2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第三章第6講含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第三章第6講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念，能用描點(diǎn)法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)(a＞0，且a≠1)．1．對數(shù)的定義如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作eq\x(\s\up1(01))x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的運(yùn)算法則如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(02))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(03))logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．對數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)eq\x(\s\up1(04))y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．4．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域eq\x(\s\up1(05))(0，＋∞)值域R定點(diǎn)過點(diǎn)eq\x(\s\up1(06))(1，0)單調(diào)性eq\x(\s\up1(07))增函數(shù)eq\x(\s\up1(08))減函數(shù)函數(shù)值正負(fù)當(dāng)x＞1時，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時，y＜0當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞05.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝eq\x(\s\up1(09))logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線eq\x(\s\up1(10))y＝x對稱．1．對數(shù)的性質(zhì)(a＞0，且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.2．換底公式及其推論(1)logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝eq\f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)；(3)logab·logbc·logcd＝logad；(4)logambn＝eq\f(n,m)logab.3．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．1．(人教A必修第一冊習(xí)題4.3T5改編)設(shè)alog34＝2，則4－a＝()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案B解析由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝eq\f(1,9).故選B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故選C.3．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的圖象必過定點(diǎn)________．答案(－1，－2)解析由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函數(shù)f(x)的圖象必過定點(diǎn)(－1，－2)．4．(人教B必修第二冊4.2.2練習(xí)BT3改編)求值：lg5×lg20＋(lg2)2＝________．答案1解析原式＝lg5×lg(22×5)＋(lg2)2＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝[lg(5×2)]2＝1.5．(人教A必修第一冊習(xí)題4.4T1(2)改編)函數(shù)y＝eq\r(log\s\do9(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析由logeq\s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥0得logeq\s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥logeq\s\do7(\f(2,3))1，所以0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2)<x≤1.故函數(shù)y＝eq\r(log\s\do7(\f(2,3))（2x－1）)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).考向一對數(shù)的化簡與求值例1(1)下列運(yùn)算正確的是()A．2logeq\s\do7(\f(1,5))10＋logeq\s\do7(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．lg2＋lg50＝10D．log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)答案D解析對于A，2logeq\s\do7(\f(1,5))10＋logeq\s\do7(\f(1,5))0.25＝logeq\s\do7(\f(1,5))(102×0.25)＝logeq\s\do7(\f(1,5))52＝－2，A錯誤；對于B，log427×log258×log95＝eq\f(lg33,lg22)×eq\f(lg23,lg52)×eq\f(lg5,lg32)＝eq\f(3×3,2×2×2)＝eq\f(9,8)，B錯誤；對于C，lg2＋lg50＝lg100＝2，C錯誤；對于D，log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(5,4)，D正確．(2)(2024·銀川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x）（x≤1），,2x－1（x>1），))則f(1)＋f(log26)＝()A．4 B．5C．6 D．7答案A解析因?yàn)閘og26>1，所以f(1)＋f(log26)＝1＋log2(2－1)＋2log26－1＝1＋0＋2log23＝1＋3＝4.故選A.(3)(多選)(2023·海南華僑中學(xué)模擬)已知a＝lg2，b＝lg3，則()A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg12C.eq\f(1,a＋2b)＝log1810 D．log365＝eq\f(1－a,2a＋2b)答案BCD解析因?yàn)閍＝lg2，b＝lg3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A錯誤；2a＋b＝lg4＋lg3＝lg12，B正確；eq\f(1,a＋2b)＝eq\f(1,lg2＋2lg3)＝eq\f(1,lg18)＝log1810，C正確；log365＝eq\f(lg5,lg(4×9))＝eq\f(lg5,2lg2＋2lg3)＝eq\f(1－a,2a＋2b)，D正確．故選BCD.對數(shù)運(yùn)算的策略1.(2023·衡水中學(xué)模擬)在某款計算器上計算logab時，需依次按下“l(fā)og”“(”“a”“，”“b”“)”6個鍵．某同學(xué)使用該計算器計算logab(a>1，b>1)時，誤將“l(fā)og”“(”“b”“，”“a”“)”這6個鍵依次按下，所得到的值是正確結(jié)果的eq\f(4,9)，則()A．2a＝3b B．a(chǎn)3b2＝1C．a(chǎn)2＝b3 D．a(chǎn)3＝b2答案D解析由題意可知logba＝eq\f(4,9)logab，∴(logba)2＝eq\f(4,9)，又a>1，b>1，∴l(xiāng)ogba>0，logba＝eq\f(2,3)，∴a＝beq\s\up7(\f(2,3))，即a3＝b2.故選D.2．(2024·廣東重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知4a＝3b＝6，則eq\f(2a＋b,ab)＝________．答案2解析由題意可得a＝log46，b＝log36，則eq\f(1,a)＝log64，eq\f(1,b)＝log63，故eq\f(2a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝log64＋2log63＝log64＋log69＝log636＝2.考向二對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2(1)(2024·濰坊模擬)若函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是()答案A解析由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因?yàn)閒(x)＝ax－eq\f(1,ax)為減函數(shù)，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)為(－2，＋∞)上的減函數(shù)，g(－1)＝0，排除B，C，D，故選A.(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax.當(dāng)a>1時不滿足條件，當(dāng)0<a<1時，畫出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖所示．可知，只需兩圖象在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交點(diǎn)即可，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2≥logaeq\f(1,2)，則0<a≤eq\f(\r(2),2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類熱點(diǎn)問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其對數(shù)型函數(shù)的圖象，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．1.函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的圖象大致為()答案A解析由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫出x>0時g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，畫出x<0時g(x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移1個單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A.2．設(shè)x1，x2，x3均為實(shí)數(shù)，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3答案D解析畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的圖象，如圖所示，由圖象知x2<x1<x3.多角度探究突破考向三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用角度比較對數(shù)值的大小例3(1)(2024·安徽A10聯(lián)盟模擬)設(shè)a＝2log3eq\f(1,2)，b＝log25，c＝log35，則()A．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．a(chǎn)<c<b答案D解析因?yàn)閘og3eq\f(1,2)<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝log35<log39＝2，所以a<c<b.故選D.(2)(多選)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2，則下列關(guān)系中可能成立的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b答案BCD解析由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有如下四種可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函數(shù)的圖象(如圖所示)．由圖象可知B，C，D可能成立．(3)(多選)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案ACD解析解法一：由題意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，對于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因?yàn)長p1≥Lp2，則Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正確；對于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因?yàn)長p2－Lp3＝Lp2－40≥10，則20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，當(dāng)且僅當(dāng)Lp2＝50時，等號成立，故B錯誤；對于C，因?yàn)長p3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正確；對于D，由選項(xiàng)A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，則20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.解法二：因?yàn)長p＝20×lgeq\f(p,p0)隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因?yàn)長p3＝40，所以p3＝p010eq\s\up7(\f(40,20))＝100p0，故C正確；假設(shè)p2＞10p3，則p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，該式不可能成立，故B錯誤；因?yàn)閑q\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010\s\up7(\f(Lp2,20)),p010\s\up7(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp1,20))+2≥1，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.比較對數(shù)值大小的方法1.(多選)(2024·惠州模擬)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,3)，則下列關(guān)系式中，正確的是()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)>cC．c>a D．a(chǎn)＋b＝2答案AC解析a＝log2e>log22＝1，即a>1，b＝ln2<lne＝1，即b<1，c＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23>log2e＝a，所以c>a>b，a＋b＝log2e＋ln2＝eq\f(1,ln2)＋ln2，由基本不等式知D錯誤．故選AC.2．(多選)對于0<a<1，下列四個不等式中成立的是()A．loga(1＋a)<logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) B．loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))C．a(chǎn)1＋a<a1＋eq\s\up7(\f(1,a)) D．a(chǎn)1＋a>a1＋eq\s\up7(\f(1,a))答案BD解析∵0<a<1，∴a<eq\f(1,a)，從而1＋a<1＋eq\f(1,a)，∴l(xiāng)oga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，a1＋a>a1＋eq\s\up7(\f(1,a)).故選BD.3．(2023·聊城二模)已知a＝eq\f(2,ln4)，b＝eq\f(ln3,ln2)，c＝eq\f(3,2)，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a答案D解析∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝eq\f(2,ln4)－eq\f(3,2)＝eq\f(2－3ln2,2ln2)＝eq\f(lne2－ln8,2ln2)<0，∴a＜c；∵b－c＝eq\f(ln3,ln2)－eq\f(3,2)＝eq\f(2ln3－3ln2,2ln2)＝eq\f(ln9－ln8,2ln2)＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故選D.角度解簡單的對數(shù)不等式例4(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9(\f(1,2))（－x），x<0.))若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)答案C解析由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>log\s\do9(\f(1,2))a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,log\s\do9(\f(1,2))(－a)>log2（－a），))解得a>1或－1<a<0.故選C.(2)(2023·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，則關(guān)于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集為()A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，6) D．(2，8)答案D解析由題意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，則函數(shù)f(x)的圖象是以直線x＝2為對稱軸且開口向下的拋物線，所以f(1)＝f(3)．由f(log2x)>f(1)，可得1<log2x<3，解得2<x<8，所以不等式f(log2x)>f(1)的解集為(2，8)．對數(shù)不等式的類型及其解法1.(2024·昆明五華區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(log0.5（4x－3）))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)答案A解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log0.5（4x－3）>0，,4x－3>0，))解得eq\f(3,4)<x<1，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).故選A.2．若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析由題意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時2a>1，所以a>eq\f(1,2).綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).角度對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析當(dāng)a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<eq\f(8,3)；當(dāng)0<a<1時，f(x)在[1，2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).(2)(2024·?？诘谝淮温?lián)考)已知函數(shù)f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，則函數(shù)g(x)的最大值為________．答案39解析函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤16，,1≤x2≤16，))解得1≤x≤4，即函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15＝(log2x＋5)2－10，因?yàn)閤∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．當(dāng)log2x＝2時，g(x)max＝39.解對數(shù)函數(shù)綜合問題的三個關(guān)注點(diǎn)(1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論．(2)底數(shù)與1的大小關(guān)系．(3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的．另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用．1.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數(shù)y＝x2－4x－5在(5，＋∞)單調(diào)遞增，在(－∞，－1)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)單調(diào)遞增，所以a≥5.故選D.2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)，則下列說法正確的是()A．f(x)為奇函數(shù) B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減 D．f(x)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)答案ACD解析f(x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)，令eq\f(2x＋1,2x－1)＞0，解得x＞eq\f(1,2)或x＜－eq\f(1,2)，∴f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，又f(－x)＝lneq\f(－2x＋1,－2x－1)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,2x－1)))eq\s\up12(－1)＝－lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，故A正確，B錯誤；又f(x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，令t＝1＋eq\f(2,2x－1)，t＞0且t≠1，∴y＝lnt，又t＝1＋eq\f(2,2x－1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減，且y＝lnt為增函數(shù)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減，故C正確；f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正確．3．(2023·十堰模擬)已知函數(shù)f(x)＝|lnx－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值為1，則a的值為________．答案1解析由題意得lnx∈[0，2]，當(dāng)a≥2時，f(x)＝2a－lnx在[1，e2]上單調(diào)遞減，∴f(x)的最小值為f(e2)＝2a－2＝1，a＝eq\f(3,2)<2，不符合題意；當(dāng)0<a<2時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－lnx，x∈[1，ea），,lnx，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上單調(diào)遞減，在[ea，e2]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值為f(ea)＝a＝1，符合題意，故a＝1.課時作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則()A．lg(x2y)＝(lgx)2＋lgy B．lg(xeq\r(y))＝lgx＋eq\f(1,2)lgyC．elnx＋lny＝x＋y D．elnx－lny＝xy答案B解析x，y為正實(shí)數(shù)，lg(x2y)＝lgx2＋lgy＝2lgx＋lgy，故A錯誤；lg(xeq\r(y))＝lgx＋lgeq\r(y)＝lgx＋eq\f(1,2)lgy，故B正確；elnx＋lny＝elnx·elny＝xy，故C，D錯誤．故選B.2．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝()A．25 B．5C.eq\f(25,9) D.eq\f(5,3)答案C解析因?yàn)?a＝5，b＝log83＝eq\f(1,3)log23，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(（2a）2,（23b）2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).故選C.3．(2024·南京模擬)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier，1550～1617)發(fā)明的對數(shù)及對數(shù)表(如下表)，為當(dāng)時的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計算大大縮短了時間．即就是任何一個正實(shí)數(shù)N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，則lgN＝n＋lga(0≤lga<1)，這樣我們可以知道N的位數(shù)．已知正整數(shù)M31是35位數(shù)，則M的值為()N23451112131415lgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18A.3 B．12C．13 D．14答案C解析因?yàn)镹＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，則lgN＝n＋lga(0≤lga<1)，所以1034≤M31<1035，兩邊取常用對數(shù)得34≤31lgM<35，于是eq\f(34,31)≤lgM<eq\f(35,31)，即1.09<lgM<1.13，所以M＝13.故選C.4．若logaeq\f(2,3)<1(a>0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)答案D解析因?yàn)閘ogaeq\f(2,3)<1，所以logaeq\f(2,3)<logaa.若a>1，則上式顯然成立；若0<a<1，則應(yīng)滿足0＜a＜eq\f(2,3).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．故選D.5.已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1答案A解析由題圖易得a>1，∴0<a－1<1.取特殊點(diǎn)x＝0?－1<y＝logab<0?－1＝logaeq\f(1,a)<logab<loga1＝0，∴0<a－1<b<1.故選A.6．(2023·宜賓模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ln（－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域?yàn)閇－3，＋∞)，則a的取值范圍是()A．[－e3，0) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e)))答案C解析當(dāng)0≤x≤3時，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]，當(dāng)a≤x＜0時，f(x)＝－ln(－x)≥－ln(－a)，因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ln（－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域?yàn)閇－3，＋∞)，所以－3≤－ln(－a)≤1，故－1≤ln(－a)≤3，解得－e3≤a≤－eq\f(1,e).故選C.7．(2023·銅陵三模)已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<b<a答案A解析因?yàn)閘og75－log97＝eq\f(lg5,lg7)－eq\f(lg7,lg9)＝eq\f(lg5·lg9－（lg7）2,lg7·lg9)，又因?yàn)閘g5·lg9≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg5＋lg9,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg45,2)))eq\s\up12(2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg49,2)))eq\s\up12(2)＝(lg7)2，所以log75－log97<0，即a<b；因?yàn)閘og97－log119＝eq\f(lg7,lg9)－eq\f(lg9,lg11)＝eq\f(lg7·lg11－（lg9）2,lg11·lg9)，又因?yàn)閘g7·lg11≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg7＋lg11,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg77,2)))eq\s\up12(2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg81,2)))eq\s\up12(2)＝(lg9)2，所以log97－log119<0，即b<c，所以a<b<c.故選A.8．(2024·衡水饒陽中學(xué)質(zhì)檢)已知x>0，y>0，a≥1，若a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(y)＋log2x＝log8y3＋2－x，則()A．ln|1＋x－3y|<0 B．ln|1＋x－3y|≤0C．ln(1＋3y－x)>0 D．ln(1＋3y－x)>1答案C解析由題意可知，a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3y)＋log2x＝log2y＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，∴l(xiāng)og2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＝log2y－a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3y)<log2(3y)－a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3y)≤log2(3y)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3y)，令f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，則f(x)<f(3y)，易知f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，由f(x)<f(3y)，得x<3y，∴3y－x>0，∴1＋3y－x>1，∴l(xiāng)n(1＋3y－x)>ln1＝0.故選C.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·蘇州模擬)已知2x＝3，y＝2log32，則()A．x<eq\f(3,2) B．xy＝2C．x>y D.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)>eq\r(2)答案BCD解析由2x＝3，可得x＝log23>log2eq\r(8)＝eq\f(1,2)log28＝eq\f(3,2)，所以A不正確；因?yàn)閥＝2log32，所以xy＝log23·2log32＝log23·eq\f(2,log23)＝2，所以B正確；因?yàn)閥＝2log32＝log34<log3eq\r(27)＝eq\f(3,2)，所以x>y，所以C正確；eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log23)＋eq\f(1,2log32)＝log32＋eq\f(1,2log32)≥2eq\r(log32·\f(1,2log32))＝eq\r(2)，因?yàn)閘og32≠eq\f(1,2log32)，所以等號不成立，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)>eq\r(2)，所以D正確．故選BCD.10．關(guān)于函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正確的是()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增B．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝4D．函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)答案ABD解析函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||的圖象如圖所示，由圖可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，A正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，B正確；根據(jù)圖象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2不一定等于4，C錯誤；函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)，D正確．故選ABD.11．(2023·南京一模)已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋4x)－x，則下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)B．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C．函數(shù)f(x)在(－∞，0]上為增函數(shù)D．函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)答案AD解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝log2(1＋4x)－x，定義域?yàn)镽，有f(－x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4x)))＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，A正確，B錯誤；對于C，f(－1)＝log2eq\f(5,2)>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函數(shù)，C錯誤；對于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋2x))，設(shè)t＝eq\f(1,2x)＋2x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立，則t的最小值為2，故f(x)≥log22＝1，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，D正確．故選AD.三、填空題12．(2022·全國乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2.即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定義域內(nèi)滿足f(－x)＝－f(x)，符合題意．13．已知函數(shù)f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________；若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－eq\r(3)，eq\r(3))(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)解析由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－eq\r(3)<a<eq\r(3).設(shè)A為y＝x2－2ax＋3的值域，則A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域?yàn)镽，則(0，＋∞)?A，所以3－a2≤0，解得a≤－eq\r(3)或a≥eq\r(3).14．如圖，已知過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y＝log8x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C，D兩點(diǎn)，若BC∥x軸，則四邊形ABDC的面積為________．答案eq\f(4\r(3),3)log23解析設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知，x1＞1，x2＞1.則點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為log8x1，log8x2.因?yàn)锳，B在過點(diǎn)O的直線上，所以eq\f(log8x1,x1)＝eq\f(log8x2,x2)，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．由BC平行于x軸，知log2x1＝log8x2，即log2x1＝eq\f(1,3)log2x2，∴x2＝xeq\o\al(3,1).代入x2log8x1＝x1log8x2得xeq\o\al(3,1)log8x1＝3x1log8x1.由x1＞1知log8x1≠0，∴xeq\o\al(3,1)＝3x1.考慮x1＞1，解得x1＝eq\r(3).于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\r(3)，log8eq\r(3))，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,6)log23))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(1,2)log23))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)log23))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(3,2)log23))，∴梯形ABDC的面積為S＝eq\f(1,2)(AC＋BD)·BC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)log23＋log23))×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)log23.四、解答題15．(2024·鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝log2eq\f(x2,8)·log2eq\f(\r(x),2).(1)設(shè)集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A；(2)當(dāng)x∈A時，求g(x)的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝9x－28×3x＋1＋243≤0，得(3x)2－84×3x＋243≤0，即(3x－3)(3x－81)≤0，則3≤3x≤81，解得1≤x≤4，∴A＝{x|1≤x≤4}．(2)g(x)＝log2eq\f(x2,8)·log2eq\f(\r(x),2)＝(2log2x－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log2x－1))＝(log2x)2－eq\f(7,2)log2x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(7,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,16).∵x∈[1，4]，∴l(xiāng)og2x∈[0，2]，∴當(dāng)log2x＝0時，g(x)max＝3；當(dāng)log2x＝eq\f(7,4)時，g(x)min＝－eq\f(1,16).故g(x)的最大值為3，最小值為－eq\f(1,16).16．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[m，n]?D使f(x)在[m，n]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，那么就稱y＝f(x)為“半保值函數(shù)”，若函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函數(shù)”，求t的取值范圍．解∵函數(shù)f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函數(shù)”，且定義域?yàn)镽，當(dāng)a>1時，z＝ax＋t2在R上單調(diào)遞增，y＝logaz在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得f(x)為R上的增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，f(x)仍為R上的增函數(shù)，∴f(x)在定義域R上為增函數(shù)，∴方程loga(ax＋t2)＝eq\f(1,2)x有兩個不同的根，∴ax＋t2＝，即ax－＋t2＝0，令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有兩個不同的正數(shù)根，可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).第8講函數(shù)零點(diǎn)與方程[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于一般函數(shù)y＝f(x)，把使eq\x(\s\up1(01))f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)三個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與eq\x(\s\up1(02))x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有eq\x(\s\up1(03))零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有eq\x(\s\up1(04))f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\x(\s\up1(05))(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得eq\x(\s\up1(06))f(c)＝0，這個eq\x(\s\up1(07))c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且eq\x(\s\up1(08))f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn)．(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．(4)函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根．(5)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)<0，如圖所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．1．(人教B必修第一冊習(xí)題3－2BT5改編)函數(shù)y＝lnx－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，＋∞)答案C解析y＝f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)閥＝lnx與y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝lnx－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝ln1－2＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－eq\f(2,e)＝1－eq\f(2,e)>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零點(diǎn)．故選C.2．若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的零點(diǎn)是2，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點(diǎn)是()A．2 B．0和2C．0 D．－2和0答案B解析由條件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零點(diǎn)為0和2.故選B.3．(2023·?？诘诙温?lián)考)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點(diǎn)個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點(diǎn)個數(shù)即函數(shù)f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象交點(diǎn)的個數(shù)，作圖容易判斷，兩圖象有兩個交點(diǎn)，故原函數(shù)有2個零點(diǎn)．4．(人教A必修第一冊習(xí)題4.5T13改編)若函數(shù)y＝ax2－2x＋1只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案0或1解析當(dāng)a＝0時，y＝－2x＋1，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)a≠0時，由題意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.綜上，實(shí)數(shù)a的值為0或1.5．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,x2－1，x＞0，))則函數(shù)y＝f(x)－1的零點(diǎn)是________．答案0和eq\r(2)解析要求函數(shù)y＝f(x)－1的零點(diǎn)，則令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①當(dāng)x≤0時，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝eq\r(2)(負(fù)值舍去)．綜上可知，函數(shù)y＝f(x)－1的零點(diǎn)是0和eq\r(2).考向一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1(1)(2023·梅州二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在區(qū)間(1，2)上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是(1，2)．故選B.(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)答案A解析函數(shù)y＝f(x)是圖象開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點(diǎn)，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個零點(diǎn)．判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)定義法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)解方程法當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上．(3)數(shù)形結(jié)合法畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．1.已知x0是函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋log2(x＋1)－4的零點(diǎn)，則(x0－1)(x0－2)(x0－3)·(x0－4)的值()A．為正數(shù) B．為負(fù)數(shù)C．等于0 D．無法確定正負(fù)答案B解析由題意可知f(x)單調(diào)遞增且f(3)＝eq\r(3)＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，則x0∈(3，4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝20×3－x－x的零點(diǎn)x0∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________．答案2解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝3－x為R上的減函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝20×3－x－x為R上的減函數(shù)，又f(2)＝20×3－2－2＝eq\f(20,9)－2＝eq\f(2,9)>0，f(3)＝20×3－3－3＝eq\f(20,27)－3＝－eq\f(61,27)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2，3)上有唯一零點(diǎn)，結(jié)合題意可知k＝2.考向二函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定例2(1)(2024·濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析求函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個數(shù)，轉(zhuǎn)化為求方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在區(qū)間[－2，2]上的根的個數(shù)．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個數(shù)為3.故選A.(2)(2023·長郡中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))則函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,（x＋1）2，x≤0.))①當(dāng)t＞0時，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，則函數(shù)f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，由零點(diǎn)存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②當(dāng)t≤0時，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f(x)＋1，直線t＝t1，t＝－2，t＝0的圖象如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個交點(diǎn)；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個交點(diǎn)；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個數(shù)為5.故選D.判定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法及思路(1)解方程法f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理法利用定理不僅要求函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)或零點(diǎn)值所滿足的條件．(3)數(shù)形結(jié)合法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．1.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，作出y＝|log0.5x|和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，如圖所示，則兩個函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1有2個零點(diǎn)．2．函數(shù)f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零點(diǎn)個數(shù)為________．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定義域?yàn)閇－6，6]．令f(x)＝0，得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x為－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6個零點(diǎn)．多角度探究突破考向三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用角度利用零點(diǎn)比較大小例3(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x).若f(x1)＝g(x2)＝0，則()A．0<g(x1)<f(x2) B．g(x1)<0<f(x2)C．f(x2)<0<g(x1) D．f(x2)<g(x1)<0答案B解析∵f(x)＝ex－1＋4x－4為增函數(shù)，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(0)＝eq\f(1,e)－4<0，f(1)＝1>0，g(1)＝－1<0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，又f(x1)＝g(x2)＝0，∴0<x1<1，1<x2<2，∴g(x1)<0<f(x2)．故選B.(2)(多選)(2023·蘇北七市三模)已知函數(shù)y＝x＋ex的零點(diǎn)為x1，y＝x＋lnx的零點(diǎn)為x2，則()A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0C．ex1＋lnx2＝0 D．x1x2－x1＋x2＜1答案BCD解析∵函數(shù)y＝x＋ex的零點(diǎn)為x1，y＝x＋lnx的零點(diǎn)為x2，∴函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝ex圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝lnx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，作函數(shù)y＝－x，y＝ex，y＝lnx的圖象如圖，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x2，∵函數(shù)y＝ex與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，函數(shù)y＝－x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝x對稱，又點(diǎn)A，B在直線y＝－x上，∴點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴x1＋x2＝0，故A錯誤；易知x1x2＜0，故B正確；∵ex1＝－x1，lnx2＝－x2，x1＋x2＝0，∴ex1＋lnx2＝0，故C正確；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，∴(x1＋1)·(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D正確．故選BCD.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)準(zhǔn)確作出已知函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，對圖象進(jìn)行分析，找出零點(diǎn)的范圍，進(jìn)行大小比較．(2024·河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知a，b，c均大于1，滿足eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，則下列不等式成立的是()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．c<a<b答案B解析∵eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a?eq\f(1,a－1)＝log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b?eq\f(1,b－1)＝log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c?eq\f(1,c－1)＝log4c，∴考慮y＝eq\f(1,x－1)和y＝logmx的圖象相交，根據(jù)圖象可知a<b<c.故選B.角度由函數(shù)零點(diǎn)存在情況或個數(shù)求參數(shù)范圍例4(1)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個零點(diǎn)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)x>0時，令f(x)＝0，則lnx＝0，∴x＝1，∴當(dāng)x>0時，f(x)有一個零點(diǎn)為1，∵函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn)，∴當(dāng)x≤0時，f(x)＝－2x＋a無零點(diǎn)，即a>2x或a<2x，∵當(dāng)x≤0時，2x∈(0，1]，∴a>1或a≤0，∴“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個零點(diǎn)”的充分不必要條件．故選A.(2)(多選)(2023·中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函數(shù)g(x)＝f(x)－a，則下列結(jié)論正確的是()A．若g(x)有3個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是[1，2)B．若g(x)有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0，1)C．若g(x)有4個不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，則x3＋x4＝4D．若g(x)有4個不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，則x3x4的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2)))答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為函數(shù)y＝f(x)與y＝a圖象的交點(diǎn)個數(shù)，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由圖可知，若g(x)有3個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是[1，2)∪{0}，故A錯誤；若g(x)有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0，1)，故B正確；若g(x)有4個不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此時x3，x4關(guān)于直線x＝2對稱，所以x3＋x4＝4，故C正確；由C項(xiàng)可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq\o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4個不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是(0，1)，故0<－4xeq\o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq\f(13,4)<－xeq\o\al(2,4)＋4x4<eq\f(7,2)，故D正確．故選BCD.已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的常用方法1.(2023·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x≤0，,|lgx|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(0，1] B．[0，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)答案A解析依題意，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點(diǎn)，即f(x)＝b有四個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有四個交點(diǎn)，由函數(shù)y＝f(x)可知，當(dāng)x∈(－∞，－1]時，函數(shù)單調(diào)遞減，y∈[0，＋∞)；當(dāng)x∈(－1，0]時，函數(shù)單調(diào)遞增，y∈(0，1]；當(dāng)x∈(0，1)時，函數(shù)單調(diào)遞減，y∈(0，＋∞)；當(dāng)x∈[1，＋∞)時，函數(shù)單調(diào)遞增，y∈[0，＋∞)．結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)b的取值范圍為(0，1]．故選A.2．(2023·鄭州質(zhì)檢)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個，其中的一個成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負(fù)純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析根據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的部分圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx的圖象為過定點(diǎn)P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個實(shí)數(shù)根，則直線y＝1－kx應(yīng)在PA，PB之間或恰好在PA處，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即正實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).課時作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·焦作一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點(diǎn)為x0，則x0∈()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1，2) D．(2，4)答案B解析因?yàn)閥＝2x與y＝eq\f(x,3)在R上均為增函數(shù)，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)在R上為增函數(shù)，又因?yàn)閒(0)＝1＞0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)>0，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)＝－eq\f(5,12)<0，因?yàn)閒(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點(diǎn)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)．故選B.2．(2024·鷹潭模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(－x)－1，x≤0，,log3x－2，x>0))的零點(diǎn)是()A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9C．(9，0) D．9答案B解析當(dāng)x≤0時，f(x)＝eq\r(－x)－1＝0，解得x＝－1；當(dāng)x>0時，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為－1，9.故選B.3．(2024·長郡中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋log2x－m，則“函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點(diǎn)”是“m∈(1，6)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析函數(shù)f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點(diǎn)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－eq\f(1,2)＜m＜6，故“函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點(diǎn)”是“m∈(1，6)”的必要不充分條件．故選B.4．(2024·惠州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的圖象，如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為2.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(－1，0) D．[－1，0)答案D解析當(dāng)x>0時，f(x)＝3x－1有一個零點(diǎn)x＝eq\f(1,3).因此當(dāng)x≤0時，f(x)＝ex＋a＝0只有一個實(shí)根，∴a＝－ex(x≤0)，則－1≤a<0.6．(2023·海南華僑中學(xué)一模)關(guān)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－a，0≤x<3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，給出下列四個結(jié)論：甲：5是該函數(shù)的零點(diǎn)；乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn)；丙：該函數(shù)的所有零點(diǎn)之積為0；丁：方程f(x)＝1有兩個不等的實(shí)根．若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤的結(jié)論是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案B解析當(dāng)x∈[3.5，