2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教案新人教A版必修4主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象。教材章節(jié)為2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4），新人教A版必修4。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，這為學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象奠定了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步理解三角函數(shù)的性質(zhì)，提高解決實(shí)際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)包括：

1.邏輯推理：通過觀察正切函數(shù)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，并能夠運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理。

2.直觀想象：通過繪制正切函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使其能夠直觀地理解正切函數(shù)的性質(zhì)。

3.數(shù)學(xué)建模：通過分析實(shí)際問題中的正切函數(shù)應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正切函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，提高其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，求解相關(guān)問題，提高其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。學(xué)情分析在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，這為學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象奠定了基礎(chǔ)。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)時(shí)可能會遇到一些困難，如對正切函數(shù)的定義理解不深刻，對正切函數(shù)的性質(zhì)難以理解和運(yùn)用等。因此，在教學(xué)過程中，需要關(guān)注學(xué)生的知識基礎(chǔ)、能力水平和學(xué)習(xí)習(xí)慣，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，幫助學(xué)生克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。

1.知識基礎(chǔ)方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)之前，已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)知識，對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有一定的了解。但是，對于正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，學(xué)生可能還沒有完全掌握。因此，在教學(xué)過程中，需要對正切函數(shù)的定義進(jìn)行講解，并通過例題引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用正切函數(shù)的性質(zhì)。

2.能力水平方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)時(shí)，需要具備一定的邏輯推理能力和空間想象能力。對于一些基礎(chǔ)較好、能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以通過引導(dǎo)他們深入研究正切函數(shù)的性質(zhì)，提高他們的邏輯推理和空間想象能力。對于一些基礎(chǔ)薄弱、能力較低的學(xué)生，則需要通過詳細(xì)的講解和大量的練習(xí)，幫助他們理解和掌握正切函數(shù)的性質(zhì)。

3.學(xué)習(xí)習(xí)慣方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)時(shí)，可能存在以下幾種不良學(xué)習(xí)習(xí)慣：（1）對正切函數(shù)的定義理解不深刻，只是機(jī)械地記憶性質(zhì)；（2）在解決實(shí)際問題時(shí)，不會運(yùn)用正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析和求解；（3）在學(xué)習(xí)過程中，缺乏主動探索和思考的精神，只是被動地接受知識。針對這些不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，教師需要在教學(xué)過程中進(jìn)行引導(dǎo)和糾正，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

4.情感態(tài)度方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)正切函數(shù)時(shí)，可能存在以下幾種不良情感態(tài)度：（1）對正切函數(shù)的學(xué)習(xí)缺乏興趣，認(rèn)為難以理解和掌握；（2）在學(xué)習(xí)過程中，存在恐懼和抵觸情緒，不愿意深入學(xué)習(xí)；（3）對自己在學(xué)習(xí)正切函數(shù)方面的能力缺乏信心，容易放棄。針對這些不良情感態(tài)度，教師需要通過鼓勵和激勵，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動力。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)、白板、黑板、粉筆、三角板、計(jì)算器、教科書、練習(xí)冊。

2.課程平臺：學(xué)校提供的教學(xué)管理系統(tǒng)，如Moodle或Blackboard，用于上傳教學(xué)材料、布置作業(yè)和分享信息。

3.信息化資源：教學(xué)軟件和應(yīng)用程序，如GeoGebra、Desmos、MicrosoftOneNote等，用于輔助演示和學(xué)生的互動學(xué)習(xí)。

4.教學(xué)手段：講義、PPT演示文稿、視頻教程、互動討論、小組合作、問題解決、練習(xí)題和案例分析。

5.輔助材料：正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)的圖表、實(shí)際應(yīng)用問題的案例研究、數(shù)學(xué)探究活動的工作單等。

6.在線資源：數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站、學(xué)術(shù)期刊、在線課程、論壇和問答社區(qū)，用于擴(kuò)展學(xué)生的學(xué)習(xí)視野和提供額外的學(xué)習(xí)資源。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對正切函數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道正切函數(shù)是什么嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于正切函數(shù)的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受正切函數(shù)的魅力或特點(diǎn)。

簡短介紹正切函數(shù)的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.正切函數(shù)基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解正切函數(shù)的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解正切函數(shù)的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹正切函數(shù)的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.正切函數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解正切函數(shù)的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的正切函數(shù)案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解正切函數(shù)的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用正切函數(shù)解決實(shí)際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與正切函數(shù)相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對正切函數(shù)的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括正切函數(shù)的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用正切函數(shù)。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于正切函數(shù)的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-推薦閱讀《數(shù)學(xué)年鑒》中關(guān)于正切函數(shù)的歷史發(fā)展部分，讓學(xué)生了解正切函數(shù)的歷史背景和重要貢獻(xiàn)者。

-提供一些數(shù)學(xué)研究論文或?qū)W術(shù)文章，讓學(xué)生深入了解正切函數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和研究進(jìn)展。

-推薦閱讀一些數(shù)學(xué)雜志或博客，如《數(shù)學(xué)傳播》、《數(shù)學(xué)的奧秘》等，讓學(xué)生了解正切函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用和解決實(shí)際問題的案例。

2.鼓勵學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-要求學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找正切函數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等，并撰寫一篇短文進(jìn)行闡述。

-引導(dǎo)學(xué)生利用編程語言或數(shù)學(xué)軟件，繪制正切函數(shù)的圖象，并探索正切函數(shù)的性質(zhì)。

-鼓勵學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或研究項(xiàng)目，如參加數(shù)學(xué)奧賽、加入數(shù)學(xué)研究小組等，讓學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用和深化對正切函數(shù)的理解。

-引導(dǎo)學(xué)生思考正切函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如測量角度、計(jì)算曲線切線等，并嘗試解決一些相關(guān)的實(shí)際問題。重點(diǎn)題型整理1.題型一：正切函數(shù)的定義與性質(zhì)

題目：已知函數(shù)f(x)=tan(x)，求證f(x)是周期函數(shù)，并計(jì)算其周期。

答案：證明：由正切函數(shù)的定義可知，tan(x)=sin(x)/cos(x)。根據(jù)三角函數(shù)的周期性，sin(x)和cos(x)都是周期函數(shù)，且它們的周期都是2π。因此，tan(x)=sin(x)/cos(x)也是周期函數(shù)，其周期為2π。

2.題型二：正切函數(shù)的圖象分析

題目：繪制正切函數(shù)y=tan(x)的圖象，并說明其特點(diǎn)。

答案：正切函數(shù)y=tan(x)的圖象是周期性的波浪線，周期為π。在x=0處，函數(shù)值為0；在x=π/2處，函數(shù)值為無窮大；在x=π處，函數(shù)值為0。函數(shù)的圖象在x軸的兩側(cè)交替上升和下降，形成波浪狀的形狀。

3.題型三：正切函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

題目：已知正切函數(shù)的性質(zhì)，求解方程tan(x)=2。

答案：由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我們可以將方程tan(x)=2轉(zhuǎn)化為sin(x)/cos(x)=2。根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們可以得到sin(x)=2cos(x)。然后，利用三角恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1，我們可以將方程轉(zhuǎn)化為4cos^2(x)+cos^2(x)=1。解這個(gè)方程，我們得到cos(x)=±1/√5。由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我們可以得到兩組解：x=arctan(2)+kπ和x=π-arctan(2)+kπ，其中k為整數(shù)。

4.題型四：正切函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

題目：一輛汽車以每小時(shí)60公里的速度行駛，其行駛路線的斜率為tan(30°)。求汽車行駛100公里所需的時(shí)間。

答案：由于tan(30°)=√3/3，表示汽車每小時(shí)行駛的距離與時(shí)間的比值。設(shè)汽車行駛100公里所需的時(shí)間為t小時(shí)，則有100/t=60/√3/3。解這個(gè)方程，我們得到t=100√3/18。因此，汽車行駛100公里所需的時(shí)間為t≈5.77小時(shí)。

5.題型五：正切函數(shù)的綜合應(yīng)用

題目：已知正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解釋為什么在建筑物的設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用正切函數(shù)。

答案：在建筑物的設(shè)計(jì)中，正切函數(shù)經(jīng)常被使用，因?yàn)樗梢员硎窘ㄖ锏母叨扰c寬度的比例關(guān)系。例如，在設(shè)計(jì)樓梯或斜坡時(shí)，我們可以使用正切函數(shù)來計(jì)算樓梯的級數(shù)或斜坡的傾斜度。正切函數(shù)的周期性和對稱性也使得它在建筑設(shè)計(jì)中具有美學(xué)價(jià)值。通過正切函數(shù)，建筑師可以創(chuàng)造出具有和諧比例和美觀外觀的建筑物。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象。首先，我們回顧了正切函數(shù)的定義，即正切函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值。接著，我們通過繪制正切函數(shù)的圖象，觀察到了它的周期性、奇偶性和無界性等特點(diǎn)。在案例分析中，我們通過具體的實(shí)例，進(jìn)一步了解了正切函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如測量角度、計(jì)算曲線切線等。我們還通過小組討論，培養(yǎng)了合作能力和解決問題的能力。最后，我們進(jìn)行了課堂展示和點(diǎn)評，加深了對正切函數(shù)的理解和認(rèn)識。

當(dāng)堂檢測：

1.已知正切函數(shù)f(x)=tan(x)，求證f(x)是周期函數(shù)，并計(jì)算其周期。

答案：證明：由正切函數(shù)的定義可知，tan(x)=sin(x)/cos(x)。根據(jù)三角函數(shù)的周期性，sin(x)和cos(x)都是周期函數(shù)，且它們的周期都是2π。因此，tan(x)=sin(x)/cos(x)也是周期函數(shù)，其周期為2π。

2.繪制正切函數(shù)y=tan(x)的圖象，并說明其特點(diǎn)。

答案：正切函數(shù)y=tan(x)的圖象是周期性的波浪線，周期為π。在x=0處，函數(shù)值為0；在x=π/2處，函數(shù)值為無窮大；在x=π處，函數(shù)值為0。函數(shù)的圖象在x軸的兩側(cè)交替上升和下降，形成波浪狀的形狀。

3.已知正切函數(shù)的性質(zhì)，求解方程tan(x)=2。

答案：由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我們可以將方程tan(x)=2轉(zhuǎn)化為sin(x)/cos(x)=2。根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們可以得到sin(x)=2cos(x)。然后，利用三角恒等式sin^2(x)+cos^2(x)=1，我們可以將方程轉(zhuǎn)化為4cos^2(x)+cos^2(x)=1。解這個(gè)方程，我們得到cos(x)=±1/√5。由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，我們可以得到兩組解：x=arctan(2)+kπ和x=π-arctan(2)+kπ，其中k為整數(shù)。

4.一輛汽車以每小時(shí)60公里的速度行駛，其行駛路線的斜率為tan(30°)。求汽車行駛100公里所需的時(shí)間。

答案：由于tan(30°)=√3/3，表示汽車每小時(shí)行駛的距離與時(shí)間的比值。設(shè)汽車行駛100公里所需的時(shí)間為t小時(shí)，則有100/t=60/√3/3。解這個(gè)方程，我們得到t=100√3/18。因此，汽車行駛100公里所需的時(shí)間為t≈5.77小時(shí)。

5.已知正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解釋為什么在建筑物的設(shè)計(jì)中經(jīng)常使用正切函數(shù)。

答案：在建筑物的設(shè)計(jì)中，正切函數(shù)經(jīng)常被使用，因?yàn)樗梢员硎窘ㄖ锏母叨扰c寬度的比例關(guān)系。例如，在設(shè)計(jì)樓梯或斜坡時(shí)，我們可以使用正切函數(shù)來計(jì)算樓梯的級數(shù)或斜坡的傾斜度。正切函數(shù)的周期性和對稱性也使得它在建筑設(shè)計(jì)中具有美學(xué)價(jià)值。通過正切函數(shù)，建筑師可以創(chuàng)造出具有和諧比例和美觀外觀的建筑物。板書設(shè)計(jì)1.正切函數(shù)的定義

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