滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題03銳角三角函數(shù)之正切重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題03銳角三角函數(shù)之正切重難點(diǎn)專練（原卷版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，A，B，C，三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、解答題2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持．（1）求證：；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（3）連接，交線段于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．3．(2023·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，已知扇形AOB的半徑OA＝4，∠AOB＝90°，點(diǎn)C、D分別在半徑OA、OB上（點(diǎn)C不與點(diǎn)A重合），聯(lián)結(jié)CD．點(diǎn)P是弧AB上一點(diǎn)，PC＝PD．（1）當(dāng)cot∠ODC＝，以CD為半徑的圓D與圓O相切時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求∠OCD的度數(shù)；（3）如果OC＝2，且四邊形ODPC是梯形，求的值．4．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E在AB上，AE＝5，P是AD上一點(diǎn)，將矩形沿PE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處．連接AC，與PE相交于點(diǎn)F，設(shè)AP＝x．（1）AC＝；（2）若點(diǎn)在∠BAC的平分線上，求FC的長(zhǎng)；（3）求點(diǎn)，D距離的最小值，并求此時(shí)tan∠APE的值；（4）若點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，直接寫出x的取值范圍．5．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求的正弦值；（2）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，且與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．6．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線，經(jīng)過點(diǎn)A，與線段交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)、．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求直線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求的余切值．7．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形，點(diǎn)M為射線上的動(dòng)點(diǎn)，射線交于E交射線于F，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)M在線段上時(shí)，若，求的長(zhǎng)．（3）①當(dāng)時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，求的值．②若，直接寫出與的面積比_______．8．(2023·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，矩形中，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，過點(diǎn)作射線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，且使得，如果，，，（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）如果是以為底角的等腰三角形，求的長(zhǎng)9．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將拋物線平移后，新拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點(diǎn)，新拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，設(shè)新拋物線與軸的另一交點(diǎn)是，新拋物線的頂點(diǎn)是．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)在新拋物線上，聯(lián)結(jié)，如果平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿軸左右平移，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)和相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移后得到拋物線的表達(dá)式．10．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．11．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸相交于點(diǎn)C，∠OCA=∠OAB．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AD=AC．求經(jīng)過點(diǎn)D的拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線的對(duì)稱軸與線段AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F，且EF=1，求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．12．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在等腰中，，，，垂足為F，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)DF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果，求線段AD的長(zhǎng)；（3）過點(diǎn)D作，垂足為E，DE交BF于點(diǎn)Q，連接DF，如果和相似，求線段BD的長(zhǎng)．13．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，（1）求和的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)和相似時(shí)，求的長(zhǎng)．14．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，,點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，垂足為的延長(zhǎng)線交的平行線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．15．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）若二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，我們把以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做二次函數(shù)交軸三角形，已知拋物線與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，交軸三角形的面積為．（1）求拋物線的對(duì)稱軸及表達(dá)式（2）若點(diǎn)在軸上方的拋物線上，且．求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，過作射線交線段于點(diǎn)，使得，連結(jié)．試問與是否垂直，請(qǐng)通過計(jì)算說明．16．(2023·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）在中，，，，是斜邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．17．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且與原點(diǎn)的距離為3，拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為C，直線y＝1與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線交于點(diǎn)D（在其對(duì)稱軸右側(cè)），聯(lián)結(jié)BC、CD．（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，如果△PBC與△BCD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將∠CBD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使射線BC經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與拋物線交于點(diǎn)E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），求點(diǎn)E的坐標(biāo)．三、填空題18．(2023·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，已知在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D在小正方形的頂點(diǎn)上，線段AB與線段CD相交于點(diǎn)O，那么tan∠AOC＝_____．19．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)．連接CF，將線段CF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，則EG的最小值是_____．20．(2023·上海金山區(qū)·九年級(jí)一模）已知在中，，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的的頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，那么的長(zhǎng)等于______．21．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，是的角平分線，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接ED，那么的正切值為_______________________．22．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，已知點(diǎn)在線段上，聯(lián)結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，如果點(diǎn)、、在同一直線上，那么______．23．(2023·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，的頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且斜邊與軸的夾角為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．24．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取AB邊上的中點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，連接DF．過點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H，交CE于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則MN=_____．25．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PB，將線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，如果點(diǎn)Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊上，那么AP的值是_____．專題03銳角三角函數(shù)之正切重難點(diǎn)專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，A，B，C，三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（）A． B． C． D．答案:B分析：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．【詳解】過C點(diǎn)作，垂足為D則根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在中，所以故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．第II卷（非選擇題）二、解答題2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持．（1）求證：；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（3）連接，交線段于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．答案:（1）證明見解析；（2）；（3）或．分析：（1）根據(jù)，得，，即可得．（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的概念得出，求出，再根據(jù)，列出函數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可．（3）先證，再分3種情況討論，分別求出AP的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴∠ADP+∠PDE=90°，∠EDQ+∠PDE=90°，∴，∵，，∴∠A+∠B=90°，∠B+∠DEQ=90°，∴，∴．（2）∵，∴，∵點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，AC=6，BC=8，∴在中，，，∵D為AB中點(diǎn)，∴BD=5，DE=，∴BE=，∵，∴，∵=y，∴．（3）∵，∴，∵∠PDF+∠EDQ=90°，∠BDQ+∠EDQ=90°，∴，∴，∴為等腰三角形時(shí)，亦為等腰三角形，①若，則∠QDB=∠B，∵∠QDB+∠EDQ=90°，∠B+∠DEB=90°，∴∠DEB=∠EDQ，∴DQ=QE，∴點(diǎn)Q為BE中點(diǎn)，∴y=BQ==BE=，解得:．②若，則=5∴y=，解得：．③若，∵連接，交線段于點(diǎn)∴點(diǎn)Q在線段BE上，∴∠BDQ≤90°，∵AC<BC，∠ACB=90°，∴∠B<45°，∴，此種情況舍去．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定及三角函數(shù)，正確和熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)得到各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3．(2023·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，已知扇形AOB的半徑OA＝4，∠AOB＝90°，點(diǎn)C、D分別在半徑OA、OB上（點(diǎn)C不與點(diǎn)A重合），聯(lián)結(jié)CD．點(diǎn)P是弧AB上一點(diǎn)，PC＝PD．（1）當(dāng)cot∠ODC＝，以CD為半徑的圓D與圓O相切時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求∠OCD的度數(shù)；（3）如果OC＝2，且四邊形ODPC是梯形，求的值．答案:（1）；（2）67.5°；（3）或分析：（1）由題意∠COD＝90°，cot∠ODC＝，可以假設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，證明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，可得結(jié)論．（2）如圖2中，連接OP，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性質(zhì)證明△PCB是等腰直角三角形，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)OC∥PD時(shí)，如圖3﹣2中，當(dāng)PC∥OD時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝，∴設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，∵以CD為半徑的圓D與圓O相切，∴CD＝DB＝5k，∴OB＝OA＝8k，∴AC＝OC＝4k＝2，∴k＝，∴CD＝．（2）如圖2中，連接OP，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵，∴∠AOP＝∠POB，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），∴∠EPC＝∠FPB，∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∵OP＝OB，∠POB＝45°，∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠OCD＝90°﹣22.5°＝67.5°．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)OC∥PD時(shí)，∵OC∥PD，∴∠PDO＝∠AOD＝90°，∵CE⊥PD，∴∠CED＝90°，∴四邊形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，設(shè)PC＝PD＝x，EC＝OD＝y(tǒng)，則，解得x1＝2﹣2，x2＝－2﹣2（不合題意，舍去），∴PD＝2﹣2，∴，如圖3﹣2中，當(dāng)PC∥OD時(shí)，∵PC∥OD，∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，∴四邊形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，∵OP＝4，OC＝2，∴PC＝，∴PD＝PC＝，∴PE＝，∴EC＝OD＝，∴，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．4．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E在AB上，AE＝5，P是AD上一點(diǎn)，將矩形沿PE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處．連接AC，與PE相交于點(diǎn)F，設(shè)AP＝x．（1）AC＝；（2）若點(diǎn)在∠BAC的平分線上，求FC的長(zhǎng)；（3）求點(diǎn)，D距離的最小值，并求此時(shí)tan∠APE的值；（4）若點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，直接寫出x的取值范圍．答案:（1）；（2）；（3）；（4）．分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)及角平分線定義可推出四邊形AEA＇F是菱形，則可利用菱形性質(zhì)得出AF的長(zhǎng)，即可求解FC；（3）根據(jù)點(diǎn)A＇在以E為圓心，EA＝5為半徑的圓E上，所以連接DE交圓E于點(diǎn)A＇，此時(shí)A＇，D距離有最小值，先利用勾股定理求得DE，則可求出DA＇，再由相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而求出AP，此題得解；（4）根據(jù)題意可分別從點(diǎn)A＇在AC上和BC上進(jìn)行計(jì)算，求解方法都是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出相關(guān)比例式，即可求得相應(yīng)的x的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．∵AB＝8，BC＝12，∴AC＝．故答案為：．（2）如圖，若點(diǎn)在∠BAC的平分線上，連接FA＇，∴∠EAA＇＝∠FAA＇．∵EA＝EA＇，∴∠EAA＇＝∠EA＇A．由折疊性質(zhì)可得PE是AA＇的垂直平分線，∴FA＝FA＇．∴∠FA＇A＝∠FAA＇．∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠FA＇A．∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．∴四邊形AEA＇F是平行四邊形．∵EA＝EA＇，∴四邊形AEA＇F是菱形．∴AE＝AF＝5．∴FC＝AC－AF＝．（3）由題意得，點(diǎn)A＇在以E為圓心，EA＝5為半徑的圓E上，所以連接DE交圓E于點(diǎn)A＇，此時(shí)A＇，D距離有最小值．∵四邊形ABCD是矩形，BC＝12，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．∵AE＝5，∴DE＝．∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．由折疊性質(zhì)可得PA＝PA＇＝x，∠EAP＝∠EA＇P＝90°，PD＝AD－AP＝12－x，∵∠ADE＝∠A＇DP，∴△ADE∽△A＇DP．∴．即．解得．∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．故點(diǎn)，D距離的最小值時(shí)，tan∠APE的值為．（4）如圖，當(dāng)點(diǎn)A＇在AC上時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠BCA＝90°．由折疊性質(zhì)得：PE是AA＇的垂直平分線，∴∠BAC+∠AEP＝90°．∴∠AEP＝∠BCA．∴△APE∽△BAC．∴．即．解得．如圖，當(dāng)A＇在BC上時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAA＇+∠BA＇A＝90°，由折疊性質(zhì)得：PE是AA＇的垂直平分線，∴∠BAA＇+∠AEP＝90°．∴∠BA＇A＝∠AEP．∴△APE∽△BAA＇．∴．即．在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，∴BA＇＝，∴，解得．∴若點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部時(shí)，x的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及利用勾股定理求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求的正弦值；（2）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，且與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．答案:（1）；（2）或．分析：（1）將代入可得表達(dá)式，配方即得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)BC與x軸交于E，過E作EH⊥AB于H，求出EH、BE即可得出答案；；（2）設(shè)D坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，則用兩邊對(duì)應(yīng)成比例列方程，求出D的坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】解：（1）將代入得：，解得，∴拋物線表達(dá)式為，∵，∴；設(shè)BC與x軸交于E，過E作EH⊥AB于H，如圖：拋物線與y軸交于，設(shè)BC解析式為，將，代入得：，解得，∴解析式為，令得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴又∴；（2）拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為D，設(shè)，則平移后的新拋物線的表達(dá)式為，∴，，，，如圖，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則，∵，∴，∴，∴，故若△DCA與△ABC相似，只需或兩種情況：①若△ABC∽△DCA，如圖：∴，即，∴，∴，∴平移后的新拋物線的表達(dá)式為；②若△ABC∽△ACD，如圖：∴，即，解得，∴，∴平移后的新拋物線的表達(dá)式為；綜上所述，△DCA與△ABC相似，平移后的新拋物線的表達(dá)式為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)及相似三角形的綜合知識(shí)，難度較大，解題的關(guān)鍵是求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．6．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線，經(jīng)過點(diǎn)A，與線段交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)、．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求直線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求的余切值．答案:（1）；（2）；（3）或分析：（1）利用待定系數(shù)法和拋物線對(duì)稱軸公式即可求解；（2）先求出頂點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)的面積為3求出BE，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；（3）分和與不平行兩種情況，分別求出D坐標(biāo)，利用余切定義即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴，∴∴拋物線表達(dá)式為；（2）把代入得y=4，∴拋物線頂點(diǎn)B坐標(biāo)為，由的面積為3得,∴BE=2，∵點(diǎn)E在線段BC上，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為，把點(diǎn)和點(diǎn)代入得，∴，∴直線表達(dá)式為；（3）如圖，①若，如圖，則四邊形為平行四邊形：則點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，∴；②若與不平行，如圖，則四邊形為等腰梯形：作BF⊥y軸于F，則，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，∴，綜上所述，此時(shí)的余切值為或．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，余切定義等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，解第（3）步時(shí)要注意分類討論思想應(yīng)用．7．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形，點(diǎn)M為射線上的動(dòng)點(diǎn)，射線交于E交射線于F，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)M在線段上時(shí)，若，求的長(zhǎng)．（3）①當(dāng)時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，求的值．②若，直接寫出與的面積比_______．答案:（1）4；（2）6；（3）①或；②分析：（1）利用正方形的性質(zhì)證明，得到，即可得到答案；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義證得，推出CQ=MQ=FQ，從而得到MF=2CQ=6；（3）①分兩種情況：（i）當(dāng)點(diǎn)N在正方形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，（ii）當(dāng)點(diǎn)N在正方形外部，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，根據(jù)正方形的性質(zhì)及翻折的性質(zhì)、勾股定理列式計(jì)算即可求出答案；②過點(diǎn)E作GH⊥AB于G，交CD于點(diǎn)H，根據(jù)△ABE∽△DME，，求得DM=2，CM=6，EH=，同理：BF=4AD=32，得到CF=24，利用面積公式分別計(jì)算與的面積，列式計(jì)算即可．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠MDE，∠BAE=∠DME，∴，∴，，∴，∴DM=4；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，∵DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠EAD=∠ECM；∵AD∥BC，∴∠EAD=∠F，∵，∴∠ECQ=∠DCF=，∴∠ECM=∠QCF，∴，∴CQ=QF，∵∠CMF+∠F=∠QCM+∠QCF=，∴∠QCM=∠CMF，∴CQ=MQ=FQ，∴MF=2CQ=6，（3）①（i）當(dāng)點(diǎn)N在正方形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵DM=2CM，AD∥BC，∴CF=4，，∴AG=FG，設(shè)，根據(jù)勾股定理得，解得：，；（ii）當(dāng)點(diǎn)N在正方形外部，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAM=∠AMD，由翻折得∠AMD=∠NMA，∴，∴AG=MG，設(shè)，根據(jù)勾股定理得，解得，，綜上所述，或；②過點(diǎn)E作GH⊥AB于G，交CD于點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴△ABE∽△DME，∵，∴AB=4DM，GE=4EH，∴DM=2，CM=6，EH=，同理：BF=4AD=32，∴CF=24，∴，∵，∴，∵，∴，∴與的面積比為=，故答案為：．．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．(2023·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，矩形中，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，過點(diǎn)作射線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，且使得，如果，，，（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）如果是以為底角的等腰三角形，求的長(zhǎng)答案:（1）．定義域?yàn)椋唬?）；（3）4或分析：（1）根據(jù)條件證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得，代入數(shù)值即可；（2）過點(diǎn)M作MF⊥BP，利用△BPM的面積可求出MF的長(zhǎng)，利用勾股定理可得PF，BF的長(zhǎng)，從而可求的正切值；（3）分∠EBC=∠ECB或∠EBC=∠E兩種情況討論．【詳解】解：（1）在矩形中，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，．∴所求函數(shù)的解析式為．定義域?yàn)椋?）如圖所示，作，垂足為點(diǎn)．∵，∴．∵，，∴．由的面積，可得，即．解得．∵，，∴．∴．∴．（3）（i）當(dāng)時(shí)，可得，．∴．∴，即．解得或（不符合題意，舍去）（ii）當(dāng)時(shí)，可得，．∴．整理，得．解得或（舍）綜上所述，的長(zhǎng)為4或．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，難度較大，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及分類討論思想解題是本題的解題關(guān)鍵．9．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將拋物線平移后，新拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點(diǎn)，新拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，設(shè)新拋物線與軸的另一交點(diǎn)是，新拋物線的頂點(diǎn)是．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)在新拋物線上，聯(lián)結(jié)，如果平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿軸左右平移，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)和相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移后得到拋物線的表達(dá)式．答案:（1）；（2）；（3）或分析：（1）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，b），可得新拋物線解析式為：y=-（x-a）2+b，先求出點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)，代入解析式可求解；（2）通過證明△AOC∽△CHD，可得∠ACO=∠DCH，可證EC∥AO，可得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為4，即可求點(diǎn)E坐標(biāo)；（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求平移后得到拋物線的表達(dá)式．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+4的頂點(diǎn)為C，∴點(diǎn)C（0，4），∴OC=4，∵tanB=4=，∴OB=1，∴點(diǎn)B（1，0）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，b）∴新拋物線解析式為：y=-（x-a）2+b，且過點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)B（1，0）∴，解得：，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，）（2）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥OC，∵點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，），∴新拋物線解析式為：y=-（x+1）2+，當(dāng)y=0時(shí)，0=-（x+1）2+，∴x1=-3，x2=1，∴點(diǎn)A（-3，0），∴AO=3，∴，∵點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，），∴DH=1，HO=，∴CH=OH-OC=，∴，∴，且∠AOC=∠DHC=90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO=∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，∴EC∥AO，∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為4，∴4=-（x+1）2+，∴x1=-2，x2=0，∴點(diǎn)E（-2，4）；（3）如圖2，∵點(diǎn)E（-2，4），點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，）∴DE=DC=，，AB=3+1=4，∴∠DEC=∠DCE，∵EC∥AB，∴∠ECA=∠CAB，∴∠DEC=∠CAB，∵△DEF和△ABC相似，∴或，又∵DE=，AC=5，AB=4，∴EF=或，∴點(diǎn)F（-，4）或（，4）設(shè)平移后解析式為：y=-（x+1-c）2+4，∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，∴c1=，c2=∴平移后解析式為：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．10．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．答案:（1）證明見解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為11或或．分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；（3）分點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)在線段上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，又，∴，∴，即；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即解得，，∴，解得，；（3）解：作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，時(shí)，，∴，解得，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，解得，，∴；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，為鈍角，∴只有，則，∴，解得，，不合題意，∴是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為11或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．11．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸相交于點(diǎn)C，∠OCA=∠OAB．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AD=AC．求經(jīng)過點(diǎn)D的拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線的對(duì)稱軸與線段AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F，且EF=1，求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．答案:（1）；（2）；（3）．分析：（1）先設(shè)OA，OB，通過拋物線可求得OC，結(jié)合∠OCA=∠OAB，運(yùn)用銳角三角形函數(shù)定義求解OA，OB即可；（2）過點(diǎn)D作DG⊥x軸，由△DGA≌△AOC推出D的坐標(biāo)，從而結(jié)合A，D坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸FE與OA交于點(diǎn)H，則可根據(jù)平行線分線段成比例列式求解AH和OH，從而求解出拋物線的對(duì)稱軸，即可求解出拋物線的解析式．【詳解】（1）∵設(shè)直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（2m，0）、B（0，m），∴OA=2m，OB=m．∵∠OCA=∠OAB，∴tan∠OCA=tan∠OAB==．∵（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)C（0，4），OC=4，∴OA=2，OB=1，∴直線AB的表達(dá)式為．（2）過點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G．∵∠DGA=∠AOC=90°，∠DAG=∠ACO，AD=AC，∴△DGA≌△AOC，∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，∴點(diǎn)D（，2）．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、D，∴∴∴拋物線的表達(dá)式為．（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸FE與OA交于點(diǎn)H．∵EF∥OC，∴，AH=，OH=，∴∴∴拋物線的表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的與幾何綜合問題，涉及到銳角三角函數(shù)的運(yùn)用以及平行線分線段成比例定理，熟記基本定理并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．12．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在等腰中，，，，垂足為F，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)DF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果，求線段AD的長(zhǎng)；（3）過點(diǎn)D作，垂足為E，DE交BF于點(diǎn)Q，連接DF，如果和相似，求線段BD的長(zhǎng)．答案:（1）10；（2）；（3）或．分析：（1）如圖作交BC于點(diǎn)H，設(shè)BH=x，根據(jù)正切可求出AH=2x，再根據(jù)勾股定理解出x即可．（2）作交AC于點(diǎn)E，利用三角形面積公式可求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出，從而得到．再利用和結(jié)合邊的等量關(guān)系得到兩個(gè)關(guān)于未知邊的方程組，解出方程組即可．（3）根據(jù)題意可證明，所以分兩種情況討論①當(dāng)DQ=DF時(shí)，如圖，作交BF于點(diǎn)P，，再反復(fù)利用正切函數(shù)結(jié)合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函數(shù)即可求出BD的長(zhǎng)②當(dāng)DF=QF時(shí)，如圖，作交DQ于點(diǎn)O，同理設(shè)，解出x的值，最后再利用正切函數(shù)即可求出BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖作交BC于點(diǎn)H，設(shè)BH=x，根據(jù)題意，，∴AH=2x，在中，，∴解得x=5．∴BH=5．又∵是等腰三角形，即H點(diǎn)為BC中點(diǎn)，∴BC=2BH=10．（2）根據(jù)題意可知，即，∴，∴，．作交AC于點(diǎn)E，∴，得到：，即．，得到：．又∵∴，由，解得，．∵，是等腰三角形，∴也是等腰三角形，∴．（3）∵，，∴，又∵，∴當(dāng)DQ=DF時(shí)，如圖，作交BF于點(diǎn)P，設(shè)，∵,∴，∴，∴，∵，∵,∴，∴，∵，即解得x=，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，即．∴．當(dāng)DF=QF時(shí)，如圖，作交DQ于點(diǎn)O，設(shè)，同理，，，∵,∴，∴，∴，同理∵，即解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，邊的等量關(guān)系等知識(shí)，作出每一個(gè)問的輔助線是解答本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，較難．需特別注意最后問的分情況討論．13．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，（1）求和的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)和相似時(shí)，求的長(zhǎng)．答案:（1）；（2）；（3）或．分析：（1）根據(jù)正切三角函數(shù)的定義、勾股定理即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，再根據(jù)正切三角函數(shù)、勾股定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出的值，由此即可得出答案；（3）如圖（見解析），設(shè)，先根據(jù)正切三角函數(shù)、勾股定理分別可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，然后分和兩種情況，最后分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：（1）在中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得，；（2）如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則四邊形CFEH是矩形，，在中，，設(shè)，則，，是BC的中點(diǎn)，，在中，，，，，，在和中，，，，即，，解得：或（不符題意，舍去），則；（3）如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，在中，，設(shè)，則，，，，即，在和中，，，，由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，即，解得，；②當(dāng)時(shí)，，，即，解得，；綜上，BE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的運(yùn)用，題目難度不小，具有一定的綜合性．特別是三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．14．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，,點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，垂足為的延長(zhǎng)線交的平行線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．答案:（1）；（2）；（3）分析：（1）過點(diǎn)E作EH⊥CD于H如圖易證EH是△DBC的中位線，及△AHE∽△EHD設(shè)AH=x，可得，求出x，由tan∠EAH=tan∠EAH=即可（2）取AB中點(diǎn)O，連接OC、OE，如圖易證點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，由圓周角∠BCA=∠BAF，圓內(nèi)接四邊形得∠CBE+∠CAE=180o，從而∠CBE=∠FAB，得△BCE∽△FAB，CE?FA=BC?AB，y=，(3)過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似，從而△BCE與△BGE相似，由∠ECG=∠EBG與點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，可證∠ECB=∠ECA，EM=EH，四邊形EMCH為正方形有CM=CH，再證Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，設(shè)AH=a，則MB=a，CM=7-a，CH=1+a，7-a=1+a，在Rt△CHE中CE=，結(jié)合CE?FA=35，求AF即可．【詳解】過點(diǎn)E作EH⊥CD于H如圖則有∠EHA=∠EHD=90o，∵∠BCD=90o，BE=DE，∴CE=DE，CH=DH，∴EH=BC=，設(shè)AH=x，則DH=CH=x+1,∵AE⊥BD,∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90o,∵∠AEH+∠EAH=90o,∴∠EAH=∠DEH,∴△AHE∽△EHD，∴EH2=AH?DH，∴，，負(fù)根舍∴tan∠EAH=，∵BF∥CD，∴∠AFB=∠EAH，∴tan∠EAH=，（2）取AB中點(diǎn)O，連接OC、OE，如圖，∵∠BCA=∠BEA=90o，∴OC=OA=OB=OE，∴點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，∴∠BCA=∠BAF，∴∠CBE+∠CAE=180o，∵BF∥CD，∴∠BFA+∠CAE=180o，∴∠CBE=∠FAB，∴△BCE∽△FAB，，∴CE???FA=BC?AB，∵∠BCA=90o，BC=7，AC=1，∴AB=5，∴CE?AF=7×5=35，由CE=x，AF=y，xy=35，∴y=，(3)過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90o，∴四邊形EMCH為矩形，∵△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似，∴△BCE與△BGE相似，∴∠ECG=∠EBG，∵點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，∴∠ECA=∠EBG，∴∠ECB=∠ECA，∴EM=EH，∴四邊形EMCH為正方形，∴CM=CH，∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45o，∴∠EBA=∠EAB=45o，∴EB=EA，∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），∴BM=AH，設(shè)AH=a，則MB=a，CM=7-a，CH=1+a，∴7-a=1+a，∴a=3，∴CH=4，在Rt△CHE中，cos∠ECH=，∴CE=，由（2）得CE?FA=35，AF=．【點(diǎn)睛】本題考查求∠AFB正切值，函數(shù)關(guān)系，△BGE與△BAF相似時(shí)，求線段AF的長(zhǎng)問題，難度較大，知識(shí)點(diǎn)較多，是綜合利用知識(shí)的典范，能引輔助線拓展條件，會(huì)證中位線，相似三角形，利用相似三角形構(gòu)造方程，能利用定義求三角函數(shù)值，會(huì)證點(diǎn)四點(diǎn)共圓，由同弧所對(duì)圓周角∠BCA=∠BAF，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角得∠CBE=∠FAB，利用相似三角形CE???FA=BC?AB，會(huì)證四邊形EMCH為正方形，來增加條件證Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，夠找等量關(guān)系解直角三角形求CE，求AF是關(guān)鍵．15．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）若二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，我們把以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做二次函數(shù)交軸三角形，已知拋物線與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，交軸三角形的面積為．（1）求拋物線的對(duì)稱軸及表達(dá)式（2）若點(diǎn)在軸上方的拋物線上，且．求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，過作射線交線段于點(diǎn)，使得，連結(jié)．試問與是否垂直，請(qǐng)通過計(jì)算說明．答案:（1）x=1，；（2）；（3）垂直，見解析分析：(1)y=ax2?2ax?4，利用對(duì)稱軸x=-公式求得，由S△ABC=12，AB?OC=12，AB=6，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x2-x1=6，由根與系數(shù)關(guān)系，x1+x2=2，聯(lián)立解出x1，x2，由即可(2)設(shè)P（x,y），y>0，點(diǎn)P在拋物線上，過p作PD⊥x軸于D（x,0），AD=x+2，tan∠PAB=，得2y=x+2，與拋物線聯(lián)立得x2-3x-10=0，可求P(5，)，（3）設(shè)CE交x軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥BC于H，EM⊥x軸于M，∠PAB=∠ECB，利用正切比相等tan∠PAB=tan∠ECB=，相確定△OBC為等腰直角三角形，在Rt△OCB中，由勾股定理得，CB=4，BH：CH=1:2，可求G（，0），CG解析式為y=3x-4，AP解析式y(tǒng)=，求交點(diǎn)E（2,2），確定△EMB為等腰直角三角形，∠EBC=∠CBO+∠EBM=45o+45o=90o，EB⊥BC．【詳解】(1)y=ax2?2ax?4，對(duì)稱軸x=-=1，由S△ABC=12，∴x=0，y=-4，C(0,-4)，∴OC=4，∵AB?OC=12，∴AB=6，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x2-x1=AB=6，當(dāng)y=0時(shí)，ax2-?2ax?4=0，由根與系數(shù)關(guān)系，x1+x2==2，∴，∴，∴，∴y=x2?x?4，(2)設(shè)P（x,y），y>0，點(diǎn)P在拋物線上，過p作PD⊥x軸于D（x,0），∴AD=x+2，y=x2?x?4，由tan∠PAB=，∴2y=x+2，∴x2-3x-10=0，∴(x-5)(x+2)=0，∴x=5，∴y=，∴P(5，)，（3）設(shè)CE交x軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥BC于H，EM⊥x軸于M，∠PAB=∠ECB，由tan∠PAB=tan∠ECB=，由OC=4,OB=4，∴OC=OB=4，∴∠OBC=45o，∴GH=BH，在Rt△OCB中，由勾股定理得，CB=4，由BH：CH=1:2，∴GH=HB=，∴GB==，∴G（，0），設(shè)CG解析式為y=kx+b，AP解析式為y=k1x+b1，y=kx+b過C（0，-4）、G（，0）兩點(diǎn)，則y=3x-4，y=k1x+b1過A（-2，0）、P(5，)兩點(diǎn)，則y=，聯(lián)立得，解得，∴E（2,2），∴EM=2，BM=4-2=2，∴EM=BM，∴∠MBE=45o，∴∠EBC=∠CBO+∠EBM=45o+45o=90o，∴EB⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱軸，拋物線解析式，tan∠PAB=的點(diǎn)P坐標(biāo)與EB⊥BC，涉及知識(shí)較多，掌握對(duì)稱軸公式，待定系數(shù)法求解析式，會(huì)利用正切比求坐標(biāo)，，通過數(shù)形結(jié)合與圖中的相關(guān)信息，確定相確定△OBC與△EMB為等腰直角三角形，為解題關(guān)鍵．16．(2023·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）在中，，，，是斜邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．答案:（1）；（2）或AD=．分析：（1）先求出AC，BC的長(zhǎng)，證出∠CAF=∠BCD，再得到∠CAF和∠BCD的三角函數(shù)值都與∠BCD的三角函數(shù)值相等，進(jìn)一步得到BF的長(zhǎng)；（2）分兩種情況①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)值相等得到比例式，進(jìn)而得到方程，求出BG的長(zhǎng)，再由平行得到△ACD和△BDG相似從而得到相似比，得出方程求出AD的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，方法可參照①．【詳解】解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=，∴BC=4，AC=3，∵AE⊥CD，∠ACB=90°，∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，∴∠CAF=∠BCD∴tan∠CAF=tan∠BCD=，又∵∠ACB=90°，AC=3，∴CF=，BF=；（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)B作BG//AC，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵tan∠CAF=tan∠BCD，∴=，即，∴BG=，∵BG//AC，∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，∴△BGD∽△ACD∴，即，∴AD=．②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)B作BG//AC，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵tan∠CAF=tan∠BCD，∴，即，∴BG=7，∵BG//AC，∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，∴△BGD∽△ACD∴，即∴AD=．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三角函數(shù)的應(yīng)用、相似的判定與性質(zhì)，用到了分類討論的思想，轉(zhuǎn)化為方程去思考是解題的關(guān)鍵，本題是一道難度較大的綜合題．17．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且與原點(diǎn)的距離為3，拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為C，直線y＝1與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線交于點(diǎn)D（在其對(duì)稱軸右側(cè)），聯(lián)結(jié)BC、CD．（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，如果△PBC與△BCD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將∠CBD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使射線BC經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與拋物線交于點(diǎn)E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），求點(diǎn)E的坐標(biāo)．答案:（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中可得：a的值，從而得拋物線的解析式，配方得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不為1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的長(zhǎng)，從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接AC，過E作EH⊥BD于H，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函數(shù)得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，設(shè)EH＝m，則BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入拋物線的解析式，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且與原點(diǎn)的距離為3，∴A（3，0），把A（3，0）代入拋物線y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由題意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不為1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）連接AC，過E作EH⊥BD于H，由旋轉(zhuǎn)得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，設(shè)EH＝m，則BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵點(diǎn)E在拋物線上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合的相似三角形、三角函數(shù)表示等知識(shí)點(diǎn)，綜合理解能力要求比較高。三、填空題18．(2023·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，已知在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D在小正方形的頂點(diǎn)上，線段AB與線段CD相交于點(diǎn)O，那么tan∠AOC＝_____．答案:3分析：如圖，取格點(diǎn)E、F，連接AE、AF、BE，通過計(jì)算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三線合一得出AF⊥BE，接著推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出兩直角邊的長(zhǎng)，再依據(jù)正切值的意義可求解．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)E、F，連接AE、AF、BE，可知AF經(jīng)過點(diǎn)C，BE經(jīng)過點(diǎn)F，設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AE=AB＝，∵F是BE的中點(diǎn)，∴AF⊥BE．由題意：∠DCB＝∠CBE＝45°．∴CD∥BE，∴∠AOC＝∠ABF．∴tan∠AOC＝tan∠ABF．∵BF＝，AF＝，∴tan∠ABF＝．∴tan∠AOC＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考察了網(wǎng)格中的邊和角的計(jì)算問題，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，要求學(xué)生能挖掘出圖中的隱含條件，構(gòu)造直角三角形，利用正切公式求出角的正切值，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．19．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)．連接CF，將線段CF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，則EG的最小值是_____．答案:分析：如圖，連接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因?yàn)椤螩DF是定值，推出點(diǎn)G在射線BG上運(yùn)動(dòng)，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時(shí)，EG的長(zhǎng)最短；【詳解】解：如圖，作射線BG．∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴點(diǎn)G在射線BG上運(yùn)動(dòng)，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時(shí)，EG的長(zhǎng)最短，此時(shí)tan∠EBG＝＝，設(shè)EG＝m，則BG＝2m，在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴1＝m2+4m2，∴m＝（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴EG的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性子，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)，20．(2023·上海金山區(qū)·九年級(jí)一模）已知在中，，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的的頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，那么的長(zhǎng)等于______．答案:分析：根據(jù)題意畫圖，作AH⊥CE于H，根據(jù)得出，由等邊對(duì)等角得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得出，得出AK=AC，利用等腰三角形三線合一得KH=CH，再證出AH為的中位線，可得出AK，AD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB，AB+AD即可得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作AH⊥CE于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴AK=AC=2，∵AH⊥CE，，∴KH=CH，，∴AH為的中位線，∴A為DK的中點(diǎn)，DK=2AK=4，AD=AK=2，∵，，，∴AB=，∴BD=AD+AB=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)-正切，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理等知識(shí)，作垂線構(gòu)造三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．21．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，是的角平分線，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接ED，那么的正切值為_______________________．答案:分析：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可證明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分線可得∠ACD=45°，可得CG=DG，進(jìn)而可求出AG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC′=AC，AE=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋轉(zhuǎn)角為90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，∴DG//BC，∴△AGD∽△ACB，可得，∵CD是角平分線，∴∠ACD=45°，∴CG=DG，∵AC=3，AC=AG+CG，∴+CG=3，即=3，解得：DG=，∴AG=，∴AD==，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，∴AC′=AC，AE=AB，∴∠CC′A=∠ACD=45°，∴∠CAC′=90°，∴旋轉(zhuǎn)角為90°，∴∠DAE=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，正確得出旋轉(zhuǎn)角為90°并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定義是解題關(guān)鍵．22．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，已知點(diǎn)在線段上，聯(lián)結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，如果點(diǎn)、、在同一直線上，那么______．答案:或．分析：分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．證明AD＝DC即可解決問題．【詳解】解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∵AC＝AB，∠ACB＝90°∴∠CEF＝∠CAB＝45°，∵PD＝PA，∠APD＝90°∴∠PAD＝∠PDA＝45°，∴∠HDC＝∠PDA＝45°，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴EA＝EP＝EC∴∠EPC＝∠CEP，∵∠HDC＝∠DCA+∠DAC＝45°，∠CEF＝∠DCA+∠EPC＝45°，∴∠DAC＝∠EPC＝∠ECP，∴DA＝DC，設(shè)AP＝a，則,∴∴②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，由①可知，EF∥AB，∠CAB＝∠PDA＝45°，∴∠CAD＝180°-∠ACD-45°，∠COA＝180°-∠ACO-45°∴∠CAD＝∠COA，∵EF∥AB，∴∠CPE＝∠COA，∴∠CPE＝∠CAD，∵