高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識歸類

集合與簡易邏輯

1.注意區(qū)分集合中元素的形式.如：{x|y=lgx}—函數(shù)的定義域；{y|y=lgx}—函數(shù)的值域；

{(x,y)Iy=Igx}-函數(shù)圖象上的點集.

2.集合的性質(zhì)：①任何一個集合A是它本身的子集，記為AcA.

②空集是任何集合的子集，記為0aA.

③空集是任何非空集合的真子集；注意：條件為AqB,在討論的時候不要遺忘了A=0的情況

如:A={x|ax2-2》一1=0},4口果4口/?*=0,求a的取值.(答：a<0)

@Cc,(AClB)=CL,AUCb,B,C(,(AUB)=C(7AAC(/B:04口3)^0=4口(8("10;

(AU3)UC=AU(BU。.

⑤Afi8=AoAU5=3oAqBo'AoAnC°B=0oC0AU3=R.

⑥4|J8元素的個數(shù)：card(A\JB)=cardA+cardB-card{AQB).

⑦含〃個元素的集合的子集個數(shù)為2";真子集(非空子集)個數(shù)為2"-1;非空真子集個數(shù)為2"-2.

3.補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

如：已知函數(shù)/。)=49-2(/?-2)*-222-/7+1在區(qū)間［-1,1］上至少存在一個實數(shù)，，使

/(c)>0,求實數(shù)〃的取值范圍.(答：(-S,3))

2

4.原命題：p=>q;逆命題：qnp；否命題：—1P=>—>夕；逆否命題：「qn—ip；互為逆否的兩

個命題是等價的.如：“sineHsin/”是“a。/”的條件.(答：充分非必要條件)

5.若p=q且(7H>p,則p是4的充分非必要條件(或q是p的必要非充分條件).

6.注意命題p0q的否定與它的否命題的區(qū)別：命題pnq的否定是p=->q；否命題是-1P=-><?.

命題中的：“p或q”的否定是“「p且「q”；“P且4”的否定是“「p或「9”.

如：“若a和匕都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題是“若。和b不都是偶數(shù)，則a+匕是奇數(shù)”

否定是“若。和匕都是偶數(shù)，則a+8是奇數(shù)”.

原結(jié)論否定原結(jié)論否定

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有n-\

個

小于不小于至多有〃個至少有n+1

個

對所有X,成立存在某X,不成P或9~\p-EL—、q

立

對任何X,不成存在某X,成立P且4或—1,

立

二.函數(shù)

「①映射/:人一臺是：?“一對一或多對一”的對應(yīng)；反諜:合A中的元素必有象且A中不

同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集［8).

②一一映射了:A->8:?“一對一”的對應(yīng)；?A中不同元素的象必不同，6中元素都有原象.

2.函數(shù)/:是特殊的映射.特殊在定義域A和值域3都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與x軸的垂

線至多有一個公共點，但與)，軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個.

3.函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則.研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則.

4.求定義域：使函數(shù)解析式有意義(如：分母力0;偶次根式被開方數(shù)非負；對數(shù)真數(shù)>0,底數(shù)〉0且w1;零

指數(shù)森的底數(shù)/0);實際問題有意義；若/(x)定義域為必力復(fù)合函數(shù)f［g(x)］定義域由“Wg(x)46解出；

若/［g(x)］定義域為M，句，則/(x)定義域相當于用時g(x)的值域.

5.求值域常用方法：①配方法(二次函數(shù)類)；②逆求法(反函數(shù)法)；③換元法(特別注意新元的范圍).

④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；

⑤不等式法⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法來求值域；

⑧判別式法(慎用)：⑨導(dǎo)數(shù)法(一般適用于高次多項式函數(shù)).

6.求函數(shù)解析式的常用方法：?^定系數(shù)法(已知所求函數(shù)的類型)；?f弋換(配湊)法；

?方程的思想——對已知等式進行賦值，從而得到關(guān)于/(%)及另外一個函數(shù)的方程組。

7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

?函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點對稱的，確定奇偶性方法有定義法、圖像法等：

?若f(x)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(-x)=/(|x|);定義域含零的奇函數(shù)必過原點(/(0)=0);

?判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：/(了)±/(-幻=0或」紀=±1(〃幻#0);

?復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

注意：若判斷較為復(fù)雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡再判斷；既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(如

/(%)=0定義域關(guān)于原點對稱即可).

?奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；

?確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等.

?復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定.(提醒：求單調(diào)區(qū)間時注意定義域)

如：函數(shù)y=log,(-x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(答：(1,2))

8.函數(shù)圖象的幾種常見變換?平移變換：左右平移--------“左加右減”(注意是針對x而言)；

上下平移——“上加下減”(注意是針對/(x)而言).

?翻折變換：/(x)f|/(x)|;/(x)^/(|x|).

⑨寸稱變換：①證明函數(shù)圖像的對稱性，即證圖像上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖像上.

②證明圖像G與G的對稱性，即證C|上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在G上，反之亦然.

③函數(shù)y=f(x)與y=/(-x)的圖像關(guān)于直線x=0(y軸)對稱；函數(shù)y-f(x)與函數(shù)

y=/(T)的圖像關(guān)于直線y=0(x軸)對稱；

④若函數(shù)y=/(x)對xeR時，/(a+x)=/(a-x)或/(x)=/(2a—x)恒成立，則y=/(x)圖像關(guān)

于直線x=a對稱；

⑤若y=f(x)對xe7?時，/(q+x)=/(b-x)恒成立，則y=/(x)圖像關(guān)于直線x=""對稱;

2

⑥函數(shù)y=f(a+x),y=/(b-x)的圖像關(guān)于直線x"對稱(由a+x=6-x確定)；

2

⑦函數(shù)0與y=/S—X)的圖像關(guān)于直線X上""對稱；

2

⑧函數(shù)y=f(x),y=A-/(x)的圖像關(guān)于直線yl對稱(由y2^上上確定)；

22

⑨函數(shù)y=/(x)與):=--(-%)的圖像關(guān)于原點成中心對稱；函數(shù)y=f(x),y=n-f(m-x)

的圖像關(guān)于點23對稱；

22

⑩函數(shù)y=fM與函數(shù)尸尸(%)的圖像關(guān)于直線y=x對稱；曲線G:/(x,y)=0,關(guān)于y

=x+ayy=-x+a的又寸稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0;

曲線G：于(x,y)=()關(guān)于點(。力)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2h-y)=0.

9.函數(shù)的周期性：y=/W對犬￡R時/(x+a)=/(九一〃)恒成立，則/(%)的周期為2|d；

是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=Q對稱，則/(X)的周期為2|〃|:

鰻y=/Q)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線尤=。對稱，則/(幻的周期為41al;

?若y=f(x)關(guān)于點30),(反0)對稱，則fix)的周期為2|a-b|;

?y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(aw/?)對稱，則函數(shù)y=/(x)的周期為2|Q-|;

?y=/(x)對x￡R時,f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=--！―,則y=/(x)的周期為21al;

fM

10.對數(shù)：?k)gU=log*"(a>0MWl,h>0,〃￡R+);頷寸數(shù)恒等式"℃=N(a>O,aw1,N>0;

?log(M?N)=logM+logN;logM=logM-logN;logM〃=??logM;

aaaaN°aaa

log"產(chǎn)」logM;寸數(shù)換底公式log—=log/,，(a>0.awl.b>O.bw1):

aV。.

nalog%。

推論：log,,b?log：c?log,.a=1=log?%?log"%?log"4=log,,a?.

I2n-lI

(以上A/>Q,N>0,a>0,aW1力>(),。Wl,c>0,cWl,a”生,…a“>0且卬,4,…a“均不等于1)

11.方程4=/(x)有解=keD(D為f(x)的值域)；a>/(x)恒成立=aN"(x)］最大值,

aW/(x)恒成立=a4"(切顯小值.

12.恒成立問題的處理方法：血分離參數(shù)法(最值法)；例化為一元二次方程根的分布問題；

13.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：

一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系；

14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：fix')=cvr+bx+c(a0);②頂點式：

f(x)=a(x-h)2+k(a豐0);③零點、式:f(x)-a(x-x)(x3x)(。+0).

15.一元二次方程實根分布：先畫圖再研究A>0、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點函數(shù)值符號；

16.復(fù)合函數(shù)：?復(fù)合函數(shù)定義域求法：若/(x)的定義域為&旬，其復(fù)合函數(shù)〃g(x)］的定義域可由不等

式44g(x)46解出；若/［g(x)］的定義域為求/(x)的定義域，相當于時，求g(x)的值域：?

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定.

17.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性迎;幅注求1條編數(shù)(的范圍問題:

/(〃)=g(%)〃+力(x)之。(或(。)(a<u<b)一(或一);

［f(b)>0i/3)40

18.函數(shù)y="M(cx0,4dHbc)的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線x=-:(由分母為零確定)和直線

cx+dc

y=—(由分子、分母中x的系數(shù)確定)；②對稱中心是點(-dj);③反函數(shù)為丁二*也；

cCC

19.函數(shù)y-ax+b(a>0,b>0):增區(qū)間為(-00,”)，減區(qū)間為一,2),(0/

xa

如：已知函數(shù)/(x)=t”在區(qū)間(-2,內(nèi))上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(答：(1+00)).

x+2

三.數(shù)列

1.由S求〃，a]S[(w=l)注意驗證a是否包含在后面〃的公式中，若不符合要

[S“-S”〃N2,〃€N*)

3-4,,-'(?>2)

單獨列出.如：數(shù)列｛〃"｝滿足J=4,C+S,”=*〃,求Q(答：a_4(M=1)x

3=人

2,等差數(shù)列｛a〃｝oa〃一a“_[=d(d為常數(shù))?2at=ari+]+(n>2,Z?GTV*)

<=>a=an+b(a=d,b=a-d)oS=A/+Bn(A=,B=a-);

1

〃122

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：①a=a+(n-m)d,d=a,n"〃；

nm

m-n

②〃z+〃=/+Z=am+a,=a,+4(反之不一■定成立)；特別地，當m+n=2p時，有a,?+a?=2ap;

③若｛a“｝、他,｝是等差數(shù)列，則｛也,+也,｝(%、f是非零常數(shù))是等差數(shù)列；

④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”即Sm,S2m-5??S3m-5w,.?…仍是等差數(shù)列；

⑤等差數(shù)列｛a｝,當項數(shù)為2〃時，S-S=nd,$*=。"；項藪為2〃-1時，

例奇

S

偶%+iA

S-Sa=a(neN*),S=(2n-l)a,且,奇"=/(〃)=>"=f(2n-i)?

偶奇中2n-\

s偶〃一1紇b“

⑥首項為正(或為負)的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項和的最大(或最小)問題，轉(zhuǎn)化為解不等式

也，去帆).也可用S“=A〃2+3〃的二次函數(shù)關(guān)系來分析?

a<0I以a>0

IZH-II7H-I

⑦若a,=m9am=n(mwn),則am+t=0;若S”=加,鼠=n(mw〃)，則Sni+n=一?！?n);

若S,〃=S〃(mw〃)，則Sm+n=0;S3m=3(S2m—Sm);Sin+n=Sm+Sn+mnd.

4.等比數(shù)列{a}o型=q(qwO)u>Q2=aa(〃22,〃wN*)u>a=aqn~x.

“-1〃+1

5.簧比數(shù)列的性質(zhì)

①a=a廣〃,產(chǎn)r;②若｛〃｝、伯｝是等比數(shù)列，則｛切｝、｛?！ǎ纫彩堑缺葦?shù)列;

ninq

③sj”吧)=1J/)a；④m+〃=/+左=4,/“=%*(反之不一定成

a-aq

nI1(1-4)__,—工1)

[i_q

i-ql-q>q

立)；Si=S,“+，”S“=S“+q”5”⑤等比數(shù)列中S“，S2n，-黑,$一&……(注:各項均不為0)

仍是等比數(shù)列.⑥等比數(shù)列｛〃｝當項數(shù)為2〃時，*=q;項數(shù)為2〃-1時，Sjr~a'=q.

S奇S偶

6①如果數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列,則數(shù)列｛A%｝(此總有意義)是等比數(shù)列;如果數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,則

數(shù)列｛1080|。“|｝(。＞0,。*1)是等差數(shù)列；

②若｛q｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則｛4,｝是非零常數(shù)數(shù)列；

③如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的數(shù)列也是等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差

是原兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；如果一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列有公共項，那么由他們的公共

項順次組成的數(shù)列是等比數(shù)列，由特殊到一般的方法探求其通項；

④三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d;

三個數(shù)成等比的設(shè)法：a_,a,aq;四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：二“一〃〃〃丁(為什么？)

qqq

7.數(shù)列的通項的求法：?公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式.

?知S(即a+a+/(〃))求a用作差法：a

nI2…+〃〃="

電廠黑|,(〃之2)

⑴,(〃=D

?已知4?%?…?q=/(〃)求a〃用作商法：an=\/(〃)，(〃22),

(3^a-a=/(〃)求〃用迭加法.?知"向=/(〃)，求a用迭乘法.

；H-1nnn

?已知數(shù)列遞推式求a,用構(gòu)造法(構(gòu)造等支“、等比數(shù)列)：①形如a+b,a=ka+b",

n-\

a=ka^+a-n+b(匕/?為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為2的等比數(shù)列后，再求出

②形如=%的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項.

他1+b

8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列，等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加；④錯位相

減；⑤分裂通項法.公式：

1+2+3+...+〃=1及(〃+1);I2+22+32+...+n2=Ln(?+l)(2rt+l);

26

I3+23+33+...+n3=rW(W+1)]2;1+3+5++〃=/；常見裂項公式1J」

n(n+1)n〃+1

11

r,-1；n11

n(n+k)knn+kn(n-l)(n+1)2n{n+1)(〃+l)(〃+2)5+1)!n\(n+1)!

常見放縮公式：2(J〃+1—而=--二——廣<~2—2(5-\ln-1)?

+1+Jyjnm+N/~1

9.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題

?it類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細心計算

“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.

?利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：若每期存入本金p元，每期利率

為r,則〃期后本利和為：=p(l+r)+p(l+2r)+…，(1+〃「)=。(〃+*”+8)(等差數(shù)列問題)；②復(fù)利問題：

2

按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)p元，采用分期等額還款方式，從借款日算

起，一期(如一年)后為第一次還款日，如此下去，分〃期還清.如果每期利率為「(按復(fù)利)，那么每期等

額還款X元應(yīng)滿足：

p(l+r)M=x(14-r)n-l+x(l+r)/,-2+…+x(l+r)+x(等比數(shù)列問題).

四.三角函數(shù)

1.a終邊與8終邊相同oa=2kjr(kGZ);a終邊與6終邊共線oa=0+k7t(keZ);

a終邊與。終邊關(guān)于x軸對稱oa=-6+&;r(Z￡Z);a終邊與。終邊關(guān)于1y軸對稱=。="一。+2左"(ZwZ);

a終邊與。終邊關(guān)于原點對稱oa=乃+。+2攵%(ZGZ)；

a終邊與。終邊關(guān)于角0終邊對稱=a=2/?-。+2%乃(攵GZ).

2.弧長公式：/=|例，扇形面積公式：^=Llr=L\0\P;1弧度(1&Z)心57.3。.

3.三角函數(shù)符號(“正號”)規(guī)律記憶口訣：“一全二正弦，三切四余弦”.

注意：tan15°=cot75°=2-^3;tan75°=cot15°=2K;

4.三角函數(shù)同角關(guān)系中(八塊圖)：注意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx>sinxcosxv的關(guān)系.

4口(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx等.

5.對于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括；

(注意：公式中始終視a為銳角)

6.角的變換：已知角與特殊角、已知角與目標角、已知角

與其倍角或半角、兩角與其和差角等變換.

如：a=(a+〃)一/7;2a=(a+/?)+(a—/?);2a=(7?+a)—(/?-a);a+/?=2.

''2

々+■=(._1)_(>_/?)等：力”的變換：I=sin2x+cos2x=tanx,cotx=2sin3()o=tan45。;

222

7.重要結(jié)論：tzsinx+Z?cosx=y+層sin(x+9)其中tan;重要公式siMa="""2。；cos2a=

a2

IikJf)f)f)

1+cos2a:tana_11-cosa_sina_1-cosa:.士$.61=伸±sin)2=|cos±sin￡.

22V1+cosa1+cosasinav2222

2tana1-tan2a2tana

萬省名公式：sin2a=;cos2a=;tan2a-.

1+tan2a1+tan2a1-tan2a

兀

k冗+?一(pkn-(p

8.正弦型曲線y=Asin(3r+9)的對稱軸x=--—(keZ);對稱中心(二1,0)(左GZ);

k7T+—-(p

余弦型曲線y=Acos(0r+@的對稱軸x=W(&eZ);對稱中心(——2—,())/wZ);

(O(D

10.三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化(切割化弦)、三角函數(shù)次數(shù)的降升(降次、升次)、運算結(jié)構(gòu)的

轉(zhuǎn)化(和式與積式的互化).解題時本著“三看”的基本原則來進行：“看角、看函數(shù)、看特征”，基本的

技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次.

輔助角公式中輔助角的確定：tzsinx+bcosx=^cr+b2sin(x+(其中。角所在的象限由a,b的符

號確定，。角的值由tan6=：確定)在求最值、化簡時起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對值之比為1觀8

a

的情形.Asinx+3cosx=C有實數(shù)解oA?+8

11.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換:

y=Asin(勿r+夕)

士鄰中心E「XJ=772☆鄰軸I.二』=772

無劣對稱中心：無劣對稱軸：

由y=0或)，無意義確定國教圖象都相交,a相鄰兩

由y=o確火由尸A或-A確定交點的距離為一個周期！

(1)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

(3)三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

(4)三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法(五點橫坐標成等差數(shù)列)和變換法.

12.三角形中的三角函數(shù)：

(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為乃，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半

角總互余.銳角三角形。三內(nèi)角都是銳角o三內(nèi)旃的余弦值為正值o任兩角和都是鈍角o任意兩邊

的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：一^=上=工=2R(/?為三角形外接圓的半徑).

sinAsin3sinC

注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時;，若運用正弦定理;，則務(wù)必注意可能有兩解.

222—a(h+c)-a

(3)余弦定理：a=b+c-2bccosA,cosA=----------=———-----_］等，常選用余弦定理鑒定三

角形的類型.

(4)面積公式：S=-ah=-absm。=的^.射影定理：a=bcosC+ccosB

2"247?

13.AABC中，易得：A+3+C=;r,①sinA=sin(B+C),cosA=—cos(B+C),tanA=—tan(B+C).

/Tjx.AB+CA.B+CAB+C/^\,.

②sm_=cos,cos_=sin,tan_=cot.③。>8oAA>8D<=>sinAA>sin8D

222222

④銳角AABC中，A+BsinA>cos5,cosA<cosB,a2+b2>c2,類比得鈍角AABC結(jié)論.

2

⑤tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

14.(小結(jié))角的范圍：異面直線所成痢(0，］;直線與平面所成角［0丁］;二面角和兩向量的夾角［0,捫；直

22

線的傾斜角［0,乃)；/與/的夾痢(0,勺.注意術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角等.

I2r

五.平面向量

1.1殳々=(XpyJ,b=(x2,y2).(1)a//bx［y2-x2yi=0;(2)a_iZ?oa?匕=0oxxx2+y)y2=0.

2.平面向量基本定理：如果■和I是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量￡有

且只有一對實數(shù)乙、劣，使，

3.設(shè)a=(xpy}),b=(爸，%)，則〃,人=l〃II。Icos^=x1x2+yly2;其幾何意義是a3等于a的長度

與6在7的方向上的投影的乘積；2在方的方向上的投影l(fā)alcose=1i=+

㈤瘍不

4.三點A、B、C共線oA后與AC,共線；與通'共線的單位向量

|AB|

5.平面向量數(shù)量積性質(zhì)：設(shè)tr=（x,y）,/?=（X,y）,則cos6=。西冬+必必.

1122—|￡+）：五+”'

注意：〈〃力）為銳角=a?人>0,不同向；〈〃力〉為直角u>a?/?=0;〈〃力〉為鈍角=a?/?<0,〃力不反向.

6.a./?同向或有0+b\=\a\+\^\>\a\-^\b\=\a-b\;反向或有0

<=>\a-b\=\a\+\b\>^a\-\b^=\a+b\:￡?5不共線u>|&-間<|￡±尿|￡|+⑻.

7.平面向量數(shù)量積的坐標表示:?若。=（孫y）,b=a2,%），則。,Z?=xIx2+yIy2;

IAB|二67%）；+（y-;?^tz=（x,y）,則a=a-a=x1+y2.

8.熟記平移公式和定比分點公式.①當點P在線葭麗2上時，2>0;當點P在線葭瓦A（或無7）延長

線上時，Xv-l或—Iv/lvO.②分點坐標公式：若8升=4尸g;且6a,乂），P（x,y）鳥&,%）；

_X]+XJX

22_X4-2

則—一1+2中點坐標公式：rL（4=D

、,_必+2為2」+%

y--------：—y------------

I1+2I2

③巳P,g三點共線=存在實數(shù)4、〃使得OP=4O6+〃0g且/l+〃=L

9.三角形中向量性質(zhì)：①加過BC邊的中點：dB+可小（也回）;

\AB\\AC\\AB\|AC|

②而」（耳+方+定）o函+礪+五=6OG為AA8C的重心；

3

③麗?麗=麗正=所成o尸為AABC的垂心；④|前|西+|瓦|而+|而|方=6=P為

AABC的內(nèi)心；2(一+一）（4。0）所在直線過AA3C內(nèi)心.⑤設(shè)4匹,/）,5（左,必），

\AB\\AC\

11cc

s=fy-xy.sIABIIACIsinA=^AB\\AG\-(AB-A€)

&AOBABBAIAABC

⑥O為AABC內(nèi)一點，貝“S^OA+S嬴OB+S~；OC=0.

10.P(x,y)二與M>a->P'(x'?),有p=X+h(中=?);y=f(x)>y-k=f(x-h).

[y=y+A

六.不等式

1.掌握課本上的幾個不等式性質(zhì)，注意使用條件，另外需要特別注意：

①若附>0,b>a,^'J,即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變.

ab

②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論.

2.掌握幾類不等式（一元一次、二次、絕對值不等式、簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式）的解法，尤其注意用分

類討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標根法，零點分區(qū)間法.

3.掌握重要不等式，⑴均值不等式:癡力〉。，則廳2歲N&N2（當且僅當4=。時

-4--

ab

取等號）使用條件：“一正二定三相等“常用的方法為：拆、湊、平方量;^a,b,ceR,

222a2+b2a+h2

a+8+c>ah+he+ca（當且僅當a=b=c時，取等號）；⑶公式注意變形如：-----2（----）,

22

ab<（a+b）2；（4）若a〉Z?>0,團>0,則_"<"+"（真分數(shù)的性質(zhì)）;

2aa+m

4.含絕對值不等式：a.b同號或有0u>|〃+h|=|〃|+|目|a|A|=|〃-。|;a,h異號或有0

=|a-b\=\a\+\t\\>\a\-\\b\=\a+b\,

5.證明不等式常用方法：匕較法：作差比較：A-BWOoAWB.注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難,

可以通過它們的平方差來比較大??；軟宗合法：由因?qū)Ч?分析法：執(zhí)果索因.基本步驟：要證…需

證…，只需證…；?反證法：正難則反；?放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的.

放縮法的方法有：①添加或舍去一■些項，如：7?2+?>io|；+i)>〃.②將分子或分母放大(或縮小)

③利用基本不等式，如：麻開同.④利用常用結(jié)論：i°內(nèi)_太=$------

2〃+1+/2d

2。I1__!_<】<I(程度大)；3°11_lz1一1)(程度小)；

kk+\(k+l)kk2(k-\)kk-lkk2k2-i2k-\k+1

?奐元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元

代數(shù)換元.如：知12+,2=〃2,可設(shè)x=〃cos“y=asin。；知犬+產(chǎn)金，可設(shè)x=rCos^,y=rsind

2222

(0<r<l);知二+2L=1,可設(shè)x=acosay=8sin。；已知L-2L=1,可設(shè)x=asec6,y=8tan。

a2b2-a2tr

?最值法，如：a>/(x)圾大值，則a>/(x)恒成立.a</(x)母小值，則a</(x)恒成立.

七.直線和圓的方程

1.直線的傾斜角c的范圍是。乃)；

2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系Z=tana(a*3(如右圖)：

2

3.直線方程五種形式：?點斜式：已知直線過點(%,治)斜率為攵，則直線

方程為的)，它不包括垂直于x軸的直線.?斜截式：已知直線在y軸上的截距為〃和斜率

k,則直線方程為了=依+匕，它不包括垂直于x軸的直線.色兩點式：已知直線經(jīng)過

尸(x,y)、P(x,y)兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線.

111222y_)，一刀一式

2121

?截距式：已知直線在工軸和y軸上的截距為見。，則直線方程為“4)=1,它不包括垂直于坐標軸的直

ah

線和過原點的直線.?一般式：任何直線均可寫成Ax+8y+C=()(A,3不同時為0)的形式.

提醒：?直線方程的各種形式都有局限性.(如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？)

?直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等O直線的斜率為T或直線過原點；

直線兩截距互為相反數(shù)O直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等O直線的斜率為±1或直

線過原點.

?截距不是距離，截距相等時不要忘了過原點的特殊情形.

4.直線I:+4丫+G=0與直線J：A2X+B2y+C2=0的位置關(guān)系：

?平行A2修=0(斜率)且BtC2-B2C^O(在y軸上截距)；

修目交O人生―產(chǎn)0；(3)重合043「42坊=0且B"BC=0?

5.直線系方程：①過兩直線/1：人仔+Bj+G=(),。+B2y+C2=0.交點的直線系方程可設(shè)為

A|X+3。+G+A(A2X+B2y+C2)=0;②與直線/:Ax+By+C=0平行的直線系方程可設(shè)為

Ax+By+m=0(mc);③與直線/:Ax+By+C=0垂直的直線系方程可設(shè)為Bx—Ay+n=0.

6.到角和夾角公式：?乙到&的角是指直線人繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線4重合所轉(zhuǎn)的角巴

6G(0,乃)且tan6="au：kw-l);

12

?/與/的夾角是指不大于直角的角”且tand=|

7.點尸(4,%)到直線Ar+By+C=0的距離公式”如4B)，0+C].

7A2+B:

兩條平行線Ax+By+C,=。與Ar+3v+C,=0的距離是4=已一°』

VA2+B2

8.設(shè)三角形AA8C三頂點A(x,y),B(x,y),C(x,y),則重心G(*+W+&%+%+%)；

112233§3

9.有關(guān)對稱的一些結(jié)論

?點3力)關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱點分別是-匕)，(~a,b),(-a,-b),(b,a).

3線/(x,y)=O關(guān)于下列點和直線對稱的曲線方程為：①點(a,b):f(2a-x,2b-y)=0;

②x軸：f{x,-y)-0;③y軸：f(-x,y)=0;④原點：f(-x,-y)=0;⑤直線y-x:

/(y,x)=0;⑥直線y--x:f(-y,-x)-0;⑦直線x-a:/(2a-x,y)=0.

10.?圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.?圓的一般方程：

￡+丁+6+￡>+尸=0(。2+序一4/>0).特別提醒：只有當時，方程

爐+y2+m+Ey+尸=0才表示圓心為(_匕_3,半徑為LjZ)2+E2_4尸的圓(二元二次方程

222

天2+8孫+02+為+小+尸=0表示圓04二。00,且B=0,D2+E2-4AF>0).

[x=tz4-rcosO

?圓的參數(shù)方程：<,八(。為參數(shù))，其中圓心為伍力)，半徑為「.圓的參數(shù)方程主要應(yīng)用是三角

[y=。+rsin，

換元：x2+y2=r—>x=rcosff,y=rsinff;

x2+y2=t2-^>x=rcos^,y=rsin^(0<r<Jt).

?以A(%],y)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程(x-2)(x-/)+(丁-M)(V-%)=。；

11.點和圓的位置關(guān)系的判斷通常用幾何法(計算圓心到直線距離).點2(%,%)及圓的方程

(x-a)2+(y-b)2=r2.①(x-a)2+(y-b)2>y0點尸在圓外；

②(x-a)2+(y-。)2<點P在圓內(nèi)；③(x-〃)2+(y一b)?=Po點P在圓上.

0000

12.圓上一j點、的切線方程：點P(x,y)在圓f+，=/上，則過點P的切線方程為：xx+yy=/；過圓

Q000

(x-a)2+(y-?2=產(chǎn)上一點p(x,y)切線萬程為(x-a)(x-a)+(y-政丫―b)=/.

0000

13.過圓外一點作圓的切線，一定有兩條，如果只求出了一條，那么另外一條就是與x軸垂直的直線.

14.直線與圓的位置關(guān)系，通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系，或者利用垂徑定理