《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第3節(jié)　微課3　含有ex與lnx的組合函數(shù)或不等式問題

微課三含有ex與lnx的組合函數(shù)或不等式問題題型分類突破題型跟蹤訓練內容索引12//////////////題型分類突破1再令φ(x)＝ex－ex，則φ′(x)＝e－ex，易知φ

(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，則φ

(x)max＝φ

(1)＝0，所以ex－ex≤0.因為h(x)與φ(x)不同時為0，感悟升華因為x>1，所以φ′(x)>0，所以φ(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以φ(x)>φ(1)＝1>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以x>1時，g(x)>g(1)＝2，所以1－ex<0，所以h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，題型二借助ex≥x＋1和lnx≤x－1(x>0)進行放縮【例2】已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx. (1)若f(x)≥0，求a的值；解

f(x)的定義域為(0，＋∞)，當x∈(0，a)時，f′(x)<0；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0；所以f(x)在(0，a)單調遞減，在(a，＋∞)單調遞增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值點.因為f(1)＝0，所以當且僅當a＝1時，f(x)≥0，故a＝1.

解

由(1)知當x∈(1，＋∞)時，x－1－lnx>0，即lnx<x－1.從而m的最小正整數(shù)是m＝3.1.第(1)問可借助y＝x－1與y＝alnx圖象的位置關系，利用導數(shù)的幾何意義求解，請讀者完成.2.第(2)問利用教材習題結論x>1＋lnx(x>0，且x≠1)進行放縮，優(yōu)化了解題過程.若利用ex替換x，可進一步得到不等式ex≥x＋1(當x≠0時取等號).感悟升華【訓練2】已知函數(shù)f(x)＝ex－a. (1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線l：y＝x－1相切，求a的值； 解

f′(x)＝ex，因為函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x－1相切， 所以令f′(x)＝1，即ex＝1，得x＝0， ∴切點坐標為(0，－1)，則f(0)＝1－a＝－1， ∴a＝2.【訓練2】已知函數(shù)f(x)＝ex－a. (2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整數(shù)a的最大值.

解

先證明ex≥x＋1，設F(x)＝ex－x－1， 則F′(x)＝ex－1，令F′(x)＝0，則x＝0， 當x∈(0，＋∞)時，F(xiàn)′(x)>0； 當x∈(－∞，0)時，F(xiàn)′(x)<0.

所以F(x)在(0，＋∞)上單調遞增，在(－∞，0)上單調遞減， 所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立.∴ex≥x＋1，從而ex－2≥x－1(x＝0時取等號).以lnx代換x得lnx≤x－1(當x＝1時，等號成立)，所以ex－2>lnx.當a≤2時，lnx<ex－2≤ex－a，則當a≤2時，f(x)－lnx>0恒成立.當a≥3時，存在x，使ex－a<lnx，即ex－a>lnx不恒成立.綜上，整數(shù)a的最大值為2.題型跟蹤訓練2解析

f′(x)＝ex－1－ax＋(a－1)≥0恒成立，即ex－1≥ax－(a－1)恒成立，由于：ex≥x＋1，即ex－1≥x，∴只需要x≥ax－(a－1)，即(a－1)(x－1)≤0恒成立，所以a＝1.A2.已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx＋1，對任意的x>0，f(x)≤xe2x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

先證明ex≥x＋1，當且僅當x＝0時取等號(證明略).

所以當x>0時，有xe2x＝elnxe2x＝elnx＋2x≥lnx＋2x＋1， 所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2].3.已知f(x)＝ex，g(x)＝x＋1(e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)求證：f(x)≥g(x)恒成立； 證明令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1， 當x∈(－∞，0)時，h′(x)＜0，當x∈(0，＋∞)時，h′(x)＞0， 故h(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增， 所以h(x)min＝h(0)＝0，即h(x)≥0恒成立， 所以f(x)≥g(x)恒成立.所以m的最小值為2(m∈N*).∵x>0，∴即證xlnx＋a>xe－x，即證(xlnx＋a)min>(xe－x)max.令h(x)＝xlnx＋a，則h′(x)＝lnx＋1.令φ(x)＝xe－x，則φ′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x).當0<x<1時，φ′(x)>0；當x>1時，φ′(x)<0.∴函數(shù)φ(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，顯然，不等式①②中的等號不能同時成立，所以當0<x<1時，g′(x)>0；當x>1時，g′(x)<0.所以g(x)≤g(1)＝0，所以lnx≤x－1，所以當x>2時，有l(wèi)n(x－1)<x－2成立，又因為a>0，所以要證f(x)<ex＋(a－1)x－2a，因為x>2，所以h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(2，＋∞)上單調遞增，所以h(x)>h(2)＝e2－4>0，所以當x>2時，f(x)<ex＋(a－1)x－2a.6.已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0處取得極值. (1)求實數(shù)a的值.

又因為x＝0為f(x)的極值點.所以a＝1.證明由(1)知f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.令f′(x)>0得－1