重難點05 正余弦定理十二大題型-2022-2023學年高一數學下學期期末復習【重點·難點】-2022-2023學年高一數學下學期期末復習

重難點05正余弦定理十二大題型匯總

期末題型解讀

滿分技巧

技巧一.邊化角與角化邊的變換原則

在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選

擇"邊化角"或"角化邊"，變換原則如下：

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊"；

(2)若式子中含有口、口、療勺齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"邊化角"；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理"角化邊"；

(4)代數式變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；

(6)同時出現兩個自由角(或三個自由角)時，要用到三角形的內角和定理.

技巧二.三角形中的最值范圍問題處理方法

1、利用基本不等式求最值-化角為邊

余弦定理公式里有“平方和"和"積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最

值或范圍，但是要注意"一正二定三相等"，尤其是取得最值的條件.

2、轉為三角函數求最值-化邊為角

如果所求整體結構不對稱，或者角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉

化為角的關系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮底钪祮栴}進行解決.

要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊.

技巧三.角平分線問題處理方法

1角平〃拆"面積：口＞□□□=□△□□□+

2.角平分線定理性質：攜=攜

3.利用等角的余弦定理：coszBAD=coszCAD

4.大三角形與小三角形同時使用余弦定理：coszBAC=cos2zBAD

技巧四.中線的處理方法

1.向量法：qW2=+2DD-

2.雙余弦定理法（補角法）：

如圖設口。=口口，在△□□滸，由余弦定理得。^=□必口工2X口□*口口乂CGSN□□匚！，

①

在^□□*,由余弦定理得。。Z7￡7?+ud2-2xDUxDUxcos/口口口，②

因為/□□□+N□□口=TT,所以C0SNZ7Z7Z7+COSN□□口=0

所以①+②式即可

3倍長中線法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形

4.中線分割的倆三角形面積相等.

技巧五?高線的處理方法：

1.等面積法：兩種求面積公式

如口口為inD=T0口x□□=〃

2.三角函數法：

在△Z7￡75=>,□口=□□COSNDUU,□□=[J[Js\v\zUUIJ,

題型1正弦定理解三角形

【例題1](2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學校聯(lián)考階段練習)在小口口內，角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,若0=4,。=4疙，￡7=，則。=()

A-iB?軟喏C$D.康喏

【答案】A

【分析】利用正弦定理，結合三角形內角和定理可得.

【詳解】因為。=4,□—,口=/

由正弦定理可得越=焉,即sin〃=舅=；,

nSinZJ4V22

si”

因為?。∣,TT）,所以口=域。=y,

當時，+,不滿足，

OO4

所以0=（

故選：A

【變式1-11（2023春?四川成都?高一成都實外?？计谀┰?口口袋，角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c.已知aSb=B￡7=J貝施慶為（）

A.yB.gC.JD.圖

【答案】C

【分析】由正弦定理即可求解.

【詳解】由正弦強當=晶,得§3=等=等=f,

又□<口,所以。<口,所以a為銳角，所以□=>

4

故選：C.

【變式1-2】（2022春?福建?高一福建師大附中?？计谀┮阎骺诳谥校輧冉茿、B、C的對邊分別為a,b,

c，器且4”為勺面積為噂，口+口=0口，則〃=----------

【答案】1

【分析】由正弦定理可轉化題干條件為等=算，再利用余弦定理cos。=生4/可得O=日,再由

LJLJ-LJ￡.LJLJo

面積公式￡7=：□Ng得□□=\，結合O+□=V2Z7,以及余弦定理cos。=存卓聲，聯(lián)立求解

即可

【詳解】解：由需=需為及正弦定理可得萼=舞，即4-爐=OO-d，

爐+爐-爐_

/.cosZZ7=-2□口——2

,：□€(0,￡7),：.□=%

由^。穴利面積為Q3nO=噂，得口。=g

又:口事口=△口,

，cosO=吧『=(°+罵滯憶一-=2"/=g,整理得萬=1,

3

:,□—1.

故答案為：1

題型2余弦定理解三角形

【例題2](2021春?全國?高一期末)在4口口用，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sin(O-

￡7)+sin(ZZ7+ZZ7)=3sin2/Z7,且￡7=V7,￡7=g,則￡7=()

A.lB.雪C.l或穿D.亨

【答案】C

【分析】利用sin(￡7-D)+sin(￡7+D)=3sin2ZZ7可得到sinasos￡7=3sinZjbos￡7,然后分cosZZ7=0和

cos口手。兩種情況進彳亍討論即可求解

【詳解】.sinC/ZZ-LJ)+sin(ZZ7+U)=3sin2ZZ7,

.,.sinZjfcosZJ-cos/Zfein￡7+sinDbos￡7+cosZZfein/Z7=6sin/Jbos￡7,

.,.sinOJOSZ7=3sin/Ztos/7,

①當cos。=0時，￡7=T,△O。近直角三角形.

???￡7=V7,□=/；.口=包=等~；

sin-

②當cosOw0時，則有sinZ7=3sin￡7,由正弦定理得￡7=3￡7,

由余弦定理得4=Cf+LF-2UncosD,即7=4+(302-2〃x3Oxg,解得￡7=1,

綜上，￡7=1或第.

故選：C.

【變式2-1】（2022春廣西百色?高一統(tǒng)考期末）在4口口沖，住□口，所對的邊分別為□,口,□‘

且d=44+值□□,則角大小是.

【答案】f/30°

【分析】利用余弦定理的推論求解.

【詳解】解：因為守=IZF-U+我口口，所以U+仔-仃=聰口口,

/口2_4_久_6

由余弦定理的推論，得〃

cos=―2DD--20D-T

因為De（0,。，所以0=2

0

故答案為：f.

【變式2-2]（2022春?上海楊浦?高一上海市控江中學?？计谀┰谌切慰?。。中，內角。、□、。所對

的邊分別為。、□、。，若34+。。+3行-3。2=0,則角）勺大小是.

【答案】O—arccos，.

O

【分析】根據已知條件結合余弦定理求解即可.

【詳解】由3行+□□+34—3仃=0,得

由余弦定理得cosO=與蒙葦=.，

因為De（0,0,

所以￡7=￡7-arccos^,

O

故答案為：口一arccosi

0

【變式2-3]（2022春?吉林長春?高一統(tǒng)考期末）一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ABED是矩形，已知N

DAC=50°,zCBE=70°,AC=4,BC=6,貝!]DE=.

【分析】根據給定條件，利用余弦定理求出AB長即可作答.

【詳解】依題意，在4口口集，乙□□□=40°/□□□=20°,典此□□□=120°,而AC=4,BC=6,

由余弦定理得：□口=JU[34-口存-2口□?￡7L7cosz□□□=^42+62-2x4x6x=2719,

矩形。/7￡7中,□□=□口=2V19.

故答案為：2V19

題型3三角形解的個數判斷

【例題3]（2021春?陜西延安?高一校考期末）在4?？凇Ｖ?，內角口，O,中）對邊分別為。，口，口.已

知〃=40,0=20,〃=60°,則此三角形的解的情況是（）

A.有一解B.有兩解C.無解D.有解但解的個數不確定

【答案】C

【分析】利用正弦定理求解.

【詳解】由正弦定理可得鳥=號可得sinZ7=誓=V3>1,

sinZ_/sinZ_/LJ

所以會解，所以三角形的解的情況是無解，

故選:C.

【變式3-1K2022春?福建莆田?高一莆田一中?？计谀┰?0。。中，內角。，口，C寸應的邊分別為。，

口，口,根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.ZZ7=4r口=20°,LJ=40°B.0=4,ZZ7=6,口=35°

C?。=4,。=6,〃=35°D?。=4,〃=6,。=35°

【答案】C

【分析】根據三角形的性質，以及正弦定理和余弦定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由。=20°,口=40°,可得。=180°-口-口:120°,所以三角形只有一解；

對于B中，由口=4,□=6,□=35°,可得O<口,所以口<D,此時三角形有唯一的解；

對于C中，由正弦定理二=%,可得sin。=與竽=Ixsin35°>sin35°,

sinZ_/sinZ_/LJ2

可得o有兩解，所以三角形有兩解；

對于D中，由余弦定理得廳=U2-2O0bosO=52-48COS350>0,可得。有唯一的解，所以

三角形只有一解.

故選：C.

【變式3-2]（2022春河南駐馬店?高一統(tǒng)考期末）已知△￡7。中）內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

若。=，￡7=2,0=口>0,若△?？诳谥挥幸唤猓瑒t實數x的取值范圍為（）

A.￡7>2B.口=瓜C.V3<￡7<2。.口N堿口=限

【答案】D

【分析】畫出三角形，數形結合分析臨界條件再判斷即可

【詳解】如圖，□□、'□、口gQDO為正三角形，則點O在射線Z74上.易得當。在0時，△口□口

只有一解，此時。=V3;當。在Q或&右邊時△只有一解，此時。22.故U>2或Z7=V3

故選：D

【變式3-3]（2022春?上海黃浦?高一?？计谀┡袛嘞铝腥切谓獾那闆r，有且僅有一解的是.

①ZZ7='，口=y/2,口—45°；

②ZZ7=V5,LJ=VT5,口—30°；

③0=6,￡7=20,￡7=30°;

（§）□=5,ZZ7=60°,□—45°.

【答案】①④

【分析】利用正弦定理解三角形即可確定①②③中的三角形的個數；根據三角形全等的判定可知④正確.

【詳解】對于①，由正弦定理得：sin〃=鬻=若=J

?:口>口,：.□>口,即0°<。<45°,,??。=30°,則三角形有唯一解,①正確；

對于②，由正弦定理得：sin。=萼=里=%

?：□>口,：.□>□,即30°<￡7<150°,￡7=60°或120°,則三角形有兩解，②錯誤；

對于③，由正弦定理得：sin。=等=舉=）。無解，③錯誤；

LJOO

對于④，三角形兩角和一邊確定時，三角形有唯一確定解，④正確.

故答案為：①④.

【變式3-412022春?廣西河池?高一統(tǒng)考期末啟知口口,2分別是△□□不隹口口,。所對的邊若口=

2,口=?，且△?？凇?有唯一解，則Ofi勺取值范圍為.

O

【答案】{1}U[2,+8）

【分析】根據題意和正弦定理求得□=」不，分類討論，即可求解.

smZJ

【詳解】由正弦定理名=舄,可得。=等=—,

sinOsinOsin￡7sin￡J

當o=g時，/7=1,此時△nnzjig-；

當sinOeg,1）時，砥兩個值，△￡7。冰唯一；

當sin￡7e（0,；]時，口22,奧口之口,U>￡7,△Z7Z7ZJ?-,

綜上可得，實數。的取值范圍是{1}u[2,+00）.

故答案為：{1}u[2,+co）

【變式3-5]（2020春?上海黃浦?高一統(tǒng)考期末）在^UULJ^,口、。所對的邊長為口口，口=45。,

□—3V2.

（1）若。=2百，求。；

（2）討論使。有一解、兩解、無解時中取值情況.

【答案】（1）〃=60?；蚩?120°；（2）答案不唯一，具體見解析.

【分析】（1）由正弦定理求得B的正弦值，進而求解；

（2）解法一：固定邊0（即Z7。）和角Z7,以二為圓心,邊。（即。O）為半徑作圓弧，該圓弧與角。除

□a外的另一邊所在射線的交點即為點。.利用幾何方法判定解的個數的不同情況的條件；解法二：利用正

弦定理求得sin。=~其中De（0,不），轉化為函數O=sin□，口e（0,5與水平直線D。=浜點的

個數，然后利用正弦函數的圖象的性質求解.

【詳解】（1）由正弦定理，得號=鳥=sin￡7=[=口=60°或。=120°；

smZ_7smz_z2

（2）解法一：

如圖所示：

①0<□<EfeinZJ,gpo<[J<3時，解;

②口=ZZfein/Zj§E￡7>￡7,即。=3或￡723&時，一解；

③/JsinO<U<U,即3<U<3應時，兩解.

解法二：

應用正弦定理晶=晶，得sin〃=持（*）,其中口e（0,第，

方程（*）的解個數，即函數。=sinO,De（0,竽）與水平直線D：。=浜點的個數.

如圖所示：

27r

當5>1,即。</7<3時，與解；

當鋁1或浜倒，同,即。=3或0236時怎一解；

當浜仔,1）,即3<￡7<3立時。有兩解;

【點睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應用，討論三角形的解的個數，涉及幾何作圖方法和三角函數

的圖象的應用，屬中檔題.

題型4三角形的形狀問題

【例題4]（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學校聯(lián)考階段練習）在^口□仔,已知sin2￡7=

sin2O,則△。口。的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利二倍角公式展開，再由正余弦定理角化邊，然后因式分解可得.

【詳解】因為sin2￡7=sin2￡7,

所以2sinZJbos￡7=2sinZZfcosZ7f

由正余弦定理可得2￡7x之晨4=2□內+受好，

整理得（4-6d+4—行）=0,

所以。=加行+萬一爐=0,

所以△口0力等腰三角形或直角三角形.

故選：D

【變式4-1】（2021春?新疆烏魯木齊?高一?？计谀┰?口口仔，若30=2V3￡^in￡7,cos￡7=cos/7,

則4形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理化邊為角求出sin%）值，再結合。=口,以及三角形的內角和可求出NO,進

而可得正確選項.

【詳解】因為3。=2Kos訪口

所以3sin￡7=2V3sin/Zfein￡7

因為0°<O<180°

所以sinO#0,

所以sinO='，可得口=60?；?20°,

又因為cos￡7=cos￡7,0°<CJ<180°,0°<U<180°

所以N口=N口

所以N￡7=60°,z￡7=60°,乙口=180°-60°-60°=60°,

所以△￡70。為等邊三角形.

故選：c.

【變式4-2](2022秋?天津濱海新?高一校考期末)記4￡70童勺內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

(0+EJ+CJ)(口+□—ZZ7)=2口口,那么△口口口是_()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

【答案】B

【分析】已知等式左邊利用平方差公式即完全平方公式化簡，整理后利用勾股定理的逆定理判斷即可得到

結果.

【詳解】在4口口田,(口+Z7+Z7)(Z7+口—口=(。+。2_爐=4一萬+2/7/7=2口口,

二爐+爐-爐=0,即4+4=4，

則△為直角三角形，

故選:B.

【變式4-3](2022春?遼寧?高一統(tǒng)考期末)將某直角三角形的三邊長各增加1個單位長度，圍成新的三角

形，則新三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定的

【答案】A

【分析】不妨設％斜邊,則仃=4,各邊增加1之后，0+1為三邊中最長的邊，所對角為新三

角形的最大角,設新三角形最大角為O,計算cos。==芳罌需笄叱，分析正負，即得解.

【詳解】由題意，不妨設班直角三角形的斜邊，故行=廳+仃，

各邊增加1,可得三邊長為：0+1,D+1,。+1,

此時。+1為三邊中最長的邊，故所對的角是新三角形的最大角，

不妨設新三角形最大角為￡7,

的COS口=（。+1）2+（。+1）2-（￡7+1）2=2（0+￡7-0+1

0X-2（Z7+1）（￡7+1）-2（￡7+1）（￡7+1）'

由于0，a,a為三角形的三條邊，故o+口〉口,

cosZ7>0,又Z7e（0,TT）。為銳角，

因為新三角形的最大角為銳角，故新三角形是銳角三角形.

故選：A

【變式4-4]（2021春?湖南岳陽?高一統(tǒng)考期末）設4￡70。的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

ZZ^cos￡feinZ7=C^sin/Z7cos￡7,貝必形狀為

【答案】等腰三角形或直角三角形

【分析】通過正弦定理，邊化角，找到角度間的聯(lián)系即可.

【詳解】由行cos%in￡7=萬sinDeos&及正弦定理，得

sin2ZZfcosZ7sin/7=sin2ZZfein/7cos￡7

sinZZZw0,sin￡700

sin2Z7=sin2a

所以□=加□+口=，

故4ooa是等腰三角形或直角三角形.

故答案為：等腰三角形或直角三角形

題型5三角形的面積相關問題

【例題5]（2021春?陜西延安?高一?？计谀┮阎凇骺诳谑战强?口,中）對邊分別為a□，口若口,

2是方程O2-5/7+4=0的兩個實數根，且小OO童勺面積為魚,則角。的大小是（）

A.45°B.60°C.60°或120°D.45°或135°

【答案】D

【分析】由韋達定理可求得的值，利用三角形的面積公式可求得sinO0勺值，結合角OB勺取值范圍可求

得結果.

【詳解】由于。是方程爐-50+4=0的兩個實數根，由韋達定理可得4,

據題意，得口△□□口=gUUs\r\U=2sin￡7=V2,sin。=y.

???0°<U<180°,解得O=45°或O=135°.

故選：D.

【變式5-11（2023春福建南平?高一?？计谀┰赹,D,口,為別是角口口,次斤對的邊.若。=

，口=1,△的面積為當,則中值為

【答案】V3

【分析】先根據三角形的面積公式求出邊。，再利用余弦定理即可得解.

【詳解】由。=，。=1,△口。中）面積為日,

得/%回=?！?=苧，所以0=2,

則仆=療+j-2UUCGSU=1+4-2x1x2xj=3,

所以。=V3.

故答案為：V3.

【變式5-2]（2023春?河南?高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊

三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點.在△□□口

中，已知口=《，口口=有,外接圓的半徑為K,現以其三邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次

O

記為0,Z7,。，則4的面積為（）

A.3B.2C.V3D.V2

【答案】C

【分析】根據正弦定理確定。0=V3,外接圓圓心為對應等邊三角形的中心，確定方=》利用勾

股定理得到方〃'=2,△方。’方為等邊三角形，計算面積即可.

【詳解】△口口田，耳=2百，取口□=V3,口口=V3,

sinz_/

故￡7=□=：,□=￥，OZ7=2V3xsinv=3,

633

外接圓圓心為對應等邊三角形的中心，如圖所示，連接方。，do,

則/方￡7/7=4□□□=4口口已=1,故乙己口白=:,

62

nn=|xV3xy=1,Z7'n=|x3xy=V3,故方方=VTT3=2,

??TT??2lT?'?TT

乙口口口=3,乙□口口=石,%乙□□□=3,

根據對稱性知：方。'=方方，故△方?！綖榈冗吶切?，

其面積O=；x2x2x^=g.

故選：C.

【變式5-3]（2022秋?安徽安慶?高一安徽省桐城中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知點P（cost,

sint）,A（2,0）,當t由凌化到:時，線段AP掃過的區(qū)域的面積等于（）

OO

.__TC_TI_1T

A.2B.-C.-D.-

3612

【答案】B

【分析】依題意作圖，點P在單位圓上，考慮AP與單位圓相切的情況，求出AP掃過的圖形，再求出面積.

【詳解】???cos2Z7+sin2￡7=1，二點P在以原點為圓心的單位圓O上，起始點為圖中的口停,；），

終點為。（一當3），顯然，

AP掃過的面積為圖中陰影面積，△□□口與△口口□等底同高，口回口=口△□□口,

所以AP掃過的面積就是扇形CDO的面積，0C與0D的夾角口=字-==誓，

663

扇形CDO的面積。=（。仃.。=號;

故選：B.

【變式5-4]（2023秋福建龍巖?高一統(tǒng)考期末）如圖,已知口口半徑為2的圓的直徑，點口,O在圓上

運動目口□"□□,則當梯形OOOU的周長最大時，梯形￡700童勺面積為.

【答案】3V3

【分析】連接口□,設乙口口口=D,過點Of乍OO_L口迎口方彘口,過點0（乍OO1□應口方

點、口,即可表示出。口，□口，口口,再根據平面幾何的性質得到OD=口口,從而表示出?！āāā?，結

合二次函數的性質求出%的最大值及此時球值，再根據梯形面積公式計算可得.

【詳解】連接設D,De（0,5，過點。作OOJL￡7儂。萬點￡7,過點0（乍OO1口□

交口汀^彘□t

設圓的半徑為。，則。=2,

2

則￡70=2ZZfein。，UU-/JlJcos^-LJ^=2ZJsinZZ7/

因為00700,所以DD=m,則OO=DD,即梯形￡7Z7￡7〃為等腰梯形，

所以□□=□□-2口口=2口-40^口I

日斤C入口□□□□=□□+□□+□□+□□=2ZZ7+4LJslc口+2口—4ZZfein2ZZ7

=8+8sinZ7-8sin2/Z7=-8（sinZ7-g）+10,

所以當sin。=，即0=熱，（Oms）max=10，

2

所以OD=2,□□=4,4口□口=g,所以□口=DDsm^=V3,口口=4-8x（；）=2,

所以□□□□□=；X（2+4）XV3=3V3.

故答案為：3V3.

【變式5-5](2023春?河南周口?高一校考期末)在①。bos〃=愿DsMU；②(□-0(sinD+sin。=

(￡7-V3Z7)sinZ7;③3￡7cos￡7+CfcosZZ7=V3O+口這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并

解決該問題.

問題：在4，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足__________.

Q)求角A的大小;

(2)若D為線段OO延長線上的一點，旦口口=2口口，□口=翼,口口=2內.求△￡7￡7蜜勺面積.

【答案】(1)條件選擇見解析，口=?

O

⑵晌

【分析】(1)選擇①：由正弦定理邊化角得方程，求解即可.

選擇②：由正弦定理角化邊得關于三邊的方程，代入余弦定理可得.

選擇③：由正弦定理邊化角，再由sin￡7=sin(￡7+￡7)=sin，bos￡7+sinOcos。展開計算可得結果.

(2股口口=□□□=□幺□□□=Z7在AABC中，由cos/。。。、cosOO仍11等式①②，在△□□口

中，由cos/。。。列等式③，由①②③解方程可得x,y.代入三角形面積公式可得結果.

【詳解】（1）若選擇①，7cos￡7=V5/ZfeinO..,.sin/ZfcosZZ7=V5sinZZfein￡7,

,/sinZZZ^O,/.cosZZ7=VSsin/ZZ,

即tan。若，

■:口€(O,TT).,.口=!；

o

若選擇②，□一ZZ7)(sin/Z7+sin。=(□一\[3LJ)s\v\U,

:ZZ7)(ZZ7+ZZ7)=0(0—V3ZZ7),

.??4-4=己-聰□□i

：?l^=+吁-圾口口,

-r^+r^-zj2圾□□V3

cosZ-7=-------------=--------=——

2口□2口□2

若選擇③,,.,3ZubosZZ74-ZZ7cosZZ7=V3ZZ7+ZZ7,

.,.3sinZZfcos￡7+sinLfcos￡7=V3sin￡7+sin/ZZ,

.,.3sinZZfcosZ7+sinZZfcosZZ7=V3sinZ7+sin(ZZ7+D),

/.3sinZZfcosZZ74-sin/ZfcosZZ7=V3sin￡7+sin/Zfcos/Z7+cosZZfein/Z7,

/.2sin/jbosZZ7=VSsin/ZZ,又：□w(0,n)./.sinZZ7^0,

..cos￡7=,?:口6(O,TC)).,.□=—;

26

(2)沒口口=口,口口=口,乙□□口=口,

在4口口講,用余弦定理可得。O2=口d+D/J-2□□,□□.cos乙□□□,

即12=4/Z^+行一2x2￡7/Zfcos(n一U)①,

又〔?在△口□/,□己=Z7仃+口己-2OZ7-cos4□口□,

即4行=12+行-2*2舊￡7852。￡7￡7即44=行-6￡7+12,即行="一片攻②,

A

在4□口田,用余弦定理可得口行=0爐+OC3-2口口.co”□□口,

即3=02+4-2DUcosD③，③x2+①可得6爐+3￡^=18,

將②式代入上式可得。=2,0=1,口皿口=；□□?□□.sinO=V3.

題型6角度邊長周長等最值取值范圍問題

【例題6]（2023春?河南?高一校聯(lián)考期末）△SO中，口=胃，是角平分線，且。0=4,則

3DD+。。的最小值為（）

A.16+4V3B.16+8V3C.12+8V3-D.12+16V3

【答案】B

【分析】根據等面積法得4=]從而利用基本不等式"1"的妙用即可得解.

【詳解】根據題意，沒口口=口,口口=口,口口=。，如圖，

因為口4口□口=口4口口口、口"□□口>/■□□□=―,=4,則X.口口口=/.□□□=-,

所以□□,乙□□□=；□□?□口?□□吟□□.□□?&?□□□,

^Z7￡7x2f=l￡7x4xf+l￡7x4x^,

111

即+=

所以00=4。+4。，則00=4（。+D）,故甯萬54-

所以30。+口□=30+0=4（匕+—（30+。=4（4+券+324（4+2J號.9=16+8V5,

當且僅當若=■§,即。=48+4,。=嗎處時,等號成立，

所以30。+口4勺最小值為16+8V3.

故選：B.

【變式6-1]（2022春福建三明?高一統(tǒng)考期末）在銳角△口口。中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

S為4。02勺面積，且2口=存-（口-口）2，則俳|普名的取值范圍為（）.

4Z-T—12￡_//_/+13Z-T

A?睛)B.(露］C.喈)D.,2

【答案】D

【分析】利用2口=0*2-（￡7-LJ）2,三角形面積公式和余弦定理可得sinD=J,故可得到cosO=5，

O0

tan￡7=g,然后利用正弦定理可得當4+）利用換元法即可求解

5tan￡7□

【詳解】△口口內,由余弦定理得，=行+方2-2UUcos口,

且4口口。6勺面積為Z7=匚fein。，由2口=Cf一（□一口2,得jju5M口=2nO-2￡7￡7cos￡7,

化簡得sinZZ7+2cos/Z7=2;又￡7e(0,g,sin2ZZ7+cos2/Z7=1,所以sin￡7+2,1-sir)2￡7=2,

化簡得5sin2/7-4sinZ7=0,解得sin￡7=：或sin。=0（不合題意，舍去）;

因為口e0胃,所以cosZZ7=V1—sin2ZZ7=1,tan/Z7=,叱=:

5cos￡_/3

所以養(yǎng)鬻sin(￡7+Z2Z)_sinZZfcos/7+cosOsin￡7_43

sin￡7sin￡75tanZ275

由O+O=n-￡7,且〃e0；,n-Oe信,TT

解得De俏一加一切。（0,n

sing-Z7)

35,

所以tan￡7>tan信-￡78sHe焉=]所以矗e

設抵=口.其中。e35,

U5.

2

r-r*i\?/—t4—12￡7￡7+174倍)-12償)+17_4爐-12D+17_14_.4

所以0=43.3g33(Z7-1)2+4/

4(揚2-2的+134^-120+13后-120+134,

又|4<|,所以。=|時，y取得最大值為Omax=2,

口=|時，。嗡；0=1時，口/，且魯

所以。e（黑斗，即窩混您的取值范圍是制,2],

故選：D

【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的

范圍問題，或與角度有關的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值

【變式6-2]（多選）（2020春福建龍巖?高一期末）如圖，△口口中內角A,B,C的對邊分別為a,b,

c,若口=口,且V5（0cos￡7+UcosD）=2Us\r\U,D是4口□邙卜一點，□□=1,□□=3,則下

列說法正確的是（）

A.△口口a是等邊三角形

B.若口口=2g,則A,B,C,D四點共圓

C.四邊形ABCD面積最小值為孥-3

D.四邊形ABCD面積最大值為等+3

【答案】AD

【分析】利用三角函數恒等變換化簡已知等式可求sin。，再利用。=口，可知△口口。是等邊三角形，從

而判斷A;利用四點共圓，四邊形對角互補，從而判斷B;由余弦定理可得O行=10-6cosO,利用三

角形面積公式，三角函數恒等變換可求四邊形ABCD的面積，由正弦函數的性質求出最值，判斷CD.

【詳解】解：已知V5(ObosZZ7+ZZ7cosZZ7)=2Us\n[J,

由正弦定理得，V3(sinZ5tosZ7+sin/ZfcosZT)=2sinZZfeinZ7z

2

BPV3sin(￡7+D)=2sinZZ7r因為sin(￡7+D)=sinZZ7=#0,

所以sinD=苧,又以e(0,n)，目口=□,所以。=,

所以△口oa是等邊三角形，A選項正確；

在口口田,由余弦定理得，=一!，則。力

4cos￡7=,蹙/XJX第I:ogJ,

即。+口豐N,所以A,B,C,D四點不共圓，B選項錯誤；

設乙口□口=D,Q<D<n,由余弦定理得：

Z7ZZ72=□仃+口d-2Z7ZZ7-□□cosLJ=32+12-2x3x1xcosZZ7=10-6cos。，

所以四邊形ABCD面積，口=□△□□□+口&□□口=|sin￡7+?(10—6cos。

即0=苧+3(加回一3cos。)=竽+3sin(￡7-5,

因為0<Z7<n,所以一g<。一gg,

所以當。一g=/即〃=g時，S取得最大值竽+3,無最小值，

C選項不正確，D選項正確；

故選：AD.

【變式6-3](2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學校聯(lián)考階段練習)在銳角△口口。中,4-日=

口□,則角2勺取值范圍為磊-5B+6sinB)最小值為.

【答案】仁,*2V30

【分析】由已知結合余弦定理，正弦定理及和差角公式進行化簡可得。，2勺關系，結合銳角三角形條件

可求D,06勺范圍，然后由基本不等式可得.

【詳解】由行一仆=口曲療=4+行一2LJUcos口,

可得。-20cos￡7=U,

由正弦定理得sin。-2sinZJDOsZZ7=sin。，

所以sin（D+D）-2sinZJD0sZ7=sin。，

整理得5皿0005￡7-$后氏05/7=sinO,

即sin（Z7-U）=sin￡7,

因為。一〃e“一，》,0e（O,》，

所以。一。=皈。一。+O=TI（舍去），即。=20,

0<0。

又△OOR銳角三角形，所以，0<20<］，解得

0<n-3U<-

故g<ZZ7<^,y<sin￡7<1,

則福一福+6汕。=5償g-照）+6sin。

=5-言+6sin￡7=吃/6sin￡7=6sinO+島>2癡,

sm￡7sm￡7smZZfeinZZZsin￡7

當且僅當6sinO=』》即sinZ7=粵時，等號成立.

sin￡76

所以分-島+6sin〃M最小值為2癡.

tanUtanLJ

故答案為：（》，［）；2V30.

【變式6-4］（2023秋?山東臨沂?高一?？计谀┯洝鞯膬冉莂a。的對邊分別為a口口已知

v2sin￡7+1_sin2ZZ7

1-V2cos￡71+cos2Zl7

⑴若。=/求。；

⑵若口6H,求睜］范圍.

【答案】⑴羽

（2）眼學

【分析】（1）利用二倍角、輔助角和兩角和差公式化簡已知等式可求得sin（0,結合范圍可

求得結果;

（2）由夜sin〃=&sin（。一可知￡7=結合療勺范圍可確定口=Z7+J,利用

兩角和差公式化簡得到萼=日+浮/，由tan中范圍可求得結果.

sinZ_722tanZ_7

羊的1/1\山夜sin￡7+1_sin2￡7。日.V2sinZZ^-1_2sin/ZfcosZ7_sin/7

［許群,（）出［一夜cos。="cos2d尋,1-^cos￡7=1+2cos2￡7-1=cosO'

???V2sinZZfcosZZ7+cosZZ7=sinZZ7-V2cosZZ^inZZ7,

BPV2sinZZfcosZ7+V2cos^ZfeinZZ7=V2sin（/Z7+D）=sin￡7-cos。,

:.V2sinZZ7=V2sin（LJ-；）=*??.sin（U-；）=g,

（2）由（1）知：V2sin￡7=V2sinI□-

nn3n5n，:?哈€三一口*口

vUE,A□+UEr

6,4~4~6

：.口=或0="一9一3=?-o,即〃=O+T或〃=?一D；

口^上』，.??當口=千一5寸，De[n,^],不合題意，.??□=口+%

10441Z4

.sin￡7_，所（〃+，）_ysin￡7+ycosZZ7_721V21

...-------.=4"--------=------}-—---------

sin￡7sin￡7sin￡722tan/27

【變式6-5］（2022春?上海金山?高一上海市金山中學?？计谀┯?口口電內魚口,口,中）對邊分別為

□,□,□1已知ZZfeinZ7+Us\v\D-ZZfein/7+USeU.

Q）求角A的大??；

⑵若Z7+'=□,口＞2,當△￡7000勺周長最小時，求勺值.

【答案】*

（2）ZZ7=2+V2.

【分析】（1）已知％in〃+M口=Lkm□+DsinD,由正弦定理角化邊，在利用余弦定理即可得

cosO=1即可求出角A;

(2)已知O+1=O,利用余弦定理可得￡7=0合，則可求出△。。中周長為￡7=3(0-2)+2+

LJ—￡.LJ—￡.

9,由于?！?,利用均值不等式即可求出周長的最小值，及此時的b值.

【詳解】(1)解：由正弦定理，得廳+爐=□□+廳，

所以上正互==1即cos。=-,

2口口2口口2，H2，

又OW(0,TI),所以

(2)解：由余弦定理得4=1^2-口□,把。+1=匚代入，整理得□=匕苧-

z_/—Z

因為。>2,所以△。口。M周長為0=。+D+□=2"?+2+口+1

=3(0-2)+-^-+9>6V2+9,

LJ-￡.

當且僅當3(。-2)=島，即￡7=2+/時取等號，