2015年高等數(shù)學(xué)作業(yè)(專升本)答案

高等數(shù)學(xué)作業(yè)答案

(專升本)

第一章函數(shù)作業(yè)(練習(xí)一)參考答案

一、填空題

1?設(shè)/(-)=x+7i+x2(X>0),則/(x)=

X

解：設(shè)/=,，則x=L得

Xt

1+J1+產(chǎn)

/(0=-+

,,、1+V1+X'

故/(X)=------------

X

2.函數(shù)/(%)的定義域為［0,1］,則/(Inx)的定義域是.

解：要使/(Inx)有意義，必須使OWlnxWl,由此得了(Inx)定義域為［l,e］。

XX

3.設(shè)/(sin—)=cosx+1,貝ij/(cos—)=.

解：因為/(s嗚)=2—2sin2］令"=sin?貝切(a)=2—2/,

所以/(cos')=2-2cos2.=1-cosx.

4.設(shè)/(x)=a；,則函數(shù)的圖形關(guān)于對稱。

解：/(X)的定義域為(一00,+8),且有

a~x+a~(~x)a~x+axax+a~x

=/(x)

2-2--2-

即/(x)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對稱。

sinx-2<x<0才

5.若y？，貝ljy(z)=__________.

丁+10<x<22

二、單項選擇題

1.下列各對函數(shù)中，()是相同的。

A./(x)=Vx^",g(x)=x；B./(x)=Inx2,g(x)=21nx；

3X2—1

C.f(x)=Inx,g(x)=31nx；D./(x)=-----,g(x)=x-1

x+1

解：A中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，=B,D三個選項中的每對函數(shù)的定義

域都不同，所以AB,D都不是正確的選項；而選項C中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相

同，故選項C正確。

2.設(shè)函數(shù)“X)的定義域為(-鞏+功，則函數(shù)/(%)—f(f)的圖形關(guān)于()對稱。

A.尸x；B.x軸；C.y軸；D.坐標(biāo)原點

解:設(shè)歹(x)=/(%)—/(—X),則對任意x有

F(~x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=f(-x))=-F(x)

即歹(x)是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點對稱。選項D正確。

3.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域是全體實數(shù)，則函數(shù)/(x)"(-均是().

A.單調(diào)減函數(shù)；B.有界函數(shù)；

C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)

解：A,B,D三個選項都不一定滿足。

設(shè)歹(x)=/(%)?/(—X),則對任意x有

斤(-尤)=/(-X)?/(-(-%))=/(-%)-/(x)=f(x)-f(-X)=F(x)

即歹(x)是偶函數(shù)，故選項c正確。

ax-1

4.函數(shù)/(x)=x----(。＞0,。片1)()

a+1

A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)；

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。

解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。

口--1_「(1—屋)ax-1，/、

(i+屋)a+1

所以B正確。

5.若函數(shù)/(%+▲)=%2+二，貝lj/(x)=()

XX

A.%2；B.%2—2；C.(x—I)?；D.%2—1o

解：因為一+±=/+2+二—2=(x+!)2—2,所以/(X+L)=(X+L)2—2

XXXXX

則/(X)=——2,故選項B正確。

6.設(shè)〃x)=x+l,則/(/(x)+l)=().

A.xB?x+1C.x+2D?x+3

解由于〃x)=x+L得/(/(x)+l)=(/(x)+l)+l=/(x)+2

將/(x)=x+l代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正確答案：D

7.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

A.y=(―)vB.y=Inx2C.y=，由XD.y=

ecosx

解因為y=lnx2是由y=lna,a=/復(fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).

正確答案：B

,,COSX,X<071

8.設(shè)函數(shù)/(x)=貝叮(_)=().

0,x>04

A./(一夕=/(夕B./(0)=〃2萬)

C.f⑼=f(~2消D.

解因為一2"<0,故/(一2萬)=cos(—2萬)=1

且〃0)=1,所以/(0)=/(—2乃)

正確答案：C

9.下列各對函數(shù)中，()中的兩個函數(shù)相等.

“xln(l-x),ln(l-x)「i2」…

A.y=-----------與g=-----------B.y=InX2與g=21nx

xx

C.y=Jl-sin.x與g=cosxD.y=Jx(x-1)與y=?J(x-1)

解：A

10.下列各函數(shù)對中，()中的兩個函數(shù)相等.

2_]

A./(x)=(Vx)2，g(x)=xB./(x)=-~~-,g(x)=x+1

x-1

222

C.y=Inxfg(x)=21nxD./(x)=sinx+cosx,g(x)=l

解：D

三、解答題

1.設(shè)/(X)=〈，求：⑴/(x)的定義域；⑵/(0),/(I),/(2)o

Inx1<x<e

解(1)分段函數(shù)的定義域是各區(qū)間段之和，故/(X)的定義域為

[0,1]U(1,e)=[0,e)

(2)???0?x?l時，/(x)=x.\/(0)=0,/(1)=1

?.T<x<e時，/(x)=Inx/(2)=ln2

-x-1,x<0fx,x<0、一&,,

2.設(shè)/(%)=八，g(x)二2八求復(fù)合函數(shù)/(g(x)),g(/(x))。

XX>(J

<—x—1,-1?xK0

解：/(g(x))=12g(/(x))=<—(1+X)2,X<—1

x-l,x>0°

【[-x2,x>0

3.(1)/(x)=ax+a~x(a〉0)；

解：v/(-x)=ax+a~x=/(x)/.f(x)=ax+。一”為偶函數(shù).

1—Y

(2)/(x)=ln--；

1+x

解：???/(-=In+%=-In-一-=-/(%),「./(x)=ln--土為奇函數(shù).

1-x1+x1+x

(3)/(x)=ln(x+Jl+%2)

解：丁/(-x)=In.x+71+x2)=In------J-=-ln\x+71+%2)=-/(%),

/./(x)=ln(x+J1+，)為奇函數(shù).

4.已知/(x)=sinx,/(^(x))=1-x2,求°(x)的定義域

2

解.*.*=sin0(%)=1—x9夕(兀)=arcsin(l-x),故0(x)的定義域為

-?x?V2

第二章極限與連續(xù)作業(yè)（練習(xí)二）參考答案

一、填空題

2.1

xsin—

L極限lim---------

。sinx

2.1

xsm—1Y1Y

解：lim----------：lim(xsin----------)=limxsin—lim-------=0x1=0

iosinx?。xsinx%一°x—。sinx

注意：limxsin^=0（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量）

10X

X1Iciny

lim-=1,其中l(wèi)im網(wǎng)二二1是第一個重要極限。

%—0smxx-?osmxsinx1—0x

lim

xx->0x

1

二-.一?x+ax+b八ni,

2.已知lim-%---------=2,貝!J〃=b=

2

TX-X-2

由所給極限存在知，4+2a+b=0,得b=—2a—4,又由

lim二+ax+b-x+a+2a+4

------------=lim=2,知。=2/=—8

一■2/

—X—2x-2x+13

￡

3.已知X-0時，（1+。/戶一1與cosx-l是等價無窮小，則常數(shù)Q

1

1+ax213-12ax223

解.lim=lim------—a—1,ci——

x—>0cosx-1x-?0\232

-X21+ax2p+(1+ax213+1

(cosX)x2XW0

4.已知/(x)=v'在x=0處連續(xù)，貝二

a,x=0

解.,.?/(0)=a,

-2sin2-

_______2

J1x2

21G?2%-2sin2^

lim/(x)=liml-2sin|2

=lim1-2sin—2

x->02

由/(O)=lim/(x),可得a=e「5

x->0

e-1

5.函數(shù)/(x)=---------的可去間斷點為％=________,補充定義/(/)=_______，則函

x(x-1)

數(shù)在x0處連續(xù).

2x1

解.當(dāng)x=0,1時/(x)沒有定義，又lim/(x)=lime—s??.x=l為無窮間斷點;

H-1)

2xi

而lim/(x)=lim——=二—2,.?.x=0為可去間斷點，補充/(0)=—2,可為連續(xù)點.

…3x(x-1)

x+1x>0

7.當(dāng)A時，f(x)=\,在x=0處僅僅是左連續(xù).

x2+kx<0

解因為函數(shù)是左連續(xù)的，即

/(0)=lim(x+l)=l=/(0)

x->0-

若/(0+)=lim(x2+k)=k=l

xfo+

即當(dāng)k=1時，/(x)在x=0不僅是左連續(xù)，而且是連續(xù)的.

所以，只有當(dāng)上時，/(X)在X=0僅僅是左連續(xù)的.

二、單項選擇題

1.函數(shù)/(x)=xsin工在點x=0處().

x

A.有定義且有極限；B.無定義但有極限；

C.有定義但無極限；D.無定義且無極限

解：在點x=0處沒有定義，但

limxsin—=0(無窮小量x有界變量二無窮小量)

―。x

故選項B正確。

Y2

2.已知lim(------ax-b)=0,其中a,b是常數(shù)，貝U()

ISX+1

(A)a=l,b=1,(B)a=—l,b=1

(C)a=l,b=—1(D)a=—l,b=—1

解.,.Tim(^-----ax-b)=lim——-----(。+匕)，__-=Q,

isx+1isx+1

1—a=0,a+Z?=0,a=1,Z?=—1答案：C

3.下列函數(shù)在指定的變化過程中，()是無窮小量。

￡

smx

A.e%,(x-co)B.-----(-X-00);

x

C.ln(l+x),(x-1)；(XT0)

x

解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以

而A,C,D三個選項中的極限都不為0,故選項B正確。

4.下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是()

1/1\n

(A)y=xsin—(xfoo);(B)y=)-GO);

x

(C)y=Inx(xT+0)；(D)y=—cos—(x0)

XX

-/-=1,故不選(A).取m=2k+l

解.*.*limxsin—=limsin則

X-8JQ%―00x!x

lim/T"=lim」一=0,故不選(B).取乙=—1—,貝ijlim」一cos」-=0,故不

882k+1n”->8

n兀+—x"x

2

選(D).答案：C

5.下列命題正確的是()

(A)定義在(-oo,+oo)上的一切偶函數(shù)在x=0處一定連續(xù)；

(B)/(x),g(x)在點項)處都不連續(xù)，則/(x)g(x)在/處也一定不連續(xù)；

(C)定義在(-Q0,+Q0)上的一切奇數(shù)函數(shù)在x=0處不一定連續(xù)；

(D)/(x),g(x)在點/處都不連續(xù)，則/(x)+g(x)在/處一定不連續(xù)

fl,x0fx,x^0

解./(zx)x=是偶函數(shù)，在x=0處不連續(xù)，故不選(A)；力(zx)x=1,

0,x=0[l,x=0

?Jn

力(無)sm嚏，"U,顯然力a),力(x)在尤=0處都不連續(xù)，但

0,x=0

力(x)/2(x)=Fsin7xN°在％=0處連續(xù)，故不選(B);(D)顯然錯的.

0,x=0

1

]—2ex

6./(x)=---parctanx,貝卜=0^/(x)的().

l+ex

(/)可去間斷點(皮跳躍間斷點

9無窮間斷點(〃)振蕩間斷點

￡

1一2/1-0

解：/(0-0)=lim---—?arctanx-----0=0,

2-i1+0

l+ex

]—2cxcx—20—2

/(0+0)=lim----—-arctanx=lim-------arctanx=-----0=0,

Xf(T1x-0--10+1

l+exex+1

W(0-0)=f(0+0),x=0為可去間斷點應(yīng)選(A).

7.設(shè)/（x）在x=x0處間斷，則有（）

(A)/(%)在x=/處一定沒有意義；

(B)/(xo-O)^f(x+O);(即lim/(x)Hlim/(x))；

X—>XQX—>XQ

(C)lim/(x)不存在，或lim/(x)=oo；

x—>xoX->XQ

(D)若/(x)在x=/處有定義，則xf項；時，/(x)—/(x())不是無窮小

答案：D

1-Jl+2%?

---------------------------YW()

8.函數(shù)/(x)=x'在x=0處連續(xù)，則4=().

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

答案：B

0X—O

9.若/(x)=-------,x=0為無窮間斷點，x=l為可去間斷點，則。=().

x(x-1)

(A)1")0(C)e(〃)e-1

解：由于x=0為無窮間斷點，所以（1一。）。0,故若〃=0,則=1也是無窮

lx=0

間斷點.由X=1為可去間斷點得。=6.故選（。.

X—2

10.函數(shù)y=F------的連續(xù)區(qū)間是（）

x+x—6

A.(-00,+oo)B.(-oo,-3)U(-3,+oo)

C.(—8,2)u(2,+8)D.(—co,—3)u(—3,2)u(2,+8)

答案：D

三、計算應(yīng)用題

1.計算下列極限

j9+sin3x-3(2)limff+4

(1)lim

2

x14X-x-12

3—x1、

(3)

(1)解對分子進行有理化，即分子、分母同乘j9+sin3x+3,然后利用第一重要

極限和四則運算法則進行計算.即

79+sin3x-3Hm(V9+sin3x-3)(j9+sin3x+3)

lim

%—0xx(，9+sin3x+3)

sin3x13x1=1

limxlim

%-ox079+sin3x+362

(2)解將分子、分母中的二次多項式分解因式，然后消去零因子，再四則運算法則

和連續(xù)函數(shù)定義進行計算.即

—5x+4=1.m(x-4Xx-l)

lim2

x->4X-X-1214(x-4)(x-3)

=lim(I)==3

14(x-3)4-3

(3)解先通分，然后消去零因子，再四則運算法則和連續(xù)函數(shù)定義進行計算.即

lim、1二---)=lim(3-X)-(X+1)

X2-1x-lH(X-l)(x+1)

=lim^-=-1

Hx+l

2.設(shè)函數(shù)

.17

xsm—+Px<0

x

fM=<ax=0

sinx

x>0

x

問(1)〃力為何值時，/(X)在％=0處有極限存在?

(2)a,。為何值時，/(x)在x=0處連續(xù)?

解:(1)要/(x)在x=0處有極限存在,即要lim/(x)=lim/(x)成立。

xf0xf。+

因為lim/(x)=lim(xsin—+Z?)=b

x^O-x->0-X

lim/(x)=lim=1

x-0+%-0+X

所以，當(dāng)b=l時，有l(wèi)im/(x)=lim/(x)成立，即b=l時，函數(shù)在x=0處有極限

x-?0~xf0+

存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關(guān)，所以此時?？梢匀∪我庵?。

(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是

lim/(x)=lim/(x)=/(x0)

X-^XQX~^和

于是有b=1=/(0)=a,即。=b=l時函數(shù)在1二。處連續(xù)。

Y-kZ7

3.已知lim(d」)*=9,求常數(shù)〃

―00x-a

isx-aa"〃丫

rij

,12n

4.求vhm(z+c+…+2)

"f8展+〃+1""+”+2n+n+n

解

12n1/2

++,??+K(I+2+???+〃)=—[—：---------V；

+n+1+n+2+n+nri^+n+12\n2+〃+1)

n2+n1hr12n

/\-(1I-2H—\-n)<-卜—；-------+…+---------

2,+n+njn+n+nn+n+1n2+1n1+c2n2+.n+.n

「「n2+n「n2+n1

又-------r=lim-r-^----------v=-,故

2\tz+n+l)n^x2\ti~+n+n)2

12〃、1

lim(z++???+?)=.

gn+n+1n+n+2n+n+n2

327

5.已知lim'十0=8,試確定。和b的值

12x-2

X+aX+32

解.,/lim-=8,/.lim(x+ax+b)=8+4+Z?-0,即Z?=—8—4。

x—>2%—2x->2'

「I?+dx^+1)%3+cix^—4〃—8「「2(

/.lim---------------=lim----------------------=limx+(.ci+2)x+2a+4]=4〃+12-8

x—>2%—2x—>2%—2x—>2L

/.a=-1,故匕=一4

，

6.設(shè)/(x)=]e*i,x>0,求/(x)的間斷點，并說明間斷點的所屬類型

ln(l+x),-l<x<0

ii

解./(x)在(―l,0),(0,l),(L+oo)內(nèi)連續(xù)，limeZ=00,limeR=0,/(0)=0,因此

光-1+x->r

1

X=1是/(X)的第二類無窮間斷點；limf(x)==△,

%f0+X-o+

limf(x)=limln(l+x)=0,因此x=0是/(x)的第一類跳躍間斷點.

x->0%->0

nx

r+x-e

7.討論/(%)=lim的連續(xù)性。

col+enx

c[x2,x>0

x-i-x2enx\

解./(x)=lim--------=<0,x=0,因此/(x)在(一co,0),(0,+co)內(nèi)連續(xù)，又

n-?co]+

x,x<0

lim/(x)=/(0)=0,二./(x)在(一oo,+oo)上連續(xù).

%fo

第三章微分學(xué)基本理論作業(yè)(練習(xí)三)參考答案

一、填空題

1.設(shè)/(x)在x=0處可導(dǎo)，貝IJlim=(S—1)1(0)

7X

解Hm/.)一/⑴=slim/'A〃°)=lim〃°)=/⑻―廣(0)

%—>0x%―0%—0x

2.設(shè)/(x)=x2-3x+2,則/"'(x)]=。

解：f'(x)=2x-3,故

f[fr(x)]=(2x-3)2-3(2x-3)+2=4x2-18x+20

3.設(shè)y=Q+x2)arctanx,貝ijy"=2arctanx+^----

4.d(xx)=________________

解：1.d(xx)=(exinx)=exinxd(x\nx)=xx(xdInx+Inx-dx)=xx(l+Inx)dx

5.函數(shù)于(x,y)=ln[(16-x2-y2)(x2+y2-4)]的定義域為

解：函數(shù)的定義域為滿足下列不等式的點集

16-x2-y2>0?fl6-x2-y2<0

x2+y2-4>0+y2-4<0

解得的定義域為人,y)|4<，+y2<16}

6.已知/(X+=%2_y2貝Ijf(x,)二__________

X

解：令=%+y(1)

(2)

x

由(2)式解得y=ur,代入(1)式得x=-"ny=

1+v1+v

M2(1-V2)_w2(l-v)

有/("#)=

(1+v)2-1+v

貝1=

1+y

7.由方程xyz+Jx?+y+z?=后確定的函數(shù)z=z(x,y)，在點(1,0,T)處的全微分

dz二o

解F(x,y,z)=xyz+yjx2+y2+^2-V2=0

一,X

22

dz_F；_Jx+/+22_yzyjx+^2+z2+x

&F；盯+z.孫J—+y2+z'+z

次+產(chǎn)+?2

dz__九小2+y2+/+y__正

力F；孫/2+y2+22+z

dz=dx-41dy

8.設(shè)Y+z2=yo(Z),其中夕可微，則竺=

y

忿刀c&,dy

角單2z—=(p+y(p----

Sy

cp-—(p'

8zy

Sy2z-(pf

9.設(shè)u=exyz2,其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則

duI_

記|m)=-----------------。

x2x

解^L=eyZ+2zey-

dxdx

i八&&&-1-yz

1+0+--Fyz+孫一=0,——=-----

dxdxdx1+xy

dux2cx-1-

——=eyz+2ze-y-----

dx1+xy

x=0,y=l時，z=-l

dz［

-=1

&(0,1)

1,

10.設(shè)z=—f(xy)+y(p{x+y)J,0具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，見=_______________

xoxdy

解：

&-1V-

-=-f(xy)+-f(xy)+y(p(x+y)

OXXX

d2z—11”..

=-f(盯)+—/(盯)+)/(盯)+/(x+y)+y。(x+y)

oxoyxx

=ylf(盯)+9'(x+y)］+0(x+y)

二、選擇題

1.已知/'(%)=5,lim*"。)-〃L=—3,貝必=(D)

Ax

(A)1；(B)任意實數(shù)；(C)0.6；(D)-0.6

解...Hm=4.Hm/(/)-/Go-j=_

/匹)告%心心)爪)=團Q3

-Axv—。k\x

5k——3,k——0.6

2.下列結(jié)論中()不正確.

A./(x)在x=4o處連續(xù)，則一定在和處可微.

B./(x)在x=4o處不連續(xù)，則一定在工()處不可導(dǎo).

C.可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上.

D.若/(%)在［4-內(nèi)恒有產(chǎn)(%)<0,則在［a6］內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.

解因為函數(shù)在一點處連續(xù)并不能保證在該點處可導(dǎo)，所以，正確答案：A

3.設(shè)函數(shù)/(")=]后^疝薪,工，。則/⑺在點戶0處(C)

[0,x=0

(A)極限不存在；(B)極限存在但不連續(xù)

(0連續(xù)但不可導(dǎo)；(D)可導(dǎo)

解limJix[sin'■=limJixlsin±=0,/(x)在點尤=0處連續(xù)，但

lim/(O+M-/(0)=lim2O_&二不存在，，/(x)在點x=0處不可導(dǎo)

%-oAxx->o-Ax

4.設(shè)b(x)=其中/(x)在x=0處可導(dǎo),r(0)N0,f(0)=0,則x=0

是歹(x)的(B)

(A)連續(xù)點(B)第一類間斷點

(0第二類間斷點(D)連續(xù)點或間斷點不能確定

解vF(0)=/(0)=0

limF(x)=lim=lim""~=廣(0)。0=F(0),

.??x=0是廠(x)的第一類間斷點。

5.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，y=/Qnx),貝.

dx

(力)—/"(Inx)(夕)[xf,r(lnx)-f\lnx)]

XX

94[/"(lnx)-r(lnx)](〃)4/(lnx)

XX

解：半=_f(lnx).(lnxy=%lnx),

axx

§=一±/'(1辦)+工/(1打),=1""(1!1幻一尸(111創(chuàng),故應(yīng)選?.

dxxxxx

6.函數(shù)Z=ln(x2+y2_2)+j4-/_y2的定義域為(),

222222

Ax+y2BF+y、4cx+y>2D2<x+y<4

解：z的定義域為:

x2+y2-2>0

=>2<x2+y2<4選D

4-x2-y2>0

7.二重極限()

x->ox+y

yf0

(A)等于0(B)等于1(c)等于工

(D)不存在

2

D)

與A相關(guān)，因此該極限不存在

8.有且僅有一個間斷點的函數(shù)是()

y

(A)—(B)(C)—(D)arctanxy

xx+y

解A.上在x=0時無定義，它有間斷線；B.r向產(chǎn)+，"在x2+y2=。時無定義，即在(0,

X

0)無定義，它有一個間斷點；C.^在x+y=0時無定義，即在直線丫=-上均無定

x+y

義；D.arctgxy無間斷點，選B。

9.利用變量替換M=x,v=2,一定可以把方程x里+y絲=Z化為新的方程().

xdxdy

(A)w—=^(B)v—=z(C)w—=z(D)v—=z

dudvdvdu

解z是x,p的函數(shù)，從u=x,v=2可得％=〃，y=uv,故z是〃，p的函數(shù)，5Lu=x,

X

丫=上故2是的復(fù)合函數(shù)，故生=生1+左二，生=包.0+左._1,從而

xdxdudvxdyoudvx

十二計_dzdzdzydzydz&dz

dxdyduxdvxdvdudu

因此方程變?yōu)椋?—=z

du

選A

10."=efsin土，則包在點(2,—)處的值為()

ydxdy兀

Q兀n

(A)—(B)(-)3(C)(-)2(D)1

&0du_.x_x1_1x.x、

角車——=-exsin—+excos-----=eX(z—cossin—)

dxyyyyyy

d2u_-1x-1.x-xx.x

------=ex(——cos——Isin---------cos--sin—

dxdyyyyyyyy

r/X-lXX.X

=e(——cos—+—sinx—)

yyyy

e~x1、xx.

=--[r(zx-l)cos—+—sin—J

yyyy

2

=冬[cos2萬+2〃sin2〃)=(—)2

ee

選C

三、求解下列各題

l.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(I)y=eaxsinbx

解：yr=(^axysinbx+eax(sinbx)r

=aeaxsinbx+eaxcosbx?b

=e"(asinbx+bcosbx)

(2)y=sinnx+sinnx

解：yr=(sin〃x)f+(sinnx)r

二"sin"—xcosx+ncosnx

=〃(sin"Txcosx+cosnx)。

(3)z=Iny/x2+y2

解：絲=_L.__=一

dxJ-2+y22yl12+y2x2+y2

ft_]________2y_y

^y~^x2+y2^x2+y2~x2+y2

(4)w=lnarctan—

y

du111y

解:——-----------------------?---------------------------------------------------------------------------------

小arctan—1+—丁(arctan—)(x2+y2)

yy2y

du11-x-x

—=-------------------------------=--------------------------------

arctan-i+土-)(arctan-)(x2+y2)

2

yyy

a+x2x<0

2.設(shè)/(x)=<1x=0,已知/(x)在x=0處連續(xù)可導(dǎo),

ln(Z?+x2)x>0

試確立Q/并求f\x)

解lim/(x)=limln(z?+x2)=InZ?,lim/(x)=limG+x2)=6z,在％=0

。+x->0+x->0-x-?0-

處連續(xù)，.\lnb=a=1,即。=1,》=e。

當(dāng)x〉0時，/'(x)=[ln(e+x2)]=2*,

e+x

當(dāng)x<0時，ff(x)=2x,

當(dāng)x=0時，f；(o)=lim/(0+*/(。)=lim二1+/)-1=0,

%-o+x10+x

c，「/(0+x)—/(0)1+%2—1,,

//(O)=lim-』―乙"=lim-----------=n0,故

Xf。-XX

2x,x<Q

/r(x)=\2x。

'7------7，x>0

、e+x

3.下列各方程中y是元的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)xlny+ylnx=l,求dy。

解：Iny+'了+)+yrlnx=0

(—+lnx)yf=-(—+Iny)

—+Iny2i

整理得y'=—且一=-「1”

色+lnx廠+町11

y

dy=—二

x+孫Inx

(2)設(shè)％=f(2x-y,ysinx),其中/(〃#)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

dxdy

解：1^=2/i+ycos%,

OX

=2(一力,+sinxf)+cosxf+ycosx(-/+sinxf)

dxdyn22121

，

=-2fn+(2sinx—ycosx)力2+cosxf2+ysinxcosx/22.

4.求下列極限

⑴lim1-xy

x->0x2+y2

f

1-xy

解lim

x->0一小

1-cosy[x22

(2)lim+y

xfO22

yf0x+y

222(sin之尸了i

2(sinJ"x2+y)2

1-cos2+y2

解limlim=lim

x->022x->022X—o火丁)2F

y->0x+yy->0x+yy-0

lim-------

yTf0x+」y

解lim匚不存