2022屆中考數學壓軸題及答案

2022年中考數學壓軸題

1.如圖，在平面直角坐標系中有拋物線y="（x-2）2-2和y=4（x-h）2,拋物線y=a

（x-2）2-2經過原點，與x軸正半軸交于點A,與其對稱軸交于點5點尸是拋物線y

="（x-2）2-2上一動點，且點P在x軸下方，過點P作x軸的垂線交拋物線y=aG

-/?）2于點D,過點D作PD的垂線交拋物線y=a（x-/z）2于點D1（不與點D重合），

連接，設點尸的橫坐標為，”：

（1）①直接寫出。的值；

②直接寫出拋物線y="（x-2）2-2的函數表達式的一般式；

（2）當拋物線y=a（x-/?）2經過原點時，設△尸。。'與AOAB重疊部分圖形周長為L：

①求券的值；

②直接寫出L與m之間的函數關系式；

（3）當為為何值時，存在點P,使以點O、A、D、D'為頂點的四邊形是菱形？直接寫

解：(1)①將x=0,y=0代入y="(x-2)2-2中，得：0=a(0-2)2-2,解得：

②)=#_2x.

(2):拋物線y=a(x-h)?經過原點，。=

；.),=^x2,

(4,0),8(2,-2),

易得：直線OB解析式為：y=-x,直線AB解析式為：y=x-4

111

如圖1,P(m,-m2—2m},D(m,_m2),E(m,0),F(m,-m),D'(-m,-m2),

222

119

@PD=2m2~(5m'—2m)=2m,DDr=2m

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PD2m

_]

*DDf2m

②如圖1,當0</nW2時，L=OE+EF+OF=m+m+V2m=(2+V2)m,

當2〈機<4時，如圖2,設P。'交x軸于G,交AB于H,P。交x軸于E,交AB于尸,

1

2\

12o12-m7

則尸Gn,-m—2m),D(/n,-m),E(〃?，0),F(〃?,m-4),D'2

22

PF=(/H-4)-(-m2-2加=-^m2+3/〃-4,FH=PH=-^-PF=—^m2+^^zn-2A/2,

PG=-苧/+2企機

■:DD’//EG

EGPEi

???—=一,即：EG?PD=PE?DD',得：EG*(2m)=(2m-4mo2)*2m

DDfPD2

：.EG=2m-^,EF=4-m(也可以利用等腰直角三角形的性質得出結論)

L=EG+EF+FH+GH=EG^-EF+PG=2m-1zn2+4-m+C-^m2+2或，w)=-^^m2+

(2V2+1)m+4

((2+夜)皿0〈加W2)

y—+(2V2+l)m+4(2<m<4)

(3)如圖3,設OP交x軸于N.

：.AD=AO=DD'=4,

：.PN=2,

:.NA=ylAD2-PD2=V42-22=2痘

.\/?=2±2V3.

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2.如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數），=-++3的圖象與x軸交于點A,與y軸交于

B點,拋物線y=-7+6x+c經過A,B兩點，在第一象限的拋物線上取一點。，過點。

作OCLx軸于點C,交直線AB于點￡

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）是否存在點。，使得△B3E和相似？若存在，請求出點。的坐標，若不存

在，請說明理由；

（3）如圖2,尸是第一象限內拋物線上的動點（不與點O重合），點G是線段A8上的

動點.連接。EFG,當四邊形力EG尸是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的

坐標.

解：（1）在）；=一下:+3中，令工=0,得y=3,令y=0,得x=4,

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???A(4,0),B(0,3),

將A(4,0),B(0,3)分別代入拋物線產-/+fec+c中，得：[-42+4b4-c=0,解

ic=3

(.13

得：匕=彳，

(c=3

二拋物線的函數表達式為：＞=-/+苧x+3.

(2)存在.如圖1,過點8作8Hl.C。于”，設CG,0),則。(f,一戶+苧t+3),

E(n一扛+3),H(/,3)；

：.EC=-1t+3,AC=4-t,BH=t,OH=-P+竽3DE=-?+4r

,//\BDE和△ACE相似，ZBED=ZAEC

：.叢BDEs叢ACE或△OBEs

①當△BOEs/XACE時，NBDE=NACE=90°,

13

止匕時3O〃AC,可得。(—,3).

4

②當△DBES/VICE時，NBDE=/CAE

?：BH工CD

；?NBHD=90°,

BHCEr

??.一=tanZBDE=tanZCAE=即：BH*AC=CE*DH

DHAC

(4-t)=(一,+3)(-?+苧/),解得：0=0(舍)，e=4(舍)，4=修

2350

:.D(一,一)；

129

132350

綜上所述，點。的坐標為(一，3)或(一:，—)；

4129

(3)如圖2,???四邊形。EG尸是平行四邊形

:.DE//FG9DE=FG

12Q122

設D(m,—tn2+zn+3),E(m,-4771+3),F(〃，—n2+n+3),G(it,—n+3),

則：DE=-nr+4m,FG=-rr+An,

；?-機？+4機=-/+4〃,即：()〃-〃)Cm+n-4)=0,**m-

.?./"+〃-4=0,E[J：m+〃=4

過點G作GKA.CD于K,則GK//AC

：.ZEGK=ZBAO

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GKA0?

一=cosZEGK=cosZBAO=即：GK'AB=AO'EG

EG48

???5(n-m)=4EG,即：EG=1(〃-M

q

；.QEG尸周長=2(DE+EG)=2[(-/n2+4w)+1(?-/?)]=-2(m-1)2

??,-2<0,

.?.當加=飄，.?.團OEG尸周長最大值=手

139

G(—，—),

416

339

此時G(一，一).

416

3.如圖，已知拋物線y=o?+Zzx-1與x軸的交點為A(-1,0),B(2,0),且與y軸交

于C點.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點C關于x軸的對稱點為Ci，M是線段8。上的一個動點(不與8、。重合)，

MELx軸，M凡Ly軸，垂足分別為E、F,當點M在什么位置時，矩形M尸OE的面積最

大？說明理由.

(3)已知點P是直線y=營+1上的動點，點Q為拋物線上的動點，當以C、。、P、Q

為頂點的四邊形為平行四邊形時，求出相應的點P和點Q的坐標.

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解：⑴將A(-1,0),8(2,0)分別代入拋物線y=a?+6x-1中，得/

(a=1

解得：\2

(b=~2

：.該拋物線的表達式為：尸系—1x-1.

(2)在y=Jr12—1中，令x=0,y=-1,：.C(0,-1)

:點C關于x軸的對稱點為Ci,

.,.Ci(O,l),設直線C\B解析式為y=kx+h,^B(2,0),Ci(0,1)分別代入得《”1b=°t

解得k=~4，

U=1

111

**?直線CiB解析式為y——2X+1，設M(力—/+1),則0),F(0,—2七+1)

11o1

A5MFOE=OEXOF=t(一?+1)=一1(LI)+會

1

?:*<0,

11

???當/=1時，S矩形MFOE最大值=今此時，M(1,-);即點M為線段。歸中點時，S矩

形最大?

(3)由題意，C(0,-1),Cl(0,1),以C、。、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊

形，分以下兩種情況：

①C1C為邊，則CiC〃P。，GC=P。，設尸(機，|m+l),QGn,1m21),

1911

<*.|(-m——m-1)-(—/??+1)|=2,解得：m\=4,mi=-2,如=2,m=0(舍)，

222

Pi(4,3),Q\(4,5)；尸2(-2,0),。2(-2,2)；為(2,2),Q(2,0)

②Ge為對角線，?.,cc與P?；ハ嗥椒?，CC的中點為(0,0),

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.?.P。的中點為(0,0),設PCm,$7+1),171

則。(-m,—rrr+—m-1)

22

11,1

(一,”+1)+(―+~m-1)=0>解得:機1=0(舍去)，mi=-2,

222

：.P4,(-2,0),Q4(2,0)；

綜上所述，點P和點。的坐標為：Pi(4,3),<2i(4,5)或P2(-2,0),0(-2,

2)或P3(2,2),。3(2,0)或R(-2,0),。4(2,0).

4.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,。為AB邊上的一點，以AO為直徑的。。交2c

于點E,交AC于點F,過點C作CGLA2交AB于點G,交AE于點H,過點E的弦EP

交A8于點。(EP不是直徑)，點。為弦EP的中點，連結8P,BP恰好為。。的切線.

(1)求證：8c是的切線.

(2)求證：EF^ED.

3

(3)若sin/ABC=AC=15,求四邊形C7/QE的面積.

(1)證明：連接OE,OP,

,：AD為直徑，點Q為弦EP的中點,

/.PE1AB,點Q為弦EP的中點，

：.AB垂直平分EP,

：.PB=BE,

?：OE=OP,OB=OB,

:.△BEOWMPO(555),

NBEO=NBPO,

為。。的切線，

...NBPO=90°,

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???NB￡O=90°，

:.OE±BCf

???3C是OO的切線.

(2)證明：VZBEO=ZACB=90°,

C.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

*：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

:?/CAE=/EAO,

：.EF=ED.

(3)解：TA。為的OO直徑，點。為弦E尸的中點,

：.EP1AB,

???CG1.AB,

：.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=/AEO,

9：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

:./CAE=NEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE9

：./\ACE^/\AQE(AAS),

*"?CE=QE,

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：.ZCEH=ZAHG9

*.<4AHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEHf

：.CH=CE,

.CH=EQ,

.四邊形C”QE是平行四邊形,

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?:CH=CE,

??.四邊形C/7QE是菱形，

AG3

VsinZABC=sinNACG=-=一，

AC5

VAC=15,

?"G=9,

ACG=yjAC2-AG2=12,

/\ACE^/\AQEf

：.AQ=AC=\5f

：.QG=6,

'：H^=HG1+QG2,

；.//Q2=(12-HQ)2+62,

1q

解得：〃Q=竽，

15

：.CH=HQ=^-,

1q

二四邊形CHQE的面積=CH?GQ=早x6=45.

5.如圖，△ABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點。.

(1)求證：/8AC=2/A8O；

(2)當△8C。是等腰三角形時，求/BCD的大??；

(3)當AD=2,CO=3時，求邊BC的長.

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(1)證明：連接0A.

圖1

???A8=AC,

：.AB=AC,

：.OA±BCf

：.ZBAO=ZCAO,

,.?OA=O8,

ZABD=ZBAO9

：?NBAC=2NABD.

(2)解：如圖2中，延長AO交8c于H.

*：AB=AC,

JZABC=ZC,

：.ZDBC=2ZABD,

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VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

A8ZABD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,則NC8O=NCO8=3NA8O,

，ZC=4ZABDf

VZDBC+ZC+ZCDB=180°,

.,.10ZABD=180°,

：,4BCD=4/ABD=TT.

③若。8=。。，則。與A重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作AE〃BC交的延長線于E.

A。AE4

.**—=—=一，設O8=OA=4a,OH=3a,

OHBH3

*：BH2=AB2-AH2=01^-0序，

???25-49。2=16。2-9。2,

,2_25

??。一茄’

：.BH=挈

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如圖：△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90Q,AB=10,。為△ABC外一點,

連接40、BD,過。作DH_L4B,垂足為H,交AC于E.

(1)若△A8D是等邊三角形，求OE的長；

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Q

(2)若BD=AB,J@LtanZHDB=求DE的長.

【解答】解：(1)?.?△AB。是等邊三角形，48=10,

/.ZADB=60Q,AD=AB=10,

"DHA.AB,

：.AH^^AB=5,

：.DH=\/AD2-AH2=V102-52=5V3,

???△ABC是等腰直角三角形，

AZCAB=45°,即NAE”=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tanNHOB=1,

可設8H=3吼則Z)H=4鼠

根據勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=IO,

.?.5%=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A/7=4,

又,；EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

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7.如圖，