滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第06講相似三角形中的“母子”型(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

第06講相似三角形中的“母子”型（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識】“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個公共角，

一對完全重合的邊，

一對半重合的邊，

一對完全不重合的邊。子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）【考點(diǎn)剖析】1．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級期中）如圖D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，△ABC的內(nèi)角平分線AQ交DE于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線交AB、AC于R、S，若，則DE=________．2．(2023·上海市西南模范中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．二、解答題3．(2023·上海市育才初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．4．(2023·上海黃浦·九年級期中）直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，7），過點(diǎn)G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．(2023·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．6．(2023·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【過關(guān)檢測】1.(2023徐匯一模25題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時，求的值；（2）求證：；（3）當(dāng)時，求．

2.(2023虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)D是邊BC延長線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，求證：＝；（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時，求CD的長．

3(2023長寧一模25題）已知,在中,,點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，且,射線交射線于點(diǎn)．如圖1,如果,求的值；（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時,聯(lián)結(jié),求線段的長．4.【2023松江二?！咳鐖D，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．第06講相似三角形中的“母子”型（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識】“子母型”相似的圖形特點(diǎn)：有一個公共角，

一對完全重合的邊，

一對半重合的邊，

一對完全不重合的邊。子母型的結(jié)論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）【考點(diǎn)剖析】1．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級期中）如圖D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，△ABC的內(nèi)角平分線AQ交DE于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線交AB、AC于R、S，若，則DE=________．答案:6分析：由，且∠RAS=∠CAB，可證得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可證得△ARP∽△ACQ，，再由DE∥BC，可知，把BC的值代入可求得DE．【詳解】解：∵，且∠RAS=∠CAB，∴△ARS∽△ACB，∴∠ARS=∠ACB，又∵AQ為角平分線，∴∠BAP=CAQ，∴△ARP∽△ACQ，∴，∵DE∥BC，∴，∵BC=9，∴，∴DE=6．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能利用條件兩次證得三角形相似，從而得到DE和BC的比值．2．(2023·上海市西南模范中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．答案:；．分析：由于F的位置不確定，需分情況進(jìn)行討論，（1）當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時（2）點(diǎn)F在AD的延長線上時兩種情況，然后通過證兩三角形相似從而得到AG和CG的比，進(jìn)一步得到AG和AC的比．【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線段AD上時，設(shè)EF與CD的延長線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點(diǎn)F在線段AD的延長線上時，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想；其中相似三角形的性質(zhì)得出的比例式是解題關(guān)鍵，特別注意：求相似比不僅要認(rèn)準(zhǔn)對應(yīng)邊，還需注意兩個三角形的先后次序．二、解答題3．(2023·上海市育才初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．答案:分析：根據(jù)題意由銳角三角函數(shù)可求∠A=∠BCD，可證△ACD∽△CBD，即可求CD的長，由勾股定理即可求出AC的長．【詳解】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD∴，∴CD2=BD?AD=4∴CD=2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意求出CD的長是解答本題的關(guān)鍵．4．(2023·上海黃浦·九年級期中）直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，7），過點(diǎn)G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．答案:（1），；（2）；（3）存在，，，，分析：（1）對于，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，即可求解；（2）證明AG2＝AB2＋BG2，則△ABG為直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ∽△AOB、△ABQ∽△BOA兩種情況，利用三角形相似邊的比例關(guān)系，即可求解．【詳解】解：（1）對于，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別（3，0）、（0，1）；（2）由A、B、G的坐標(biāo)知，BG2＝22＋（7?1）2＝40，同理AB2＝10，AG2＝50，故AG2＝AB2＋BG2，故△ABG為直角三角形，則tan∠AGB＝；（3）設(shè)直線BG的表達(dá)式為y＝kx＋b，則，解得故直線BG的表達(dá)式為y＝3x＋1，設(shè)點(diǎn)Q（m，3m＋1），①當(dāng)△ABQ∽△AOB時，則，即，解得m＝±，∴，②當(dāng)△ABQ∽△BOA時，，即解得：m＝±3，∴，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（?，0）或（3，10）或（?3，?8）．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．5．(2023·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．分析：（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．(2023·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．【過關(guān)檢測】1.(2023徐匯一模25題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時，求的值；（2）求證：；（3）當(dāng)時，求．

【小問1詳解】解：過D作DH⊥AB于H，在中，，，設(shè)，，∴，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=AC=，∴，∴，在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；【小問2詳解】證明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；【小問3詳解】解：由可設(shè)，，則DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．2.(2023虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)D是邊BC延長線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，求證：＝；（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時，求CD的長．

【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴，∴；（2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝，設(shè)AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，由（1）得，∴，∴y＝，當(dāng)x＝0時，此時DE⊥AB，由S△ABC＝得，10?DE＝6×8，∴DE＝，∴x＞；（3）解：如圖1，當(dāng)G在線段AC上時，延長AF交BC于M，作MN⊥AB于N，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，∴16?CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．如圖2，當(dāng)G點(diǎn)在AC的延長線上時，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴這種情形不存在，∴CD＝3．3(2023長寧一模25題）已知,在中,,點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，且,射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1,如果,求的值；（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時,聯(lián)結(jié),求線段的長．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，∴，∴．（2）∵是以為腰的等腰三角形，∴AE＝OE，∵OC＝OE，∴設(shè)AE＝OE＝OC=x，由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；則的長是為．（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，∴A、B、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，設(shè)OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），則的長是為．4.【2023松江二模】如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．分析：（1）由題目條件可