《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第2節(jié)　用樣本估計總體

第九章

第2節(jié)用樣本估計總體知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1．頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求

，決定組數(shù)和組距，組距＝

；第二步：

，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．極差分組(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示

，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的

．頻率(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中

的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于

位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把

稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．2．樣本的數(shù)字特征出現(xiàn)次數(shù)最多最中間1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(

) (2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中． (

) (3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大． (

) (4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(

)

解析

(1)正確．平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢．

(2)錯誤．方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散．√

√

√

×

2．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為(

)

A．4B．8C．12D．16B

3．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分分別為87，89，90，91，92，93，94，96，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(

) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92

解析

這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，A

4．(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者 (

) A．10名B．18名C．24名D．32名 解析

由題意，第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95， 即第二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，再加上積壓的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．B

5．(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

) A．0.01B．0.1C．1D．10

解析

10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.C6．(2020·新高考海南卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 (

) A．62%B．56%C．46%D．42%

解析

如圖，用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占的比例之間的關(guān)系， 設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x， 則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.

故選C.C

考點分層突破題型剖析考點聚焦2【例1】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]．并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率； 解根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.

所以從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計值為0.4.考點一頻率分布直方圖///////師生共研【例1】(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；

解根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為

(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故樣本中分數(shù)小于50的頻率為0.1， 故分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5.【例1】(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． 解由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60.

所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60， 女生人數(shù)為100－60＝40， 男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.

所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2.感悟升華【訓(xùn)練1】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表．A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表滿意度評分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②解作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．【訓(xùn)練1】(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶和滿意度分為三個等級： 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由． 解

A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大． 記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；

CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”． 由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，

P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.

所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意角度1扇形圖考點二統(tǒng)計圖表及應(yīng)用///////多維探究【例2】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是 (

) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 解析法一設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟收入為a， 則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a， 則由餅圖可得新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.

A

新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯誤的．法二因為0.6<0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的．角度2折線圖【例3】(多選題)(2021·海南質(zhì)檢)劉女士的網(wǎng)店經(jīng)營堅果類食品，2019年各月份的收入、支出(單位：百元)情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是(

) A．4至5月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B．支出最高值與支出最低值的比是5∶1 C．第三季度平均收入為5000元

D．利潤最高的月份是3月份和10月份ACD

故相同，A正確．對于B，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值與支出最低值的比是6∶1，故B錯誤．對于C，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40百元，50百元，60百元，故C正確．對于D，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D正確．1．通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．2．折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．

感悟升華【訓(xùn)練2】(1)(2021·洛陽模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(

) A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10

解析

由圖①得樣本容量為(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200， 抽取的高中生人數(shù)為2000×2%＝40(人)， 則近視人數(shù)為40×0.5＝20(人)，故選A.A

【訓(xùn)練2】(2)(多選題)(2020·濟南模擬)某同學(xué)在微信上查詢到近十年全國高考報名人數(shù)、錄取人數(shù)和山東夏季高考報名人數(shù)的折線圖，其中2019年的錄取人數(shù)被遮擋了．他又查詢到近十年全國高考錄取率的散點圖，結(jié)合圖表中的信息判定下列說法正確的是 (

)BCDA．全國高考報名人數(shù)逐年增加B．2018年全國高考錄取率最高C．2019年高考錄取人數(shù)約820萬D．2019年山東高考報名人數(shù)在全國的占比最小解析

2016年的人數(shù)少于2015年人數(shù)，故A錯誤；2018年的錄取率為81.1%，為最高，B正確；2019年高考錄取人數(shù)為1031×79.5%≈820，故C正確；從2010～2019年山東高考報名人數(shù)在全國的占比分別為：6.9%，6.3%，5.6%，5.5%，5.9%，7.4%，6.4%，6.2%，6.1%，5.4%，故D正確．【例4】(1)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是 (

) A．中位數(shù) B．平均數(shù)

C．方差 D．極差 解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)， 因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響． 故選A.考點三樣本的數(shù)字特征///////師生共研A

【例4】(2)(多選題)(2021·武漢調(diào)研)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的統(tǒng)計表如下表所示， 下列說法正確的有 (

) A．甲成績的平均數(shù)小于乙成績的平均數(shù)

B．甲成績的中位數(shù)等于乙成績的中位數(shù)

C．甲成績的方差小于乙成績的方差

D．甲成績的極差等于乙成績的極差甲乙環(huán)數(shù)45678569頻數(shù)11111311CD

1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．2.用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．感悟升華C

解析由題意知，2015—2019年我國GDP增長量之和為99.09－68.89＝30.2(萬億元)，甲

課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題

1．某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是 (

) A．45B．50C．55D．60B

2．(2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考)從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢荷砀遊100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]頻數(shù)535302010

由此表估計這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字) (

) A．119.3B．119.7C．123.3D．126.7

解析由題意知身高在[100，110]，(110，120]，(120，130]的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，C

3．(2020·天津卷)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的個數(shù)為 (

) A．10 B．18 C．20 D．36

解析

因為直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以個數(shù)為0.225×80＝18.

故選B.B

4．(多選題)(2020·重慶診斷)2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延．疫情就是命令，防控就是責(zé)任．在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城，團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭．下面的圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)的變化情況，根據(jù)該折線圖，可知下列結(jié)論正確的是 (

)BC

A．16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大B．16天中每日新增確診病例數(shù)量的中位數(shù)小于新增疑似病例數(shù)量的中位數(shù)C．16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差均大于2000D．19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和解析

由折線圖可知，20日新增確診病例數(shù)量大于19日新增確診病例數(shù)量，因此A項不正確；16天中每日新增確診病例數(shù)量的中位數(shù)小于新增疑似病例數(shù)量的中位數(shù)，因此B項正確；16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差均大于2000，因此C項正確；20日新增治愈病例數(shù)量小于新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和，因此D不正確．故選B、C.5．(2020·全國大聯(lián)考)近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的App相繼出世，其功能也是五花八門．某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用App的主要用途，隨機抽取了56290名大學(xué)生進行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)的人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示．C

6．(多選題)(2021·青島調(diào)研)為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖(如圖所示)，其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則下列敘述中正確的是 () A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)

B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)

C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同

D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù) 解析

由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)、與性別無關(guān)，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)為60×60%＝36，女性人數(shù)為40×60%＝24，不相同． 故選ABD.ABD

二、填空題7．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．0.98

8．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，

2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為________．16

9．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為________________(用“>”連接)．s1>s2>s3

解析

根據(jù)頻率分布直方圖知，甲的數(shù)據(jù)絕大部分都處在兩端，離平均值較遠，表現(xiàn)的最分散，標(biāo)準(zhǔn)差最大，乙的數(shù)據(jù)分布均勻，不如甲組中偏離平均值大，標(biāo)準(zhǔn)差比甲的小；丙的數(shù)據(jù)大部分數(shù)都在平均值左右，數(shù)據(jù)表現(xiàn)的最集中，方差最小，三、解答題10．共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)保”的理念而備受人們的喜愛，值此周年之際，某機構(gòu)為了了解共享單車使用者的年齡段、使用頻率、滿意度等三個方面的信息，在全市范圍內(nèi)發(fā)放5000份調(diào)查問卷，回收到有效問卷3125份，現(xiàn)從中隨機抽取80份，分別對使用者的年齡段、26～35歲使用者的使用頻率、26～35歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個表格：表(一)使用者年齡段25歲以下26歲～35歲36歲～45歲45歲以上人數(shù)20401010(1)依據(jù)上述表格完成下列三個統(tǒng)計圖形：(2)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口30萬，請用樣本估計總體的思想，估計年齡在26歲～35歲之間，每月使用共享單車在7～14次的人數(shù)．解由表(1)可知：年齡在26～35歲之間的有40人，占總抽取人數(shù)的一半，用樣本估計總體的思想可知，11．某市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？ 解如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85. ∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)， ∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當(dāng)w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．解當(dāng)w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)．即當(dāng)w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為10.5元．12．(多選題)(2021·淄博模擬)區(qū)域經(jīng)濟變化影響著人口的流動，下圖為過去某連續(xù)5年各省、自治區(qū)及直轄市(不含港澳臺)人口增長統(tǒng)計圖．某連續(xù)5年各省、自治區(qū)及直轄市(不含港澳臺)人口增長統(tǒng)計圖 根據(jù)圖中的信息，下面結(jié)論中正確的是 (

) A．廣東人口增量最多，天津增幅最高

B．黑龍江無論是增量還是增幅均居末尾

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