浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題03直線和圓的方程重點(diǎn)新人教A版

專題03直線和圓的方程（重點(diǎn)）一、單選題1．在同一平面直角坐標(biāo)系下，直線總在直線的上方，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合直線的圖像，利用直線的斜率與縱截距進(jìn)行推斷.【解析】因?yàn)橹本€總在直線的上方，所以直線與直線平行，且直線在y軸上的截距必大于直線在y軸上的截距，所以，．故A，B，D錯誤.故選：C.2．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用一般式下兩直線垂直的充要條件“”即可求解【解析】由．故選：A．3．已知直線，以下結(jié)論不正確的是（

）A．不論a為何值時(shí)，與都相互垂直B．當(dāng)a改變時(shí)，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．不論a為何值，與都關(guān)于直線對稱D．假如與交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是【答案】C【分析】依據(jù)直線垂直的條件可推斷A;求出直線與所過的定點(diǎn)，可推斷B；在上任取點(diǎn)，求出其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，推斷是否滿意方程，推斷C;求出與交點(diǎn)，求出的表達(dá)式，可推斷D.【解析】對于A，恒成立，與相互垂直恒成立，故A正確；對于B，直線，當(dāng)a改變時(shí)，恒成立，所以恒過定點(diǎn)；，當(dāng)a改變時(shí)，恒成立，所以恒過定點(diǎn)，故B正確；對于C，在上任取點(diǎn)，，其關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，則左邊為不恒等于0，故C不正確；對于D，聯(lián)立,解得,即，所以|MO|＝≤，所以的最大值是，故D正確，故選;C4．若過點(diǎn)的直線截圓的弦長為8，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】對直線的斜率是否存在分類探討，依據(jù)圓心到直線的距離、弦長和半徑構(gòu)成的直角三角形得到關(guān)于斜率的方程，解方程得到方程的斜率，進(jìn)而得到直線方程.【解析】若直線l的斜率不存在，則l的方程為，圓心到l的距離為3，易求得弦長為8，符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，即，故圓心到l的距離，解得，則l的方程為.綜上所述，直線l的方程為或.故選：C.5．已知兩點(diǎn)，，直線l過點(diǎn)且與線段AB有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)斜率的公式，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件求解即可.【解析】如圖所示，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為．由圖可知，當(dāng)直線l與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率．故選：A．6．若直線與圓相切，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)直線過定點(diǎn)且直線與圓相切可知圓心到定點(diǎn)的距離不小于半徑即可得解.【解析】由題意直線方程可化為，則直線恒過定點(diǎn).因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)不在圓內(nèi)，故，即，即當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，r取最大值.故選：D7．對于直線：（），現(xiàn)有下列說法：①無論如何改變，直線l的傾斜角大小不變；②無論如何改變，直線l肯定不經(jīng)過第三象限；③無論如何改變，直線l必經(jīng)過第一、二、三象限；④當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線．其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線化為斜截式方程，得出直線的斜率與傾斜角，可推斷①正確，④正確；由直線的縱截距為正，可推斷②正確，③錯誤．【解析】直線：（），可化簡為：，即，則直線的斜率為，傾斜角為，故①正確；直線在軸上的截距為，可得直線經(jīng)過一二四象限，故②正確，③錯誤；當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組斜率為的平行直線，故④正確；故選：C8．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓的弦長、半徑、弦心距的關(guān)系結(jié)合已知求出弦心距的范圍，再借助點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算作答.【解析】令圓的圓心到直線l的距離為d，而圓半徑為，弦AB長滿意，則有，又，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B9．如圖，已知兩點(diǎn)，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線AB上的點(diǎn)M反射后再射到直線OB上，最終經(jīng)直線OB上的點(diǎn)N反射后又回到點(diǎn)P，則直線MN的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別求出點(diǎn)P關(guān)于直線與y軸的對稱點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【解析】由題意易得AB所在的直線方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，，點(diǎn)P關(guān)于直線AB對稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為．直線MN即直線，則直線MN的方程為，即．故選：D10．定義點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為.已知點(diǎn)P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題正確的是（

）A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交【答案】A【分析】由有向距離的定義可知B中直線P1P2不肯定與直線l垂直，C和D中直線P1P2與直線l有可能重合.【解析】設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，對于A，若d1＝d2＝1，則，所以直線P1P2與直線l平行，正確；對于B，點(diǎn)P1，P2在直線l的兩側(cè)且到直線l的距離相等，直線P1P2不肯定與直線l垂直，錯誤；對于C，若d1＝d2＝0，滿意d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，則點(diǎn)P1，P2都在直線l上，所以此時(shí)直線P1P2與直線l重合，錯誤；對于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以點(diǎn)P1，P2分別位于直線l的兩側(cè)或在直線l上，所以直線P1P2與直線l相交或重合，錯誤．故選：A11．過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為M，已知點(diǎn)，則當(dāng)改變時(shí)，的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】化已知直線為，即有且，解方程可得定點(diǎn)Q，可得M在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動，求得圓心和半徑，由圓的性質(zhì)可得最值．【解析】解：直線，即，由，求得，直線經(jīng)過定點(diǎn)．由為直角三角形，斜邊為PQ，M在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動，可得圓心為PQ的中點(diǎn)，半徑為，則與M的最大值為，則與M的最小值為，故MN的范圍為：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直線恒過定點(diǎn)，以及圓的方程的運(yùn)用，圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值求法，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．12．設(shè)集合①存在直線l，使得集合中不存在點(diǎn)在l上，而存在點(diǎn)在l兩側(cè)；②存在直線l，使得集合中存在多數(shù)點(diǎn)在l上：（

）A．①成立②成立 B．①成立②不成立C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立【答案】B【分析】依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系一一推斷即可；【解析】解：若①成立，則相鄰兩圓外離，不妨設(shè)相鄰兩圓方程為，圓心為，半徑，，圓心為，半徑，則當(dāng)時(shí)，即成立，所以結(jié)論①成立；對于②，設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，所以直線只能與有限個圓相交，所以結(jié)論②不成立；故選：B二、多選題13．已知直線：與：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與直線可能重合B．直線與直線可能垂直C．直線與直線可能平行D．存在直線上一點(diǎn)P，直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線重合【答案】BD【分析】分別求出直線，的斜率，依據(jù)兩直線平行和垂直斜率滿意的關(guān)系即可逐一求解.【解析】直線的斜率為，直線的斜率，，，不行能相等，直線與直線不行能重合，也不行能平行，故A，C均錯誤；當(dāng)時(shí)，，，直線與直線可能垂直，故B正確；直線與直線不行能重合，也不行能平行，直線與直線肯定有交點(diǎn)，存在直線上一點(diǎn)，直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后可與直線重合，故D正確．故選：BD．14．下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．過、兩點(diǎn)的直線方程為C．直線與直線相互垂直．D．直線在軸上的截距為【答案】CD【分析】利用點(diǎn)斜式方程可推斷A選項(xiàng)；利用兩點(diǎn)式方程可推斷B選項(xiàng)；利用兩直線垂直的斜率關(guān)系可推斷C選項(xiàng)；利用截距的定義可推斷D選項(xiàng).【解析】對于A選項(xiàng)，點(diǎn)斜式不表示與軸垂直的直線，A錯；對于B選項(xiàng)，過、兩點(diǎn)且斜率不為零的直線方程為，B錯；對于C選項(xiàng)，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，故直線與直線相互垂直，C對；對于D選項(xiàng)，直線在軸上的截距為，D對.故選：CD.15．已知方程，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓B．當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓C．當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為D．當(dāng)時(shí)，表示的圓與軸相切【答案】BC【分析】將方程化為，探討的取值，逐一推斷即可.【解析】解：由，得，當(dāng)時(shí)，方程表示點(diǎn)，故A錯誤；當(dāng)時(shí)，方程表示圓心為的圓，故B正確；當(dāng)時(shí)，方程表示的圓的半徑為，故C正確；當(dāng)時(shí)，方程表示的圓的半徑為，與軸相交，故D錯誤．故選：BC．16．已知圓和圓的交點(diǎn)為、，則（

）A．兩圓的圓心距B．圓上存點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)，使得C．圓上存在兩點(diǎn)和使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【分析】求出兩圓圓心距，可推斷A選項(xiàng)；計(jì)算出的取值范圍，可推斷B選項(xiàng)；求出，可推斷C選項(xiàng)；求出圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，可推斷D選項(xiàng).【解析】對于A選項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則兩圓相交，所以，，，因?yàn)椋?，圓上存點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)，使得，B對；對于C選項(xiàng)，將兩圓方程作差可得，即直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，，對于圓上的隨意兩點(diǎn)、，，C錯；對于D選項(xiàng)，圓心到直線的距離的最大值為，D對.故選：ABD.17．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，直線分別于圓切于點(diǎn).則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時(shí)，弦長為C．最短時(shí)，弦直線方程為D．直線過定點(diǎn)【答案】ABD【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，依據(jù)切線長與圓心到定點(diǎn)距離和半徑之間關(guān)系，即切線長可知當(dāng)時(shí)，最小，可確定四邊形面積最小值，同時(shí)利用面積橋可求得，由此可知AB正確；設(shè)，可知方程為：，由可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，知C正確；將代入方程，依據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可知D正確.【解析】由圓的方程知：圓心，半徑，對于AB，四邊形的面積，則當(dāng)最短時(shí)，四邊形的面積最小，點(diǎn)到直線的距離，，此時(shí)，A正確；又，此時(shí)，B正確；對于C，設(shè)，，，則過作圓的切線，切線方程為：；過作圓的切線，切線方程為：，又為兩切線交點(diǎn)，，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿意方程：，即方程為：；當(dāng)最小時(shí)，，直線方程為：，由得：，即，方程為：，即，C錯誤；對于D，由C知：方程為：；又，即，方程可整理為：，由得：，過定點(diǎn)，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過圓上一點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為：；過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)弦所在直線方程為：.18．如圖所示，M，N是圓O：上的兩個動點(diǎn)，線段MO的延長線與直線l：交于點(diǎn)P，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為C．D．的最大值為【答案】ABC【分析】點(diǎn)O到直線l上的點(diǎn)的距離即為的最小值，過點(diǎn)P作圓O的切線為切點(diǎn)，則有，可推斷出選項(xiàng)AB的正誤；假設(shè)，可推出，不符題意，故選項(xiàng)C正確；取，此時(shí)，可得到，故選項(xiàng)D錯誤．【解析】如圖所示，過點(diǎn)P作圓O的切線為切點(diǎn)，則有，所以，則，又因?yàn)镻為直線l：上的動點(diǎn)，所以點(diǎn)O到直線l上的點(diǎn)的距離的最小值為，故A，B正確；若，則與，不合題意，故，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題19．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個方向向量為，則__________．【答案】5【分析】依據(jù)直線方向向量即可計(jì)算．【解析】由條件可知，，解得．故答案為：5．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的平分線所在直線的方程為___________.【答案】【分析】設(shè)的平分線的傾斜角為，依據(jù)斜率公式結(jié)合可得，由的范圍即可求解.【解析】由題意，可設(shè)的平分線的傾斜角為，如圖，則，即.則或，又，故，故，故的平分線所在直線的方程為，故答案為：21．已知圓C1：與圓C2：，若圓C1與圓C2有且僅有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【答案】6或【分析】依據(jù)兩圓是外切或者內(nèi)切，由圓心距和半徑的關(guān)系即可求解.【解析】C1：的圓心為，半徑為，圓C2：的圓心為，半徑為，由于兩圓只有一個公共點(diǎn)，則兩圓外切或者內(nèi)切，因此或，解得或，故答案為：6或22．如圖1，等腰直角三角形，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)過點(diǎn)的一條動直線，沿直線作如圖2的翻折，點(diǎn)在翻折過程中記為點(diǎn)，在直線上的射影為，在平面上的射影落在直線上，則當(dāng)取得最小值時(shí)，到直線的距離為________．【答案】##【分析】由給定條件證得，可得是過頂點(diǎn)C作直線l的垂線的垂足，再在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線距離結(jié)合均值不等式推理、計(jì)算作答.【解析】如圖，平面，平面，則，而，，平面，于是得，因此，點(diǎn)三點(diǎn)共線，，以直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，依題意，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：，直線的方程：，則，，由得，解得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，此時(shí)，直線l：，直線：，由解得，則點(diǎn)到直線AB距離，故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平面圖形翻折問題，在翻折過程中，始終位于同一平面內(nèi)的點(diǎn)線位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變，否則將可能發(fā)生改變.四、解答題23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線（）．(1)求證：直線l經(jīng)過第一象限；(2)當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）求出直線l過定點(diǎn)即可；（2）當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離最大，然后可算出答案.（1）方程可化為，由解得所以直線l過定點(diǎn)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以直線l經(jīng)過第一象限．（2）由題意可得，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離最大，因?yàn)?，所以直線l的方程為，即．24．已知頂點(diǎn)，邊上的高為且垂足為E.(1)求邊上中線所在的直線方程；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)兩點(diǎn)式求得的方程、（2）依據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo).（1），即，所以直線的方程為.（2）直線的方程為，設(shè)，依題意，所以，，即.25．已知圓，直線．(1)寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并推斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線與圓交于A、兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為120°，求弦的長．【答案】(1)圓心，半徑，與圓相交；(2)﹒【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r，求出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)，推斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可推斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系；（2）求出圓心到直線的距離d，依據(jù)即可求弦長．(1)由題設(shè)知圓：，∴圓的圓心坐標(biāo)為C，半徑為r＝．又直線可變形為：，則直線恒過定點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線必定與圓相交．(2)由題意知，∴直線l的斜率，∴圓心到直線：的距離，∴．26．已知圓，動直線（1）推斷直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，懇求出該定點(diǎn)；（2）動直線l與圓C所成的弦中，求以最長弦和最短弦為對角線的四邊形ABCD的面積.【答案】（1）過定點(diǎn)，定點(diǎn)；（2）.【解析】（1）將直線的方程化為，然后可得答案；（2）最長弦為直徑，最短弦過P點(diǎn)且與直徑AC垂直，然后求出答案即可.【解析】（1）直線恒過定點(diǎn)（2），∴，∴最長弦為直徑，即，最短弦過P點(diǎn)且與直徑AC垂直，∴，∴.27．已知點(diǎn)，圓：．(1)推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并加以證明；(2)當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程；(3)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)點(diǎn)在圓外．(2)或(3)【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊計(jì)算結(jié)果大于4知點(diǎn)在圓外；（2）分類探討斜率是否存在時(shí)，利用圓心到直線的距離等于其半徑求出切線方程；（3）由經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，得到，代入可求的范圍．（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊計(jì)算，，所以點(diǎn)在圓外．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圓．知圓心為，，①當(dāng)直線的斜率不存在，方程為，圓以到直線的距離為2，所以是圓的切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意有，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述，過點(diǎn)與圓相切的直線方程為或（3）若存在經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，由圓的半徑為2，所以，則有，，當(dāng)為直徑時(shí)，有最大值6，所以有，解得，所以橫坐標(biāo)的取值范圍為．28．已知點(diǎn)及圓：.（1）若直線過點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程；（2）設(shè)過P直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程；（3）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）或；（3）不存在.【分析】（1）設(shè)直線的斜率為，用點(diǎn)到直線的距離公式得，即求；（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為Q（a,b），由題可得，即得；（3）假設(shè)存在，則圓心必在上，由的斜率，，再由直線與圓的位置關(guān)系可得，即可得出結(jié)果.【解析】（1）由得設(shè)直線的斜率為，則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由

，

解得或.所以直線方程為或，

即直線的方程為或.（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為Q（a,b），則，又PQ⊥CQ，所以，∴，∴或，∴以為直徑的圓的方程為或.（3）由直線與圓交于，兩點(diǎn)，則圓心到直線的距離，設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于垂直平分弦，故圓心必在上．所以的斜率，而，所以由于不滿意，故不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦．29．在直線l上任取不同的兩點(diǎn)A，B，稱為直線l的方向向量與直線l的方向向量垂直的非零向量稱為l的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線是函數(shù)的圖象，直線是函數(shù)的圖象.（1）求直線和直線所夾成的銳角的余弦值；（2）已知直線平分直線與直線所夾成的銳角，求直線的一個方向向量的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，A是與y軸的交點(diǎn)，是的法向量.求在上的投影向量的坐標(biāo)(求出一個即可)，并求點(diǎn)P到直線的距離.【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）求得和相交點(diǎn)的坐標(biāo)，以及和與y軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)直線方向向量的定義，向量的余弦公式求解，并推斷夾角是否為銳角即可.（2）平分直線與直線所夾成的銳角，所以和所夾的銳角等于和所夾的銳角，依據(jù)直線的夾角公式求出，寫出一個方向向量的坐標(biāo)即可.（3）求點(diǎn)P到直線的距離，寫出過A點(diǎn)垂直于的直線方程（方向向量為），并依據(jù)這兩點(diǎn)聯(lián)合解出點(diǎn)P在該直線上的投影，則的投影向量得出.【解析】（1）設(shè)和相交點(diǎn)的坐標(biāo)為M，和y軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為A，和y軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為B，則，，由直線和的方程式聯(lián)立，解得.則、分別為直線和的方向向量.由向量的余弦公式.由，而，所以向量形成的角為銳角.所以直線和直線所夾成的銳角的余弦值為.（2）直線平分直線與直線所夾成的銳角，所以直線和直線所夾成的銳角與直線和直線所夾成的銳角