北師版八上數(shù)學(xué)2.1認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（第一課時(shí)）（課件）

第二章實(shí)數(shù)1認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)

分?jǐn)?shù)

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練

（1）以下各正方形的邊長(zhǎng)中，不是有理數(shù)的是（

C

）A.

面積為49的正方形C.

面積為8的正方形D.

面積為1.21的正方形C【思路導(dǎo)航】根據(jù)正方形的面積，判斷正方形的邊長(zhǎng)是不是

有理數(shù)，就是看面積能不能寫(xiě)成一個(gè)整數(shù)或一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方

的形式.

（2）已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為

x

，

x

，3，體積為

60.根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式，寫(xiě)出關(guān)于

x

的方程，并說(shuō)明

x

是否

是有理數(shù).【思路導(dǎo)航】先根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式得到關(guān)于

x

的方程，再判斷

x

是否是有理數(shù)即可.解：由題意，得3

x2＝60.所以

x2＝20.因?yàn)?2＜

x2＜52，所以

x

不是整數(shù).又因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的平方仍是分?jǐn)?shù)，所以

x

也不是分?jǐn)?shù).所以

x

不是有理數(shù).【點(diǎn)撥】（1）由題意得到某個(gè)數(shù)的平方是一個(gè)正數(shù)，要說(shuō)明該

數(shù)不是有理數(shù)，需要說(shuō)明該數(shù)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù).解這類

問(wèn)題的關(guān)鍵：若

x2＝

a

，則當(dāng)

a

不能寫(xiě)成一個(gè)整數(shù)或一個(gè)分?jǐn)?shù)的

平方的形式時(shí)，

x

不是有理數(shù).（2）整數(shù)的平方仍是整數(shù)，分?jǐn)?shù)的平方仍是分?jǐn)?shù).

2

c

，

n

如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格圖中，連接這些小正方

形的若干頂點(diǎn)，得到5條線段：

AB

，

AC

，

AD

，

AE

，

AF

.

請(qǐng)你

找出其中長(zhǎng)度是有理數(shù)的線段和長(zhǎng)度不是有理數(shù)的線段.【思路導(dǎo)航】先求出在網(wǎng)格線上的各條線段的長(zhǎng)度，利用勾股

定理求出不在網(wǎng)格線上的各條線段長(zhǎng)度的平方，再分出長(zhǎng)度是

有理數(shù)和不是有理數(shù)的線段即可.解：由圖可知，

AB

＝4，

BC

＝1，

BD

＝3.在Rt△

ABC

中，由勾股定理，得

AC2＝42＋12＝17.同理，得

AD2＝42＋32＝25＝52，

AE2＝22＋22＝8，

AF2＝22＋32

＝13.所以長(zhǎng)度是有理數(shù)的線段有

AB

，

AD

；長(zhǎng)度不是有理數(shù)的線段

有

AC

，

AE

，

AF

.

【點(diǎn)撥】在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形拼成的網(wǎng)格中，計(jì)算

兩個(gè)端點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上的線段的長(zhǎng)度時(shí)，在網(wǎng)格線上

的線段（如

AB

）的長(zhǎng)度是有理數(shù)；不在網(wǎng)格線上的線段（如

AC

，

AD

）應(yīng)放在由網(wǎng)格線構(gòu)成的直角三角形中，再利用勾股

定理求解，線段的長(zhǎng)度可能是有理數(shù)，也可能不是有理數(shù).

如圖1，我們可以在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中以這樣的方式畫(huà)出

面積為5的正方形.（1）請(qǐng)問(wèn)：它的邊長(zhǎng)是有理數(shù)嗎？（2）你能用類似的方法在圖2中畫(huà)出面積為8的正方形嗎？圖1圖2解：（1）設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為

a

.由勾股定理，得

a2＝22＋12＝5.因?yàn)?2＜

a2＜32，所以

a

不是整數(shù).又因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的平方仍是分?jǐn)?shù)，所以

a

也不是分?jǐn)?shù).所以

a

不是有理數(shù).故它的邊長(zhǎng)不是有理數(shù).圖1（2）可構(gòu)造兩條直角邊的長(zhǎng)分別為2，2的直角三角形，則以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積為22＋22＝8，如圖

所示.

（1）試說(shuō)明：

DE

＝

DF

，

DE

⊥

DF

；（2）連接

EF

，若

AC

＝10，求

EF2的值；（3）在（2）的條件下，線段

EF

的長(zhǎng)是有理數(shù)嗎？【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)已知條件證明△

BDG

≌△

ADC

和∠

EDG

＋∠

FDA

＝90°即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理可求得

EF2的值；（3）由

EF2的值便可判斷線段

EF

的長(zhǎng)是否是有理數(shù).

（2）因?yàn)?/p>

AC

＝10，所以

DE

＝

DF

＝5.在Rt△

DEF

中，由勾股定理，得

EF2＝

DE2＋

DF2＝52＋52＝50.（3）因?yàn)?2＜50＜82，所以

EF

的長(zhǎng)不是整數(shù).又因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的平方仍是分?jǐn)?shù)，所以

EF

的長(zhǎng)不是分?jǐn)?shù).所以線段

EF

的長(zhǎng)不是有理數(shù).【點(diǎn)撥】整數(shù)的平方仍然是整數(shù)，分?jǐn)?shù)的平方仍然是分?jǐn)?shù).若一

個(gè)數(shù)的平方是整數(shù)，且又在兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方之間，則這

個(gè)數(shù)不是有理數(shù).

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

AB

＝8，

BC

＝4，

DE

垂直平分斜邊

AC

交

AB

于點(diǎn)

D

，垂足為

E

，連接

CD

.

線

段

BD

，

AC

，

AD

，

CD

的長(zhǎng)中，哪些是有理數(shù)，哪些不是

有理數(shù)？解：在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

AB

＝8，

BC

＝4，所以

AC2＝

AB2＋

BC2＝82＋42＝80.因?yàn)?2＜80＜92，所以

AC

的長(zhǎng)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，即

AC

的長(zhǎng)不是有理數(shù).因?yàn)?/p>

DE

垂直平分斜邊

AC

，所以

AD

＝

CD

.

設(shè)

AD

＝

x

，則

CD

＝

x

，

BD

＝

AB

－

AD

＝8－

x

.在Rt△

BCD

中，由勾股定理，得

CD2＝

BD2＋

BC2，即