極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)分.

情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)覺前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引

爆？

情境2：如圖為某校園的平面示意圖，假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處。

(1)他向東偏60°方向走120M后到達什么位置？該位

置惟一確定嗎？

(2)假如有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描

繪？

問題1：為了簡便地表示上述問題中點的位置，應(yīng)創(chuàng)立怎

樣的坐標系呢？

問題2：如何刻畫這些點的位置?

這一思索，能讓學(xué)生結(jié)合自己熟識的背景，體會在某些狀況下用間隔及角度來刻

畫點的位置的便利性，為引入極坐標供應(yīng)思維根底.

從情鏡2中探究出：在生活中人們常常用方向和間隔來表示一點的位置。這種用

方向和間隔表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的根本思想。

1、極坐標系的建立:

在平面上取一個定點0,自點0引一條射線0X,同時確定一個單位長度和計算角度

的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系。

(其中0稱為極點，射線0X稱為極軸。)

2、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定

對于平面上隨意一點M,用p表示線段OM的長度，

用6表示從OX到OM的角度，p叫做點M的極徑，0

叫做點M的極角，有序數(shù)對(p,0)就叫做M的極坐標。

特殊強調(diào)：由極徑的意義可知p?0;當極角。的取值范圍

是［0,2乃)時，平面上的點(除去極點)就及極坐標(p,0)建立

一一對應(yīng)的關(guān)系?們約定,極點的極坐標是極徑p=0,極角是隨意角.

3、負極徑的規(guī)定

在極坐標系中，極徑p允許取負值，極角0也可以去隨意的正角或負角

當p<0時，點M(p,0)位于極角終邊的反向延長線上，且OM=?

M(p,0)也可以表示為(p,6+2Z%)或(-0,。+(2左+1)乃)(kez)

4、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1寫出下圖中各點的極坐標(見教材14頁)

A(4,0)B(2)C()

D()E()F()

G()

①平面上一點的極坐標是否唯一？

②若不唯一，那有多少種表示方法？

③坐標不唯一是由誰引起的？

③不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式

約定：極點的極坐標是夕=0,?？梢匀‰S意角。

例2在極坐標系中，(1)已知兩點P(5,—

44

求線段PQ的長度;

(2)已知M的極坐標為(p,0)且9=(，PGR，說明滿意上述條件的點M的位置。

1知Q(p,0),分別按下列條件求出點P的極坐標。

(1)P是點Q關(guān)于極點0的對稱點；

(2)P是點Q關(guān)于直線。=工的對稱點；

2

(3)P是點Q關(guān)于極軸的對稱點。

2極坐標系中，及點(-8,9)關(guān)于極點對稱的點的一個坐標是()

6

3極坐標系中，假如等邊AA3C的兩個頂點是A(2,&),8(2,3,求第三個頂點C的坐標。

44

4小結(jié)：

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1.如何建立極坐標系。2.極坐標系的根本要素是：極點、

極軸、極角和度單位。3.極坐標中的點及坐標的對應(yīng)關(guān)系。

書面作業(yè)：

必做題：導(dǎo)練相應(yīng)練習(xí)

選做題：

預(yù)習(xí)提綱

課后反思：本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容對學(xué)生來說是全新的，因此學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好很濃，課堂氣氛很

好。局部學(xué)生還未能轉(zhuǎn)換思維，感到有點吃力。后續(xù)教學(xué)還要加強根底訓(xùn)練。

課題：4極坐標及直角坐標的互化

教學(xué)目的：

學(xué)問目的：駕馭極坐標和直角坐標的互化關(guān)系式

實力目的：會實現(xiàn)極坐標和直角坐標之間的互化

德育目的：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點：對極坐標和直角坐標的互化關(guān)系式的理解

教學(xué)難點：互化關(guān)系式的駕馭

授課類型：新授課

教學(xué)形式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)覺教學(xué).

教具：多媒體、實物投影儀

極坐標和直角坐標的互化關(guān)系式

極坐標和直角坐標的互化關(guān)系式

情境1：若點作平移變動時，則點的位置采納直角坐標系描繪比擬便利；

情境2：若點作旋轉(zhuǎn)變動時，則點的位置采納極坐標系描繪比擬便利

問題1：如何進展極坐標及直角坐標的互化？

問題2：平面內(nèi)的一個點的直角坐標是(1,6)，這個點如何用極坐標表示？

學(xué)生回憶

理解極坐標的建立及極徑和極角的幾何意義

正確畫出點的位置，標出極徑和極角，借助幾何意義歸結(jié)到三角形中求解

直角坐標系的原點0為極點，x軸的正半軸為極軸，

且在兩坐標系中取一樣的長度單位。平面內(nèi)隨意一點P的

指教坐標及極坐標分別為(x,y)和(2,6),則由三角函數(shù)的

定義可以得到如下兩組公式：

說明1上述公式即為極坐標及直角坐標的互化公式

2通常狀況下，將點的直角坐標化為極坐標時，取P20,0W9W2兀。

3互化公式的三個前提條件

1.極點及直角坐標系的原點重合；

2.極軸及直角坐標系的x軸的正半軸重合；

3.兩種坐標系的單位長度一樣.

例1.(1)把點M的極坐標(8,3)化成直角坐標

(2)把點P的直角坐標(遙,-/)化成極坐標

變式訓(xùn)練

在極坐標系中，已知42,9)，3(2,-工),求A,B兩點的間隔

66

例2.若以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立直角坐標系.

(1)已知A的極坐標(4,號)，求它的直角坐標，

(2)已知點B和點C的直角坐標為(2,-2)和(0,-15)

求它們的極坐標.(0>0,0<6<2")

變式訓(xùn)練

把下列個點的直角坐標化為極坐標(限定p>0,0W。V2不)

例3.在極坐標系中，已知兩點A(6,-),B(6,—).

63

求A,B中點的極坐標.

變式訓(xùn)練

在極坐標系中，已知三點M(2,_X),N(2,0),P(2g：).推斷M,N,P三點是否在一條直線

36

上.

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.極坐標及直角坐標互換的前提條件；

2.互換的公式；

3.互換的根本方法。

書面作四：

必做題：導(dǎo)練相應(yīng)練習(xí)

選做題：

預(yù)習(xí)提綱

課后反思：在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生能主動應(yīng)對互化的緣由、方法，也能較好地仿照操作，

但讓學(xué)生獨立自主完成新的問題的解答，明顯有困難，須要老師的點撥引導(dǎo)。這點可實

行的措施是：小組探討，共同找尋解決問題的方法，很有效。但教學(xué)時間缺乏。

課題：5圓的極坐標方程

教學(xué)目的：

1、駕馭極坐標方程的意義

2、能在極坐標中給出簡潔圖形的極坐標方程

教學(xué)重點、極坐標方程的意義

教學(xué)難點：極坐標方程的意義

教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合。

教具：多媒體、實物投影儀.

1、直角坐標系和極坐標系中怎樣描繪點的位置？

2、曲線的方程和方程的曲線(直角坐標系中)定義

3、求曲線方程的步驟

4、極坐標及直角坐標的互化關(guān)系式：

1、直角坐標系和極坐標系中怎樣描繪點的位置？

2、曲線的方程和方程的曲線(直角坐標系中)定義

3、求曲線方程的步驟

4、極坐標及直角坐標的互化關(guān)系式：

問題情境

1、直角坐標系建立可以描繪點的位置極坐標也有同樣作用？

2、直角坐標系的建立可以求曲線的方程

極坐標系的建立是否可以求曲線方程？

1、引例.如圖，在極坐標系下半徑為a的圓的圓心坐標為

(a,O)(a〉O),你能用一個等式表示圓上隨意一點，/

的極坐標(p,。)滿意的條件？/少/,

解：設(shè)M(p,O)是圓上0、A以外的隨意一點，連接'\x

則有：OM=OAcos?,即：P=2acos0-----n--------IT-*

2、提問：曲線上的點的坐標都滿意這個方程嗎？\r(八、

可以驗證點0(0,無⑵、A(2a,0)滿意①式.

等式①就是圓上隨意一點的極坐標滿意的條件.、----/

反之，合適等式①的點都在這個圓上.

3、定義：一般地，假如一條曲線上隨意一點都有一個極坐標合適方程八。,6)=0的點

在曲線上，那么這個方程稱為這條曲線的極坐標方程，這條曲線稱為這個

極坐標方程的曲線。

例1、已知圓。的半徑為r,建立怎樣的坐標系，

可以使圓的極坐標方程更簡潔？現(xiàn)

①建系；f\\

②設(shè)點；M(P,e)(----，--*

③列式；OM=r,即：p=r\/'

④證明或說明.

變式練習(xí)：求下列圓的極坐標方程

(1)中心在CQ0),半徑為a；

(2)中心在(a,加2),半徑為a；

(3)中心在?(。?！?，半徑為a

答案：(l)p=2acos0(2)p=2asin0(3)/?=2acos(。-%)

例2.(1)化在直角坐標方程-8)=0為極坐標方程，

(2)化極坐標方程P=6cos(。-?)為直角坐標方程。

1.以極坐標系中的點(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是(C)

2.極坐標方程分別是P=cos0和p=sin0的兩個圓的圓心距是多少？旺

2

1.曲線的極坐標方程的概念.

2.求曲線的極坐標方程的一般步驟.

書面作業(yè)：

宓做題：教材七1,2

選做題：1.在極坐標系中，已知圓C的圓心C(3,乙)，半徑廠=3,

6

(1)求圓C的極坐標方程。

(2)若。點在圓C上運動，P在。。的延長線上，且O0:OP=3:2,求動點P的

軌跡方程。

教學(xué)反思：理解還不很到位，加強理解

課題：6直線的極坐標方程

教學(xué)目的：

學(xué)問及技能：駕馭直線的極坐標方程

過程及方法：會求直線的極坐標方程及及直角坐標之間的互化

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點：理解直線的極坐標方程，直角坐標方程及極坐標方程的互化

教學(xué)難點：直線的極坐標方程的駕馭

授課類型：新授課

教學(xué)形式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)覺教學(xué).

教學(xué)過程：

一、探究新知：

閱讀教材P13-P14

探究1、直線/經(jīng)過極點，從極軸到直線/的角是?，如何用極坐標方程歹洛’!

＞思索：用極坐標表示直線時方程是否唯一？/

探究2、如何表示過點4a,0)(。＞0),且垂直于極軸的直線/的啜［.程，化為直角坐

標方程是什么？過點A(a,0)(a〉0),平行于極軸的直線/的多2個.尼?-----------?x

二、學(xué)問應(yīng)用：/'

例1、已知點P的極坐標為(2,乃)，直線/過點P且及極軸所成的角為求直線/的極

坐標方程。

例2、把下列極坐標方程化成直角坐標方程

、冗7T

(1)6?=—(pe/?)(2)Q(2cos8+5sin6)—4=0(3)psin(6?-y)=4

例3、推斷直線夕sin(6+?)=工-及圓Q=2cos8-4sin。的位置關(guān)系。

三、穩(wěn)固及提升：

P15第1,2,3,4題

四、學(xué)問歸納：

1、直線的極坐標方程

2、直線的極坐標方程及直角坐標方程的互化

3、直線及圓的簡潔綜合問題

五、作業(yè)布置：

1、在直角坐標系中，過點（1,0）,及極軸垂直的直線的極坐標方程是（）

Apsin6=lBp=sin。C℃os8=IDp=cos0

2、及方程。=巴(220)表示同一曲線的是()

4

rrSTTSTT7C

A6=—(peE)B=—(p<0)C0=—(peR)D^=-(p<0)

4444

3、在極坐標系中，過點A（2,-馬且及極軸平行的直線/的極坐標方程是____________

2

4,在極坐標系中，過圓0=4cos。的圓心，且垂直于極軸的直線方程是

5、在極坐標系中，過點A（2,把）且垂直于極軸的直線/的極坐標方程是___________

4

6、已知直線的極坐標方程為0sin（6+工）=也，求點A（2,衛(wèi)）到這條直線的間隔。

424

7、在極坐標系中，由二條直線6=0,6=（,/7cosO+psin6=1圍成圖形的面積。

六、反思：

課題7球坐標系及柱坐標系

教學(xué)目的：

學(xué)問目的：理解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法

實力目的：理解柱坐標、球坐標及直角坐標之間的變換公式。

德育目的：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點：體會及空間直角坐標系中刻畫空間點的位置的方法的區(qū)分和聯(lián)絡(luò)

教學(xué)難點：利用它們進展簡潔的數(shù)學(xué)應(yīng)用

授課類型：新授課

教學(xué)形式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)覺教學(xué).

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

情境：我們用三個數(shù)據(jù)來確定衛(wèi)星的位置，即衛(wèi)星到地球中心的間隔、經(jīng)度、緯

度。

問題：如何在空間里確定點的位置？有哪些方法？

學(xué)生回憶

在空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法

極坐標的意義以及極坐標及直角坐標的互化原理

二、講解新課：

1、球坐標系

設(shè)P是空間隨意一點，在oxy平面的射影為Q,連接OP,記|OP|=r,OP及OZ

軸正向所夾的角為6,P在oxy平面的射影為Q,Ox軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)

過的最小正角為夕，點P的位置可以用有序數(shù)組（廠,仇。）表示，我們把建立上述對應(yīng)關(guān)

系的坐標系叫球坐標系（或空間極坐標系）

有序數(shù)組（八夕⑼叫做點p的球坐標，其中r2o,owew兀,ow°v2萬。

空間點P的直角坐標（x,y,z）及球坐標（「，仇⑼之間的變換關(guān)系為：

2、柱坐標系

設(shè)P是空間隨意一點，在oxy平面的射影為Q,用（P,0）（P20,0W。<2n）表示

點在

平面。xy上的極坐標，點P的位置可用有序數(shù)組（P,0,Z）表示把建立上述對應(yīng)關(guān)系的

坐標系叫做柱坐標系

有序數(shù)組（P,0,Z）叫點P的柱坐標，其中P20,0<2n,zeR

空間點P的直角坐標（x,y,z）及柱坐標（P,0,Z）之間的變換關(guān)系為：

3、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1建立適當?shù)那蜃鴺讼?，表示棱長為1的正方體的頂點.

變式訓(xùn)練

建立適當?shù)闹鴺讼?，表示棱長為1的正方體的頂點.

例2.將點M的球坐標（8,乙，苗）化為直角坐標.

36

變式訓(xùn)練

1.將點M的直角坐標（-1,-1,五）化為球坐標.

2.將點M的柱坐標（4,8）化為直角坐標.

3.在直角坐標系中點（a,a,a）（a>0）的球坐標是什么？

例3.球坐標滿意方程r=3的點所構(gòu)成的圖形是什么？并將此方程化為直角坐標方程.

變式訓(xùn)練

標滿意方程p=2的點所構(gòu)成的圖形是什么？

例4.已知點M的柱坐標為（后二,3）,點N的球坐標為（2:二）,求線段MN的長度.

442

思索：

在球坐標系中，集合M=<（r,e,°）2<rW6,0W，W],0V夕<2萬>表示的圖形的體

積為多少？

三、穩(wěn)固及練習(xí)

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.球坐標系的作用及規(guī)則；

2.柱坐標系的作用及規(guī)則。

五、課后作業(yè)：教材P15頁12,13,14,15,16

六、課后反思：本節(jié)內(nèi)容及平面直角坐標和極坐標結(jié)合起來，學(xué)生簡潔理解。但以后少

用，可能會遺忘很快。須要定期調(diào)回學(xué)生的記憶。

第二章參數(shù)方程

【課標要求】

1、理解拋物運動軌跡的參數(shù)方程及參數(shù)的意義。

2、理解直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點）的參數(shù)方

程及其簡潔應(yīng)用。

3、會進展曲線的參數(shù)方程及一般方程的互化。

8參數(shù)方程的概念

一、教學(xué)目的：

1.通過分析拋物運動中時間及運動物體位置的關(guān)系，寫出拋物運動軌跡的參數(shù)方

程，體會參數(shù)的意義。

2.分析曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。

二、教學(xué)重點：根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。

教學(xué)難點：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)，探究歸納

四、教學(xué)過程

（一）.參數(shù)方程的概念

1.問題提出：鉛球運發(fā)動投擲鉛球，在出手的一剎那，鉛球的速度為Vo,及地面成a

角，如何來刻畫鉛球運動的軌跡呢？y

2.分析探究理解：Iv=vo

（1）、斜拋運動：，乙1一

（2）、抽象概括：參數(shù)方程的概念。說明：（“兇備來說，參數(shù)的容更范圍是有限制的。

（2）參數(shù)是聯(lián)絡(luò)變量x,y的橋梁，-實際意義，也可玉實際意義。

（3）平拋運動：yt

v=100in/s

（4）思索溝通：把引例中求出的鉛球運動的軌跡50。尸,

的參數(shù)方程消去參數(shù)t后，再將所得方程及原方程進展4擬，忘濠數(shù)寺程的作用。

（二）、應(yīng)用舉例：H—*

例1、已知曲線。的參數(shù)方程是S為參數(shù)）（1）推斷點（。，1），

M,（5,4）及曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點加3（6,a）在曲線。上，求a的值。

分析：只要把參數(shù)方程中的t消去化成關(guān)于x,y的方程問題易于解決。學(xué)生練習(xí)。

反思歸納：給定參數(shù)方程要探討問題可化為關(guān)于x,y的方程問題求解。

兀

例2、設(shè)質(zhì)點沿以原點為圓心，半徑為2的圓做勻速（角速度）運動，角速度為前

rad/s,試以時間t為參數(shù)，建立質(zhì)點運動軌跡的參數(shù)方程。

解析：如圖，運動開場時質(zhì)點位于A點處，此時t=0,設(shè)動點M（x,y）對應(yīng)時刻t,由圖

x=2cos。兀f%=2cos看r〉

可知｛y=2sind°60',得參數(shù)方程為iy=2sin希Z°

反思歸納：求曲線的參數(shù)方程的一般步驟。

（三）、課堂練習(xí)：

（四）、小結(jié)：1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)問；2、本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法。學(xué)生自我反思、老

師引導(dǎo)，抓住重點學(xué)問和方法共同小結(jié)歸納、進一步深化理解。

（五）、作業(yè)：

補充：設(shè)飛機以勻速v=150m/s作程度飛行，若在飛行高度h=588m處投彈（設(shè)投彈

的初速度等于飛機的速度，且不計空氣阻力）。（1）求炸彈分開飛機后的軌跡方程；（2）

試問飛機在離目的多遠（程度間隔）處投彈才能命中目的。簡解：（1）

五、教學(xué)反思:

9圓的參數(shù)方程及應(yīng)用

一、教學(xué)目的：

學(xué)問及技能：分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。利用圓的幾

何性質(zhì)求最值（數(shù)形結(jié)合）

過程及方法：能選取適當?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

二、重難點：教學(xué)重點：能選取適當?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程

教學(xué)難點：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題.

三、教學(xué)方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)覺教學(xué).

四、教學(xué)過程：_

\~/Mo

（-）＞圓的參數(shù)方程探求

1、根據(jù)圖形求出圓的參數(shù)方程，老師準對問題講評。

;（。為參數(shù)）這就是圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程。

y=rsin^

說明：（1）參數(shù)0的幾何意義是0M及x軸正方向的夾角。（2）隨著選取的參數(shù)不同，

參數(shù)方程形式也有不同，但表示的曲線是一樣的。（3）在建立曲線的參數(shù)方程時，要注

明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。

3、若如圖?。糚AX=。，AP的斜率為K,如何建立圓的參數(shù)方程，同學(xué)們探討溝通，自我

解決。

結(jié)論：參數(shù)取的不同，可以得到圓的不同形式的參數(shù)方程。

4,反思歸納：求參數(shù)方程的方法步驟。

（二）、應(yīng)用舉例

例1、已知兩條曲線的參數(shù)方程

：為參數(shù)）和：（，為參數(shù)）

Lcll.y=5sin（9a2Iy=3+rsin45

（1）、推斷這兩條曲線的形態(tài)；（2）、求這兩條曲線的交點坐標。學(xué)生練習(xí)，老師準對

問題講評。

（三）、最值問題：利用圓的幾何性質(zhì)和圓的參數(shù)方程求最值（數(shù)形結(jié)合）

例2、1、已知點P（x,y）是圓/+y?-6x-4y+12=0上動點，求（1）Y+y?的最

值，

（2）x+y的最值，

（3）P到直線x+y-1=0的間隔d的最值。

v—3-4-CCS0

解：圓，+y2—6x—今+12=0即(x-3)2+(y-2)2=l,用參數(shù)方程表示為｛八

y-2+sin。

由于點P在圓上，所以可設(shè)P（3+cosO,2+sin。）,

(1)x2+y2=(3+COS6)2+(2+sin0)2=14+4sin6+6cos。=14+2y/13sin(6+0)

(其中tan(P=|)...x2+y2的最大值為14+2岳,最小值為14-2岳。

冗

(2)x+y=3+cos0+2+sin0=5+0sin(0+4)，x+y的最大值為5+6

最小值為5-y/2。

_|3+cos6>+2+sin6>-l|_4+&sm(6>+J

⑶d=75=7F

明顯當sin（0+W）=±1時，d取最大值，最小值，分別為1+2&,1-2&.

2、過點（2,1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦：為最長的直線方程是；

為最短的直線方程是;

3、若實數(shù)X,y滿意x2+y2-2x+4y=0,則x-2y的最大值為。

（三）、課堂練習(xí)：學(xué)生練習(xí)：1、2

（四）、小結(jié)：1、本課我們分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)求出圓的參數(shù)方程。2、

參數(shù)取的不同，可以得到圓的不同形式的參數(shù)方程。從中體會參數(shù)的意義。3、利用參

數(shù)方程求最值。要求大家駕馭方法和步驟。

（五）、作業(yè)：

1、方程丁+歹_4戊-2。+5/-4=0（t為參數(shù)）所表示的一族圓的圓心軌跡是（D）

A.一個定點B.一個橢圓C.一條拋物線D.一條直線

2,已知1=2+（媯參數(shù)），則J（*_5）、（y+4）2的最大值是目。

[y=sin〃

8.曲線r+V=2y的一個參數(shù)方程為]*=（以參數(shù)）

[y=1+sm〃

五、教學(xué)反思：

10圓錐曲線的參數(shù)方程

一、教學(xué)目的:

學(xué)問及技能：理解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義

過程及方法：能選取適當?shù)膮?shù)，求簡潔曲線的參數(shù)方程

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

二、重難點：教學(xué)重點：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法

教學(xué)難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.

三、教學(xué)方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)覺教學(xué).

四、教學(xué)過程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1.寫出圓方程的標準式和對應(yīng)的參數(shù)方程。

（1）圓/+y2=/參數(shù)方程F「?OS,（Q為參數(shù)）

y=rsin。

（2）圓（x—Xo）2+（y\y（>）2=/參數(shù)方程為：，=Xo+，cos,（。為參數(shù)）

J=>0+rsm6

2.寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程。

3.能仿照圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？

（二）、講解新課：

1.橢圓的參數(shù)方程推導(dǎo)：橢圓W+￡=l參數(shù)方程r=ac°s°（。為參數(shù)），參

數(shù)。的幾何意義是以a為半徑所作圓上一點和橢圓中心的連線及X軸正半軸的夾角。

2.雙曲線的參數(shù)方程的推導(dǎo)：雙曲線￡-*=1參數(shù)方程「=asec"（。為參數(shù)）

ab~[y=btan0

參數(shù)。幾何意義為以a為半徑所作圓上一點和橢圓中心的連線及X軸正半軸的夾

角。

r-2Pt2

3.拋物線的參數(shù)方程：拋物線V=2&參數(shù)方程“一（t為參數(shù)），t為以拋物

y=2Pt

線上一點（X,Y）及其頂點連線斜率的倒數(shù)。

（1）、關(guān)于參數(shù)幾點說明：

A.參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。

B.同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣

C.在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍

（2）、參數(shù)方程的意義：

參數(shù)方程是曲線點的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點的

兩個坐標間接地聯(lián)絡(luò)起來，參數(shù)方程及變通方程同等地描繪，理解曲線，參數(shù)方程事實

上是一個方程組，其中x，y分別為曲線上點M的橫坐標和縱坐標。

（3）、參數(shù)方程求法：（A）建立直角坐標系，設(shè)曲線上任一點P坐標為（x,y）；（B）

選取適當?shù)膮?shù)；（C）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點P坐標及參

數(shù)的函數(shù)式；（D）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程

（4）、關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選?。哼x取參數(shù)的原則是曲線上任一點坐標當參數(shù)的

關(guān)系比擬明顯關(guān)系相對簡潔。及運動有關(guān)的問題選取時間f做參數(shù)；及旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題

選取角。做參數(shù)；或選取有向線段的數(shù)量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等。

4、橢圓的參數(shù)方程常見形式：（1）、橢圓馬+《=1參數(shù)方程=（。為

a2b2[y=〃sin。

22\X=bcOS0八、1公出L口\

參數(shù)）；橢圓會+:=13>Q〉O）的參數(shù)方程是JsmM為鄉(xiāng)數(shù)，且.

b0>）—usin（/

（2）、以（x°,y0）為中心焦點的連線平行于x軸的橢圓的參數(shù)方程是

「x=Xo+acose公淑、[

｛尸V3n卅為多數(shù)）。⑶在利用探討橢圓問題時，橢圓上的點的

坐標可記作（acos。，bsin。）。

（三”穩(wěn)固訓(xùn)練

1

x=t+-

1、曲線的為參數(shù)）的一般方程為=4。

——---------

t

2、曲線]=cos：（9為參數(shù)）上的點到兩坐標軸的間隔之和的最大值是（D）

[y=sine

A.-B.農(nóng)C.1D.V2

22

3、已知橢圓（"=3c°s°J為參數(shù)）求（1）工時對應(yīng)的點P的坐標

y=2sin。6

（2）直線OP的傾斜角

（四）、小結(jié)：本課要求大家理解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，能選取適當?shù)膮?/p>

數(shù)，求簡潔曲線的參數(shù)方程，通過推到橢圓及雙曲線的參數(shù)方程，體會求曲線的參數(shù)方

程方法和步驟，對橢圓的參數(shù)方程常見形式要理解和駕馭。

（五）、作業(yè)：

五、教學(xué)反思：

11圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

一、教學(xué)目的：

學(xué)問及技能：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點的軌跡問題

過程及方法：選擇適當?shù)膮?shù)方程求最值。

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

二、重難點：教學(xué)重點：選擇適當?shù)膮?shù)方程求最值。

教學(xué)難點：正確運用參數(shù)式來求解最值問題

三、教學(xué)形式：講練結(jié)合，探析歸納

四、教學(xué)過程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

通過參數(shù)。簡明地表示曲線上任一點坐標將解析幾何中以計算問題化為三角問題，

從而運用三角性質(zhì)及變換公式扶植求解諸如最值，參數(shù)取值范圍等問題。

（二）、講解新課：

例1、雙曲線{“：耳的"（二為參數(shù)）的兩焦點坐標是。

Iy=6seca-----------

答案：（0,-4百），（0,473）o學(xué)生練習(xí)。

t-t

{x=e+s

y=（t為參數(shù)）的圖形是雙曲線右支。

學(xué)生練習(xí)，老師準對問題講評。反思歸納：推斷曲線形態(tài)的方法。

22

Yy

例3、設(shè)P是橢圓行+k=1在第一象限局部的弧AB上的一點，求使四邊形OAPB

的面積最大的點P的坐標。

分析：本題所求的最值可以有幾個轉(zhuǎn)化方向，即轉(zhuǎn)化為求SAPOA+S"M,SOAP8的

最大值或者求點P到AB的最大間隔，或者求四邊形OAPB的最大值。

71

學(xué)生練習(xí)，老師準對問題講評?！?。=W時四邊形OAPB的最大值=6e，此時點P

為（372，2）o]

（三）、穩(wěn)固訓(xùn)練

1、直線F='cos,（協(xié)參數(shù)）及圓F=4：2c°SQe為參數(shù)）相切，那么直線的傾斜角為（A）

[y=fsin夕[y=2sm（p

A.三或包B.工或包C.工或把D.-乙或-包

66443366

22

2、橢圓[+==1（。＞匕＞0）及x軸正向交于點A,若這個橢圓上存在點P,使0P

ah

±AP,（0為原點），求離心率e的范圍。

3、拋物線V=4x的內(nèi)接三角形的一個頂點在原點，其重心恰是拋物線的焦點，求內(nèi)接

三角形的周長。

4,設(shè)P為等軸雙曲線--y2=i上的一點，/B為兩個焦點，證明閨斗區(qū)”=|。斤

5、求直線F=l+'。為參數(shù)）及圓》2+y2=4的交點坐標。

解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得（l+t）2+（l-t）2=44^t=±l,分別代入直線

方程，得交點為（0,2）和（2,0）o

（三）、小結(jié)：本節(jié)課我們利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點的軌跡問

題，選擇適當?shù)膮?shù)方程正確運用參數(shù)式來求解最值問題，要求理解和駕馭求解方法。

（四）、作業(yè):

練習(xí)：在拋物線尸=4以3〉0）的頂點，引兩相互垂直的兩條弦0A,0B,求頂

點0在AB上射影H的軌跡方程。

五、教學(xué)反思：

12直線的參數(shù)方程

一、教學(xué)目的：

學(xué)問及技能：理解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義

過程及方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義

情感、看法及價值觀：通過視察、探究、發(fā)覺的創(chuàng)立性過程，培育創(chuàng)新意識。

二重難點：教學(xué)重點：曲線參數(shù)方程的定義及方法

教學(xué)難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.

三、教學(xué)方法：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)覺教學(xué).

四、教學(xué)過程

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1.寫出圓方程的標準式和對應(yīng)的參數(shù)方程。

圓/+>2=戶參數(shù)方程P=rose（。為參數(shù)）

y=rsin^

⑵圓（X7o）2+（y\yo）2"參數(shù)方程為：/+（。為參數(shù)）

J=%+rsin'

2.寫出橢圓參數(shù)方程.

3.復(fù)習(xí)方向向量的概念.提出問題：已知直線的一個點和傾斜角，如何表示直線的參

數(shù)方程？

（二）、講解新課：

1、問題的提出：一條直線L的傾斜角是30°，并且經(jīng)過點P（2,3）,如何描繪直

【辨析直線的參數(shù)方程工設(shè)M（x,y）為直線上的隨意一點，參數(shù)t的幾何意義是指

從點P到點M的位移，可以用有向線段數(shù)量來表示。帶符號.

（2）、經(jīng)過兩個定點Q（w，y），P（X2，yJ（其中X產(chǎn)片）的直線的參數(shù)方程為

X=^MX2

｛產(chǎn)春4為參數(shù)，，~1）。其中點心）為直線上的隨意-點。這里

參數(shù)九的幾何意義及參數(shù)方程（1）中的t明顯不同，它所反映的是動點M分有向線段QP

的數(shù)量比赤。當九＞。時，M為內(nèi)分點；當；且;I?！?時，M為外分點；當丸=。時,

點M及Q重合。

（三）、直線的參數(shù)方程應(yīng)用，強化理解。

1、例題:

學(xué)生練習(xí)，老師準對問題講評。反思歸納：1、求直線參數(shù)方程的方法；2、利用直線參

數(shù)方程求交點。

2、穩(wěn)固導(dǎo)練：

補充：1、直線F='cos,（如參數(shù)）及圓[X=4+2COSQ夕為參數(shù)）相切，那么直線的傾斜角

[y=ts\nO[y=2sm°

為（A）

A.工或把B.巴或網(wǎng)C.工或竺D.-工或-包

66443366

X=]-2t

2、（2009廣東理）（坐標系及參數(shù)方程選做題）若直線心’。為參數(shù)）及直線

[y=2+kt.

X=S，

l2：l（s為參數(shù)）垂直，則攵=________.

y=l-2s.

Y—1—2,“

解：直線4:'。為參數(shù)）化為一般方程是y-2=--（x-l）,

[y=2+kt.2

該直線的斜率為

2

直線（S為參數(shù)