第十章　必刷大題20　概率與統(tǒng)計(jì)-2025數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版

1．(2023·汕頭模擬)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等．(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．(2023·邵陽(yáng)模擬)某電視臺(tái)為了解不同性別的觀眾對(duì)同一檔電視節(jié)目的評(píng)價(jià)情況，隨機(jī)選取了100名觀看該檔節(jié)目的觀眾對(duì)這檔電視節(jié)目進(jìn)行評(píng)價(jià)，已知被選取的觀眾中“男性”與“女性”的人數(shù)之比為9∶11，評(píng)價(jià)結(jié)果分為“喜歡”和“不喜歡”，并將部分評(píng)價(jià)結(jié)果整理如下表所示．性別評(píng)價(jià)合計(jì)喜歡不喜歡男性15女性合計(jì)50100(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成上面的2×2列聯(lián)表；(2)依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與評(píng)價(jià)結(jié)果有關(guān)系？(3)電視臺(tái)計(jì)劃拓展男性觀眾市場(chǎng)，現(xiàn)從參與評(píng)價(jià)的男性中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取3人，進(jìn)行節(jié)目“建言”征集獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，其中評(píng)價(jià)結(jié)果為“不喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為eq\f(1,3)，評(píng)價(jià)結(jié)果為“喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為eq\f(2,3)，“建言”被采用獎(jiǎng)勵(lì)100元，“建言”不被采用獎(jiǎng)勵(lì)50元，記3人獲得的總獎(jiǎng)金為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.8283．(2023·南京模擬)綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)是高考招生制度改革的內(nèi)容之一．某高中采用多維評(píng)分的方式進(jìn)行綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)．如圖是該校高三學(xué)生“運(yùn)動(dòng)與健康”評(píng)價(jià)結(jié)果的頻率分布直方圖，評(píng)分在區(qū)間[90,100]，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分別對(duì)應(yīng)為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)與健康的重視，初評(píng)獲A等級(jí)的學(xué)生不參加復(fù)評(píng)，等級(jí)不變，對(duì)其余學(xué)生學(xué)校將進(jìn)行一次復(fù)評(píng)．復(fù)評(píng)中，原獲B等級(jí)的學(xué)生有eq\f(1,4)的概率提升為A等級(jí)，原獲C等級(jí)的學(xué)生有eq\f(1,5)的概率提升為B等級(jí)，原獲D等級(jí)的學(xué)生有eq\f(1,6)的概率提升為C等級(jí)．用頻率估計(jì)概率，每名學(xué)生復(fù)評(píng)結(jié)果相互獨(dú)立．(1)若初評(píng)中甲獲得B等級(jí)，乙、丙獲得C等級(jí)，記甲、乙、丙三人復(fù)評(píng)后等級(jí)為B等級(jí)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從全體高三學(xué)生中任選1人，在已知該學(xué)生是復(fù)評(píng)晉級(jí)的條件下，求他初評(píng)是C等級(jí)的概率．4．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)．其中首次增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此容錯(cuò)率更高．假設(shè)最終有四支隊(duì)伍進(jìn)入到半決賽，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍，雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽則總決賽就無(wú)法拿到冠軍，但是其他的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來(lái)從敗者組殺上來(lái)拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制，假設(shè)四支隊(duì)伍分別為A，B，C，D，其中A對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為p，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為eq\f(1,2).最初分組時(shí)AB同組，CD同組．(1)若p＝eq\f(3,4)，在淘汰賽制下，A，C獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率(用p表示)，并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？5．(2024·惠州模擬)為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開(kāi)學(xué)后，食堂從開(kāi)學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閑q\f(2,3)，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閑q\f(1,4)，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為eq\f(1,2)，如此往復(fù)．(1)求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻n，①證明：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(2,5)))為等比數(shù)列；②證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Pn≤eq\f(5,12).6．(2023·陽(yáng)泉模擬)在上海舉辦的第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)中，硬幣大小的無(wú)導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會(huì)者的關(guān)注．這種起搏器體積只有傳統(tǒng)起搏器的eq\f(1,10)，其無(wú)線充電器的使用更是避免了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導(dǎo)線引發(fā)的相關(guān)并發(fā)癥．在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動(dòng)無(wú)線充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)與人工抽檢．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包含安全檢測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)，人工抽檢僅對(duì)智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)，四項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能視為合格品．已知試產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率分別約為eq\f(99,100)，eq\f(98,99)，eq\f(97,98)，設(shè)人工抽檢的綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)率為p(0<p<1)．(1)求每