高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性習(xí)題及詳解+幾何證明選講習(xí)題及詳解

高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)

函數(shù)的奇偶性習(xí)題及詳解十幾何證明選講習(xí)題及詳解

高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性習(xí)題(附參考答案)

一、選擇題

1.(文)下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A.yf+RxER)

B.y=3x(xGR)

C.y=-logzx(x>0,x《R)

D.y=—xWO)

l答案］A

［解析］首先函數(shù)為奇函數(shù)、定義域應(yīng)關(guān)于原點對稱，排除C,若x=O在定義域內(nèi)，則

應(yīng)有犬0)=0,排除B；又函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，排除D,故選A.

(理)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()

A.Xx)=sinxB.fix)=~\x+l\

i_2—x

c.Xx)=2(a'+?x)D.Xx)=ln^j7^

［答案］D

［解析］y=siar與)，=111|不^為奇函數(shù)，而尸3⑷+加”)為偶函數(shù)，>=一位+1|是非奇

非偶函數(shù).y=sin_r在［-1,1］上為增函數(shù).故選D.

2.(2010.安徽理，4)若4x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足大1)=1,火2)=2,則人3)

一穴4)=()

A.-1B.1

C.-2D.2

［答案］A

I解析］7(3)-/4)=/(-2)-^-1)=-/(2)+;(1)=-2+1=-1,故選A.

3.(2010?河北唐山)已知_/U)與g(x)分別是定義在R上奇函數(shù)與偶函數(shù)，若|x)+g(x)=

log2(f+x+2),則川)等于()

A.—rB，2

3

C.1D，2

f答案IB

Xl)+g(l)=2

［解析］由條件知，，

A-1)+^(-1)=1

:/(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù).

..J久/0)+-g川(l)==21'.㈤)下1

4.(文)(2010?北京崇文區(qū))已知兀v)是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足7(x+2)=一而，當(dāng)

1W尤＜2時，_/(x)=x—2,則46.5)=()

A.4.5B.-4.5

C.0.5D.-0.5

［答案］D

［解析］/Ax+Z)：一焉，.../(x+4)=A(x+2)+2］=-W?=Ax)，二兀0周期為4,

.,m6.5)=/(6.5-8)=貝一1$)=_A15)=15-2=-0.5.

(理)(2010?山東日照)已知函數(shù)段)是定義域為R的偶函數(shù)，且於+2)=/)，若於)在［一

1,0］上是減函數(shù)，則<x)在［2,3］上是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù)

［答案IA

［解析］由火x+2)=/(x)得出周期T=2,

,.,/)在［-1,0］上為減函數(shù)，

又/x)為偶函數(shù)，；.段)在［0,1］上為增函數(shù)，從而大x)在［2,3］上為增函數(shù).

5.(2010?遼寧錦州)已知函數(shù)段)是定義在區(qū)間［—a,a］(a>0)上的奇函數(shù)，且存在最大值

與最小值.若g(x)=/(x)+2,則g(x)的最大值與最小值之和為()

A.0B.2

C.4D.不能確定

［答案］C

［解析］'TU)是定義在［一”，。］上的奇函數(shù)，的最大值與最小值之和為0,又g(x)

=兀0+2是將人犬)的圖象向上平移2個單位得到的，故g(x)的最大值與最小值比?r)的最大

值與最小值都大2,故其和為4.

6.定義兩種運算：靜^=7。2一方,。十〃=|〃-臼，則函數(shù)貝x)=)

(Xw—Z

A.是偶函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

［答案］B

［解析］

又言之。，Axe［-2,0)U(0,2］.

.4-x2

則:x)=O_x，

氏v)+負-x)=0,故選B.

7.已知危)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，且在(-8,0］上是增函數(shù)，設(shè)。=加延47),

6="。破3),c=/0.2°-6),則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.c<h<aB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

［答案Ic

［解析］由題意知式x)=*x|).

Iog47=log2巾>1,|1。破3|=Iog23>log2巾，0<0.2°-6<l,

6

.".|log|3|>|log47|>|0.2°-|.

又：人工)在(一8,0］上是增函數(shù)，且為偶函數(shù)，

....大工)在［0,+8)上是減函數(shù).

故選C.

8.已知函數(shù)人x)滿足：11)=2,<x+l)=+碧，則.42011)等于()

A.2B.-3

C.-2D.1

［答案Ic

［解析］由條件知，負2)=—3,式3)=—/|4)=；,犬5)=火1)=2,故/+4)=於)(%

GN*).

.；心)的周期為4,

故人2011)=/(3)=一/

［點評］嚴格推證如下：

/+2）-［_於+［廠段），

???./U+4）=/［（X+2）+2］=/（X）.即4》）周期為4.

故火4k+x）=/（x）,（xCN*,ZGN*）,

9.設(shè)/（x）=lg（匕+。）是奇函數(shù)，則使於）<0的x的取值范圍是（）

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(—8,0)D.(—8,0)U(l,4-oo)

［答案］A

【解析I?.7(不)為奇函數(shù)，.\/(0)=0,，〃=—1.

.x+1.，口

??/(x)=igt，由y(x)<o何

%+1,,、

故選A-

10.（文）（09?全國II）函數(shù)y=log2親的圖象（）

A.關(guān)于原點對稱

B.關(guān)于直線丫=一不對稱

C.關(guān)于y軸對稱

D.關(guān)于直線y=x對稱

［答案］A

［解析］首先由TTT>0得，—2<x<2，其次令段）=logzfzjf，則/U）+X—x）=

乙I人乙IA乙IX

2+1

log2廠^=log21=0.故y（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故選A.

Y

（理）函數(shù)），==，（一兀，0）U（0,兀）的圖象可能是下列圖象中的（）

A

D

［答案］c

［解析］：y=就是偶函數(shù)，排除A,

2

當(dāng)x=2時，y=sE2>2,排除D,

7C

當(dāng)x弋時，>="^=f>1，排除B,故選C.

sin6

二、填空題

"?（文）已知阿戈:廣1黑卜則/弋+四）的值為

［答案］一2

?解析］姆AOiHYAz

5

-

牙

GH)=sin(一制=s黨斗

原式=—2.

（理）設(shè)凡V）是定義在R上的奇函數(shù)，且），=#x）的圖象關(guān)于直線對稱，則人1）+42）

+X3）+/4）+,負5）=.

［答案J0

［解析］..TU）的圖象關(guān)于直線x=g對稱,

.,.6+'=4—，對任意xGR都成立,

二段）=/（1—x）,又火x）為奇函數(shù)，

..../0）=一穴—》）=一/（1+工）

=fi-\-x）=fl2+x）,

：.周期T=2.?..穴0）=/（2）=式4）=0

又川）與40）關(guān)于對稱

.?如）=0.?.犬3）=八5）=0填0.

12.（2010.深圳中學(xué)）已知函數(shù)），=段）是偶函數(shù)，），=g（x）是奇函數(shù)，它們的定義域都是［一

7T,同，且它們在xG［0,利上的圖象如圖所示，則不等式端<0的解集是.

［答案］(-f.0)唔，兀)

［解析】依據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，先補全人龍)、

g(x)的圖象,

...整<(),,或F、),°,觀察兩函數(shù)的圖象，其中一個在1軸上方，一個

g(x)lg(x)>0［g(x)<0

在X軸下方的，即滿足要求，.,.一g<X<0或?qū)0L

13.(文)若於)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=2對稱，且當(dāng)xW(—2,2)時，

7U)=—/+1.則.八一5)=.

［答案J0

［解析1由題意知五一5)=/(5)=*2+3)=/(2—3)=/(—1)=一(一1)2+1=0.

(理)已知函數(shù)4x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)一IWXWI時，式x)=a,當(dāng)時，fl.x)

=(x+h)2,則人-3)+.穴5)=.

［答案］12

I解析I：凡。是R上的奇函數(shù)，.\A0)=0,

：-1WXW1時，y(x)=a,；.a=0.

?\/U)=(l+〃)2=0,.\b=—\.

.??當(dāng)xW—1時，一X—x)=(—X—l)2=(x+1)\

;於)為奇函數(shù)，=—(x+1)2,

-(x+1)2xW—l

.\/W=<0—1WxW1

1)2

???火―3)+/(5)=—(-3+l)2+(5-l)2=12.

［點評］求得6=—1后，可直接由奇函數(shù)的性質(zhì)得人-3)+x5)=—13)+45)=—(3—Ip

+(5—1)2=12.

14.(文)(2010.山東棗莊模擬)若於)=1g］，\+a}aGR)是奇函數(shù)，則“=.

［答案］T

［解析］?.7W=ig(W+")是奇函數(shù)，

?二人一九）+於）=。恒成立，

即1g（亳+"）+lg（言+J

=ig島（含+"）=。

二島+"（卷+4=］,

?'.（a2+4?+3JX2—（a2—1）=0,

?.?上式對定義內(nèi)的任意x都成立，

.”+44+3=0

/.）o,：,a=-1.

［點評］①可以先將真數(shù)通分，再利用人一犬）=一大幻恒成立求解，運算過程稍簡單些.

②如果利用奇函數(shù)定義域的特點考慮，則問題變得比較簡單.兀v）=為奇函

數(shù)，顯然彳=—1不在於）的定義域內(nèi)，故x=i也不在_/u）的定義域內(nèi)，令*=—帚=1，

得。=一1.故平時解題中要多思少算，培養(yǎng)觀察、分析、捕捉信息的能力.

（理）（2010?吉林長春質(zhì)檢）已知函數(shù)段）=但（-1+養(yǎng)，為奇函數(shù)，則使不等式/）<一1

成立的x的取值范圍是.

［答案Iy1<r<2

［解析J:/）為奇函數(shù)，x）+7（x）=0恒成立，.'Igl—l+黃，+lg（—1+東）

=但（-1+吉卜+&=。,

??.（7+武）（7+弟）=1,

4—a

?aHO，??『）二。，??。=4，

.?.於）=愴（-1+由=1簿

由凡0<—1得，igjrjfc—i,

2—x12—x

?,?°蘇百元’由羊>°得’-2々<2,

,2-X1zec318.18C

由^^<75仔，x<—2或x>yy,..-|Y<X<2.

三、解答題

15.(2010?杭州外國語學(xué)校)己知六0=』+法+c為偶函數(shù)，曲線曠=五外過點(2,5),g(x)

=(x+G/(x).

(1)若曲線)，=g(x)有斜率為0的切線，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若當(dāng)*=-1時函數(shù)y=g(x)取得極值，且方程g(x)+h=0有三個不同的實數(shù)解，求實

數(shù)。的取值范圍.

［解析］(1)由./(X)為偶函數(shù)知匕=0,

又42)=5,得c=1,...?x)=x2+1.

???g(x)=(x+a)(f+l)=x3+i7jr+x+a,

因為曲線y=g(x)有斜率為0的切線，

所以g'(x)=3f+2ax+l=0有實數(shù)解.

.?.△=4/-］220,解得/或

(2)由題意得g'(—1)=0,得a=2.

二g(x)=》3+*+》+2,

g'(x)=3?+4x+1=(3x+1)(x+1).

令g'(x)=0,得xi=-1,X2——1.

?.,當(dāng)xG(—8,—1)時，g'(x)>0,當(dāng)xG(一1,一上時，g'W<0,當(dāng)xG(一；,+8)

時，g'(x)>0,

，g(x)在X=-1處取得極大值，在X=-g處取得極小值.

又..法(一l)=2,g(一；)=招，且方程g(x)+b=0即g(x)=-b有三個不同的實數(shù)解，,招

<—b<2,

解得一2<興一瑞.

16.(2010.揭陽模擬)設(shè)火x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有犬犬+2)=一

fix).當(dāng)xG［0,2］時，>(x)=2x—f.

(1)求證：/(X)是周期函數(shù)；

(2)當(dāng)xe［2,4］時，求y(x)的解析式；

(3)計算10)+/(1)+火2)+…+/(2011).

［分析I由兀1+2)=-兀0可得於+4)與40關(guān)系，由7U)為奇函數(shù)及在(0,2］上解析式可

求Hx)在［-2,0］上的解析式，進而可得犬X)在［2,4］上的解析式.

［解析］(1)：於+2)=—-x),

.\/(x+4)=_Kx+2)=Ax).

.\Ax)是周期為4的周期函數(shù).

(2)當(dāng)Xd[—2,0]時，-XG[O,2],由已知得

/(—x)=2(—x)—(—xp=-2%—/,

又貝x)是奇函數(shù)，-x)=一凡0=-2x—x2,

又當(dāng)xG[2,4]時，x-4￡[-2,0J,

4)=(x—4)2+2(x—6x+8.

又y(x)是周期為4的周期函數(shù)，

...式*)=加一4)

=/—6x+8.

從而求得xW[2,4]時，

式防二丁—6x+8.

(3加0)=0,12)=0,丸1)=1,m)=一1.

又大x)是周期為4的周期函數(shù)，

；瓜0)+大1)+犬2)+八3)=式4)+<5)+八6)+八7)=…=<2008)+42009)+犬2010)+人2011)

=0.

??.AO)+A1)+A2)+???+/2011)=0.

4

17.(文)已知函數(shù)加)=1—彳H(a>。且。幻)是定義在(-8,+8)上的奇函數(shù).

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)7(x)的值域；

(3)當(dāng)xe(0,l]時，版x)》2，一2恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

[解析]⑴：段)是定義在(-8,+8)上的奇函數(shù)，即人—%)=—%)恒成立，：.#))=

0.

即「2X；)+a=。，

解得a=2.

2*—1.1+y

⑵.y=2*+「??2'=]—y'

由2、>0知0,

—l<y<l,即段)的值域為(-1,1).

2'—t

(3)不等式依)22工一2即為喬丁22，一2.

即：(2")2—"+1).2工+，一2忘0.設(shè)2'=〃，

Vxe(0JJ,；.wG(l,2J.

時I—?+I).〃+L2W0恒成立.

/一。+1)X1+L2W0

22-(r+l)X2+r-2<0，解得

x>0

(理)設(shè)函數(shù)1/二加+以+以〃、b、為實數(shù)，且。#0),F(x)=

x<0

(1)若共-1)=0,曲線y=/U)通過點(0,2。+3),且在點(一1,人—1))處的切線垂直于y

軸，求F(x)的表達式；

⑵在⑴的條件下，當(dāng)時，ga)="一/w是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍；

(3)設(shè)〃皿<0,m+n>Q,Q>0,且兀r)為偶函數(shù),證明尸(口)+尸(九)>0.

［解析］(1)因為人］)=加+區(qū)+。，所以(x)=2or+/?.

又曲線y=/(x)在點(一1,火一1))處的切線垂直于y軸，故，(-1)=0,

即一2〃+。=0,因此6=2”①

因為八-1)=0，所以b=a+c.②

又因為曲線y=/(x)通過點(0,2a+3),

所以c=2a+3.③

解由①，②，③組成的方程組得，〃=-3,。=-6,c=-3.

從而?x)=—3A2—6x—3.

—3(x+I)2x>0

所以F(x)=

3(x+l)2x<0

⑵由⑴知,/(x)=-3f—6x—3,

所以g(x)=kx—fi^=3X2+(k+6)x+3.

由g(x)在上是單調(diào)函數(shù)知：

一—7~^—1或一aQ21,得kW—12或々20.

oo

(3)因為兀?是偶函數(shù)，可知6=0.

因此以幻=。/+。.

又因為mn<0,m+n>0,

可知機，〃異號.

若7?2>0,則/?<0.

則F(/H)+F(M)=fim)-fin)=am2+c-an2-c

=a{m+n)(m—z?)>0.

若m<0,則/?>0.

同理可得F(m)+F(/?)>0.

綜上可知F(AH)+F(/2)>0.

高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)函數(shù)概念習(xí)題（附參考答案）

一、選擇題

1.（文）（2010.浙江文）已知函數(shù)_Ax）=log2（x+l），若加）=1，則。=（）

A.0B.1

C.2D.3

I答案JB

［解析］由題意知，_/（a）=log2（a+l）=l,二。+1=2,

{2X—8,2］

（理）（2010?廣東六校）設(shè)函數(shù)段）=《,,則滿足_/（x）=4的x的值是

［log2%%e（2,+00）

（）

A.2B.16

C.2或16D.一2或16

［答案］C

I解析I當(dāng)段）=2、時2'=4,解得x=2.

當(dāng)式x）=log2X時，logjx=4,解得x=16.

：.x=2或16.故選C.

flogjxx>01

2.（文）（2010?湖北文，3）已知函數(shù)/）=仁xwo，則以§））=（）

A.4B,1

C.-4D.

［答案IB

:

［解析］,?,x1）=log3|=-2<0

???A/（|））=y（-2）=2-2=1.

f2,-x—1（x<l）

（理）設(shè)函數(shù)yu）=/，若犬沏）>1,則功的取值范圍是（）

Ugx（x21）

A.（一8,0）U（10,+8）

B.（-1,+8）

C.（-8,-2）U（-l,10）

D.（0,10）

［答案］A

［%0<lko^l

［解析］由匕，［或1,,=向<0或xo>lO.

［21—1>1llgx0>l

3.(2010?天津模擬)若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這

些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為,值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有()

A.7個B.8個

C.9個D.10個

［答案］C

|解析|由f=l得x=±l,由/=4得工=±2,故函數(shù)的定義域可以是{1,2},{-1,2},

{1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1,

-2,1,2},故選C.

1—2x

4.(2010?柳州、貴港、欽州模擬)設(shè)函數(shù)40=京-,函數(shù)y=g(x)的圖象與y=?r)的圖

象關(guān)于直線y=x對稱，則g(l)等于()

3

A.-2B?-1

C.~2D.0

［答案］D

_1—2a

［解析］設(shè)g(l)="，由已知條件知，/(x)與g(x)互為反函數(shù)，,即，+“=1,

5.(2010?廣東六校)若函數(shù)y=y(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)>=火1-x)的圖象大致為

)

［答案］A

［解析］解法1：)=式一尤)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱.將)=<一x)的圖象向

右平移一個單位得>=火1一幻的圖象，故選A.

解法2：由火0)=0知，y=/(l—x)的圖象應(yīng)過(1,0)點，排除B、C；由x=l不在y=/(x)

的定義域內(nèi)知，y=/(l-x)的定義域應(yīng)不包括x=0,排除D,故選A.

6.(文)(2010?廣東四校)已知兩個函數(shù)4x)和g(x)的定義域和值域都是集合{1,2,3},其定

義如下表，填寫下列g(shù)(/U))的表格，其三個數(shù)依次為()

Xx1223

J於x)22--33f1

X123

g(x)132

X123

A.3,1,2B.2,1,3

C.1,2,3D.3,2,1

I答案］D

［解析］由表格可知，41)=2,.穴2)=3,-3)=1,g⑴=1,g(2)=3,g(3)=2,

??.g(/U))=g(2)=3,g-2))=g(3)=2,g(/(3))=g(1)=1,

二三個數(shù)依次為3,2,1,故選D.

(理)(2010?山東肥城聯(lián)考)已知兩個函數(shù)火x)和g(x)的定義域和值域都是集合{1,2,3},其

定義如下表：

X123

加)231

X123

g(x)321

則方程g[/(x)]=x的解集為()

A.{1}B.{2}

C.{3}D.。

[答案]C

[解析]g[/U)]=g(2)=2,g[/(2)]=g(3)=l；

g[A3)]=g(D=3,故選C.

7.若函數(shù)1x)=l0go(x+1)(”>0且a#l)的定義域和值域都是[0,1],則a等于()

A.|B.巾

［答案ID

［解析］?；O4W1,，1WX+1W2,

又OWlog“(x+1)<1,故。>1,且log“2=1,..tz=2.

(g(x)+x+4,x<g(x)

8.(文)(2010?天津文)設(shè)函數(shù)g(x)=f-2(xCR),小尸、、，、，則段)

lg(x)—x,x與g(x)

的值域是()

A.［，，0U(l,+8)B.［0,+8)

C+8)D.0U(2,+8)

［答案］D

f+x+2x<—1或x>2

［解析］由題意可知於)=/,々c

x~~x—2—

I。當(dāng)x<—I或x>2時，f^x)=X2+X+2=+4

由函數(shù)的圖可得?r)W(2,+°°).

2。當(dāng)一1WXW2時，Xr)=/-r_2=G—，2一1，

故當(dāng)X=￡時，7U)min=￡')=-*

當(dāng)X=-l時，7U)max=A—1)=0,

...段)豆「一9子10.

「9口

綜上所述，該分段函數(shù)的值域為一幣oU（2,+°°）.

（理）定義在R上的函數(shù)yu）滿足汽x）=

Jlog2(l-X)(xWO)

,則共2010）的值為（）

l)-y(x-2)(x>0)

A.-1B.0

C.1D.2

［答案］B

［解析］/(2010)=/2009)-/2008)=(/(2008)-/2007))-/(2008)=-^2007),同理火2007)

=-/2004),.?決2010)=/(2004),

；.當(dāng)x>0時，7U)以6為周期進行循環(huán)，

.\y(20io)=xo)=iog2i=o.

a,若aWb；

9.(文)對任意兩實數(shù)〃、b,定義運算“*”如下：〃坨=，竹函數(shù)加：)=log43x

力，右a>b2

—2)*log2X的值域為()

A.(一8,0)B.(0,+8)

C.(一8,0]D.[0,+8)

[答案]C

a,若

［解析］而函數(shù)/U）=logl3x—2）與k）g2X的大致

h,若2

圖象如右圖所示，

「?危）的值域為（-8,0］.

（理淀義max{〃、b、c}表示〃、b、c三個數(shù)中的最大值,/（x）=max{Q},x—2,log2J（x＞0）},

則兀i）的最小值所在范圍是（）

A.（-8,-1）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（1,3）

［答案］C

［解析］在同一坐標系中畫出函數(shù)y=x—2與y=log＞的圖象，》=（；＞與y=

log"圖象的交點為4（為,yi）,y=x—2與y=log2大圖象的交點為及）,則由於）的定義

知，當(dāng)xWr時，當(dāng)時，1Ax）=log2X,當(dāng)xeM時，./U）=x—2,

.7/U）的最小值在A點取得，故選C.

10.（文）（2010?江西吉安一中）如圖，已知四邊形ABC。在映射/：（x,y）f（x+l,2y）作用

下的象集為四邊形AiBCiQi，若四邊形451Goi的面積是12,則四邊形A3CZ）的面積是

)

A.9B.6

C.6小D.12

［答案］B

［解析］本題考察閱讀理解能力，由映射了的定義知，在了作用下點(x,y)變?yōu)?x+l,2y),

二在f作用下14Gl=|AC|,|BQi|=2|BQ|,且4、G仍在x軸上，Bi、A仍在y軸上，故

SAB8=3［AC|［M|=||AIC卜如辦|=軀18/。|=6,故選B.

f+jx+cJVW0

c八、，若人-4)=A0)，K—2)=—2,則關(guān)于X的方程y(x)

{2x>0

=尤的解的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

［答案］C

［解析］解法1：當(dāng)xWo時，yu)=/+bx+c.

:火-4)=A0),八-2)=-2,

［(一4尸+力(-4)+c=c仿=4

,,|(-2)2+/?-(-2)+C=-2'解得|c=2'

fx2+4x+2xWO

12x>0

2

當(dāng)xWO時，由y(x)=x得，X+4X+2=X9

解得x=—2,或x=—1；

當(dāng)x>0時，由/(x)=x得，x=2,

二方程兀O=X有3個解.

解法2：由人-4)=/(0)且八-2)=—2可得，|x)=『+fer+c的對稱軸是x=-2,且頂

點為(-2,-2),于是可得到y(tǒng)(x)的簡圖如圖所示.方程_/U)=x的解的個數(shù)就是函數(shù)圖象y

=/(x)與y=x的圖象的交點的個數(shù)，所以有3個解.

二、填空題

11.(文)(2010?北京東城區(qū))函數(shù)y=qm+lg(2—x)的定義域是.

［答案］［-1,2)

x+120

［解析］由八得，一lWx<2.

［2—x>0

(理)函數(shù)兀0=也+，=的最大值與最小值的比值為.

［答案］^2

x20----------

［解析］4_v>0，，0WxW4,72(x)=4+2^4^%)W4+［x+(4—x)］=8,且/

2(x)2,

,］x)20,；.2WJ(x)W2小,故所求比值為

［點評］⑴可用導(dǎo)數(shù)求解；⑵：0<啟4,.?.0?卜1,故可令§=sin28(0W但與轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)求解.

12.函數(shù)>=案0xw［o,兀］的值域為.

［答案］o.1

［解析］函數(shù)表示點(sina,cosa)與點(2,1)連線斜率.而點(sina,

,,4

cosa)a￡［0,兀］表示單位圓右半部分，由幾何意義，知yG［0,辛.

13.(2010.湖南湘潭市)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均

為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)的圖象恰好通過〃(〃GN*)個整點，則稱函數(shù)兀t)為〃階

整點函數(shù)，有下列函數(shù)

①*x)=sin2x?g(x)—x3③%(x)=(9V

④9(x)=lnx.

其中是一階整點函數(shù)的是.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

［答案］①④

［解析］其中①只過(0,0)點，④只過(1,0)點；②過(0,1),(1,1),(2,8)等，③過(0,1),(-

1,3)等.

14.(文)若式。+勿=火分加)且網(wǎng))=1,貝琳+招+?一+瑞品

［答案J2011

［解析］令匕=1,則"焉”=?*1)=晨

?叫齡+…+迎1=2011

"AOA2)A2011)

(理)設(shè)函數(shù)J(x)=x\x\+bx+c,給出下列命題：

①b=0,c>0時，方程/(x)=0只有一個實數(shù)根；

②c=0時，)=%)是奇函數(shù)；

③方程式x)=0至多有兩個實根.

上述三個命題中所有的正確命題的序號為

［答案I①②

［解析］①/(x)=Rx|+c

Jf+c,xNO

f+c,x<0'

如右圖與X軸只有一個交點.

所以方程?r)=O只有一個實數(shù)根正確.

②c=0時，y(x)=x|x|+Zzr顯然是奇函數(shù).

i^+bx,x》O八/

③當(dāng)c=O,XO時，於)=小|+公=」八八—/X/_.

l—^+bx,x<0/。|\_/x

如右圖方程兀v)=0可以有三個實數(shù)根./

綜上所述，正確命題的序號為①②.

三、解答題

15.(文)(2010?深圳九校)某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時可向蓄水池中

注水60噸,同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,f小時內(nèi)供水總量為12(>而噸,(0W/W24).

(1)從供水開始到第幾小時時，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？

(2)若蓄水池中水量少于80噸時，就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請問在一天的24小時內(nèi)，

有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.

［解析］(1)設(shè)，小時后蓄水池中的水量為y噸，

貝！Iy=400+60L12()V^(0WrW24)

令?t=x,則f=6f且OWxW12,

二5=400+10^-120%=10(x-6)2+40(0WxW12)；

.,.當(dāng)X=6,即f=6時，)，min=40,

即從供水開始到第6小時時，蓄水池水量最少，只有40噸.

(2)依題意400+10A2-120A<80,

得d-12x+32<0,

o32

解得4<x<8,即4<^6/<8,1</<亍;

?.考一|=8,.?.每天約有8小時供水緊張.

(理)某物流公司購買了一塊長4M=30米，寬4N=20米的矩N尸、----------

形地塊AMPN,規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形A8C。的倉庫，其余地

方為道路和停車場，要求頂點C在地塊對角線MN上，B、D分別—0/

在邊AM、AN上，假設(shè)AB長度為x米.

(1)要使倉庫占地ABC。的面積不少于144平方米，A8長度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)若規(guī)劃建設(shè)的倉庫是高度與AB長度相同的長方體形建筑，問AB長度為多少時倉庫

的庫容最大？(墻體及樓板所占空間忽略不計)

［解析I(1)依題意得三角形M3C與三角形NAM相似，所以盥=翳，即亳=生辛，

Z>xK*1V/AJV/^\J

2

A￡>=20—尹，

矩形ABCD的面積為S=20x-1.r2(0<x<30),

要使倉庫占地ABC￡>的面積不少于144平方米，

2

即20x—豕2144,

化簡得/-30工+216忘0,解得12Wx<18.

所以AB長度應(yīng)在［12,18］內(nèi).

2

(2)倉庫體積為丫=201一尹^OwOO),

V'=40犬一*=0得x=0或x=20,

當(dāng)0<%<20時，V'>0,當(dāng)20a<30時/<0,

所以x=20時，V取最大值8詈n?,

即AB長度為20米時倉庫的庫容最大.

16.(2010?皖南八校聯(lián)考)對定義域分別是外Qg的函數(shù)y=/(x),y=g(x),規(guī)定：

貝x)g(x),當(dāng)xefyKxecg,

函數(shù)極)=,危)，當(dāng)xeDfRx^Dg,

.g(x),當(dāng)xeDgRxiDf.

(1)若函數(shù)_/0：)=金1g(x)=d,寫出函數(shù)〃(x)的解析式；

(2)求問題(1)中函數(shù)力(x)的值域；

(3)若g(x)=?x+a),其中a是常數(shù)，且aG［0,兀］,請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=?r),

及一個a的值，使得〃(x)=cos4x,并予以證明.

［解析］(1)由定義知，

士，xG(-0o,1)U(1,+8),

h(x)=yx1

J,x=l.

(2)由(1)知，當(dāng)xWl時，/J(X)=X-1+±［+2,

則當(dāng)尤>1時,有以龍)24(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,取“=”)；

當(dāng)x<l時，有〃(x)W0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取

則函數(shù)/?(x)的值域是(一8,0］U(l}U［4,+8).

71

(3)可取/U)=sin2x+cos2x,1=不則g(x)=y(x+a)=cos2x—sin2x,

于是〃(x)=y(xV(x+a)=cos4x.

(或取式x)=1+6sin2x,a=B，則g(x)=/(x+a)=1—6sin2x.于是h{x)=J(x)fix+a)=

cos4x).

［點評］本題中(1)、(2)問不難求解，關(guān)鍵是讀懂〃(x)的定義，第(3)問是一個開放性問題,

乍一看可能覺得無從下手，但細加觀察不難發(fā)現(xiàn)，cos4x=COS22X—sin22x=(cos2r+

sin2x)(cos2x—sin2x)積式的一個因式取作./(x),只要能夠找到a,使./(x+a)等于另一個因式

也就找到了>(x)和g(x).

17.(文)某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)與時間*天)的函數(shù)關(guān)系如圖所示：

該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時間f(天)之間的關(guān)系如表所示:

第，天5152030

。(件)35252010

(1)根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在所給直角坐標系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(f,Q)的對應(yīng)點，并確定日銷

售量。與時間t的一個函數(shù)關(guān)系式；

(3)求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾

天？(日銷售金額=每件的銷售價格X日銷售量)

r+20(0<r<25,reN*)

［解析］(1)P=

-z+100(25W/W30,fdN-)

(2)圖略，Q=40-/(fGN*)

(3)設(shè)日銷售金額為y(元)，

-?+20r+800(0<f<25,PN*)

貝(Iy—

?-140/+4000(25WfW30,fCN*)

J-（Z-10）2+900（0</<25,/GN*）

一［（L70>-900（250W30,￡N*）

若0<7<25（yN"）,

則當(dāng)f=10時，ymax=900；

若25WW30（￡N*）,

則當(dāng)f=25時，），max="25.

由1125>900,知ymax=1125,

,這種商品日銷售金額的最大值為1125元，30天中的第25天的日銷售金額最大.

（理）（2010?廣東六校）某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運輸?shù)脑?，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售，當(dāng)

地政府通過投資對該項特產(chǎn)的銷售進行扶持，已知每投入x萬元，可獲得純利潤尸=一擊。

―40）2+100萬元（已扣除投資，下同），當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)

的銷售，其規(guī)劃方案為：在未來10年內(nèi)對該項目每年都投入60萬元的銷售投資，其中在前

5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，公路5年建成，通車前該特產(chǎn)

只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售

的投資收益為：每投入X萬元，可獲純利