第十章　必刷大題20　概率與統(tǒng)計-2025數(shù)學大一輪復習講義人教A版

1．(2023·汕頭模擬)袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等．(1)求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)用X表示取出的3個小球上所標的最大數(shù)字，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．2．(2023·邵陽模擬)某電視臺為了解不同性別的觀眾對同一檔電視節(jié)目的評價情況，隨機選取了100名觀看該檔節(jié)目的觀眾對這檔電視節(jié)目進行評價，已知被選取的觀眾中“男性”與“女性”的人數(shù)之比為9∶11，評價結(jié)果分為“喜歡”和“不喜歡”，并將部分評價結(jié)果整理如下表所示．性別評價合計喜歡不喜歡男性15女性合計50100(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成上面的2×2列聯(lián)表；(2)依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為性別因素與評價結(jié)果有關系？(3)電視臺計劃拓展男性觀眾市場，現(xiàn)從參與評價的男性中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法選取3人，進行節(jié)目“建言”征集獎勵活動，其中評價結(jié)果為“不喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為eq\f(1,3)，評價結(jié)果為“喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為eq\f(2,3)，“建言”被采用獎勵100元，“建言”不被采用獎勵50元，記3人獲得的總獎金為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.8283．(2023·南京模擬)綜合素質(zhì)評價是高考招生制度改革的內(nèi)容之一．某高中采用多維評分的方式進行綜合素質(zhì)評價．如圖是該校高三學生“運動與健康”評價結(jié)果的頻率分布直方圖，評分在區(qū)間[90,100]，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分別對應為A，B，C，D四個等級．為了進一步引導學生對運動與健康的重視，初評獲A等級的學生不參加復評，等級不變，對其余學生學校將進行一次復評．復評中，原獲B等級的學生有eq\f(1,4)的概率提升為A等級，原獲C等級的學生有eq\f(1,5)的概率提升為B等級，原獲D等級的學生有eq\f(1,6)的概率提升為C等級．用頻率估計概率，每名學生復評結(jié)果相互獨立．(1)若初評中甲獲得B等級，乙、丙獲得C等級，記甲、乙、丙三人復評后等級為B等級的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；(2)從全體高三學生中任選1人，在已知該學生是復評晉級的條件下，求他初評是C等級的概率．4．杭州第19屆亞運會共設40個競賽大項．其中首次增設了電子競技項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此容錯率更高．假設最終有四支隊伍進入到半決賽，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍，雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽則總決賽就無法拿到冠軍，但是其他的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制，假設四支隊伍分別為A，B，C，D，其中A對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為eq\f(1,2).最初分組時AB同組，CD同組．(1)若p＝eq\f(3,4)，在淘汰賽制下，A，C獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計算兩種賽制下A獲得冠軍的概率(用p表示)，并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？5．(2024·惠州模擬)為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學后，食堂從開學第一天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇一種，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閑q\f(2,3)，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閑q\f(1,4)，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為eq\f(1,2)，如此往復．(1)求該同學第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻n，①證明：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(2,5)))為等比數(shù)列；②證明：當n≥2時，Pn≤eq\f(5,12).6．(2023·陽泉模擬)在上海舉辦的第五屆中國國際進口博覽會中，硬幣大小的無導線心臟起搏器引起廣大參會者的關注．這種起搏器體積只有傳統(tǒng)起搏器的eq\f(1,10)，其無線充電器的使用更是避免了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導線引發(fā)的相關并發(fā)癥．在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動無線充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測與人工抽檢．智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包含安全檢測、電池檢測、性能檢測三項指標，人工抽檢僅對智能檢測三項指標均達標的產(chǎn)品進行抽樣檢測，且僅設置一個綜合指標，四項指標均達標的產(chǎn)品才能視為合格品．已知試產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測三項指標的達標率分別約為eq\f(99,100)，eq\f(98,99)，eq\f(97,98)，設人工抽檢的綜合指標不達標率為p(0<p<1)．(1)求每